Bomechanka sportu 59 Istneje ścsła zależność pomędzy zmęczenem a ampltudą częstotlwoścą drżena fzjologcznego męśn. Badane wysokoczęstotlwoścowych składowych drżena może posłużyć do przewdywana momentu odmowy wykonana ćwczena oraz do szacowana maksymalnego obcążena. Mara S. Zakynthnak, James R. Strlng Modelowane matematyczne w bomechance sportu W pracy przedstawono zastosowane analzy systemów dynamcznych analzy częstotlwoścowej nelnowych szeregów czasowych do badana: dynamk stablnośc utrzymywana równowag oraz przewdywana momentu utraty możlwośc wykonana kolejnych powtórzeń ćwczena o charakterze słowym. Dane do analz uzyskano podczas pomarów na platforme dynamometrycznej, których wynk próbkowano z wysoką częstotlwoścą zapsywano w postac cyfrowej. Podstawą modelu matematycznego, zastosowanego do opsu symulacj procesu utrzymywana równowag, jest układ nelnowych równań różnczkowych zwyczajnych. Wykorzystano w nm nowatorske pojęce krzywej krytycznej, opsującej granczne kąty przechylena, których osągnęce ne powoduje jeszcze upadku sportowca. Opsany model może zostać zndywdualzowany wykorzystany do wykrywana poprawy równowag w wynku trenngu. Z Wydzału Matematyk Stosowanej Poltechnk Katalońskej w Barcelone (M. Zakynthnak) oraz Centrum Badań Matematycznych w Bellaterra, Hszpana (J. R. Strlng). Praca sfnansowana ze środków Centrum Badań Matematycznych grantu Mnsterstwa Edukacj, Kultury Sportu Hszpan nr SB 2000-0396. Autorzy pragną wyrazć podzękowana Janow Gajewskemu, Carlotce Torrents, Monce Rbe Yurko Ito. Tłumaczył: Jan Gajewsk. Sport Wyczynowy 2003, nr 11-12/467-468
60 Mara S. Zakynthnak, James R. Strlng Drug eksperyment polegał na rejestracj zman ampltudy częstotlwośc drżena męśnowego w czase wykonywana do odmowy pompek na jednej ręce. Chodzło o wyjaśnene, w jak sposób drżene zwązane jest z postępującym zmęczenem czy na tej podstawe można ocenć zblżane sę momentu odmowy dalszego wykonywana ćwczena. Okazało sę, że w marę wykonana kolejnych powtórzeń ćwczena narastana zmęczena wzrasta ampltuda drżena. Podczas ostatnego powtórzena ćwczena zaobserwowano pojawene sę w przebegu sły składowej wysokoczęstotlwoścowej. Należy sądzć, że sygnał ten o powtarzalnej, wysokej częstotlwośc może być traktowany jako zapowedź utraty zdolnośc do kontynuowana ćwczena. SŁOWA KLUCZOWE: modelowane matematyczne bomechanka sportu stablność równowag cała narastane zmęczena podczas powtarzana ćwczeń słowych. 1. Utrzymywane równowag Podczas spokojnego stana w pozycj wyprostowanej zawodnk ne znajduje sę w bezruchu (6, 9-14, 16, 30, 35, 37). Podczas utrzymywana tej pozycj występują wychwana cała w płaszczyznach czołowej strzałkowej. Istneje pewen zakres tych wychwań, w obrębe którego zawodnk zdolny jest utrzymywać równowagę ne przewrócć sę. Granczne położena członów cała sportowca, oddzelające krańcowo różne końcowe pozycje cała (postawę ponową od leżącej), określają zamknętą krzywą, którą nazywać tutaj będzemy krzywą krytyczną. Zdolność do zapobeżena gwałtownej zmane pozycj cała zależy od możlwośc wytworzena odpowednej sły, dzałającej na podłoże. Zwązane jest to zarówno z rozmaram sztywnoścą podłoża, jak odpowedną słą męśnową (36). Jeżel gwałtowne oddzaływane zewnętrzne powoduje zbyt duże wychylene cała od ponu, zawodnk zmuszony jest zmenć pozycję stóp, co prowadz do upadku lub wykonana kroku, który może temu zapobec. Reakcja, mająca na celu zachowane postawy stojącej, jest funkcją rozmarów cała, sły męśnowej uwarunkowań neurologcznych. Jedną z ważnejszych cech procesu odzyskwana równowag jest występowane oscylacj, powstających w wynku ruchu środka cężkośc cała, który po znalezenu sę w nestablnej pozycj odzyskuje równowagę. Im bardzej nestablna jest postawa cała, tym ampltuda tych oscylacj będze wększa. Oscylacje te zankają po odzyskanu równowag. Nasze dośwadczene polegało na badanu reakcj zawodnka, stojącego spokojne na platforme dynamometrycznej, po wytrącenu go z pozycj równowag. Zakłócena pozycj cała dokonywano, wypychając zawodnka z różną słą w różnych kerunkach. W pozycj wyjścowej zawodnk stał neruchomo z rękam na bodrach stopam ułożonym równolegle do płaszczyzny strzałkowej. Odzyskane równowag uznawano
Modelowane matematyczne w bomechance sportu 61 za zakończone powodzenem, jeżel an ręce, an stopy badanego ne zmenły swojej pozycj. Metody badawcze W trakce gdy zawodnk starał sę odzyskać równowagę, rejestrowano (w postac cyfrowej) przebeg czasowe trzech składowych sły reakcj podłoża (Fx, Fy Fz). Przebeg przekształcono w przebeg czasowe dwóch kątów x y. Rycna 1 pokazuje, że x jest kątem pomędzy ponem a rzutem reakcj wypadkowej na płaszczyznę strzałkową, a y kątem pomędzy ponem a rzutem wypadkowej na płaszczyznę czołową. Maksymalne kąty wychylena w przód w tył (płaszczyzna strzałkowa) zdefnowano odpowedno jako, a maksymalne kąty wychylena w prawo w lewo f b (płaszczyzna czołowa) odpowedno jako. Rzeczywste wartośc tych kątów można było określć bezpośredno r l na podstawe przebegów sły, zarejestrowanych z platformy dynamometrycznej podczas badań. Ryc. 1. Przekształcene składowych sły reakcj podłoża Fx, Fy Fz na dwa kąty x y. Założono, że warunek x = y = 0 oznacza ponową pozycję cała, a warunek x 2 + y 2 = ( /2) 2 pozycję pozomą (leżącą). Za neudaną (upadek na podłoże) uważano taką próbę utrzymana równowag, w wynku której środek cężkośc cała został przemeszczony zbyt daleko od ponu. Założono równeż, że stneje zbór krytycznych wartośc x c y c. Oznaczały one, że: dla 0< x< x c oraz 0< y< y c zawodnk będze w stane odzyskać stablność równowag, dla x c < x< /2 oraz y c < y< /2, zawodnk utrac równowagę, upadając na podłoże. Nasz model posada: stały punkt równowag x = y = 0, modelowany za pomocą funkcj fax( x, y) fay( x, y), które przyjmują wartość zerową dla x = y = 0; zbór stałych punktów o własnoścach odpychających, odpowadający stanow krytycznemu dla kątów x c y c ; zbór tych punktów opsuje krzywą krytyczną, która jest modelowana za pomocą funkcj fc( x, y) (prosty schemat przedstawający wygląd tej funkcj w dwuwymarowej przestrzen ( x, y) ukazanego na ryc. 2); zachodz przy tym zależność f c ( x c, y c )=0; zbór stałych punktów przycągających spełnających warunek x 2 + y 2 = ( /2) 2 ; modelowany za pomocą funkcj f f ( x, y) opsującej zewnętrzną grancę modelu; na grancy zewnętrznej zachodz warunek f f ( x, y)=0. Do modelowana procesu odzyskwana równowag wykorzystano układ równań różnczkowych zwyczajnych (28).
62 Mara S. Zakynthnak, James R. Strlng Ryc. 2. Krzywa krytyczna na tle okręgu o własnoścach przycągających (warunkującego upadek) x 2 + y 2 = ( /2) 2 punktu przycągającego x = y = 0 (warunkującego zachowane równowag). Jako zmenne w równanu zastosowano kąty x y, których pochodne oblczano względem czasu. Równana opsujące model wyrażono w następującej forme: d x/dt = fax( x, y) fc( x, y) f f ( x, y), d y/dt = fay( x, y) fc( x, y) f f ( x, y). Powyższe równana, przy określonych warunkach początkowych (wstępnym wychwanu zawodnka z położena równowag) mogą zostać rozwązane zarówno na drodze analtycznej, jak numerycznej w celu uzyskana przebegów zmennych x y w czase. W tym mejscu warto nadmenć, że symbole d x/dt d y/dt oznaczają pochodne po czase (prędkość zman) zmennych x y. Po scałkowanu równań względem czasu można uzyskać wartośc x y w dowolnej chwl czasowej oraz określć zarówno końcowy stan układu, jak trajektorę, po której x y ten stan osągnęły. Wynk Zarejestrowane podczas pomarów na platforme dynamometrycznej wartośc składowych sł reakcj podłoża przelczono na kąty x y. Na ch podstawe ustalono, że maksymalne kąty, dla których badany zawodnk zdolny był utrzymać równowagę, wynosły (w radanach): f = -0,184; b = -0,078; r = -0,093; l = -0,117. Na podstawe tych kątów można oblczyć krzywą krytyczną dla badanego zawodnka. Warto zauważyć, że w tym przypadku ne będze ona symetryczne ułożona, poneważ, co wynka z przytoczonych powyżej wartośc f, b, r l, badany zawodnk wyraźne faworyzuje jedną stronę cała. Na rycne 3 przedstawono określoną dla nego krzywą krytyczną w zestawenu z wydealzowaną krzywą symetryczną. Ryc. 3. Krzywa krytyczna oblczona dla badanego zawodnka (lna cągła) odpowadająca jej wydealzowana krzywa symetryczna (kąty wyrażone w radanach).
Modelowane matematyczne w bomechance sportu 63 Wnosk Powszechne wadomo, że wele urazów, jakch doznają zawodncy, to skutek asymetr ruchów, wynkającej zarówno z asymetr sły męśnowej, jak różnc zakresów ruchu po obu stronach cała. Dzęk zastosowanu naszego modelu możlwośc ndywdualnego dopasowana krzywej krytycznej sytuacje tego typu łatwo dostrzec. Zaprezentowany model może zostać wykorzystany do dentyfkacj asymetr wskazywana kerunków ch lkwdacj poprzez odpowedn trenng. Jednocześne powstała możlwość montorowana ewentualnej poprawy wynków zawodnka, przejawającej sę powększenem obszaru ogranczonego krzywą krytyczną. Wększy zasęg krzywej krytycznej oznacza, że zawodnk jest w stane bardzej odchylć sę od ponu skorygować wększe zakłócena postawy. 2. Drżene wywołane wysłkem przewdywane momentu odmowy kontynuowana wysłku Drżenem nazywane są rytmczne oscylacje sły we wspólne unerwonych antagonstycznych grupach męśnowych, wywołujące ruch członów cała (1, 2, 8, 23, 29, 38). Skądnąd wadomo, że zarówno ampltuda, jak częstotlwość drżena podlegają zmanom, wywoływanym przez rozmate czynnk, w tym przez wysłek fzyczny zmęczene (7, 8, 18-21, 25, 26, 31, 43). Jak sę wydaje, drżene powysłkowe zwązane jest z oscylacjam pobudzeń, powstających w pętlach odruchowych (40). W naszym eksperymence przyjęlśmy założene, że z matematycznego punktu wdzena drżene można traktować jako zakłócene nałożone na ruch właścwy, wykonywany podczas ćwczena. Poneważ ruch wykonywany podczas ćwczena jest powtarzalny, a wszelke zakłócena ruchu zankają w wynku korekcj dokonywanej przez zawodnka, założono, że stneje atraktor (w tym przypadku wzorcowa trajektora o własnoścach przycągających), odpowadający dealnemu wykonanu ruchu, którego sła jest funkcją zarówno sły męśnowej, jak stopna trudnośc danego ćwczena. Zmęczene zwązane z wykonywanem kolejnych powtórzeń ćwczena zmnejsza słę atraktora odpowadającego ruchow dealnemu. Ruch odtwarzany jest coraz mnej dokładne. W marę narastana zmęczena oscylacje charakteryzujące drżene wolnej zankają, wskazując w ten sposób na utratę stablnośc atraktora zblżane sę momentu zmany wzorca ruchu. Można węc założyć, że odmowa jest wynkem rozdwojena atraktora, co wywołuje utratę przycągana ostateczne nemożność kontynuacj ćwczena. Zarówno ampltuda, jak częstotlwość drżena poddawane były szczegółowym badanom. Dowodły one (39), że częstotlwość drżena można podzelć na trzy kategore, zwązane z oscylacjam wolnym (3 do 5 Hz), średnm (5 do 8 Hz) gwałtownym (9 do 12 Hz). Nektórzy uważają, że częstotlwośc drżena zawerają sę w przedzale od 6 do 12 Hz (2, 8, 15, 23), nn sugerują ra-
64 czej przedzał od 2 do 20 Hz (17, 24, 41, 42). Z kole w pracy J. T. Vtasalo J. Gajewskego (41) stwerdzono, że składowe drżena z przedzału od 10 do 20 Hz są najbardzej wrażlwe na wpływ zmęczena. Występowane maksmów w wysokoczęstotlwoścowej częśc wdma drżena do 30 40 Hz nekedy obserwowano (5) w zwązku ze wzrostem obcążena. Do celów nnejszej pracy wybrano ćwczene pompk na jednej ręce, znane z aerobku sportowego, stosowane równeż w welu dyscyplnach sportu jako element trenngu słowego. Z uwag na małe pole podstawy pozycja podczas wykonywana tego ćwczena jest mnej stablna nż podczas tradycyjnych pompek, wykonywanych za pomocą obu rąk. Męśne zaangażowane w wykonane tego ćwczena zmuszone są do podjęca znaczne wększego wysłku, aby utrzymać równowagę. Z uwag na asymetryczne ułożene cała sła reakcj mędzy ręką zawodnka a podstawą posada zależną od czasu trójwymarową dynamkę. Materał metoda badań W dośwadczenu wzęła udzał zawodnczka, która wykonała na platforme dynamometrycznej Kstler serę pompek na jednej ręce, aż do odmowy. Dane z platformy zapsano za pomocą układu cyfrowego, rejestrującego przebeg Fz, Fx Fy składowych sły reakcj odpowedno w kerunku ponowym (z), pozomym w płaszczyźne strzałkowej (x) pozomym w płaszczyźne czołowej (y). Składowe sły wyrażono w kg. Próbkowana sygnałów Mara S. Zakynthnak, James R. Strlng sły dokonano w czase czterech sekund z częstotlwoścą 1000 Hz. Danych ne poddano fltracj an dolno-, an górnoprzepustowej. Możlwa węc była analza składowych o częstotlwoścach wększych od 50 Hz mnejszych od 2 Hz. Zadbano o to, by sposób dokonywana pomaru był jednakowy podczas każdego powtórzena. Nezależne zarejestrowano cąg danych podczas dwóch sesj badawczych, kedy ćwczene było wykonywane do odmowy: Ćwczene E A Zawodnczka została poproszona o wykonane ser pompek na jednej ręce. Odmowa nastąpła podczas wykonywana dzesątego powtórzena. Ćwczene E B Klka mesęcy po wykonanu perwszych badań ta sama zawodnczka została poproszona o powtórzene poprzednego zadana. W mędzyczase ne wykonywała żadnego specyfcznego trenngu. Tym razem odmowa nastąpła podczas wykonywana dwunastej pompk. Dla celów nnejszej pracy zarejestrowane przebeg składowych Fx, Fy Fz zostały transformowane do współrzędnych sferycznych. W układze tym (ryc. 4.) kąt jest azymutem na płaszczyźne XY odlczanym od os x (-180 < < 180 ), a kątem begunowym odlczanym od os z (0 < <180 ). Ftot oznacza wypadkową słę reakcj podłoża w mejscu przyłożena ręk do platformy. Dla każdej ser pompek estymowano, za pomocą transformacj Fourera, składowe częstotlwoścowe przebegów czasowych trzech zmennych: Ftot,. Transformacja Fourera jest operacją lnową. Za jej pomocą dla danego
Modelowane matematyczne w bomechance sportu 65 Ryc. 4. Przekształcene składowych sły reakcj Fx, Fy Fz do układu współrzędnych sferycznych Ftot,. przebegu czasowego określa sę, w sposób wzajemne jednoznaczny, jego obraz w dzedzne częstotlwośc przedstawający udzał poszczególnych składowych częstotlwoścowych (27). W pracy zastosowano procedurę tzw. szybkej transformaty Fourera (FFT), zaadaptowaną z 34. poz. pśmennctwa. Gęstość wdmowa mocy (PSD) opsuje rozkład mocy (lub warancj) sygnału w dzedzne częstotlwośc. Defncja określa PSD jako kwadrat modułu transformaty Fourera wymnożony przez odpowedną stałą (27). Szczegółowa dyskusja własnośc transformaty Fourera została przedstawona w 27. 34. pozycj pśmennctwa. Dzęk gruntownej analze dyskretnych wdm przebegów trzech badanych zmennych wykazano stnene pęcu łatwo wyróżnalnych zakresów częstotlwoścowych, charakterystycznych ze względu na ampltudę PSD - dla każdego z powtórzeń ćwczena. Owym zakresom przypsano nazwy A, B, C, D E. Grance wyróżnonych obszarów przedstawono ponżej: Zakres A 02,93 007,31 Hz; Zakres B 07,32 020,75 Hz; Zakres C 20,76 043,95 Hz; Zakres D 43,96 071,29 Hz; Zakres E 71,30 107,42 Hz. Składowe o częstotlwoścach mnejszych nż dolna granca zakresu A (f<2,93 Hz) odpowadały wzorcow ruchu ne były zwązane z drżenem, natomast składowych o częstotlwoścach wększych nż górna granca obszaru E ne można było wyodrębnć z szumów tła. Aczkolwek składowe wysokoczęstotlwoścowe z zakresów D E tradycyjne uważane były za szumy, w nnejszej pracy wykazano, że zakresy te w rzeczywstośc są ważne z punktu wdzena analzy zjawska odmowy wskazana momentu jego wystąpena. Aby wykryć zmany PSD w zakresach nskch częstotlwośc A, B C, dla obu badanych ćwczeń wykonano następujące operacje. Nech j oznacza lczbę powtórzeń. Dla perwszego ćwczena (E A ) j=1,...,10, a dla drugego (E B ) j=1,...,12. Jeżel przez f n oznaczone zostaną dyskretne wartośc częstotlwośc, to można będze zdefnować: j parametr jako sumę dyskretnych wartośc PSD z wybranego przedzału częstotlwośc, mogący służyć jako wskaźnk zman ampltudy drżena (w 19 pozycj pśmennctwa znajduje sę podobna defncja j ): j = PSD(f n ), = A, B, C, gdze oznaczają początkową końcową dyskretną wartość częstotlwośc dla każdego z zakresów A, B C oraz
66 parametr, jako wskaźnk względnej różncy mędzy wskaźnkam j : Mara S. Zakynthnak, James R. Strlng j - 1 =, = A, B, C. 1 1 Wartość odnos sę do wdma częstotlwoścowego perwszego powtórze- na. Należy wspomneć, że w wynkach ujawnło sę wyraźne podobeństwo wartośc dla trzech perwszych powtó- 1 rzeń ćwczena (to znaczy 1 2, 3 ). Należy równeż nadmenć, że wartośc j zostały oblczone tylko dla perwszych trzech zakresów, tzn. A, B C. tot Ryc. 5. Ćwczene E A : względne zmany w funkcj postępującego zmęczena; =A, B, C. Wynk Badając wdma trzech zmennych Ftot,, wykazano, że stneje ścsła zależność pomędzy zmęczenem a ampltudą częstotlwoścą drżena, co jest zgodne z wynkam prezentowanym w pśmennctwe. Wraz ze wzrostem zmęczena we wzorcu drżena, nakładającego sę na ruch podstawowy, pojawają sę dodatkowe maksma. Na rycnach 5. 6. zlustrowano wartośc oblczone w zakresach A, B C dla danych, odpowadających kolejnym powtórzenom ćwczena. Na rycne 5. przedstawono wynk dotyczące perwszego ćwczena (E A ), a na ryc. 6. drugego (E B ). Przyglądając sę obu rycnom można zauważyć, że (dla obu ćwczeń E A E B ): wzrost lczby maksmów jest wyraźny główne w zakrese B dotyczy to obu zmennych Ftot ; stwerdzene to zgodne jest z pśmennctwem (w poz. 41. pśmennctwa autorzy nformują o podobnych wynkach w zakrese częstotlwośc 10-20 Hz); wzrost drżena następujący wraz z narastającym zmęczenem jest równeż
Modelowane matematyczne w bomechance sportu 67 przyrosty wartośc (w zakrese A) A dla Ftot są stosunkowo newelke. Wynk odnoszące sę do zakresów wysokoczęstotlwoścowych D E ne zostały poddane wstępnej fltracj, dzęk temu ch analza mogła wykazać pojawane sę w badanych przebegach tot tot Ryc. 6. Ćwczene E B : względne zmany w funkcj postępującego zmęczena; =A, B, C. łatwo dostrzegalny w zakrese C równeż dotyczy zmennych Ftot ; oscylacje, dla zakresów A, B C, ne wykazują zwązku ze zmęczenem; Ryc. 7. Ćwczene E A : charakterystyczny szczegół badanych przebegów czasowych (zakreślonych kółkem) trzech zmennych Ftot, podczas ostatnego, dzesątego powtórzena ćwczena (na chwlę przed odmową).
68 Mara S. Zakynthnak, James R. Strlng składowych o wysokch częstotlwoścach. Efekt ten pokazano na rycne 7. przedstawającej wybrane fragmenty przebegów wszystkch trzech zmennych, zarejestrowane w czase dzesątego powtórzena ćwczena E A, czyl tego, podczas którego nastąpła odmowa. Zakreślone kółkem fragmenty sygnałów na ryc. 7 są tym częścam przebegów czasowych, zarejestrowanych podczas dzesątego powtórzena ćwczena E A, które lustrują chwlę przed odmową sam moment jej wystąpena. Za pomocą analzy częstotlwoścowej tych fragmentów badanych sygnałów dla dzesątego powtórzena ćwczena E A wykazano, że częstotlwość sygnału będącego zapowedzą odmowy jest na tyle wysoka, że należy do zakresów D E. Obserwując przebeg badanych sygnałów podczas przedostatnego (dzewątego) powtórzena ćwczena E A można równeż dostrzec wysokoczęstotlwoścowy sygnał, bardzo podobny do tego, który pojawa sę w ostatnm powtórzenu jako zapowedź odmowy. Należy dodać, że sygnały podobne do opsywanych powyżej pojawały sę równeż w badanych przebegach dla ćwczena E B podczas jedenastego (przedostatnego) dwunastego (ostatnego) powtórzena. Stwerdzono, że wysokoczęstotlwoścowe sygnały wykryte podczas ostatnch powtórzeń obu ćwczeń E A E B pojawają sę podczas drugej fazy pompk w zblżonym czase, lczonym od rozpoczęca odpowednego powtórzena. Sygnały, pojawające sę podczas przedostatnego powtórzena, trwają krócej, a ch ampltuda jest mnejsza nż podczas ostatnego powtórzena. Podczas przedostatnego powtórzena zawodnczka wcąż była zdolna do skorygowana krótkotrwałego wysokoczęstotlwoścowego drżena kontynuowana ostatnej w pełn dokończonej pompk na jednej ręce. Pojawene sę sygnałów opsanych powyżej dla przedostatnego powtórzena jest przyczyną wystąpena w wdmach badanych przebegów lcznych maksmów w zakrese D oraz klku maksmów w zakrese E. Ścśle mówąc, podczas ćwczena E A dla częstotlwośc ok. 90 Hz (zakres E) zaobserwowano newelke maksmum PSD podczas przedostatnego powtórzena. Warto zauważyć, że podobne maksma ne pojawały sę w wdmach sygnałów w wysokoczęstotlwoścowym zakresach D E podczas perwszych sedmu powtórzeń w ćwczenu E A perwszych dzewęcu w ćwczenu E B. Newelka lczba maksmów pojawała sę natomast w zakrese D podczas ósmego powtórzena w ćwczenu E A dzesątego w ćwczenu E B. Taka charakterystyka sygnałów może być uważana za zapowedź zblżającego sę momentu odmowy kontynuowana zadanego ćwczena. Wnosk W marę narastana zmęczena zwększa sę zarówno ampltuda, jak częstotlwość drżena. Za pomocą analzy częstotlwoścowej wykazano, że najbardzej znaczące względne przyrosty drżena wywołane zmęczenem występują w zakrese od 7,32 do 20,75 Hz. Stwerdzono równeż wzrost składowych z zakresu od 20,76 do 43,95 Hz.
Modelowane matematyczne w bomechance sportu 69 W pracy badano równeż składowe o wysokej częstotlwośc, pojawające sę w ne odfltrowanych przebegach czasowych, zarejestrowanych na platforme dynamometrycznej. Dostrzeżono pojawane sę powtarzalnych, wysokoczęstotlwoścowych sygnałów podczas powtórzeń ćwczena bezpośredno poprzedzających odmowę podczas ostatnego powtórzena, kedy kontynuowane ćwczena okazało sę nemożlwe. Badane tych wysokoczęstotlwoścowych sygnałów może węc posłużyć do przewdywana momentu odmowy oraz do szacowana maksymalnego obcążena (47), przy którym można wykonać określoną lczbę powtórzeń ćwczena, zanm nastąp odmowa. Ne trzeba sę przy tym ucekać do metody prób błędów. Warto zauważyć, że znajomość wartośc CM pozwala ocenać ntensywność obcążena trenngowego. Dodatkowo, w przypadku, gdy wększe obcążene mogłoby spowodować nekontrolowaną odmowę, perwsze pojawene sę wysokoczęstotlwoścowego sygnału z zakresu D E mogłoby posłużyć do określena prawe maksymalnego obcążena, przy którym zawodnk zdolny byłby zakończyć ćwczene w kontrolowany sposób. Możlwość przewdywana momentu odmowy małaby węc duże znaczene wtedy, gdy nekontrolowana odmowa, przy dużym obcążenu, mogłaby prowadzć do wysoce nepożądanych skutków, takch jak kontuzje. Pśmennctwo 1. Adams R. D., Vctor M., Ropper A. H.: Prncples of neurology. New York 1997. McGraw-Hll, 6th ed., 94-113. 2. Anout A., Koller W. C.: Tremor dsorders: dagnoss and management. West. J. Med. 1995, 162: 510-513. 3. Bardy B. G. et al.: Dynamcs of human postural transtons. J Exper. Psych.-Human Percepton and Performance 2002, 28: 499-514. 4. Bardy B. G. et al.: Postural coordnaton modes consdered as emergent phenomena. J Exper. Psych.-Human Percepton and Performance 1999, 25: 1284-1301. 5. Basmajan J. V.: Muscles Alve: Ther Functons Revealed by Electromyography. Lppncott, Wllams & Wlkns 1979, 5th edton, 185. 6. Ouller O. et al.: Postural coordnaton n lookng and trackng tasks, Human Mov. Sc. 2002, 21:147-167. 7. Bousfeld W. A.: Influence of fatgue on tremor. J. Exper. Physol. 1932, 15:104-107. 8. Charles P. D. and al.: Classfcaton of tremor and update on treatment. Am. Fam. Phys. 1999, 59: 1565-1576. 9. Chow C. C., Collns J. J.: Pnned polymer model of posture control. Physcal Revew 1995, E, 52: 907-912. 10. Chow C. C., Lauk M., Collns J. J.: The dynamcs of quas-statc postural control. Hum. Mov. Sc. 1999, 18: 725-740. 11. Collns J. J., De Luca C. J.: Open-loop and closed-loop control of posture: a random walk analyss of center of pressure. Exp. Bran Res. 1993, 95: 308-318. 12. Collns J. J., De Luca C. J.: Random walkng whle quet standng. Physcal Revew Letters 1994, 73: 764-767. 13. Collns J. J., De Luca C. J.: The effects of vsual nput on open loop and closedloop postural control mechansms. Exp. Bran Res. 1995, 103: 151-163. 14. Collns J. J., De Luca C. J.: Uprght, correlated random walk: A statstcal-bomechancs approach to the human postural control system. CHAOS 1995, 5: 57-63. 15. Cooper G., Rodntzky R.: The many forms of tremor: precse classfcaton gudes selecton of therapy. Postgrad. Med. 2000, 108 (1): 57-70.
70 Mara S. Zakynthnak, James R. Strlng 16. Frank T. D., Daffertshofer A., Beek P. J.: Multvarate Ornsten-Uhlenbeck processes wth mean-feld dependent coeffcents: Applcaton to postural sway. Physcal Revew 2001 E 63. 17. Fox J. R., Randall J. E.: Relatonshp between forearm tremor and the bceps electromyogram. J. Appl. Physol. 1970, 29: 103-108. 18. Furness P., Jessop J., Lppold O. C. J.: Long-lastng ncreases n the tremor of human hand muscles followng bref, strong effort. J. Physol. 1977, 265: 821-831. 19. Gajewsk J., Wojczuk J.: Changes n tremor followng hgh ntensty exercse. Bol. Sport 1989, 6 (3): 225-232. 20. Gajewsk J., Iskra L., Wt A.: Physologcal muscle tremor n boys and grls. Bol. Sport 1999, 8: 71-76. 21. Gajewsk J., Vtasalo J. T.: Does the level of adaptaton to a heavy physcal effort nfluence fatgue-nduced changes n tremor ampltude? Human Movement Scence 1994, 13: 211-220. 22. Guckenhemer J., Holmes P.: Nonlnear oscllatons, dynamcal systems, and bfurcatons of vector felds. Sprnger-Verlag 1997. 23. Hallet M.: Classfcaton and treatment of tremor. J. the Amercan Medcal Assocaton 1991, 266: 115-117. 24. Heftner H. and al.: Stablty of frequency durng long-term recordngs of hand tremor. Electroencephal. Cln. Neurophysol. 1987, 67: 439-446. 25. Iazzo P. A., Pozos R. S.: Exercse-nduced ampltude modfcaton of physologcal acton tremor of the ankle. J. Appl. Physol. 1982, 53 (5): 1164-1170. 26. Jessop J., Lppold O. C. J.: Altered synchronzaton of motor unt frng as a mechansm for long-lastng ncreases n the tremor of human hand muscles followng bref strong effort. J. Physol. 1997, 269:29-30. 27. Kantz H., Schreber T.: Nonlnear Tme Seres Analyss. Cambrdge Unv. Press 1999. 28. Strlng J. R., Zakynthnak M. S. (to appear, 2004) Stablty and the mantenance of balance followng a perturbaton from quet stance. Chaos: An Interdscplnary Journal of Nonlnear Scence. 29. Lake M. et al.: Shootng performance s related to forearm, temperature and hand tremor sze. J. Sport Sc. 1995, 13: 313-320. 30. Lauk M., et al.: Human balance out of equlbrum: Nonequlbrum statstcal mechancs of posture control. Phys. Rev. Lett. 1998, 80, 413. 31. Lppold O. C. J.: The tremor n fatgue. CIBA Foundaton Symposum 1981, 82: 234-248. 32. McCollum G., Leen T. K.: Form and exploraton of mechancal stablty lmts n erect stance. Journal of Motor Behavour 1989, 21, 3: 225-244 33. Mester J.: Movement control and balance n earthbound movements, [n:] Bomechancs and bology of movement. Human Knetcs 2000. 34. Press W. H. et al.: Numercal Recpes [n:] The Art of Scentfc Computng. Cambrdge 1993, Unversty Press, 2nd edton. 35. Prplata A. et al.: Nose-Enhanced Human Balance Control. Phys. Rev. Lett. 2000, 89. 36. Rcco G. E., Stoffregen T. A.: Affordances as constrants on the control of stance. Human Movement Scence 1988, 7: 265-300 37. Rley M. A. et al.: Common effects of touch and vson on postural parameters. Exp. Bran Res. 1997, 117, 165-170. 38. Shahan B. T., Young R. R.: Physologcal and pharmacologcal ads n the dfferental dagnoss of tremor. J. Neurol. Neurosurg. Psychatry 1976, 39: 722-783. 39. Sandron P., Young R. R.: Tremor: dagnoss and management. Am. Fam. Phys. 1994, 50: 1505-1512. 40. Topka H. et al.: A cerebellar-lke termnal and postural tremor nduced n normal man by transcranal magnetc stmulaton. Bran 1999, 122: 1551-1562.
Modelowane matematyczne w bomechance sportu 71 41. Vtasalo J. T., Gajewsk J.: Effects of strength tranng-nduced fatgue on tremor spectrum n elbow flexon. Human Movement Scence 1994, 13: 129-141. 42. Wade P. et al.: A normatve study of postural tremor of the hand. Arch. Neurol. 1982, 39: 358-362. 43. Young R. R., Hagbarth K.-E.: Physologcal tremor enhanced by maneuvers affectng the segmental strecht reflex. J. Neurol. Neurosurg. Psych. 1980, 43: 248-256. 44. Zakynthnak M. S., Strlng J. R.: (CRM preprnt, 2003) Appearance of hgh frequency sgnals combned wth fatgue-nduced ncreases n tremor as a means for the antcpaton and detecton of falure. 45. Zatsorsky V. M.: Scence and practce of strength tranng. Human Knetcs 1995. Immanentną cechą sportu jest dążene do wygranej /lub poprawy wynku. Gdy mowa o współczesnym sporce wyczynowym, należałoby dopsać: nezależne od ceny (w każdym rozumenu tego sformułowana), którą przyjdze zapłacć za uzyskany rezultat. Grance zastosowana ekstensywnych metod trenngu, polegających na zwększanu obcążeń, jak sę wydaje, dawno już osągnęto. Wszelk postęp możlwy będze, praktyczne wyłączne, poprzez poprawę jakośc trenngu. Konecznoścą staje sę zndywdualzowane podejśca do zawodnka, zastosowane nowych metod kontrol przebegu, jakośc oraz efektów procesu trenngowego. Potrzeba nawązana ścsłej, realnej współpracy z różnym naukam, w tym z naukam ścsłym, staje sę coraz wyraźnejsza. Problemem okazuje sę jednak ne tylko brak przygotowana praktyków sportu do aplkacj oferty ze strony tych nauk, ale także neznajomość złożonośc problemów sportu oraz dorobku praktyk ludz sportu wśród przedstawcel nauk ścsłych. Zdarza sę węc, że trafna oferta bywa czasem trudna do bezpośrednego wykorzystana. Artykuł Zakynthnak Strlnga może być przykładem potwerdzającym słuszność powyższej tezy. Z drugej strony ne można jednak wymagać od matematyków, aby samodzelne postawl rozwązal szczegółowy problem, dotyczący praktyk trenngu sportowego. Najbardzej wartoścowym aspektem tej pracy jest nowatorske zastosowane metod analzy systemów dynamcznych analzy częstotlwoścowej do opsu zjawsk dla sportu stotnych. Jeżel tylko zastosowane tych metod będze mogło dostarczyć nowej, wartoścowej nformacj, propozycja może okazać sę atrakcyjna. W stoce, obektywnych ocen porównań można dokonywać wyłączne w oparcu o wymerne wskaźnk loścowe. Ogromny teoretyczny dorobek matematyk wcąż pozostaje ne wykorzystany praktyczne. Problemy zwązane z utrzymywanem równowag były welokrotne badane mają bogate pśmennctwo. Zastosowane przez Strlnga nowego opsu for-
72 Mara S. Zakynthnak, James R. Strlng malnego stwarza dodatkowe możlwośc ch nterpretacj. Jak sę wydaje, krzywa krytyczna, zaproponowana jako sposób wzualzacj wynków, może być przydatna do montorowana zman zdolnośc do utrzymywana równowag. Warto węc sprawdzć, czy uzyskwane w ten sposób wynk są powtarzalne, czy różncują zawodnków czy, jak spodzewa sę tego autor, dostarczą nformacj potrzebnych do sterowana trenngem? Równe nteresująco wygląda druga część artykułu. Ocena zmęczena na podstawe analzy zman drżena męśnowego ne jest propozycją nową, ale, do tej pory, ne pojawły sę rutynowe metody dagnostyczne wykorzystujące to zjawsko. Pompk wykonywane na jednej ręce należy traktować wyłączne jako przykład ćwczena o charakterze słowym, wykonywanego w serach do odmowy. W pśmennctwe ne przedstawono dotąd żadnej nformacj na temat fluktuacj sły, będącej zapowedzą utraty zdolnośc do kontynuowana ćwczena. Zaproponowane przez Zakynthnak zastosowane analzy częstotlwoścowej przebegów sły reakcj do opsu procesu zmęczena jest jej orygnalnym wkładem do wedzy o bomechance fzjolog męśn. Szczegóły artykułu Zakynthnak Strlnga z pewnoścą ne zanteresują bezpośredno szerokego grona czytelnków Sportu Wyczynowego, jakm są trenerzy, raczej stanowć mogą nsprację dla bomechanków sportu. Pozostaje pytane: czy obe zaproponowane metody mogą stać sę podstawą do opracowana wartoścowych procedur dagnostycznych? Weryfkacja może nastąpć wyłączne na drodze dośwadczalnej. Mmo z pozoru trudnej matematycznej formy przedstawonych zależnośc, fachowec w łatwy sposób jest w stane nadać m kształt programu komputerowego. Platformy dynamometryczne są już nemal standardowym elementem wyposażena laboratorum bomechancznego. Potwerdzene spostrzeżeń autorów dokonanych w jednostkowej skal na lcznejszych grupach badanych ne pownno węc nastręczać zasadnczych trudnośc. Jedno jest pewne - mamy do czynena z cekawą propozycją. Jan Gajewsk