INSTYTUT ŁĄCZNOŚCI PAŃSTWOWY INSTYTUT BADAWCZY Załad Teletrasmsj Tech Optyczych (Z-4) Aalza badaa efetów zachodzących w śwatłowodowym medum trasmsyjym degradujących jaość trasmsj w systemach DWDM o dużej efetywośc spetralej Praca r 4 30 00 6 Warszawa, grudzeń 006
Aalza badaa efetów zachodzących w śwatłowodowym medum trasmsyjym degradujących jaość trasmsj w systemach DWDM o dużej efetywośc spetralej Praca r 4 30 00 6 Słowa luczowe: teleomuacja optycza, optycze formaty modulacj, symulacja systemów śwatłowodowych Kerow pracy: Wyoawcy pracy: dr ż. Mare Jawors dr ż. Mare Jawors mgr ż. Marc Chochół dr ż. Krzysztof Borzyc spec. Haa Srobe Kerow Załadu: dr hab. Mara Marca Copyrght by Istytut Łączośc, Warszawa 006
Sps Treśc. Wstęp.... Zeształcea elowe w systemach DWDM modulowaych fazowo... 3. Szum elowy... 4. Szum lowy... 7.3 Wy symulacj... 8 3. Metoda pseudoaaltycza (QA) szacowaa BER... 9 3. Idea metody QA... 9 3. Ops matematyczy metody... 0 3.3 Metoda QA dla systemów barych... 3.4 Metoda QA dla systemów z modulacją welopozomową... 3 3.5 Metoda QA dla systemów z modulacją ampltudowo-fazową (QAM)... 4 3.6 Metoda QA dla systemów z modulacją fazową PSK... 5 4. Multaocza metoda symulacj Mote-Carlo... 6 5. Zastosowae szeregu Karhuea-Loève do szacowaa BER... 7 5. System RZ... 7 5.. Oszacowae BER... 0 5. System RZ-DPSK... 3 6. Kofguracje odbora M-DPSK... 4 7. Porówae graczej czułośc formatów modulacj fazowej... 5 8. Metody symulacj propagacj śwatła w śwatłowodze... 7 8. Podstawy teoretycze... 7 8. Ops waratów symulacj SSFM... 9 8.. Źródła błędu metody SSFM... 9 8.. Metoda stałego rou... 9 8..3 Metoda elowego przesuęca fazy... 30 8..4 Metoda logarytmczego rozładu długośc rou... 30 8..5 Metoda zaresu prędośc grupowych... 30 8..6 Metoda loalego błędu... 3 8.3 Rezultaty symulacj... 3 8.4 Ie metody symulacj... 38 9. Podsumowae... 40 Bblografa... 4
. Wstęp W obece esploatowaych systemach DWDM stosowaa jest modulacja polegająca a luczowau ampltudy sygału optyczego (NRZ lub RZ) wya to z orzystych właścwośc tej modulacj w systemach DWDM o małej efetywośc spetralej (typowo 0, bt/s/hz). W ubegłych latach postępy w optoeletroce doprowadzły do osągęca przepływośc btowej wyoszącej 40 Gbt/s dla pojedyczego aału optyczego, a efetywość spetrala systemów esperymetalych przeroczyła bt/s/hz. Efetywość spetrala systemu DWDM, defowaa jao przepływość aału dzeloa przez odstęp mędzyaałowy, stała sę jedym z luczowych parametrów systemów DWDM. Z drugej stroy, przy zwęszau przepływośc zmejszau odstępu mędzyaałowego, wpływ zeształceń pojawających sę przy propagacj sygału w l śwatłowodowej, staje sę coraz bardzej szodlwy, wymuszając oeczość stosowaa zaawasowaych formatów modulacj tech odboru odporych a te zeształcea. Moża przewdzeć, że w ajblższych latach astąp dalszy rozwój badań tech modulacj detecj optyczej, zapewających dużą efetywość spetralą oraz odporość a zeształcea woszoe przez tor śwatłowodowy. Poszuwae owych rozwązań prowadzących do zwęszea efetywośc spetralej, a w szczególośc owych metod modulacj detecj jest obece prawdopodobe będze jeszcze przez ajblższe lata główym eruem rozwoju systemów DWDM, stąd, mędzy ym, wya asze zateresowae tą tematyą. Po wprowadzeu suteczych metod ompesacj dyspersj chromatyczej (dzę zastosowau śwatłowodów o ujemej dyspersj) oraz tłumea śwatłowodu (za pomocą wzmacaczy EDFA), główą przeszodą w zwęszau zasęgu przepływośc trasmsj są obece zeształcea elowe. Wya to ze zwęszaa mocy propagowaej w śwatłowodze, co jest osewecją rosącej lczby aałów DWDM. Najtrudejsze do ompesacj są zeształcea elowe spowodowae srośą modulacją fazy (XPM). Należy róweż brać pod uwagę meszae czteroaałowe (FWM) oraz efet Gordoa- Molleauera, tz. przeształcae sę szumu ampltudowego (ASE) a szum fazowy w trace propagacj sygału w śwatłowodze dyspersyjym. W pracy (rozdzał ) przedstawoo, a podstawe lteratury [], aalzę zeształceń elowych występujących w systemach DWDM modulowaych fazowo. Aalza ta opera sę a podejścu statystyczym z wyorzystaem fucj geerującej momety (MGF) może staowć podstawę do aaltyczego szacowaa zeształceń w systeme, z tego względu przedstawoo szczegółowy ops metody. Załad Teletrasmsj Tech Optyczych IŁ zajmuje sę problematyą efetywośc spetralej systemów DWDM od trzech lat [, 3, 4]. W waruach Istytutu Łączośc, wobec brau możlwośc prowadzea prac esperymetalych (ze względu a oszty ezbędej aparatury podzespołów) jedyą możlwoścą prowadzea badań systemów DWDM jest symulacja omputerowa. W Pracow Tech Optyczych IŁ opracowao w latach ubegłych Symulator Systemów Śwatłowodowych, umożlwający taą symulację. Isteje wele przyładów stosowaa podobego podejśca w zagraczych ośrodach badawczych. Przedstawoa w rozdzale 3, a podstawe lteratury [5], metoda pseudoaaltycza była w przeszłośc podstawową metodą szacowaa elemetowej stopy błędów trasmsj. Przytoczoa została tutaj, gdyż przedstawa postawy teoretycze a jach oparte jest dzałae modułu mera stopy błędów zamplemetowaego do tej pory w opracowaym przez as Symulatorze. Metoda ta posada stote ograczea, z tórych główym jest założee lowośc symulowaego uładu, tóry to warue e jest spełoy w systemach
DWDM pracujących z dużą mocą optyczą. Z tego względu ależy zamplemetować bardzej uwersale doładejsze metody szacowaa BER, p. z wyorzystaem szeregu Karhuea-Loève (rozdzał 5). Od paźdzera 006 rou realzujemy w aszym załadze grat MNSzW Badae zaawasowaych formatów modulacj optyczej, metod symulacj propagacj sygału oraz mechazmów zapewea jaośc usług w secach z grupową omutacją paetów (OBS), stosowaych w optyczych secach teleomuacyjych. W projece tym realzowae są trzy zadaa, z tórych dwa: "Badaa welopozomowych formatów modulacj optyczej" oraz "Badae efetywych oblczeowo metod symulacj propagacj sygału w śwatłowodze" mają tematyę zbeżą z ejszą pracą. Projet te będze realzoway do rou 009, a jego wartość przeracza ml PLN. Z tego względu profl ejszej pracy statutowej uległ modyfacj, z położeem acsu a opaowae owych metod aalzy, umożlwających bardzej dołade badae zjaws zachodzących w śwatłowodze właścwośc systemów DWDM z zaawasowaym formatam modulacj, w zama za opracowae olejych, jedaże uproszczoych model zaawasowaych formatów modulacj (p. 6-DPSK 6-QAM). Bez opaowaa somplowaych metod umeryczych, tach ja: multaocza metoda symulacj Mote-Carlo (rozdzał 4), zastosowae szeregu Karhuea-Loève do szacowaa BER (rozdzał 5), czy wreszce różych owatorsch metod symulacj propagacj śwatła w śwatłowodze (rozdzał 8), emożlwe jest prowadzee prac badawczych a pozome europejsm. Dopero opaowae wyżej wymeoych metod pozwol a efetywe badae systemów DWDM z zaawasowaym formatam modulacj. Stąd wya bardzej teoretyczy charater pracy, będącej w zaczej merze studum lteraturowym. W rozdzale 6 prezetujemy wy orygalych badań dotyczących właścwośc różych ofguracj odbora z welopozomową różcową modulacją fazy M-DPSK [4]. W rozdzale 7 przedstawamy porówae graczej czułośc różych formatów modulacj fazowej. Przedstawoe wy dotyczą wydealzowaego przypadu brau zeształceń obecośc jedye szumów ASE, mogą jeda staowć podstawę do ocey potecjalych możlwośc poszczególych formatów modulacj.. Zeształcea elowe w systemach DWDM modulowaych fazowo Modeloway system [] słada sę z M aałów DWDM z modulacją fazową RZ-DPSK z odstępem mędzyaałowym Δ λ. Modulacja RZ została wprowadzoa, ze względu a lepsze właścwośc dyspersyje w porówau z modulacją NRZ. Sygał jest trasmtoway przez N odców regeeracyjych, sładających sę ze 00 m odca stadardowego śwatłowodu, dealego ompesatora dyspersj chromatyczej wzmacacza całowce ompesującego tłumee. Każdy ze wzmacaczy wprowadza szum wzmocoej emsj spotaczej (ASE amplfed spotaeous ose) o rozładze ormalym (Gaussa) szeroośc spetralej B, zacze węszej ż pasmo sygału (tz. BT >>, gdze T jest oresem pojedyczego btu). W odboru ażdy z aałów optyczych jest fltroway w dopasowaym szumowo fltrze deteoway w uładze zrówoważoym. Błąd trasmsj pojawa sę wtedy, gdy moduł różcy fazy szumu fazowego przeroczy π /. Szum fazowy słada sę z lu sładowych: szumu lowego (bezpośredo dodawaego do sygału w ażdym z K wzmacaczy), 3
szumu SPM (jego źródłem jest szum ampltudowy pochodzący z tego samego aału co sygał przetrasformoway a szum fazowy a sute samomodulacj fazy SPM zachodzącej w ośrodu elowym), szumu XPM (jego źródłem jest, podobe ja w przypadu szumu SPM, trasformacja szumu ampltudowego ale tym razem pochodzącego z ych aałów występuje tylo w systeme DWDM). Szum lowy SPM są spowodowae odpowedo przez sładowe Q I szumu ASE (są wzajeme ortogoale), dlatego moża uzać je za ezależe, tz. esorelowae.. Szum elowy Szum XPM powstaje z szumu ASE pochodzącego z ego zaresu wdmowego róweż jest statystycze ezależy od sładowej lowej SPM. W [] przeaalzowao rozład gęstośc prawdopodobeństwa (pdf) różcy faz pomędzy dwoma olejym mpulsam z uwzględeem wyżej wymeoych sładów szumu. Zwęszae dyspersj powoduje zmejszae efetu elowego przesuęca fazy, co poazao a rys.. Przesuęce fazy [rad] 3 0 ps D 8 m m ps D 0 m m ps D 6 m m 0 0,5,5 Moc optycza [mw] Rys.. Zależość elowego przesuęca fazy w fucj mocy optyczej współczya dyspersj []. Nezależe od dyspersj obserwuje sę proporcjoaly do trasmtowaej mocy wzrost przesuęca fazy. Wyres został uzysay w wyu symulacj SSFM (opsaej w puce 8) w bezszumym systeme DWDM, poprzez oreślee przesuęca fazy występującego a werzchołach mpulsów a wyjścu systemu z K 30 odcam. Rezultaty symulacj potwerdzają, że efet dyspersj może być uwzględoy poprzez wprowadzee współczya orecj γ D do dealego modelu z zerową dyspersją. Wartość współczya γ D moża odczytać z powyższego wyresu. Nelowe przesuęce fazy zaumulowae w systeme DWDM w aale j po -tym wzmacaczu wyos: j, D j eff j, φ γ γ L A, () gdze γ D jest współczyem oreślaym z symulacj systemu bezszumego, γ j jest współczyem elowośc śwatłowodu, L eff jest efetywą elową długoścą śwatłowodu oraz A j, jest zespoloą ampltudą a długośc fal λ a wejścu j-tego odca, j 4
zormalzowaą ta, by w aale j-tym po -tym wzmacaczu wyos: j, A było szczytową mocą optyczą. Ampltuda zespoloa A j, A 0 j,, () gdze A 0 jest ampltudą wejścową j, jest zespoloym szumem Gaussa dodaym do -tego wzmacacza w aale j. Faza elowa w odboru jest sumą wszystch sładowych: φ K j, SPM φ j, może być wyrażoa w postac macerzy wadratowej: ~ T * φ η ~, (4) gdze SPM D j eff j, SPM SPM M η γ γ L, ~ jest wetorem olumowym o rozmarze N, tórego perwszym sładem jest A 0 a astępym j (j > ). M jest macerzą N N o wyrazach M, N max( j). (5) j, Fucja geerująca momety (MGF momet geerato fucto) zmeej losowej φ opsywaa jest zależoścą: j,spm ψ [ I ( I η sφ ~ M) ] T* I η SPM s Φ ~ M exp μ Φ SPM ~ ~ ~ μ (6) j, SPM gdze μ ~ jest wetorem średch, [ ~ ~ T μ ] * σ I ( ) ( ) T E ~ μ ~ A0,0, 0K0, Φ~ E ( ~ )( μ~ ) jest macerzą owaracj, oraz I jest macerzą jedostową o rozmarze N. Przy założeu eoddzaływaa a sebe olejych mpulsów trasmtowaych w elowym medum, szum fazowy sąsedch symbol jest esoreloway wtedy MGF fazy różcowej moża zapsać jao ψ Δ φ,spm () s ψ j,spm () s ψ j,spm ( s). Rozład gęstośc prawdopodobeństwa różcowego szumu fazowego SPM jest odwrotą trasformatą Fourera F ψ Δφ,SPM ( jω ). Szum fazowy srośej modulacj fazy (XPM) spowodoway jest oddzaływaem elowośc śwatłowodu trasmsyjego z szumem ampltudowym w sąsedch aałach. Faza mpulsu w aale j-tym, o długośc fal λ j jest opóźaa w obecośc mpulsów w sąsedch aałach, o długośc fal λ, dzę zjawsu XPM. Przy brau dyspersj, wzajeme położee mpulsów w poszczególych aałach DWDM pozostaje ezmee wtedy szum fazowy XPM może być tratoway podobe ja szum SPM. Sładowe szumu SPM XPM są, ja już wspomao, ezależe, stąd fucja MGM szumu całowtego jest loczyem fucj MGM poszczególych sładowych, tj. SPM XPM ze wszystch pozostałych aałów. Dla śwatłowodów dyspersyjych mpulsy z różych aałów propagują sę z różym prędoścam mpuls z aału j przechodz przez mpulsy (podlega olzj) z pozostałych aałów, ze względą prędoścą zależą od wartośc dyspersj odstępów mędzyaałowych. W wyu tych olzj faza mpulsu w aale j jest opóźaa. W systeme DPSK optycze mpulsy w ażdym przedzale btowym mają taą samą moc (w odróżeu do systemu z modulacją ampltudy) dlatego, jeśl tylo e występuje szum ampltudowy, wszyste mpulsy mają detycze opóźee, a faza (3) 5
różcowa e zmea sę. W osewecj efet XPM ma wpływ a BER tylo jeśl występuje szum ampltudowy. Całowte elowe opóźee fazy mpulsu w aale j spowodowae oddzaływaem z mpulsam w aale, w śwatłowodze o długośc L, wyos: gdze A (0, ) ( ) ( XPM Ld ) d j j, j j 0 φ γ d j A 0, ξ e αξ dξ, (7) T jest ampltudą aału w ramce czasowej przesuwającej sę z mpulsem w aale j oraz d j D( λj λ ). Nezależa od przesyłaej sewecj btowej moc optycza w ażdym z aałów z modulacją DPSK wyos: ( 0, ), l ψ ( d) A T A T lt T, (8) l gdze ψ () t jest obwedą mocy mpulsu RZ (rówą zero dla t > ΔT/ zormalzowaą do jedośc w t 0). A,l jest zespoloą ampltudą mpulsu l-tego w aale, oraz T d jest przesuęcem czasowym mpulsów pomędzy aałam j a wyjścu wzmacacza. Przy założeu całowtej ompesacj dyspersj w ażdym odcu, T d jest ezależe od lczby odców. Opóźee fazy spowodowae XPM w pojedyczym odcu wyos: N ( ) C, j γ XPM j ~ ~ αtd / d j αlwo l φ j, A,0 E Ee A, l e, (9) d j l gdze perwszy sład opsuje częścową olzję a początu odca (olzja może rozpocząć sę przed wzmacaczem), drug sład opsuje pozostałe olzje, ΔT / αξ / d T / j / d E% ψ ( ξ) e dξ, E % Δ αξ ψ ( ξ) e j dξ T, N d Δ T / C, j L LWOjest lczbą olzj pomędzy aałam j w pojedyczym odcu, L Δ T / d jest długoścą olzj, tz. fragmetem śwatłowodu, w tórym występuje pojedycza olzja. Częścowe olzje a ońcu śwatłowodu są pomęte, gdyż a ońcu odca wszyste sygały są sle stłumoe wpływ efetów elowych jest pomjale mały. Ze względu a całowtą ompesację dyspersj w ażdym z odców, te same mpulsy oldują ze sobą welorote, oresowo w ażdym z odców. W czase propagacj arasta węc róweż szum fazowy XPM, ta ja w przypadu szumu SPM. Załadając, że sład szumu ze wszystch olzj sąsedch aałów są statystycze ezależe, fucja MGF całowtego opóźea fazy spowodowaego zjawsem XPM w aale j-tym może być przestawoa podobe ja (6) wyos: gdze ψ K NC, j T* () s sφ ~ M exp μ~ Φ ~ I ( XPM l j ~ j,,0 γ je d j WO j [ I η sφ ~ M ] I η j,, l j,, l ) μ~ (0) η oraz η γ E exp( αt / d αl l) l j,, l j d j wo, dla. Oblczea ompluje fat, że duowae przez XPM szumy fazowe dwóch sąsedch btów są statystycze wzajeme zależe. Dwa sąsede mpulsy oldują olejo z tym samym mpulsam z sąsedch aałów. Jeśl przesuece fazowe perwszego mpulsu jest opsae zależoścą (7), to szum fazowy sąsedego mpulsu wyos: γ j A d j NC, j ~ ~ αtd / d j αlwo l,0 E Ee A, l e l. () 6
Różcę faz pomędzy sąsedm mpulsam otrzymuje sę odejmując () od (9) N C, j l 0 ( XPM ) Δφ ~ η A () j j,, l, l ~ T d ~ j E α L ~ γ exp α WO E je gdze ~ γ η d j j,,0, ~ η j,,, d d j ~ T d j E α γ exp αlwo l ( exp( αlwo ) d j oraz ~ η j,, l dla l. d j Fucję MGF szumu różcowego fazy otrzymuje sę z (0), zastępując η przez η%. j Wartość szumu XPM zmea sę zacze w zależośc od wzajemego ustawea mpulsów w oddzałujących wzajeme aałach T d. W przedstawoych wyach T d jest ta dobrae by zmasymalzować szum XPM.. Szum lowy Szum ASE dodaway do sygału przez wzmacacz -ty ma postać zespoloego szumu ormalego (Gaussa) o wartośc średej rówej zero waracj σ G hv, gdze G ( ) sp jest wzmoceem wzmacacza, h stałą Placa, v częstotlwoścą optyczą a sp współczyem emsj spotaczej. Szum posada dwe ortogoale sładowe j....n, gdze N jest lczbą wzmacaczy a,x,y są ezależym, x, y zmeym losowym o rozładze ormalym, wartośc średej rówej zero waracj rówej 0,5σ. Bezpośredm sutem szumu ASE jest zmaa fazy sygału opsywaa zależoścą: o astępującym rozładze pdf: N, y φ l arcta (3) N A, x exp ( ) ( γ ) γ exp( γ s ( ϕ) ) ϕ ( γ ) ( ϕ) ( γ cos( ϕ) φl cos Q ) (4) π π Q gdze γ A σ oraz Q() x exp( t ) dt. W przypadu gdy szum ampltudowy π x jest mały w porówau z ampltudą sygału, wyrażee (3) upraszcza sę do N postacφ l y A, wtedy szum fazowy zależy jedye od sładowej wadraturowej ASE. Wtedy (4) reduuje sę do zwyłego rozładu ormalego. Fucja MGM rozładu l φ l ( ϕ) jest jej trasformatą Fourera Ψ φ () s F[ φl( ϕ) ]. Fucja MGM różcy faz pomędzy olejym mpulsam (różca faz jest bardzej reprezetatywą weloścą w l l l modulacj różcowej) opsywaa jest zależoścą s Ψ s Ψ s, przy Ψ Δ φ () () ( ) założeu brau orelacj szumu fazowego w olejych mpulsach. Rozład gęstośc prawdopodobeństwa lowego różcowego szumu fazowego jest odwrotą trasformatą Fourera fucj MGM, tj. φ ϕ F l Δ Ψ φ jω. l [ ] ( ) ( ) Δ 7 φ φ
.3 Wy symulacj Symuloway system DWDM [] sładał sę z 3 aałów o zasęgu trasmsj 30x00 m, modulowaych z przepływoścą 0 Gbt/s, z mocą szczytową mw (ze stosuem sygał szum 4 db). W ażdym aale mpulsy posadały modulację RZ-DPSK z 50% wypełeem, geerowae były w stadardowy sposobów poprzez sterowae modulatora Macha-Zehdera susodalym apęcem o wartośc mędzyszczytowej, spolaryzowaym wstępe apęcem v π. Teoretycza wartość odchylea stadardowego szumu została porówaa z wyam symulacj metodą SSFM (Splt Step Fourer Method) dla dyspersj 8 ps/(m m). Na rys. przedstawoo odchylee stadardowe (wartość suteczą) szumu fazy pojedyczego mpulsu szumu różcy faz dwóch olejych mpulsów, otrzymae w wyu symulacj, w porówau z wyam aalzy teoretyczej, przedstawoej powyżej w fucj lczby odców regeeracyjych. Odchyl. stad. fazy [rad] 0,4 0,3 0, 0, 0 0 a) wypadowe teora wypadowe symulacja SPM XPM lowe 0 0 30 Lczba odców Odchyl. stad. fazy [rad] 0.5 0. 0.5 0. 0.05 0 0 b) wypadowe teora wypadowe symulacja SPM v π XPM lowe 0 0 30 Lczba odców Rys.. Odchylee stadardowe (wartość suteczą) szumu fazy pojedyczego mpulsu(a) szumu różcy faz dwóch olejych mpulsów (b). Le przerywae teora, la cągła wy symulacj. (3 aały, 0 Gb/s, P mw, D 8 ps/m/m) []. Dla szumu fazy pojedyczego mpulsu dla perwszych luastu odców domujący jest szum lowy, powyżej 0 odca zaczya przeważać szum elowy. Szum lowy jest sumą N lowych sładów dodawaych po ażdym wzmacaczu jego waracja rośe lowo z N. Szum elowy spowodoway ASE j-tego wzmacacza jest aumuloway w N j odcach powoduje, że waracja szumu jest proporcjoala do N ( N j ) j tz. rośe proporcjoale do N 3 staje sę domującym sładem szumu fazowego dla dużej lczby odców. Na rys. 3 porówao teoretyczy rozład pdf szumu różcowego fazy spowodowaego SPM XPM w systeme RZ-DPSK 0 Gbt/s z aprosymacją rozładem ormalym (Gaussa), dla 30 odców regeeracyjych. Aprosymacja gaussowsa rozładu różcy faz jest dołada dla szeroego zaresu wartośc dyspersj (awet w przypadu, gdy aalogczy rozład szumu fazowego pojedyczego mpulsu odbega od rozładu gaussowsego). Z wyresu wya, że przy zwęszau dyspersj sładowa SPM szumu zmejsza sę ezacze a sute rozszerzea mpulsu, atomast sładowa XPM maleje zacząco z powodu zmejszea długośc drog olzj. 8
0 0 a) ps 4 m m 0 0 b) ps 4 m m PDF szumu SPM 0-5 0-0 ps 7 m m PDF szumu XPM 0-5 0-0 ps 7 m m - 0-0 Faza [rad] Faza [rad] Rys. 3. Rozład pdf szumu różcowego fazy spowodowaego SPM (a) XPM (b) w systeme RZ-DPSK 0 Gbt/s z aprosymacją rozładem ormalym. La przerywaa teora, la cągła aprosymacja. ( Parametry systemu ja a rys []). Na rys. 4 poazao BER w fucj masymalej mocy szczytowej w aale. Wartość BER jest duża dla małych mocy z powodu dużych szumów lowych, osąga mmum dla zaresu (0,5 mw), w tórym astępuje zrówoważee wpływu szumu lowego elowego, a astępe dla węszych mocy zaczya rosąć z powodu arastaa sładowej elowej szumu. 0 0 BER 0-5 0-0 ps 4 m m ps 7 m m 0-5 0 0,5,5 Moc szczytowa [mw] Rys. 4. BER w fucj masymalej mocy szczytowej w aale. Le przerywae teora, le cągłe wy symulacj []. 3. Metoda pseudoaaltycza (QA) szacowaa BER 3. Idea metody QA Oszacowae BER a pozome 0-6 za pomocą metody Mote Carlo wymaga przeprowadzea co ajmej 0 7 symulacj uładu, co dla uładów o ewelej złożoośc (p. szacowae wpływu dyspersj chromatyczej lub polaryzacyjej) może być wyoae a dostępym sprzęce w wystarczająco rótm czase, p. lu mut. W systemach teletrasmsyjych teresujący as pozom BER wyos 0 -, a wymagaa lczba symulacj wyos 0 3 lczba ereala do wyoaa. Stąd potrzeba stosowaa metod umożlwających oszacowae BER o bardzo małej wartośc, przy utrzymau czasu symulacj a aceptowalym pozome. Jedą z tach metod jest metoda pseudoaaltycza (QA, quas-aalytcal) [5]. Metoda ta jest bardzo efetywa oblczeowo daje dobrą 9
doładość, posada jeda pewe ograczea. Główym ograczeem jest założee o lowośc symulowaego uładu, gdyż stosowaa jest tu zasada superpozycj sygału szumu, tz. sygał szum w uładze są tratowae rozłącze sumowae a wyjścu systemu, w uładze decyzyjym. Idea metody polega a rozdzeleu problemu a dwa sład: w jedym symulowaa jest trasmsja bezszumego sygału, w drugm oreślay jest rozład prawdopodobeństwa (PDF probablty dstrbuto fucto) a drodze aaltyczej. Zajduje tu zastosowae ocepcja zastąpea rzeczywstych źródeł szumu, pojawających sę w różych mejscach systemu, źródłem zastępczym (ENS equvalet ose source) położoego w uładze decyzyjym, a wyjścu systemu. 3. Ops matematyczy metody Na rys. 5 w uproszczeu zlustrowao reprezetację sygału a wyjścu systemu. Poazao dwe możlwe realzacje sygału: s a s b, w L-pozomowej dwuwymarowej ostelacj, z odpowadającym m odpowedo obszaram decyzyjym D a D b. Załóżmy, że wysyłay jest mpuls o omalym położeu w puce s a z powodu terferecj mędzysymbolowych zeształceń odberay jest o w puce v a. Załadamy poadto, ze zeształcea są a tyle małe, ze put v a meśc sę w obszarze decyzyjym. Jest to założee oecze, stosuowo łatwe do spełea. Poza tym łatwo moża sprawdzć czy przy trasmsj bezszumowej występują błędy trasmsj. y f ( x ν a, x) S a υ a S b ( a, y) f y ν x Rys. 5. Reprezetacja sygału a wyjścu systemu w metodze QA [5]. Do v a dodaway jest aaltycze szum wtedy put decyzyjy w a opsyway jest zależoścą: w v. (5) a a Prawdopodobeństwo błędu, uzależoe od wysłaego s a wyos: gdze f wa p a ( x, y) f wa Da ( ) x, y dxdy, (6) jest dwuwymarową fucją rozładu gęstośc prawdopodobeństwa zmeej losowej wa. ( Dla uproszczea otacj, aały rzeczywsty I oraz urojoy Q są tu ozaczoe odpowedo przez x oraz y). Prawdopodobeństwo błędego odebraa s a jao s b wyos: 0
p ab ( x, y) f wa Db ( ) x, y dxdy. (7) Fucja rozładu gęstośc prawdopodobeństwa (pdf) zmeej losowej w a wyraża sę zależoścą: ( x, y) f ( x v y v ), (8) fw a a, x, a, y gdze f jest fucją pdf szumu oraz v a,x v a,y są sładowym I oraz Q putu v a. Załada sę, że sładowe x y szumu są ezależe że odpowadające m fucje pdf są uogóloym rozładam Gaussa, tz. mają postać: gdze Γ() f ( x; v) jest fucją gamma. v v x μ exp, < x <, (9) σγ( / v) σ (Wartość średa wyos μ, a waracja V v σ Γ( 3/ v) / Γ( / v), dla v, f ( x; v) jest zwyłym rozładem Gaussa). Wartość v a otrzymywaa jest w wyu bezszumej symulacj, podczas gdy p a oraz p ab są oreślae aaltycze. Zwyle symuloway jest cąg pseudoprzypadowy mpulsów o długośc N do oreślea uśredoego BER rówae (6) oblczae jest N-rote dla ażdego mpulsu, a wy jest uśreday. 3.3 Metoda QA dla systemów barych Przypade te lustroway jest a rys. 6. PDF szumu oszacowaego aaltycze -A v A Otrzymae w wyu bezszumowej symulacj Rys. 6. Reprezetacja sygału a wyjścu systemu barego w metodze QA [5]. Dwa omale puty to ±A. Zeształcea trasmsj objawają sę przesuęcem z putu A do v, gdze v ( ε )A oraz ε jest cząstowym błędem dla -tej prób sygału. Dla tej prób waruowe prawdopodobeństwo wystąpea błędu wyos: p v f () dη F ( v ) η, (0) gdze f jest jedowymarową fucją prawdopodobeństwa a F jest jej dystrybuatą. Dla rozładu Gaussa p erfc( v σ ), gdze σ jest mocą szumu. Gdy trasmtowaa jest sewecja N btów, całowty BER jest średą z wszystch p :
p N N p () v p t p v Rys. 7. Zeształcoy sygał a wejścu uładu decyzyjego z zazaczoym mometam decyzyjym rozładem gęstośc prawdopodobeństwa szumu [5]. Ilustracją zależośc (0) jest rys. 7, a tórym przedstawoo wygląd zeształcoego sygału a wejścu uładu decyzyjego z zazaczoym mometam decyzyjym. Zaceowae częśc rozładu prawdopodobeństwa odpowadają wartośc cał (0). W ogólym przypadu e wemy czy w daym momece trasmtowae jest "0" czy "", dlatego e wemy róweż tórą stroę rozładu prawdopodobeństwa ależy całować. Gdy ograczymy sę do przypadu bezbłędej trasmsj, e ma tach wątplwośc wtedy możemy przyjąć u v. Gdy f ma postać (9) możemy apsać: v v [ ( x u ) σ ] ( ) / z / v p e dx Γ Γ( ) Γ( ) e z dz, ξ, () / / v Γ( / v) 0 v 0 v v gdze ξ ( u σ ), oraz Γ (, ) jest uogóloą fucją Gamma. Wartość BER zależy pośredo od mometu próbowaa τ ja róweż od zeształceń fazy sygału θ. Moc szumu zależy od charaterysty fltrów (optyczych mult- demultpleserów, oraz eletryczego w odboru), σ zależy od v mocy szumu tylo w szczególym przypadu rozładu pdf typu Gaussa moc szumu wyos σ. Na rys. 8 przedstawoo schemat bloowy procedury QA. W górej pętl astępuje optymalzacja τ, tz. doberay jest ta momet próbowaa, by uzysać masymale rozwarce wyresu oczowego. Następe dla sewecj {u } uwzględay jest wpływ szumów oblczae jest p oraz optymalzoway jest próg decyzyjy h. W opsaej procedurze załada sę ezależość procesu szumowego dla ażdej chwl próbowaa. Wyowy BER jest wartoścą uśredoą po wszystch próbach.
Cyfrowa sewecja wejścowa (rót cąg pseudoprzypadowy) Symuloway system (z wyjątem źródła uładu decyzyjego, bez szumów) Uład decyzyjy: zmee τ Opóźee Porówae sewecj: wymagaa jest bezbłęda trasmsja Otrzymaa sewecja {u } Oblczee p, p dla ażdego h Uład decyzyjy: stawee progu h Rys. 8. Schemat bloowy procedury QA. 3.4 Metoda QA dla systemów z modulacją welopozomową Kostelacja putów w systeme z modulacja welopozomową przedstawoo a rys. 9. Jest to uogólee przypadu barego. Poowym lam przerywaym zazaczoo grace obszarów. Z powodu terferecj mędzysymbolowych może astąpć przesuęce -tej prób o wartość ε A od położea omalego. Prawdopodobeństwo wystąpea błędu ozaczoo za pomocą zaczeroego obszaru. Defując ja poprzedo moża apsać: u u. u v, I A ε A, gdze A jest welorotoścą A położoą ajblżej putu I......... -A -A 0 A A......... ε A Rys. 9. Reprezetacja sygału a wyjścu systemu welopozomowego w metodze QA [5]. Prawdopodobeństwo błędu symbolowego dla prób -tej jest opsywae zależoścą: p A ( ε ) f () η dη A ( ε ) tóra dla uogóloego rozładu Gaussa przyjmuje postać: [ v f ( ) ( ) Γ, ξ Γ, ξ / v v v η dη, (3) p Γ (4), gdze ξ± A( ± ε ) σ ]. Dla graczego położea omalego ( M )A tylo jede obszar błędu: ±, występuje p Γ ( ),ξ Γ / v v. (5) 3
Wylczay jest BER uśredoy, zgode z (). W przypadu zastosowaa odowaa Gray'a pojawee sę jedego błędu btowego pocąga za sobą powstae jedego błędu symbolowego. Dla modulacj welopozomowej stosowae powy być dłuższe pseudoprzypadowe sewecje btowe, by uwzględć wszyste ombacje btów. 3.5 Metoda QA dla systemów z modulacją ampltudowo-fazową (QAM) Metodę QA opsaą w poprzedm puce łatwo uogólć dodając drug wymar (rys. 0). ε ya Obszar decyzyjy zewętrzy ε xa ε ya Próba zeształcoa ε xa A Obszar decyzyjy wewętrzy Put aroży Rys. 0. Reprezetacja sygału a wyjścu systemu z modulacją ampltudowo-fazową [5]. Załadamy, że rzeczywsty put a płaszczyźe ostelacj, a sute stea zeształceń trasmsj ma współrzęde v jv, oraz podobe ja w poprzedm v, x, y przypadu v, x u, x I, x A ε, x A v, y u, y I, y A ε, y A. Prawdopodobeństwo błędu symbolowego rówe jest prawdopodobeństwu, że put v po uwzględeu fucj pdf szumów leży poza właścwym obszarem decyzyjym wyos: gdze: oraz: p p, x p, y p, x p, y (6) ( x) ( x) p, x ( ) Γ, ξ Γ, ξ Γ v, (7) / v v ( y) ( y) p, y ( ) Γ, ξ Γ, ξ Γ v, (8) / v v przy założeu brau orelacj sładowej x y szumu. Prawdopodobeństwo w putach brzegowych arożych ostelacj lczoe jest aalogcze do (4). W systeme z modulacją wadraturową długość sewecj btowej powa wyosć log L, gdze L jest lczbą staów ostelacj. Przy założeu ortogoalośc aałów Q I L ( ) moża przyjąć mejszą długość sewecj L ( L) log. 4
3.6 Metoda QA dla systemów z modulacją fazową PSK W tym przypadu oszacowae BER róż sę tym od wymeoych wyżej przypadów, że grace obszarów decyzyjych e są rówoległe do os x y. Na rys. przedstawoo ostelację modulacj M-PSK, w tórej puty są rozmeszczoe rówomere a oręgu co θ 360 L stop. L / θ θ L Φ A A 0 L θ Rys.. Kostelacja modulacj M-PSK [5]. Na sute zeształceń put o współrzędych (A, 0) odberay jest jao (,φ) współrzęde putu x A cosφ, y A sφ oraz sładowe szumu x y, otrzymujemy wetor ( A φ, A sφ ) cos achyloy pod ątem x y A sφ x A. Załadając y ta θ (9) A cosφ do os x, gdze π / θ π /. Bezbłęda detecja astąp gdy θl < θ < θ L, a błęda w przecwym przypadu. Moża rozważyć la metod oblczaa BER. Wybór metody jest zależy od długośc sewecj złożoośc oblczeowej. Prawdopodobeństwo prawdłowej detecj wyos: [ κ θ κ] P Pr ta, (30) c gdze κ ta θ L. Podstawając do (30) zależość (9) zajdujemy astępujące waru do spełea przez x y : κ κa cosφ A sφ κ κa cosφ A sφ, (3) x y x ozaczoe a rys. w postac trójąta. Ozaczając odpowedo góry doly put A u cosφ sφ b A ucosφ sφ, otrzymujemy: przecęca jao: b ( ) oraz ( ) P c f A cosφ κx b ( x ) dx f( y ) κx b d y (3) 5
Gdy f ma postać uogóloej fucj Gaussa, cała (3) wymaga rozwązaa umeryczego, co przy długej sewecj btowej sprawa, ze metoda jest eefetywa oblczeowo. Przy założeu, ze f jest zwyła fucją Gaussa fucja pdf θ przyjmuje postać: ρ ρ ρ ( θ φ ) () θ s g e cos( θ φ) e { ( ρ ) Q cos( θ φ)}, (33) π π gdze ρ jest stosuem sygał-szum. Wtedy, prawdopodobeństwo błędu (dla putu φ 0 ) wyos: p θl / θl / g () θ dθ lub bardzej ogóle prawdopodobeństwo błędu p 0j, że symbol a 0, odpowadający zerowej faze, jest odebray jao symbol a j wyos: p 0 j θ D j () (34) g θ dθ. (35) Rówaa (34) (35) mogą być rozwązae poprzez umerycze całowae (33). Moża zastosować łatwą do zastosowaa aprosymację, oblczając prawdopodobeństwo, że oec wetora leży w górej półpłaszczyźe poad lą θ θ, lub w dolej półpłaszczyźe pożej l θ θ. Odpowede prawdopodobeństwo wyos: L A p erfc s( θ φ) erfc A s( θ φ). (36) σ σ 4. Multaocza metoda symulacj Mote-Carlo Multaocza metoda symulacj Mote-Carlo [6, 7] jest efetywym oblczeowo arzędzem pozwalającym a oszacowae prawdopodobeństwa bardzo rzado występujących staów symulowaego uładu, za pomocą stosuowo małej lczby symulacj. W ażdej teracj używaa jest formacja o otrzymaym w poprzedej teracj poszuwaym rozładze prawdopodobeństwa, w celu zwęszea w olejej teracj prawdopodobeństwa występowaa staów uładu mej prawdopodobych. Uzysuje sę to dzę zastosowau błądzea losowego woół oreśloych w poprzedej teracj staów uładu. Stosoway jest tu zmodyfoway algorytm Metropolsa. W rezultace moża uzysać formację o rozładze fucj prawdopodobeństwa (pdf) w zarese bardzo małych wartośc prawdopodobeństwa. Dla ażdej próby Mote-Carlo przeprowadzaa jest ompleta symulacja SSFM w celu oreślea rozładu szumu fazowego a wyjścu systemu. Na rys. przedstawoo fucję pdf fazy różcowej otrzymywaą dla olejych teracj (le ropowae) w porówau z modelem teoretyczym (la cągła) aprosymacją za pomocą rozładu ormalego (la resowaa) dla dyspersj D 4 ps/m/m, mocy wejścowej P 0,4 mw lczby odców N 30. L 6
0-0 PDF 0-5 0-0 0-5 - - 0 Szum fazowy [rad] Rys.. Rozład pdf fazy różcowej otrzymyway dla olejych teracj (le ropowae) w porówau z modelem teoretyczym (la cągła) aprosymacją za pomocą rozładu ormalego (la resowaa). D 4 ps/m/m, P 0,4 mw, N 30 [7]. Perwsza teracja prawdłowo oreśla prawdopodobeństwo do pozomu 0-4, druga do pozomu 0-7, tp. Dla małych wartośc mocy propagowaej (P 0,4 mw) domuje szum lowy aprosymacja rozładem ormalym e jest dołada dla wartośc małoprawdopodobych (<0-5 ). Dla mocy wyoszącej P mw rozład ormaly daje dobrą aprosymację, awet do pozomu prawdopodobeństwa rzędy 0-5, gdyż domujący w tym zarese szum elowy (SPM XPM) ma rozład zblżoy do ormalego. 5. Zastosowae szeregu Karhuea-Loève do szacowaa BER Ostato, Forester [8] zapropoował wydają oblczeowo metodę aaltyczego oblczea BER (Bt Error Rate btowej stopy błędów) w odeseu do systemów z modulacją ampltudy z przedwzmacaczem optyczym w odboru. W metodze tej brae są pod uwagę: szum ASE (Amplfed Spotaeous Emsso wzmocoej emsj spotaczej), ształt mpulsów, fltracja optycza a wejścu odbora eletrycza a wyjścu oraz dyspersja śwatłowodu trasmsyjego. Do oszacowaa szumów stosowaa jest metoda KLSE (Karhue-Loève Seres Expaso), przedstawająca proces stochastyczy w postac esończoego szeregu fucj ortogoalych. Występuje tu pewa aaloga do rozwęca fucj oresowej w szereg Fourera, z tym że w przypadu szeregu Fourera współczyam są lczby rzeczywste, a w przypadu szeregu Karhuea-Loève zmee losowe. Metoda KLSE stosowaa była w radoeletroce do aalzy szumów detecj wadratowej już w latach sześćdzesątych. Metodę tą moża z powodzeem zastosować do aalzy optyczych systemów teletrasmsyjych z modulacją ampltudowo-fazową. Pożej szczegółowo opsao zastosowae metody KLSE do szacowaa szumów w uładze decyzyjym oreślaa BER dla systemu z barą modulacją ampltudy RZ. 5. System RZ Schemat bloowy modelu szumowego systemu przedstawoo a rys. 3. 7
a w (t) x (t) t Tx H f (f) Σ H o (f) I I H R (f) s (t) (t) y(t ) Rys. 3. Schemat bloowy modelu szumowego optyczego systemu barego [8]. Wdmo sygału a wejścu odbora, po fltrze optyczym o charaterystyce przepustowej H O (l), ma postać: gdze l sl xl H O, (37) NT x jest zespoloym wdmem sygału szumu ASE x () t s() t () t przed fltrem l optyczym. Gęstość wdmowa szumu ASE rówej: Wartość T0 G NO sp hv sphvdla G >> waracj G N T 0 σ. (38) 0 jest czasem oherecj szumu, zależym od pasma fltrów: optyczego HO(l) eletryczego H R (l) po detecj T 0 μ, gdze μ jest współczyem B ON B RN metody umeryczej doberaym esperymetale. W pratyce, wyoywae oblczeń dla rosącej wartośc μ prowadz do graczego, stablego wyu. Fucja autoorelacj sygału s l opsywaa jest zależoścą: c l ( L, l L) m s s l max ( L, l L), (39) gdze L η NB T, a η jest olejym współczyem, oreślającym doładość metody. ON Aby uwzględć sładowe szumu typu sygał ASE ASE ASE powstające przy detecj wadratowej () t () t s oraz wpływ fltracj po detecj w fltrze o charaterystyce przepustowej H R (l), oraz próbowaa sygału w chwl t, stosowae jest przeształcee (w otacj macerzowej): y T * T * T * ( t ) Q v v c, (40) Pożej opsao szczegółowo poszczególe wyrazy rówaa (40). 8