EGZMIN MTURLNY W ROKU SZKOLNYM 01/014 MTEMTYK POZIOM PODSTWOWY ROZWIĄZNI ZDŃ I SCHEMT PUNKTOWNI MJ 014
Zadanie 1. (0 1) Obszar standardów Opis wymagań Interpretacja geometryczna układu dwóch równań liniowych z dwiema niewiadomymi (II.8.d) Poprawna odpowiedź (1 pkt) Wersja Wersja arkusza arkusza C Zadanie. (0 1) Zadanie. (0 1) Zadanie 4. (0 1) Zadanie 5. (0 1) Stosowanie pojęcia procentu w obliczeniach (II.1.d) C Posługiwanie się wzorami skróconego mnożenia (II..a) C Znajomość definicji logarytmu (II.1.h) D C Rozwiązywanie prostych równań wymiernych (II..e) C Zadanie 6. (0 1) interpretacji współczynników we wzorze funkcji liniowej (II.4.g) D Zadanie 7. (0 1) Rozwiązywanie zadań prowadzących do badania funkcji kwadratowej (II.4.l) D
Zadanie 8. (0 1) adanie równoległości prostych na podstawie ich równań kierunkowych (II.8.c) D Zadanie 9. (0 1) Użycie i tworzenie strategii pojęcia wartości bezwzględnej (IV.1.f) D Zadanie 10. (0 1) i tworzenie informacji Wyznaczanie miejsca zerowego funkcji kwadratowej (I.4.j) D Zadanie 11. (0 1) Wyznaczanie wyrazów ciągu określonego wzorem ogólnym (II.5.a) D Zadanie 1. (0 1) Wykorzystuje własności figur podobnych w zadaniach (II.7.b) C Zadanie 1. (0 1) adanie, czy dany ciąg jest geometryczny (II.5.b) D Zadanie 14. (0 1) i tworzenie informacji Stosowanie prostych związków między funkcjami trygonometrycznymi kąta ostrego (I.6.c) Zadanie 15. (0 1) Posługiwanie się równaniem okręgu ( x a) ( y b) r (II.8.g) C
4 Zadanie 16. (0 1) Znajdowanie związków miarowych w figurach płaskich, w tym z zastosowaniem trygonometrii (II.7.c) C Zadanie 17. (0 1) Użycie i tworzenie strategii Znajdowanie związków miarowych w figurach płaskich (IV.7.c) D Zadanie 18. (0 1) Obliczanie wartości liczbowej wyrażenia wymiernego dla danej wartości zmiennej (II..e) Zadanie 19. (0 1) Modelowanie matematyczne Wyznaczanie związków miarowych w wielościanach (III.9.b) D Zadanie 0. (0 1) Modelowanie matematyczne Wyznaczanie związków miarowych w bryłach obrotowych (III.9.b) C Zadanie 1. (0 1) Obliczanie potęgi o wykładniku wymiernym oraz stosowanie praw działań na potęgach o wykładnikach wymiernych (II.1.g) C Zadanie. (0 1) Obliczanie potęgi o wykładniku wymiernym (II.1.g)
5 Zadanie. (0 1) Rozumowanie i argumentacja sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (V.10.c) D Zadanie 4. (0 1) Użycie i tworzenie strategii Zliczanie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych (IV.10.b) C C Zadanie 5. (0 1) Modelowanie matematyczne Obliczanie mediany danych (III..e) D
6 Schemat oceniania zadań otwartych Zadanie 6. (0 ) Wykresem funkcji kwadratowej punkt W 4,0. Oblicz wartości współczynników b i c. f x x bx c jest parabola, której wierzchołkiem jest Użycie i tworzenie strategii Wyznaczanie wzoru funkcji kwadratowej (IV.4.i) Rozwiązanie (I sposób) b Ze wzorów xw, a b 4 i 0 4 Stąd y w 4a na współrzędne wierzchołka paraboli otrzymujemy:, więc b 16 i 0. 16 4c 0, czyli c. Rozwiązanie (II sposób) Wzór funkcji f doprowadzamy do postaci kanonicznej b b b b b b f x x x c x x c x c. 4 16 8 4 8 Wierzchołek wykresu funkcji f ma zatem współrzędne równań Stąd b 16 i b 16 c. 8 8 b 4 i 4 b c 0. 8 b b, c. Otrzymujemy układ 4 8 Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... 1 pkt gdy : obliczy współczynnik b: b 16 i na tym zakończy lub dalej popełnia błędy b b zapisze układ dwóch równań z niewiadomymi b i c, np.: 4 i c 0, 4 8 i nie rozwiąże go lub rozwiąże go z błędem. Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy współczynniki b i c: b 16, c. Rozwiązanie (III sposób) Ponieważ x 4 oraz y 0, więc parabola ma z osią Ox dokładnie jeden punkt wspólny, w w zatem wzór funkcji można zapisać w postaci kanonicznej 4 f x x 16x, zatem b 16 i c. Stąd f x x.
7 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... 1 pkt gdy zapisze, że f x x 4. Zdający otrzymuje... pkt gdy obliczy współczynniki b i c: b 16, c. Zadanie 7. (0 ) Rozwiąż równanie 9x 18x 4x 8 0. i tworzenie informacji Rozwiązywanie równań wielomianowych metodą rozkładu na czynniki (I..d) Rozwiązanie (I sposób metoda grupowania) Przedstawiamy lewą stronę równania w postaci iloczynu, stosując metodę grupowania wyrazów x x x x x 9 4 0 9 4 0. Zatem x lub lub x x x x lub x. 9 4 9 4 0, stąd Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... 1 pkt gdy zapisze lewą stronę równania w postaci iloczynu, np.: x 9x 4 poprzestanie lub dalej popełni błąd., i na tym Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania: x lub x lub x. Rozwiązanie (II sposób metoda dzielenia) Stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu 9x 18x 4x 8. Dzielimy ten wielomian przez dwumian x i otrzymujemy iloraz (9x 4). Obliczamy pierwiastki trójmianu (9x 4) : x 1 oraz x. Zatem x lub x lub x. Stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu 9x 18x 4x 8. Dzielimy ten wielomian przez dwumian x i otrzymujemy iloraz (9x 1x 1). Obliczamy wyróżnik trójmianu : (9x 1x 1) 1 49 1 576. Stąd pierwiastkami
8 1 4 1 4 trójmianu są liczby x1 oraz x. Zatem x lub 18 18 lub x. x Stwierdzamy, że liczba jest pierwiastkiem wielomianu 9x 18x 4x 8. Dzielimy ten wielomian przez dwumian x i otrzymujemy iloraz (9x 4x 1). Obliczamy wyróżnik trójmianu: 4 491 144. Stąd pierwiastkami trójmianu są liczby 4 1 4 1 x1 oraz x. Zatem x lub x lub x. 18 18 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... 1 pkt gdy: podzieli wielomian 9x 18x 4x 8 przez dwumian x, otrzyma iloraz (9x 4) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd podzieli wielomian 9x 18x 4x 8 przez dwumian x, otrzyma iloraz (9x 4x 1) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd podzieli wielomian 9x 18x 4x 8 przez dwumian x, otrzyma iloraz (9x 1x 1) i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd podzieli wielomian 8x 1x x przez trójmian kwadratowy, np. (9x 4), i na tym poprzestanie lub dalej popełni błąd. Zdający otrzymuje... pkt gdy wyznaczy bezbłędnie wszystkie rozwiązania równania:,,. Uwaga Jeżeli w zapisie rozwiązania występuje jedna usterka, to za takie rozwiązanie zdający może otrzymać co najwyżej 1 punkt.
Zadanie 8. (0 ) Udowodnij, że każda liczba całkowita k, która przy dzieleniu przez 7 daje resztę, ma tę własność, że reszta z dzielenia liczby k przez 7 jest równa 5. 9 Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu algebraicznego z zastosowaniem wzorów skróconego mnożenia (V..a) I sposób rozwiązania Ponieważ liczba całkowita k przy dzieleniu przez 7 daje resztę, więc k 7m, gdzie m jest liczbą całkowitą. Wtedy 7 49 8 4 49 8 1 7 7 4 1 5 k m m m m m m m. Dwa pierwsze składniki tej sumy są podzielne przez 7, natomiast 1 7 5. To oznacza, że reszta z dzielenia liczby k przez 7 jest równa 5. To kończy dowód. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... 1 pkt gdy zapisze wyrażenie w postaci: 7m i na tym poprzestanie lub dalej popełnia błędy, które nie przekreślają poprawności rozumowania. Zdający otrzymuje... pkt gdy uzasadni tezę, np. zapisze wyrażenie w postaci 7 7m 4m 1 5. II sposób rozwiązania Ponieważ liczba całkowita k przy dzieleniu przez 7 daje resztę, więc mod7 Stąd wynika, że k 4mod7. Ponadto mod7 k 4mod7 1mod7 5. To kończy dowód. k., więc z własności kongruencji Schemat oceniania Zdający otrzymuje... 1 pkt k 4 mod7. gdy zapisze że Uwaga Zdający nie musi używać formalnego zapisu relacji kongruencji. Wystarczy wniosek: jeśli liczba k przy dzieleniu przez 7 daje resztę, to jej kwadrat przy dzieleniu przez 7 daje resztę 4. Zdający otrzymuje... pkt k 4 mod7 1 mod7 5. gdy zapisze
10 Zadanie 9. (0 ) Na rysunku przedstawiono fragment wykresu funkcji f, który powstał w wyniku przesunięcia 1 wykresu funkcji określonej wzorem y dla każdej liczby rzeczywistej x 0. x y 4 1-4 - - -1 0 1 4 5 6 7 x -1 - - -4 a) Odczytaj z wykresu i zapisz zbiór tych wszystkich argumentów, dla których wartości funkcji f są większe od 0. g( x) f x. b) Podaj miejsce zerowe funkcji g określonej wzorem Odczytywanie z wykresu funkcji jej własności; szkicowanie na podstawie wykresu funkcji y f ( x) wykresów funkcji y f ( x a), y f ( x a), y f ( x) a, y f ( x) a (IV.4.b,d) Rozwiązanie a) Zapisujemy zbiór wszystkich argumentów, dla których ( ) 0,. f x : b) Z rysunku wynika, że miejscem zerowym funkcji f jest liczba. Zatem miejscem zerowym funkcji g jest liczba 6, ponieważ wykres funkcji g otrzymujemy przesuwając wykres funkcji f o jednostki w prawo. Schemat oceniania Zdający otrzymuje... 1 pkt gdy: zapisze zbiór wszystkich argumentów, dla których ( ) 0, lub x i na f x : tym poprzestanie lub błędnie zapisze miejsce zerowe funkcji g poprawnie zapisze miejsce zerowe funkcji g: x 6 i na tym poprzestanie lub błędnie zapisze zbiór argumentów, dla których f( x) 0. Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze zbiór wszystkich argumentów, dla których ( ) 0, i zapisze miejsce zerowe funkcji g: x 6. f x :
11 Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki W rozwiązaniu podpunktu a) akceptujemy zapisy:,,, x. Zadanie 0. (0 ) Ze zbioru liczb 1,,, 4, 5, 6, 7, 8 losujemy dwa razy po jednej liczbie ze zwracaniem. Oblicz prawdopodobieństwo zdarzenia, polegającego na wylosowaniu liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6. Modelowanie matematyczne Zliczanie obiektów w prostych sytuacjach kombinatorycznych; stosowanie twierdzenia znanego jako klasyczna definicja prawdopodobieństwa do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń (III.10.b,d) Rozwiązanie I sposób metoda klasyczna Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary a, b liczb z podanego zbioru. Jest to model klasyczny. Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: 88 64. Wypisujemy zdarzenia elementarne sprzyjające zajściu zdarzenia, polegającego na wylosowaniu dwóch liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6 i zliczamy je: 5, 1, 6,, 7, 1, 7,, 8,, 8, 4 Zatem 6. Zapisujemy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia : 6 P ( ). 64 Rozwiązanie II sposób metoda tabeli Zdarzeniami elementarnymi są wszystkie pary ab, liczb z podanego zbioru. Jest to model klasyczny. udujemy tabelę ilustrującą sytuację opisaną w zadaniu.. 1. 1 4 5 6 7 8 1 4 5 X 6 X 7 X X 8 X X
1 Obliczamy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: 88 64. Zliczamy, oznaczone krzyżykami, zdarzenia elementarne sprzyjające zajściu zdarzenia, polegającego na wylosowaniu dwóch liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6: 6. Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia : 6 P ( ). 64 Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... 1 pkt gdy obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych: 88 64 obliczy liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych sprzyjających zdarzeniu, polegającemu na wylosowaniu dwóch liczb, z których pierwsza jest większa od drugiej o 4 lub 6: 6 i na tym zakończy lub dalej popełni błędy. Zdający otrzymuje... pkt gdy zapisze, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia jest równe P ( ). III sposób rozwiązania metoda drzewka Rysujemy drzewo, z uwzględnieniem wszystkich gałęzi, które prowadzą do sytuacji sprzyjającej zdarzeniu. 4 1 1 1 8 8 8 8 1 1,,, 4 5 6 8 7 1 7 1 7 6 8 8 8 8 8 8 8 nie i nie 1 1 nie 1 nie lub 1 8 6 8 nie i nie 4 Obliczamy prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia : 1 1 1 1 1 1 6 P ( ). 8 8 8 8 8 8 8 8 64 lub 4 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Zdający otrzymuje... 1 pkt gdy narysuje drzewko uwzględniające wszystkie gałęzie, prowadzące do sytuacji sprzyjających zdarzeniu i przynajmniej przy jednej gałęzi zapisze poprawne prawdopodobieństwo. Zdający otrzymuje... pkt 6 gdy zapisze, że prawdopodobieństwo zajścia zdarzenia jest równe P ( ). 64
Uwagi 1. kceptujemy przybliżenia dziesiętne otrzymanego wyniku, o ile są wykonane poprawnie oraz wynik zapisany w postaci 9,75%.. Jeżeli otrzymany wynik końcowy jest liczbą większą od 1, to zdający otrzymuje 0 punktów za całe rozwiązanie.. Jeżeli zdający stosuje różne modele probabilistyczne do obliczenia i, to otrzymuje 0 punktów. 4. kceptujemy sytuację, gdy zdający zapisuje liczby z losowania w odwrotnej kolejności konsekwentnie w całym swoim rozwiązaniu. Wtedy za całe rozwiązanie może otrzymać punkty. 6 5. Jeżeli zdający zapisze tylko odpowiedź P ( ), to otrzymuje punkty, jeśli 64 natomiast zapisze tylko odpowiedź P ( ), to otrzymuje 1 punkt. 1
14 Zadanie 1. (0 ) Środek S okręgu opisanego na trójkącie równoramiennym C, o ramionach C i C, leży wewnątrz tego trójkąta (zobacz rysunek). C S Wykaż, że miara kąta wypukłego S jest cztery razy większa od miary kąta wypukłego SC. Rozumowanie i argumentacja Przeprowadzenie dowodu geometrycznego, z wykorzystaniem związków miarowych w figurach płaskich (V.7.c) Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku i poprowadźmy promień SC okręgu. C S Z założenia wynika, że kąt wpisany C oraz kąt środkowy S leżą po tej samej stronie cięciwy. Z twierdzenia o kącie środkowym i wpisanym opartych na tym samym łuku wynika, że 1 C. Trójkąt C jest równoramienny (ramionami są C i C), więc prosta CS 1 1 1 1 zawiera dwusieczną kąta C, zatem SC C. Odcinki SC i S 4 to promienie okręgu, więc trójkąt CS jest równoramienny. Stąd wynika, że 1 SC SC, co kończy dowód. 4
Schemat oceniania Zdający otrzymuje... 1 pkt gdy wykorzysta twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym oraz wykorzysta równość kątów SC i SC lub równość kątów SC i SC i nie uzasadni tezy wykorzysta twierdzenie o kącie środkowym i wpisanym oraz uzasadni równość kątów SC i SC, korzystając z równoramienności trójkątów C i S, i nie uzasadni tezy. Zdający otrzymuje... pkt gdy uzasadni, że kąt S jest cztery razy większy od kąta SC. Uwaga Jeżeli zdający w przedstawionym rozumowaniu rozważy wyłącznie szczególny przypadek, np. trójkąt równoboczny, to otrzymuje 0 punktów. Zadanie. (0 4) Pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe 198. Stosunki długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z tego samego wierzchołka prostopadłościanu to 1 : :. Oblicz długość przekątnej tego prostopadłościanu. 15 Użycie i tworzenie strategii Wyznaczanie związków miarowych w wielościanach (IV.9.b) Rozwiązanie Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku. Pole P c powierzchni całkowitej prostopadłościanu jest równe Pc xy xz yz. Możemy przyjąć, że x : y : z 1: :. Wtedy y x oraz z x. Zatem c 4 6 1 P x x x x x x x x x x x. Ponieważ Pc 198, więc otrzymujemy równanie x 198. Stąd x 9, więc x. Z twierdzenia Pitagorasa zastosowanego dla trójkątów D i DH otrzymujemy p x y oraz d p z.
16 Stąd Zatem d x y z. d x y z x x x 14x x 14 14. Schemat oceniania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... 1 pkt Zdający zapisze długości krawędzi prostopadłościanu wychodzących z jednego wierzchołka w zależności od jednej zmiennej, np.: x, x, x zapisze długość przekątnej prostopadłościanu w zależności od długości jego krawędzi: d x y z. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze pole powierzchni całkowitej prostopadłościanu jako funkcję jednej zmiennej, P x x x x x x x np.: c zapisze długość przekątnej prostopadłościanu jako funkcję jednej zmiennej, np.: d x x x. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający obliczy długość jednej z krawędzi prostopadłościanu, np.: x. Rozwiązanie pełne... 4 pkt Zdający obliczy długość przekątnej prostopadłościanu: d 14. Uwagi 1. Jeżeli zdający odgadnie długość jednej z krawędzi prostopadłościanu i obliczy długość przekątnej tego prostopadłościanu, to otrzymuje maksymalnie punkty.. Jeżeli zdający błędnie uzależni długości krawędzi od jednej zmiennej, przyjmując: x, 1 x, 1 x, i konsekwentnie oblicza długość przekątnej tego prostopadłościanu, to otrzymuje maksymalnie punkty. Inne, niepoprawne interpretacje stosunków długości krawędzi, stanowią podstawę do przyznania za rozwiązanie 0 punktów.
Zadanie. (0 5) Turysta zwiedzał zamek stojący na wzgórzu. Droga łącząca parking z zamkiem ma długość,1 km. Łączny czas wędrówki turysty z parkingu do zamku i z powrotem, nie licząc czasu poświęconego na zwiedzanie, był równy 1 godzinę i 4 minuty. Oblicz, z jaką średnią prędkością turysta wchodził na wzgórze, jeżeli prędkość ta była o 1 km/h mniejsza od średniej prędkości, z jaką schodził ze wzgórza. Modelowanie matematyczne Rozwiązywanie zadań umieszczonych w kontekście praktycznym prowadzących do równań kwadratowych (III..b) Rozwiązanie (I sposób) Niech v oznacza średnią prędkość, wyrażoną w km/h, z jaką turysta schodził ze wzgórza, a t czas wyrażony w godzinach, w jakim zszedł ze wzgórza. Wówczas zależność między tą prędkością, czasem i przebytą drogą możemy zapisać w postaci vt,1. Średnia prędkość, z jaką turysta wchodził na wzgórze, jest zatem równa v 1, natomiast czas, 4 1 w jakim wszedł, jest równy 1 t 1 t. Możemy więc zapisać drugie równanie 60 15 16 v1 t,1. 15 Stąd otrzymujemy 16 16 1 v vt t. 15 15 10 1 Po podstawieniu vt otrzymujemy 10 16 1 16 1 v t, 15 10 15 10 79 16 t v. 15 15 79 16 1 Podstawiając t v w równaniu vt, otrzymujemy równanie kwadratowe 15 15 10 z niewiadomą v 79 16 1 v v, 15 15 10 16 79 1 v v 0, 15 15 10 v 158v 6 0, 158 46 16900, 16900 10 158 10 8 7 158 10 88 9 v1, v. 16 Pierwsze z rozwiązań równania nie spełnia warunków zadania, gdyż wtedy prędkość, z jaką turysta wchodziłby na wzgórze, byłaby ujemna, a to niemożliwe. Drugie rozwiązanie spełnia warunki zadania, gdyż wtedy v 1 4,5 1,5. Odpowiedź: Średnia prędkość, z jaka turysta wchodził na wzgórze jest równa,5 km/h. 17
18 Rozwiązanie (II sposób) Niech v oznacza średnią prędkość, wyrażoną w km/h, z jaką turysta schodził ze wzgórza. Wówczas czas, w jakim zszedł ze wzgórza, wyrażony w godzinach jest równy,1 v. Ponieważ 4 1 16 łączny czas wejścia i zejścia był równy 1 godzinę i 4 minuty, czyli 1 1 godziny, 60 15 15 16,1 więc czas, w jakim wchodził, był równy godziny. Stąd z kolei wynika, że średnia 15 v,1 prędkość, z jaką wchodził, była równa km/h. Otrzymujemy w ten sposób równanie 16,1 15 v z niewiadomą v,1 v 1, 16,1 15 v 1 0v v 1, 10 v 6 6v v 1, v 6 6v v 1 v 6, 6v v 95v 6, v 158v 6 0, 158 46 16900, 16900 10 158 10 8 7 158 10 88 9 v1, v. 16 Pierwsze z rozwiązań równania nie spełnia warunków zadania, gdyż wtedy prędkość, z jaką turysta wchodziłby na wzgórze, byłaby ujemna. Drugie rozwiązanie spełnia warunki zadania, gdyż wtedy v 1 4,5 1,5. Odpowiedź: Średnia prędkość, z jaką turysta wchodził na wzgórze jest równa,5 km/h. Schemat oceniania I i II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... 1 pkt Zdający oznaczy prędkość średnią, wyrażoną w km/h, z jaką turysta schodził ze wzgórza oraz czas wyrażony w godzinach, w jakim schodził ze wzgórza, i zapisze zależność między średnią prędkością i czasem, w jakim turysta wchodził na wzgórze, np.: v średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza t czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza 16 v1 t,1 15
19 oznaczy prędkość średnią, wyrażoną w km/h, z jaką turysta wchodził na wzgórze oraz czas wyrażony w godzinach, w jakim wchodził na wzgórze, i zapisze zależność między średnią prędkością i czasem, w jakim turysta schodził ze wzgórza, np.: v średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze t czas (w h), w jakim turysta wchodził na wzgórze 16 v1 t,1 15 Uwaga Zdający nie otrzymuje punktu, jeśli zapisze jedynie vt,1. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi v, t odpowiednio prędkość i czas schodzenia turysty ze wzgórza, np.; 16 v1 t,1 15 vt,1 zapisze układ równań z dwiema niewiadomymi v, t odpowiednio prędkość i czas wchodzenia turysty na wzgórze, np.; 16 v1 t,1 15 vt,1 oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od tej wielkości prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze, oraz czas, w jakim turysta wchodził na wzgórze, np.: v średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza v 1 to średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze,1 to czas (w h), w jakim turysta wchodził na wzgórze v 1 oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od tej wielkości czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza, oraz czas, w jakim turysta wchodził na wzgórze, np.: v średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza,1 to czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza v 16,1 to czas (w h), w jakim turysta wchodził na wzgórze 15 v oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od tej wielkości prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze, oraz czas, w jakim turysta schodził ze wzgórza, np.: v średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza v 1 to średnia prędkość (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze
0,1 v to czas (w h), w jakim turysta schodził ze wzgórza. Uwaga Jeśli zdający wprowadza tylko jedną niewiadomą na oznaczenie jednej z czterech wielkości: czas wchodzenia, czas schodzenia, prędkość wchodzenia, prędkość schodzenia, to punkty otrzymuje wtedy, gdy uzależni od wprowadzonej zmiennej dwie z pozostałych trzech wielkości. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający zapisze równanie z jedną niewiadomą, gdy v, t odpowiednio prędkość i czas schodzenia turysty ze wzgórza, np.; 79 16 v v,1 15 15 zapisze równanie z jedną niewiadomą, gdy v, t odpowiednio prędkość i czas wchodzenia turysty na wzgórze, np.; 16 47 v v,1 15 15 oznaczy prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta schodził ze wzgórza, i uzależni od tej wielkości prędkość średnią (w km/h), z jaką turysta wchodził na wzgórze, oraz czas, w jakim turysta wchodził na wzgórze i zapisze równanie z jedną niewiadomą, np.:,1,1 16 v1 v 15 Uwaga Zdający nie musi zapisywać układu równań, może bezpośrednio zapisać równanie z jedną niewiadomą. Rozwiązanie zadania do końca lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania (np. błędy rachunkowe)... 4 pkt Zdający rozwiąże równanie z niewiadomą inną niż średnia prędkość schodzenia bezbłędnie i nie obliczy średniej prędkości schodzenia rozwiąże równanie z niewiadomą v (średnia prędkość schodzenia) z błędem rachunkowym. Rozwiązanie pełne... 5 pkt Zdający obliczy średnią prędkość wchodzenia turysty na wzgórze:,5 km/h Uwagi 1. Zdający może pominąć jednostki, o ile ustalił je w toku rozwiązania i stosuje je konsekwentnie.
1. Jeżeli zdający oznaczy przez v prędkość, z jaką turysta wchodził na wzgórze i zapisze, że v 1 oznacza prędkość, z jaką turysta schodził ze wzgórza i konsekwentnie do przyjętych oznaczeń rozwiąże zadanie, to może otrzymać co najwyżej punkty. Kryteria oceniania uwzględniające specyficzne trudności w uczeniu się matematyki Przykład 1. Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: v - prędkość, z jaką turysta schodził ze wzgórza, t - czas, w którym turysta schodził ze wzgórza i zapisze:,1 v 1 16 t 15 vt,1 16 v1 t,1 15 i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp i przyznajemy punkty, mimo że w drugim równaniu układu zdający nie ujął wyrażenia 16 15 t w nawias. Zapis równania,1 v wskazuje na poprawną interpretację zależności między wielkościami. Przykład. Jeśli zdający przedstawi następujące rozwiązanie: 1 16 15 v - prędkość, z jaką turysta schodził ze wzgórza, t - czas, w którym turysta schodził ze wzgórza i zapisze:,1 v t,1 v 1,1 16,1,1,1,1 1, 1 t v 1 t 15 16 t t t 15 t 16 15 i na tym zakończy, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Pokonanie zasadniczych,1,1 trudności zadania i przyznajemy punkty, mimo że w równaniu 1 zdający t 15 t 16 przestawił liczby w liczniku i mianowniku ułamka 16 lub nawet pominął ten ułamek. 15 t Przykład. Jeśli zdający otrzyma inne równanie kwadratowe, np. v 158v 6 0 zamiast równania v 158v 6 0 (np. w wyniku złego przepisania znaku), konsekwentnie jednak rozwiąże otrzymane równanie kwadratowe, odrzuci rozwiązanie niespełniające
warunków zadania i pozostawi wynik, który może być realną prędkością poruszania się turysty, to takie rozwiązanie kwalifikujemy do kategorii Rozwiązanie pełne i przyznajemy 5 punktów. Zadanie 4. (0 4) Kąt C trójkąta prostokątnego C ma miarę 0. Pole kwadratu DEFG wpisanego w ten trójkąt (zobacz rysunek) jest równe 4. Oblicz pole trójkąta C. F E G C D 0 Użycie i tworzenie strategii własności figur podobnych w zadaniach (IV.7.b) I sposób rozwiązania Niech a oznacza długość boku kwadratu DEFG. Zatem a. Trójkąt DE to połowa trójkąta równobocznego o boku D i wysokości E, więc D a 4 oraz E D 4. Trójkąt GF to połowa trójkąta równobocznego o boku G i wysokości FG, więc G F oraz G FG. G 4 1 1 4 Zatem, więc G oraz F G. Trójkąt C jest połową trójkąta równobocznego o boku. Obliczamy E EF F 8. Pole trójkąta C jest więc równe 1 8 64 19 PC 4 4. 4 8 8 6 Uwaga Podany sposób rozwiązania polega na rozwiązaniu trójkątów prostokątnych DE i GF. Tak samo możemy postąpić rozwiązując inną parę trójkątów prostokątnych: DE i DCG lub DCG i GF. Schemat oceniania I sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... 1 pkt Zdający obliczy długość boku kwadratu:.
Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający skorzysta z własności trójkąta 0, 60, 90 z funkcji trygonometrycznych 4 i poprawnie obliczy długość jednego z odcinków: D 4, E, G, F, CD, CG 1. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający poprawnie obliczy długość jednego z boków trójkąta C: 8 4 lub C 1 lub C 4. Rozwiązanie pełne... 4 pkt 19 Zdający obliczy pole trójkąta C: P C 4. 6 Uwaga Jeżeli zdający zapisze wynik w innej, równoważnej postaci, to otrzymuje 4 punkty, np.: 8 1 4 P C, P C 4 1 8. II sposób rozwiązania Niech a oznacza długość boku kwadratu DEFG. Zatem a. Trójkąt DE to połowa trójkąta równobocznego o boku D, więc D a 4. Zatem pole tego trójkąta jest równe 1 D 4 PDE. 4 8 Trójkąt GF to także połowa trójkąta równobocznego o boku G, więc G F G Zatem, więc G 4. Pole trójkąta GF jest więc równe 4 1 G PGF. 4 8 Trójkąt DGC również jest połową trójkąta równobocznego o boku DG. Ponieważ DG a, więc pole tego trójkąta jest równe 1 DG P DCG. 4 8 Obliczamy pole trójkąta C 19 PC PDE PGF PDCG P DEFG 4 4. 6 Schemat oceniania II sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... 1 pkt Zdający obliczy długość boku kwadratu:.
4 Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający obliczy pole jednego z trójkątów DE, GF, DCG: P, DE PGF, P DCG. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający obliczy pole każdego z trójkątów DE, GF, DCG: PDE, PGF, P DCG. Rozwiązanie pełne... 4 pkt 19 Zdający obliczy pole trójkąta C: P C 4. 6 III sposób rozwiązania Niech a oznacza długość boku kwadratu DEFG. Zatem a. Zauważmy, że trójkąt C jest podobny do trójkąta DCG G M 0 C D Trójkąt DCG to połowa trójkąta równobocznego o boku DG długości, więc jego pole jest równe 1 DG P DCG. 4 8 Wysokość CM tego trójkąta obliczymy wykorzystując wzór na jego pole P 1 1 DCG DG CM CM CM, więc CM. Zatem wysokość CN trójkąta C opuszczona na jest równa CN CM MN. Skala podobieństwa trójkąta C do trójkąta DCG jest więc równa CN 4 1. CM Ponieważ stosunek pól figur podobnych równy jest kwadratowi skali ich podobieństwa, więc P P C DCG F N E 4 8 16 19 8 1 1.
Stąd i z obliczonego wcześniej pola trójkąta DCG otrzymujemy 19 8 19 8 19 PC 4 P DCG. 6 5 Schemat oceniania III sposobu rozwiązania Rozwiązanie, w którym postęp jest niewielki, ale konieczny na drodze do pełnego rozwiązania... 1 pkt Zdający obliczy długość boku kwadratu:. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp... pkt Zdający obliczy pole jednego z trójkątów DE, GF, DCG: P, DE PGF, P DCG. Pokonanie zasadniczych trudności zadania... pkt Zdający obliczy skalę podobieństwa trójkąta C do jednego z trójkątów DE, GF, DCG i wykorzysta twierdzenie o stosunku pól figur podobnych, np.: CN 4 1 CM, PC 4 1. PDCG Rozwiązanie pełne... 4 pkt 19 Zdający obliczy pole trójkąta C: PC 4. 6