LICEUM I TECHNIKUM zakres rozszerzoy Matematyka pozać, zrozumieć Podręczik, klasa3
Autorzy podręczika: Alia Przychoda, Moika Strawa, Zygmut Łaszczyk Podręczik dopuszczoy do użytku szkolego przez miistra właściwego do spraw oświaty i wychowaia i wpisay do wykazu podręczików przezaczoych do kształceia ogólego do auczaia matematyki, a podstawie opiii rzeczozawców: dr Marii Borowskiej, dr. hab. Edwarda Tutaja, dr. Tomasza Karpowicza. Zakres kształceia: rozszerzoy Etap edukacyjy: IV Typ szkoły: szkoły poadgimazjale Rok dopuszczeia: 2014 Numer ewidecyjy w wykazie: 582/3/2014 dla tradycyjej i elektroiczej formy podręczika) Copyright by Wydawictwa Szkole i Pedagogicze sp. z o.o. Warszawa 2014 Wydaie I ISBN 978-83-02-14527-8 Opracowaie merytorycze i redakcyje: Agieszka Trzpil-Gajek redaktor koordyator, redaktor merytoryczy), Aeta Juchimiuk, Ewa Kowalik, Edyta Warzecha redaktor merytoryczy) Kosultacje aukowe: Leo Gulgowski Redakcja językowa: Milea Schefs Redakcja techicza: Jaia Soboń Projekt okładki: Paweł Rafa, Marta Jedlińska, Joaa Plakiewicz Projekt stro działowych: Joaa Plakiewicz Projekt graficzy: Katarzya Trzeszczkowska Opracowaie graficze: Ewa Pawińska Fotoedycja: Igacy Składowski Skład i łamaie, rysuki: MathMaster Studio Zalecae wymagaia systemowe i sprzętowe Podręczik elektroiczy w formacie PDF otwieray a komputerach PC i MAC wymaga zaistalowaia bezpłatego programu Adobe Reader http://get. adobe. com/reader/); otwieray a tabletach i telefoach z systemem Apple ios wymaga zaistalowaia bezpłatego programu ibooks do pobraia ze sklepu App Store); otwieray a tabletach i telefoach z systemem Adroid wymaga zaistalowaia bezpłatego programu Adobe Reader do pobraia z Google Play). Pomoc techicza: epomoc@wsip.com.pl Materiały, do których masz dostęp, ie mogą być rozpowszechiae publiczie, ie mogą być przedmiotem dalszego obrotu. Rozporządzaie ich opracowaiem wymaga uzyskaia zgody. Wydawictwa Szkole i Pedagogicze spółka z ograiczoą odpowiedzialością 00-807 Warszawa, Al. Jerozolimskie 96 Tel.: 22 576 25 00 Ifoliia: 801 220 555 www.wsip.pl Publikacja, którą abyłeś, jest dziełem twórcy i wydawcy. Prosimy, abyś przestrzegał praw, jakie im przysługują. Jej zawartość możesz udostępić ieodpłatie osobom bliskim lub osobiście zaym. Ale ie publikuj jej w iterecie. Jeśli cytujesz jej fragmety, ie zmieiaj ich treści i koieczie zazacz, czyje to dzieło. A kopiując jej część, rób to jedyie a użytek osobisty. Szaujmy cudzą własość i prawo. Więcej a www.legalakultura.pl Polska Izba Książki
SPIS TREŚCI O podręcziku... 6 1. Graica i pochoda fukcji... 9 1.1 Graica fukcji w pukcie... 10 1.2 Ciągłość fukcji w pukcie... 17 1.3 Obliczaie graic fukcji w pukcie... 23 1.4 Graica iewłaściwa fukcji w pukcie... 28 1.5 Graica fukcji w ieskończoości... 32 1.6 Graice jedostroe fukcji w pukcie... 38 1.7 Asymptoty wykresu fukcji... 46 1.8 Ciągłość fukcji w przedziale liczbowym... 51 1.9 Pochoda fukcji w pukcie... 56 1.10 Iterpretacja geometrycza i fizycza pochodej... 61 1.11 Własości pochodej fukcji w zbiorze... 66 1.12 Pochoda fukcji a mootoiczość fukcji... 71 1.13 Ekstrema lokale fukcji... 76 1.14 Najmiejsza i ajwiększa wartość fukcji w przedziale liczbowym... 81 1.15 Zastosowaie pochodej fukcji do badaia własości fukcji... 84 1.16 Zastosowaie pochodej fukcji w zagadieiach optymalizacyjych... 88 A gdyby matura była teraz? Podsumowaie działu... 91 2. Stereometria... 93 2.1 Proste i płaszczyzy w przestrzei... 94 2.2 Graiastosłupy i ich rodzaje... 101 2.3 Krawędzie i przekąte w graiastosłupie... 106 2.4 Pole powierzchi całkowitej i objętość graiastosłupa... 113 2.5 Ostrosłupy i ich rodzaje... 119 2.6 Pole powierzchi całkowitej i objętość ostrosłupa... 126 2.7 Kąt dwuściey...134 2.8 Pole powierzchi całkowitej i objętość walca... 140 2.9 Pole powierzchi całkowitej i objętość stożka... 145 2.10 Pole powierzchi i objętość kuli... 150 2.11 Bryły podobe... 154 2.12 Bryły wpisae i opisae... 158 A gdyby matura była teraz? Podsumowaie działu... 165
SPIS TREŚCI 3. Statystyka i rachuek prawdopodobieństwa... 169 3.1 Prezetacja daych statystyczych... 170 3.2 Liczby charakteryzujące dae zebrae w badaiu statystyczym... 178 3.3 Aaliza rozproszeia wyików... 190 3.4 Częstość występowaia... 195 3.5 Doświadczeie losowe... 198 3.6 Działaia a zdarzeiach losowych... 203 3.7 Reguła możeia i reguła dodawaia... 210 3.8 Permutacje i wariacje... 217 3.9 Kombiacje... 223 3.10 Prawdopodobieństwo zdarzeia... 228 3.11 Róże metody obliczaia prawdopodobieństwa zdarzeń... 235 3.12 Prawdopodobieństwo warukowe i prawdopodobieństwo całkowite... 242 3.13 Własości prawdopodobieństwa... 248 A gdyby matura była teraz? Podsumowaie działu... 253 4. Powtórzeie... 259 4.1 Liczby rzeczywiste... 260 4.2 Wyrażeia algebraicze... 271 4.3 Rówaia i ierówości... 279 4.4 Fukcje... 289 4.5 Ciągi liczbowe... 305 4.6 Trygoometria... 317 4.7 Plaimetria... 330 4.8 Geometria aalitycza... 344 4.9 Stereometria... 355 4.10 Statystyka i rachuek prawdopodobieństwa... 363 4.11 Graica i pochoda fukcji... 373 A gdyby matura była teraz? Podsumowaie działu... 380 Bak zadań... 392 Wartości fukcji trygoometryczych... 416 Odpowiedzi... 417 Ideks... 447
Kraj bez matematyki ie wytrzyma współzawodictwa z tymi, którzy matematykę uprawiają. Hugo Steihaus Podręczik zamyka cykl edukacyjy Matematyka. Pozać, zrozumieć dla ucziów, którzy w 2012 r. rozpoczęli aukę matematyki zgodie z ową podstawą programową dla zakresu rozszerzoego. Mamy adzieję, że ta publikacja pomoże każdemu z Was dostrzec pięko matematyki oraz ją zrozumieć. Staraliśmy się, aby asza książka w sposób przystępy wprowadziła Was w owe zagadieia, zachęciła do samodzielego uczeia się i utrwalaia pozaych wiadomości. W trzech pierwszych rozdziałach podręczika do klasy trzeciej zamykamy całość omawiaych treści zawartych w obowiązującej Podstawie programowej. Wzorem podręczików do klasy pierwszej i drugiej zajduje się tu wiele przykładów, ćwiczeń i zadań do samodzielego rozwiązaia. Do sprawdzeia stopia opaowaia wiedzy i umiejętości propoujemy zae już zestawy zadań: po każdym temacie A gdyby sprawdzia był teraz? oraz po każdym rozdziale A gdyby matura była teraz?. Dodatkowe zadaia zamieszczamy w Baku zadań pod koiec podręczika. Do większości zadań podajemy odpowiedzi. Egzami maturaly z matematyki wymaga solidego powtórzeia i utrwaleia wiadomości. W tym celu opracowaliśmy rozdział czwarty, w którym zamieszczamy: pogrupowae tematyczie zadaia powtórzeiowe, pozae wcześiej defiicje, twierdzeia oraz przykłady. Uzupełieiem tego podręczika jest Zbiór zadań dla klasy 3. Układ zadań w zbiorze jest skoreloway z układem treści w podręcziku. Autorzy
O podręcziku W podręcziku zajdują się trzy rozdziały tematycze i jede rozdział powtórzeiowy. Na końcu podręczika zamieszczoo odpowiedzi do większości zajdujących się w im zadań. BUDYNEK VELES E VENTS W WALENCJI, HISZPANIA 2 Stroa działowa z wymagaiami szczegółowymi z podstawy programowej dla zakresu rozszerzoego Odsyłacz do Baku zadań Stereometria Treści auczaia wymagaia szczegółowe: rozpozawaie w graiastosłupach i ostrosłupach kątów między odcikami p. krawędziami, krawędziami i przekątymi), obliczaie miar tych kątów rozpozawaie w graiastosłupach i ostrosłupach kątów między odcikami i płaszczyzami między krawędziami i ściaami, przekątymi i ściaami), i obliczaie miar tych kątów rozpozawaie w walcach i stożkach kątów między odcikami oraz kątów między odcikami i płaszczyzami p. kąta rozwarcia stożka, kąta między tworzącą a podstawą), obliczaie miar tych kątów rozpozawaie w graiastosłupach i ostrosłupach kątów między ściaami am i łościau płaszczyzą zą stosowaie trygoometrii do obliczeń długości odcików, miar kątów, pól powierzchi i objętości zczyzą określaie, jaką figurą jest day przekrój graiastosłupa słupa lub ostrosłupa płaszczyzą określaie, jaką figurą jest day przekrój prostopadłościau płaszczyzą określaie, jaką figurą jest day przekrój sfery płaszczyzą A gdyby sprawdzia był teraz? Zestawy zadań zamkiętych i otwartych, sprawdzających opaowaie wiadomości z daego tematu Projekt, czyli praca długotermiowa
Temat lekcji A gdyby matura była teraz? Zestawy zadań skostruowaych a wzór zadań maturalych, oparte a materiale daego działu A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ? ZESTAW II poziom rozszerzoy Zadaie 1. 4 p.) Podstawą prostopadłościau jest kwadrat. Długość krawędzi podstawy, wysokość i długość przekątej prostopadłościau tworzą ciąg arytmetyczy. Suma długości jedej krawędzi podstawy i wysokości jest rówa długości przekątej i wyosi 10 cm. Oblicz pole powierzchi całkowitej tego prostopadłościau. Zadaie 2. 4 p.) Przekąta sześciau jest o 4 dm dłuższa od krawędzi sześciau. Oblicz pole powierzchi całkowitej i objętość sześciau. Zadaie 3. 3 p.) Promień koła opisaego a podstawie graiastosłupa prawidłowego sześciokątego jest rówy 4 3 cm. Najdłuższa przekąta graiastosłupa jest achyloa do podstawy pod kątem o mierze 60. Oblicz pole powierzchi całkowitej graiastosłupa. Zadaie 4. 6 p.) W ostrosłupie prawidłowym trójkątym krawędź podstawy ma długość a i ściay bocze są trójkątami prostokątymi. a) Narysuj siatkę ostrosłupa. b) Oblicz pole powierzchi całkowitej ostrosłupa. c) Oblicz tę wysokość ostrosłupa, która jest poprowadzoa a ściaę będącą trójkątem rówoboczym. Zadaie 5. 5 p.) Cztery wierzchołki sześciau o krawędzi długości 9 są jedocześie wierzchołkami czwo- rościau foremego. a) Oblicz pole powierzchi całkowitej tego czworościau. b) O ile eo objętość ość czworościau jest miejsza od objętości sześciau? Zadaie 6. 3 3p. p.) Pole powierzchi całkowitej ostrosłupa prawidłowego trójkątego jest rówe 3 15 + 3 ) cm 2, a stosuek długości krawędzi boczej do długości krawędzi podsta- wy wyosi 2:1.. Oblicz pole powierzchi boczej tego ostrosłupa. Zadaie 7. 6p p.) Przyprostokąta ta trójkąta prostokątego ma długość 6, a promień koła opisaego a tym trójkącie jest rówy 5. Oblicz objętość bryły powstałej z obrotu trójkąta dookoła przeciwprostokątej. O ile procet ta objętość jest miejsza od objętości bryły powstałej z obrotu koła opromi promieiu iu 5 wokół jego średicy? Zdie Zadaie 8. 3 p.) Oblicz pole przekroju kuli o promieiu R =8cm, jeśli miara kąta wyzaczoego przez średicę kuli iś średicę przekroju jest rówa 60. 167 Defiicje, które trzeba zać Rozwiązae przykłady
W podręcziku wprowadzoo astępujące wyróżieia: Treści auczaia wymagaia szczegółowe przed każdym rozdziałem podręczika zamieszczamy wykaz umiejętości zgody z ową podstawą programową. Defiicja defiicje. Twierdzeie twierdzeia. waże iformacje do zapamiętaia. treści rozszerzające podstawę programową. O ich realizacji decyduje auczyciel. wskazae użycie kalkulatora. zadaie zamkięte, które ma więcej iż jedą poprawą odpowiedź. C IEKAWOSTKA iteresujące wiadomości. Z ADANIA A GDYBY SPRAWDZIAN BYŁ TERAZ? zestaw zadań do każdego tematu. zestaw krótkich zadań sprawdzających opaowaie wiadomości z daego tematu. P ROJEKT BANK ZADAŃ z. 273 278»»» A GDYBY MATURA BYŁA TERAZ? BANK ZADAŃ praca długotermiowa. odsyłacz do Baku zadań. zadaia skostruowae a wzór zadań maturalych, oparte a materiale daego działu. zbiór dodatkowych zadań, umożliwiających utrwaleie zdobytych wiadomości i umiejętości. odesłaie do elektroiczego zeszytu ćwiczeń a wsipet.pl.
1 Graica i pochoda fukcji Treści auczaia wymagaia szczegółowe: obliczaie graic fukcji i graic jedostroych) z wykorzystaiem twierdzeń o działaiach a graicach i własości fukcji ciągłych obliczaie pochodych fukcji wymierych korzystaie z geometryczej i fizyczej iterpretacji pochodej korzystaie z własości pochodej do wyzaczaia przedziałów mootoiczości fukcji zajdowaie ekstremów fukcji wielomiaowych i wymierych stosowaie pochodych do rozwiązywaia zagadień optymalizacyjych
1. Graica i pochoda fukcji 1.1 Graica fukcji w pukcie Ciąg liczbowy a = 2 1 ma graicę rówą 2. Ozacza to, że wraz ze wzrostem wyrazy tego ciągu przybliżają się do liczby 2. Możemy zatem przypuszczać, że a 1000 2 zbar- dzo małym błędem bezwzględym. Rozważmy fukcję fx) = x2 1 x 1. Jej dziedzią jest zbiór R \ {1}. Zatem ie moża określić wartości tej fukcji dla argumetu x =1, ale moża to zrobić dla argumetów bliskich 1, p.: x = 0,98, x = 1,005, x = 3 0,99. Obliczeie dokładych wartości fukcji f dla podaych argumetów może być uciążliwe albo iewykoale. Możemy jedak pozać ich przybliżoą wartość, gdy obliczymy graicę fukcji f w pukcie x =1. PRZYKŁAD 1. Daa jest fukcja fx) = x2 1 x 1, gdzie x R \ {1}. Dla podaego ciągu x ) argumetów fukcji wyzaczmy ciąg fx ) ) wartości fukcji i obliczmy jego graicę. a) Ciąg x ) o wzorze ogólym x = + 1 b) Ciąg x ) o wzorze ogólym x = 1 c) Dowoly ciąg x ) zbieży do 1 oraz x = 1, N +. a) fx )=f + 1 ) lim fx ) = lim + + b) fx )=f 1 ) = f 1 + 1 ) 1 + 1 ) 2 1 = 2 + 1 ) =2 zbieży do liczby 1 oraz x = 1, N +. zbieży do liczby 1 oraz x = 1, N +. 1 + 1 1 = = f 1 1 ) 1 1 ) 2 1 = lim fx ) = lim 2 1 ) =2 + + c) fx )= x ) 2 1 x 1 lim + fx ) = lim + = x 1)x + 1) x 1 x + 1) = 2, gdyż lim 2 + 1 2 1 2 + 1 = 2 1 1 1 1 = x + 1, gdyż x = 1 + x =1 = = 1 2 + 1 ) =2+ 1 1 1 2 1 ) 1 =2 1 10
1.1. Graica fukcji w pukcie Zauważmy, że lim fx )=2iezależie od wyboru ciągu x ) + zbieżego do 1. Powiemy, że fukcja fx) = x2 1 ma w pukcie x =1 graicę rówą 2, co zapisujemy symboliczie x 1 jako x lim 2 1 =2. Możemy to iterpretować astępująco: dla argu- x 1 x 1 metów bliskich liczbie 1 wartości fukcji fx) = x2 1 x 1 są bliskie liczbie 2. W szczególości f1,005) 2, f 0,98 ) 2,... ĆWICZENIE 1. Daa jest fukcja fx) = x2 2x 3 x + 1 fx ), gdy ciąg x ) argumetów fukcji: lim + a) jest określoy wzorem ogólym x = 1, N +, b) to dowoly ciąg zbieży do 1 i x = 1, N +. Czy wiadomo, jaka jest wartość wyrażeia lim x 1 określoa dla x = 1. Naszkicuj jej wykres i oblicz x 2 2x 3? Co zauważasz a wykresie? x + 1 Mówieie o graicy fukcji w daym pukcie x 0 ma ses, gdy fukcja jest określoa w sąsiedztwie tego puktu, czyli w zbiorze x 0 e; x 0 ) x 0 ; x 0 + e), gdzie e > 0. Pukt x 0 może, ale ie musi ależeć do dziedziy fukcji. Defiicja Daa jest fukcja f określoa w sąsiedztwie puktu x 0. Liczba g jest graicą fukcji f w pukcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu argumetów x ), którego wyrazy spełiają waruki x = x 0 oraz lim x = x 0, + prawdziwa jest rówość lim fx )=g. + Symboliczie zapisujemy to jako lim fx) =g. x x 0 Zatem liczba g jest graicą fukcji f w pukcie x 0 wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego ciągu argumetów x ) zbieżego do x 0, którego wyrazy spełiają waruek x = x 0, ciąg wartości fx ) ) jest zbieży do g. 11