ZGINANIE PŁASKIE BELEK PROSTYCH

ZGINNIE PŁSKIE EEK PROSTYCH WYKRESY SIŁ POPRZECZNYCH I OENTÓW ZGINJĄCYCH Zginanie płaskie: wszystkie siły zewnętrzne czynne (obciążenia) i bierne (reakcje) leżą w jednej wspólnej płaszczyźnie przechodzącej przez oś belki Zginanie proste: kierunek wektora momentu zginającego pokrywa się z kierunkiem osi symetrii przekroju poprzecznego belki Do wyznaczania sił wewnętrznych wykorzystuje się metodę myślowych przekrojów Przy stałym przekroju belki granicami odcinków, w których należy dokonać myślowych przekrojów, są punkty przyłożenia sił zewnętrznych czynnych i biernych (reakcji podporowych) Na rysunku pokazano zastosowanie metody myślowych przekrojów, układ współrzędnych (oś Y skierowana jest w dół, oś X wzdłuż osi belki) oraz siły wewnętrzne w belce Zginanie płaskie belek prostychdoc

W odróżnieniu od rozciągania i skręcania, w zginaniu występują dwie siły wewnętrzne siła poprzeczna T w płaszczyźnie obciążenia XY oraz moment zginający, którego wektor jest prostopadły do płaszczyzny XY W obliczeniach wytrzymałościowych belek rzeczą podstawową jest wyznaczenie rozkładów T i aksymalne wartości tych sił wskazują na przekroje najbardziej obciążone, na przekroje niebezpieczne Umowne określenie znaków sił wewnętrznych pokazano na rysunku UOW: elka zginana wypukłością w dół dodatnie siły wewnętrzne elka zginana wypukłością w górę ujemne siły wewnętrzne Zginanie płaskie belek prostychdoc

RÓWNNI STTYKI Sposoby podparcia belek Układy sił: a) Płaski układ sił równoległych z dwoma równaniami statyki b) Płaski układ sił dowolnych z dwoma równaniami statyki (suma rzutów sił na oś poziomą nieaktywna) Dla wyznaczania reakcji podporowych można sformułować dwa układy równań równowagi, zawierające po dwa równania n () 0, i n n yi 0i 0, i n i 0, i 0 i P 0 dowolny punkt () i UWG PRKTYCZN: korzystnie jest stosować układ () Dla sprawdzania poprawności obliczeń można wykorzystać dodatkowo drugie równanie układu () Zginanie płaskie belek prostychdoc

Przykład Dla belki przedstawionej na rysunku wykonać wykresy sił poprzecznych i momentów zginających Zadanie jest statycznie wyznaczalne Dla = a + b reakcje podporowe (rys a): Pa 0 R Pa 0 R, Pb 0 R Pb 0 R Sprawdzenie prawidłowości obliczeń: Pb Pa Py 0 R R P Ponieważ belka ma stały przekrój poprzeczny, myślowe przekroje wyznacza się w przedziałach ograniczonych punktami przyłożenia obciążeń (rys b,c): Przedział : 0 x a Pb T R, R x ; 0, x x x0 xa Pab Przedział : a x a + b Pa Tx R P R, Pab x Rx Px a,x a,x a b 0 Podobnie jak dla prętów i wałów, aby sprawdzić poprawność obliczeń, należy sprawdzić prawy koniec belki (rys c) Przedział : 0 x ' b T x ' R Pa, x' R x ', x' 0 0, x' b Pab Wykresy T oraz pokazano na rys a nalizując je należy pamiętać, że na wykresach sił wewnętrznych muszą być widoczne wszystkie siły zewnętrzne Na wykresie T uskoki odpowiadają siłom P, R i R Na podporach i moment musi być równy zeru na podparciu przegubowym nie ma momentu zewnętrznego usi być także zachowana ciągłość wykresu na końcu I i początku II przedziału Zginanie płaskie belek prostychdoc

PRZYKŁD Dla belki obciążonej w sposób ciągły obciążeniem o stałej intensywności q wykonać wykresy sił poprzecznych i momentów zginających Obciążenie ciągłe q = const działające na odcinku można zastąpić siłą wypadkową q, przyłożoną w połowie długości odcinka (wypadkowa układu sił równoległych) Z sumy momentów względem podpór i otrzymuje się R = R = q/ (rys a) W belce wystarczy rozpatrzyć tylko jeden przedział 0 x, w którym T R qx; x x T x 0 R qx Rx ; 0, xo q, x 0 T x R q q, Do wykonania wykresu momentów potrzebny jest trzeci punkt, który można otrzymać, obliczając ekstremum funkcji opisującej moment zginający: d R R qx Tx 0 xm, dx q max xxm R q q 8 Ekstremum momentu występuje w przekroju, w którym siła poprzeczna jest równa zeru (por zależności różniczkowe pomiędzy obciążeniem a siłami wewnętrznymi) Sprawdzenie poprawności obliczeń można przeprowadzić rozpatrując prawy koniec belki (rys b) Zginanie płaskie belek prostychdoc 5

PRZYKŁD Dla belki obciążonej momentem wykonać wykresy sił poprzecznych i momentów zginających Z równań statyki oblicza się reakcje podporowe (rys a): 0, R 0 R, 0, R 0 R Sprawdzenie: R R = 0 W przedziale (0 x a) siły wewnętrzne wynoszą (rys b): x a Tx R,x Rx,x 0 0, x a, natomiast w przedziale (a x ): b Tx R,x Rx, x a,x 0 Wykresy sił wewnętrznych pokazano na rys a Zginanie płaskie belek prostychdoc 6

PRZYKŁD Dla belki przedstawionej na rysunku wykonać wykresy sił poprzecznych oraz momentów zginających Przyjąć dane: P = 00 N, q = 500 N/m, = 000 Nm, = m Wykonać dodatkowo wykres momentów, korzystając z zasady superpozycji Równania statyki (rys a): 0, 0, R R P q 0 R P q 0 R q P q P 50N, 5050N Sprawdzenie: R + R = P + q = 700 N Siły wewnętrzne w trzech myślowych przekrojach (rys b): Przedział : 0 x / P Tx P 00 N, x Px; x 0 0, x / 00 Nm Przedział : / x / T Tx P R q x, 00 5050 850 N, T 00 5050 500 50 x / x / x q x Px R x 00 00 Nm, x /, N, Zginanie płaskie belek prostychdoc 7

x / 500 00 5050 70 000 000 000 Nm Ponieważ w przedziale II siła poprzeczna zmieniła swój znak, można wnioskować, że w przekroju, w którym T = 0 moment osiągnie w tym przedziale wartość ekstremalną dx R P P R q x Tx 0 xm,567 m, dx q 5 Nm x max x,567 Przekrój, w którym moment jest równy zeru obliczyć można rozwiązując trójmian kwadratowy i wybierając pierwiastek znajdujący się w granicach drugiego przedziału Przekrój : q x x Px R x 0 x0 / x T x P R R Px R x R 000 N m, x / x q 0,,7m x qx, 000 N m x Siły wewnętrzne w przedziale III można również określić w prostszy sposób, przyjmując granice przedziału 0 x / (patrz rys b) Sposób ten umożliwia również sprawdzenie poprawności obliczeń Wykresy sił wewnętrznych przedstawiono na rys a nalizując te wykresy należy po raz kolejny zwrócić uwagę, że wszystkie siły zewnętrzne muszą być na nim widoczne W przekrojach, w których nie ma sił zewnętrznych (czynnych i biernych) obowiązuje ciągłość odpowiednich wykresów Wykres momentów zginających w bardzo prosty sposób można otrzymać stosując zasadę superpozycji Na rysunku c pokazano sposób rozdzielenia obciążenia na trzy proste przypadki oraz sumowania odpowiadających tym przypadkom wykresów momentów zginających Przedstawiony sposób otrzymywania wykresów ma duże znaczenie praktyczne Zginanie płaskie belek prostychdoc 8

NPRĘŻENI NORNE W ZGINNEJ ECE oment zginający naprężenia normalne Siła poprzeczna naprężenia styczne (ze względów praktycznych pomijane) Założenia: hipoteza płaskich przekrojów Z doświadczenia: W zginanej belce istnieje warstwa obojętna, prostopadła do płaszczyzny działania momentu zginającego, w której włókna nie ulegają odkształceniom naprężenia = 0 Naprężenia normalne w warstwie odległej o y od warstwy obojętnej: y JZ J Z osiowy moment bezwładności przekroju porzecznego belki Naprężenia normalne są liniową funkcją odległości od osi obojętnej aksymalne wartości naprężeń normalnych występują w włóknach skrajnych, najbardziej oddalonych od osi obojętnej Rozkład naprężeń normalnych pokazano na rysunku Naprężenia normalne w zginanej belce o przekroju prostokątnym Naprężenia normalne w zginanej belce o przekroju trapezowym Zginanie płaskie belek prostychdoc 9

Dla belki o przekroju trapezowym: po wyznaczeniu położenia środka ciężkości przekroju znane są odległości skrajnych włókien od osi obojętnej Na rysunku przyjęto, że odległości skrajnych włókien h > h, stąd > Naprężenia te wynoszą: h, J Z J aksymalne naprężenia normalne przy zginaniu: Z h max WZ W z wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie, zdefiniowany jako iloraz momentu bezwładności oraz maksymalnej odległości skrajnego włókna od osi obojętnej W J h Z max WRUNEK WYTRZYŁOŚCIOWY dla zginanej belki o równej wytrzymałości na rozciąganie i na ściskanie ma postać max W Z dop Z warunku wytrzymałościowego można wyznaczyć: obciążenia dopuszczalne dla zadanego przekroju belki, wymaganą wielkość przekroju dla zadanego obciążenia Zginanie płaskie belek prostychdoc 0

Przykłady przekrojów belek Dla przekroju prostokątnego (rys a) moment bezwładności względem osi Z (oś obojętna) oraz wskaźnik wytrzymałości przekroju na zginanie wynoszą: J Z bh, W Dla przekroju okrągłego (rys b) J Z W 0 d 6 Z r, W JZ h Z bh 6 JZ D D r O wytrzymałości belki decyduje moment bezwładności przekroju względem osi obojętnej Z wytrzymałościowego punktu widzenia najbardziej korzystne są te przekroje, których większa część pola powierzchni położona jest możliwie daleko od osi obojętnej (rys c) W praktyce przekrojami przeznaczonymi do pracy w warunkach zginania są przekroje dwuteowe (na rys d pokazano model takiego przekroju) Przekroje dwuteowe (również teowe, ceowniki, kątowniki itp) są przekrojami znormalizowanymi (patrz tabele wyrobów hutniczych) Warto zwrócić uwagę, że niewłaściwe usytuowanie dwuteownika znacznie zmniejsza zdolność konstrukcji do przenoszenia obciążeń, np obrócenie dwuteownika z rys d o kąt 90 spowoduje znaczące obniżenie wytrzymałości rzędu kilkudziesięciu procent Zginanie płaskie belek prostychdoc

a b h d=0,8d PRZYKŁD Dla belki wspornikowej obliczyć wymiary przekroju poprzecznego Przyjąć naprężenia dopuszczalne dop = 0 Pa P = 0 kn Z wykresu momentów zginających widać, że maksymalny moment w utwierdzeniu wynosi max = P = 8 knm Warunek wytrzymałościowy ma postać: max dop W P = 0,8 m d Z warunku tego wyznacza się wartość liczbowa wskaźnika wytrzymałości na zginanie: W max dop 8 0 0 57, cm Dla belki o przekroju pierścieniowym wskaźnik ten wynosi: W J, 0,5d J d (0,8d) 0,0898 d, W 0,058 d Z zależności 0,058 d = 57, otrzymuje się: d = 9,95 cm 6 PRZYKŁD Dla belki jednoprzęsłowej obciążonej siłą skupioną P określić wymiary typów przekrojów poprzecznych pokazanych na rysunku Wybrać przekrój najlepszy z ekonomicznego punktu widzenia t R = 0,5 P P = 50 kn R = 0,5 P = m d a b Do obliczeń przyjąć dop = 50 Pa P Z wykresu momentów zginających określić można maksymalna wartość momentu zginającego max = P/ = 50/ = 7,5 knm Z warunku wytrzymałościowego wyznacza się wymaganą wartość wskaźnika wytrzymałości na zginanie: max max 7,5, W 0 50cm dop W 50 Dla porównania przekrojów wykorzystane zostaną ich pola powierzchni Dla poszczególnych przekrojów otrzymano następujące wartości dop Zginanie płaskie belek prostychdoc

Przekrój kołowy d W, d W 50,66 cm, F d 6,6 cm Przekrój kwadratowy a W, a 6 Przekrój prostokątny b(b) b W, 6 6 W b W 6 50,5 cm, F 50 7,cm, a F,cm b 0cm Przekrój dwuteowy: z tabel wyrobów hutniczych (Polskie Normy) znajduje się dwuteownik I0, posiadający wskaźnik W = 78 cm (h = 0 mm, t = 98 mm) Pole powierzchni tego dwuteownika wynosi F = 9,6 cm Z porównania pól powierzchni w odniesieniu do dwuteownika F : F : F : F =,70 :, :,6 :,00 wynika, że przekrój dwuteowy jest najlżejszy (to porównanie ma więc aspekt ekonomiczny) W zginanej belce występują naprężenia normalne oraz naprężenia styczne obliczane ze wzoru max WZ T S J b dop max max (S dop max max moment statyczny przekroju) Dla Z dop belki o przekroju dwuteowym na rysunku pokazano rozkłady naprężeń W punktach i sprawdzane są warunki na max i max Szczególnej uwagi wymaga punkt, w którym występują razem duże wartości i - tutaj znajduje zastosowanie hipoteza Hubera: red Rozkłady naprężeń normalnych i stycznych w dwuteowniku Z praktyki wiadomo, że naprężenia styczne mają znacznie mniejszy wpływ niż naprężenia normalne, jednakże sprawdzenie warunku na maksymalne naprężenia styczne max, a przede wszystkim sprawdzenie punktów, w których działają łącznie naprężenia normalne i styczne jest konieczne Zginanie płaskie belek prostychdoc

ODKSZTŁCENI EEK Odkształceniami belki są: ugięcie belki y, zdefiniowane jako pionowe przemieszczenie środka ciężkości przekroju poprzecznego belki, kąt obrotu przekroju dy tg, zdefiniowany jako kąt obrotu dx normalnej do przekroju poprzecznego belki lub ze względów praktycznych prostopadłej do normalnej Odkształcenia zginanej belki Obliczanie odkształceń belek możliwe jest za pomocą metody całkowania tzw równania różniczkowego linii ugięcia belki etoda ta pozwala na wyznaczanie ugięcia oraz kata obrotu w dowolnym przekroju x W praktyce inżynierskiej stosowane są również uproszczone metody wyznaczania odkształceń belek Jedną z metod jest metoda superpozycji etoda superpozycji obliczania odkształceń belki etoda superpozycji pozwala wyznaczać odkształcenia tylko w wybranych punktach (np poparcia, końce belki) Dla szybkiego stosowania metody należy korzystać z gotowych rozwiązań dla podstawowych typów prostych belek (patrz tabela) Zginanie płaskie belek prostychdoc

Przemieszczenia prostych belek elka Kąt obrotu Przemieszczenie P 6EJ P 6EJ q EJ q EJ 6EJ EJ y y y max P 8EJ dla x = / max y 5 8 dla x = / x max 9 q EJ 6EJ EJ P P y EJ EJ q q y 6EJ 8EJ EJ y EJ Zginanie płaskie belek prostychdoc 5

y b y PRZYKŁD 78 Dla belki przedstawionej na rysunku obliczyć ugięcie i kąt obrotu punktu C Przyjąć: P = 0 kn, q =,5 kn/m, EJ = 50 Nm by zastosować metodę superpozycji, należy rozdzielić obciążenia na siłę skupioną P oraz obciążenia ciągłe q Ponieważ q działa na części belki znajdującej się poza podporami, należy uwzględnić moment oddziałujący na część belki R a = 5 m P = 0 kn a = 5 m P R q = 5 kn/m b = m q a a = qb / y a (qb) b q b elka obciążona siłą P: P Pa 0 5 0 6EJ EJ 50 0,005 rad 0,9, 0,005 0 0 mm y a tg a elka obciążona rozłożoną równomiernie siłą q a Odkształcenie przęsła : qa a qa,5 5 a 0 0,0008 rad 0,, EJ EJ EJ 50 ya a a 0,0008 0 8, mm b Odkształcenie wspornika C: qa,5 yb 0 6 mm, 8EJ 8 50 qa,5 b 0 0,0005 rad 0,0 6EJ 6 50 Całkowite ugięcie końca C: yc y ya yb 0,0 8, 6, mm Kąt obrotu przekroju belki na podporze : a 0,9 0, 0,7 Kąt obrotu przekroju belki na końcu C: 0,7 0,0 0,7 C a b b Zginanie płaskie belek prostychdoc 6

EKI STTYCZNIE NIEWYZNCZNE W belce statycznie niewyznaczalnej liczba niewiadomych reakcji podporowych jest większa od liczby równań statyki Różnica pomiędzy tymi wielkościami określa stopień statycznej niewyznaczalności zadania Rysunek pokazuje, jak belka statyczne wyznaczalna staje się belką statycznie niewyznaczalną a) R P R C b) R P RC R C elka statycznie wyznaczalna i statycznie niewyznaczalna elka pokazana na rysunku a jest belką statycznie wyznaczalną (płaski układ sił równoległych) Z dwóch równań statyki wyznacza się reakcje R i R Ze względów konstrukcyjnych może się okazać, że ugięcie belki w przekroju C przekracza wartości dopuszczalne i konieczne jest podparcie belki w tym punkcie (rys b) Skutkiem dodatkowego podparcia jest pojawienie się trzeciej reakcji R C i belka staje się jednokrotnie statycznie niewyznaczalna Zginanie płaskie belek prostychdoc 7

Przykład Dla belki pokazanej na rysunku wyznaczyć reakcje, korzystając z metody superpozycji Równania równowagi: q () 0 R 0, q () 0 R 0 Zdanie jest jednokrotnie statycznie wyznaczalne należy ułożyć jedno równanie geometryczne Zadanie rozwiązano dwoma sposobami Równanie geometryczne y = 0 (rys a) Po uwolnieniu belki z podparcia należy obliczyć jej ugięcie wywołane obciążeniem q oraz siłą R y q, 8EJ y R, EJ y y q R R 8EJ EJ q 8 Równanie geometryczne = 0 (rys b) Po uwolnieniu belki z utwierdzenia, należy porównać kąty obrotu na podporze : q, EJ, EJ q EJ EJ q 8 Z układu dwóch równań statyki oraz jednego z przedstawionych wyżej równań geometrycznych otrzymuje się: 5 R q, R q, q 8 8 8 Zginanie płaskie belek prostychdoc 8