φ zmienna stanu, wyrażające prędkość kątową

Transkrypt

1 Krzysztof K. Żur Nowa koncepcja modelowana analzy dynamk aparatu kroczena człoweka NOWA KONCEPCJA MODELOWANIA I ANALIZY DYNAMIKI APARATU KROCZENIA CZŁOWIEKA Krzysztof K. ŻUR * * doktorant, Katedra Automatyk Robotyk, Wydzał Mechanczny, Poltechnka Bałostocka, ul. Wejska 45 C, Bałystok krzysztof.zur@gmal.com Streszczene: W artykule przedstawono nową koncepcję opsu analzy dynamk aparatu kroczena człoweka. Zaproponowano własny matematyczny model aparatu kroczena człoweka w przestrzen stanu. Wykorzystano metodę płaszczyzny fazowej oraz tzw.,,efekt mocy wykresów fazowych w analze dynamk stawu kolanowego podczas pełnego cyklu ruchu osób młodych, zdrowych sprawnych oraz osób zdrowych sprawnych w weku podeszłym. Wysunęto hpotezę badawczą dotyczącą możlwośc wykorzystana pól małych pętl fazowych do oceny koordynacj nerwowo-męśnowej aparatu kroczena człoweka. 1. WSTĘP Chód jest jedną z naturalnych czynnośc ruchowych człoweka, która zapewna przemeszczene całego cała w dowolnym kerunku. Człowek dopero w dzesątym roku swego życa osąga pełną sprawność aparatu kroczena. Zakładając średną długość życa 70 lat, 1/7 tego czasu jest pośwęcona na osągnęce pełnej koordynacj układu nerwowo-męśnowego aparatu kroczena człoweka. Rys. 1. Petroglf pochodzący z około 5000 lat p.n.e najdujący sę w Qobustan (Azerbejdżan) Zanteresowane oraz obserwacje zwązane z chodem człoweka trwają już od przeszło 5000 lat p.n.e., o czym np. śwadczą rysunk wykonane na skałach (petroglfy) (Rys. 1), na których są wdoczn ludze w wybranych fazach chodu begu. W dobe renesansu, także można zauważyć welke zanteresowane chodem człoweka obserwując wele rzeźb obrazów charakterystycznych dla tego okresu. Malarze rzeźbarze zatrzymując w swoch dzełach czas utrwalając wybrane fazy chodu, popełnal bardzo wele błędów, gdyż neznane m były prawa ruchu całego cała jego poszczególnych segmentów. Przełomu w rejestracj ruchu zwerząt ludz dokonal w XIX w. Francuz E. Marey Amerykann E. Muybrdge, którzy jako perws wykorzystal technkę fotografczną (Woltrng, 1987). Następne badacze nemeccy W. Braune O. Fsher wykorzystując metodę stroboskopową, umożlwl analzę trójwymarowego ruchu człoweka (Woltrng, 1987). Najwększym postępem w rozwoju technk pomarowej ruchu człoweka było zastosowane technk telewzyjnej oraz optoelektronk do szybkego odczytu z komputerowego obrazu, współrzędnych znacznków umeszczonych na badanym obekce a następne dokonywana oblczeń zobrazowana wynków on-lne. Można było uzyskać parametry knematyczne chodu, jednak nadal brakowało pomaru welkośc dynamcznych, takch jak np. sły reakcj podłoża. W zwązku z tym zbudowano platformy dynamometryczne dzałające na zasadze pomaru odkształceń przemeszczeń sprężystych elementów mechancznych. Francuz L. Lauru w 1957 roku skonstruował perwszą pezoelektryczną platformę dynamometryczną, w której było wykorzystywane zjawsko pezoelektryczne odkryte w 1880 roku przez brac Cure (Woltrng, 1987). Platformę pezoelektryczną udoskonalła szwajcarska frma Kstler. Zwększono jej czułość do tego stopna, że bez przeszkód można było zarejestrować bce serca osobnka stojącego względne neruchomo na platforme. Rozwój systemów pomarowych przez ostatne 100 lat, wykorzystał np. badacz kanadyjsk D. Wnter z Unversty of Waterloo, który przeprowadzł badana aparatu kroczena człoweka w płaszczyźne strzałkowej ruchu, obejmujące normę patologę chodu osób młodych oraz w weku podeszłym, a następne umeścł wszystke pomary w swojej monograf (Wnter, 1991). Autorzy pracy (Żur Jaworek, 2011) wykorzystal dane pomarowe (Wnter, 1991) dotyczące stawu kolanowego osób młodych, zdrowych sprawnych do opsu kroczena robotów antropomorfcznych typu DAR (Żur Jaworek, 148

2 acta mechanca et automatca, vol.5 no.1 (2011) 2011) w przestrzen stanu. Ops ten, będący unwersalnym narzędzem matematycznym, można także stosować w lokomocj dwunożnej człoweka w ruchu płaskm. Autor artykułu wykorzystał dane pomarowe (Wnter, 1991) dotyczące stawu kolanowego osób młodych, zdrowych sprawnych oraz osób zdrowych sprawnych w weku podeszłym do wykreślena ch trajektor fazowych będących grafczną reprezentacją dynamk aparatu kroczena, bez znajomośc równań ruchu układu. 2. MODELOWANIE APARATU KROCZENIA W LOKOMOCJI DWUNOŻNEJ CZŁOWIEKA 2.1. Klasyczne metody modelowana aparatu kroczena człoweka Układ ruchowy człoweka jest bardzo złożony wymaga welu uproszczeń, gdyż ne można zbudować matematycznego modelu werne odzwercedlającego tak skomplkowany mechanzm. Perwszy model matematyczny lokomocj człoweka został opracowany przez brac Weberów z Getyng w 1836 roku. Zaproponowal on model,,podwójnego odwróconego wahadła do opsu fazy wymachu kończyny dolnej (Jaworek, 1992). Wybór właścwego modelu wymaga wyboru odpowednej lczby stopn swobody, a także ustalena geometr, knematyk oraz dynamk obektu. Zakładając, że kośc są członam sztywnym, a stawy tworzą pary knematyczne umożlwające wykonane tylko ruchów obrotowych, można uzyskać model o 250 stopnach swobody, gdze lczba stopn swobody przypadająca na kończyny dolne wynos 120 (Jaworek, 2011). Uproszczene modelu można uzyskać poprzez redukcję stopn swobody, ale trzeba meć na uwadze, że model mus utrzymywać podobeństwo do orygnału. Najbardzej znany model ruchu człoweka został opracowany przez Hatzego, składał sę z 17 członów o 44 stopnach swobody (Jaworek, 1992). Opsując bomechanzmy, zwykle korzysta sę z (Moreck nn, 1984): praw Newtona; zasady d Alemberta; równań Lagrange a II rodzaju; równań Boltzmana-Hamela; równań Mangerona-Deleanu. Wykorzystane równań Lagrange a do ułożena równań dynamk lokomocj człoweka jest mało efektywne przy wększej lczbe stopn swobody. Klasyczne metody mechank analtycznej zawodzą, jeżel na układ nałożone są węzy neholonomczne rzędu wyższego nż drug (Jaworek, 1992) Własny model matematyczny aparatu kroczena człoweka w przestrzen stanu Autorzy artykułu (Żur Jaworek, 2011) zaproponowal matematyczny ops ruchu kończyn dolnych robota antropomorfcznego typu - DAR w przestrzen stanu (Takahash nn, 1976). W pracy (Żur Jaworek, 2011) podano hpotezę badawczą dotyczącą wektora sterowana aparatem ruchu człoweka oraz antropomorfcznego robota typu DAR. Zaproponowano jako wektor sterowana, przebeg znormalzowanej mocy chwlowej p (t)/m rozwjanej w -tym stawe nog człoweka kroczącego w płaszczyźne strzałkowej w postac: p M u =, W / kg, m = m ω (1) gdze: u (t) wektor sterowana, którym jest przebeg znormalzowanej mocy chwlowej p (t)/m rozwjanej w - M tym stawe nog człoweka [W/kg], znormalzowany moment sł męśnowych rozwjanych w -tym sta- m we kończyny dolnej [(N m)/kg], ω prędkość kątowa rozwjana w -tym stawe nog człoweka [rad/s]. Zgodne z hpotezą badawczą, autor pracy proponuje opsać aparat kroczena człoweka w postac (Żur Jaworek, 2011): p φ = a φ + b, rad / s, (2) m ϕ ( t = t ) = ϕ = CONST, (3) 0 0 gdze: φ zmenna stanu, wyrażające prędkość kątową rozwjaną odpowedno w -tym stawe nog człoweka [rad/s], a (t) współczynnk macerzy stanu [1/s], b (t) współczynnk macerzy sterowana [(rad kg)/j], p (t)/m przebeg znormalzowanej mocy chwlowej rozwjanej w zespołach męśnowych obsługujących -ty staw nog człoweka [W/kg]. Współczynnk macerzy stanu a (t) sterowana b (t) zostały wyznaczone w pracy (Żur Jaworek, 2011) na podstawe danych knematycznych dynamcznych, dla pewnego zboru osób zdrowych, sprawnych, młodych starych płc obojga, opracowanych przez D. Wntera (Wnter, 1991; 2009). 3. ZASTOSOWANIE METODY PŁASZCZYZNY FAZOWEJ DO OPISU I ANALIZY LOKOMOCJI DWUNOŻNEJ CZŁOWIEKA W PŁASZCZYŹNIE STRZAŁKOWEJ RUCHU Sterowane ruchem kończyny dolnej podczas chodu z równoczesnym zachowanem pozycj ponowej jest bardzo złożonym zadanem, wykonywanym przez układ nerwowo-męśnowy. Proces ten jest welowymarowy slne nelnowy oraz trudny do opsu matematycznego. Sygnałam wejścowym do układu można uznać pobudzena męśn lub znormalzowane moce chwlowe p (t)/m rozwjane przez te męśne (Żur Jaworek, 2011), a sygnały wyjścowe to trzy przebeg kątów względnych φ (t) mędzy medncą a udem, udem a goleną oraz mędzy goleną a stopą (Rys. 2). Boelektryczna aktywność męśn kończyny dolnej zależy od położena kończyny, a ne od czasu, węc metoda płaszczyzny fazowej (Kaczorek nn, 2005) okazuje sę dogodnym grafcznym sposobem analzy wybranych seg- 149

3 Krzysztof K. Żur Nowa koncepcja modelowana analzy dynamk aparatu kroczena człoweka mentów kończyny dolnej, poneważ czas jest w tej metodze wyelmnowany. Metodę tą stosuje sę szczególne w nelnowych układach automatycznej regulacj. Rodzny trajektor fazowych układów automatycznej regulacj pozwalają stwerdzć stablność badanego układu oraz przedstawają jego właścwośc dynamczne. Szczególną przydatność tej metody stwerdzono w analze slne nelnowych układów nskego rzędu, jednakże są prace (Jaworek, 1992), gdze stosuje sę ją nawet do układów rzędu III wyższych. czy maksma mnma funkcj przebegu kąta względnego φ K (n) w kolane, są odpowedno mejscam zerowym funkcj przebegu prędkośc kątowej ϕ K ( n ) rozwjanej podczas kroczena w płaszczyźne strzałkowej ruchu? Rys. 3. Przykład anatomcznej budowy stawu kolanowego człoweka Rys. 2. Uproszczony schemat aparatu kroczena człoweka z zaznaczonym współrzędnym stanu, gdze: Φ B kąt mędzy tułowem a udem, Φ K kąt mędzy udem a goleną, Φ SG kąt mędzy goleną a stopą 3.1. Wykres fazowy stawu kolanowego w lokomocj dwunożnej człoweka Wnter w swojej monograf (Wnter, 1991) umeścł dyskretne przebeg m.n. kątów względnych φ (n) (z okresem próbkowana t = 0,02s) w stawe kolanowym (Rys. 3) osób zdrowych, sprawnych młodych oraz w weku podeszłym kroczących ze stałą częstotlwoścą f prędkoścą naturalną v. Jeden cykl ruchu trwał ~1.02s odpowada dokładne jednemu krokow, na który składa sę faza podporowa faza wymachu kończyny dolnej. W pracy Wntera [8], umeszczono tylko przebeg kąta względnego φ K (n) w stawe kolanowym (Rys. 4) a pomnęto przebeg prędkośc kątowej ϕ K ( n ). Autor wyznaczył z rachunku wyrównawczego (Jaworek, 1992) dyskretne przebeg prędkośc kątowych ϕ K ( n ) rozwjanych w stawe kolanowym osób młodych, zdrowych sprawnych oraz osób w weku podeszłym, także zdrowych sprawnych. Przykładowy przebeg prędkośc kątowej ϕ ( n K ) rozwjanej w stawe kolanowym osób młodych przedstawono na Rys. 5. O dokładnośc metody rachunku wyrównawczego można przekonać sę, poprzez sprawdzene Rys. 4. Przebeg kąta względnego φ K (n) w stawe kolanowym u osób młodych, zdrowych sprawnych, poruszających sę z prędkoścą naturalną Rys. 5. Przebeg prędkośc kątowej ϕ ( n ) rozwjanej w stawe kolanowym u osób młodych, zdrowych sprawnych, poruszających sę z prędkoścą naturalną K 150

4 acta mechanca et automatca, vol.5 no.1 (2011) Chcąc uzyskać cągło czasowe wykresy fazowe ( φk, φk ) określające dynamkę chodu w stawe kolanowym, aproksymowano przebeg kąta względnego φ K (n) prędkośc kątowej ϕ K ( n ) osób młodych oraz w weku podeszłym, funkcją szeregu Fourera VIII rzędu, uzyskując 97% zgodnośc z przebegem wartośc dyskretnych (Rys. 6, 7). Rys. 8. Wykres fazowy stawu kolanowego ( φk, φk ) osób młodych, zdrowych sprawnych, poruszających sę z naturalną prędkoścą Rys. 6. Aproksymacja dyskretnego przebegu kąta względnego φ K (n) w stawe kolanowym osób młodych, zdrowych sprawnych, szeregem Fourera VIII rzędu Rys. 9. Wykres fazowy stawu kolanowego ( φk, φk ) osób w weku podeszłym, zdrowych sprawnych, poruszających sę z naturalną prędkoścą Rys. 7. Aproksymacja dyskretnego przebegu prędkośc kątowej ϕ K ( n ) rozwjanej w stawe kolanowym osób młodych, zdrowych sprawnych, szeregem Fourera VIII rzędu Posadając cągłe w czase funkcje przebegu kąta względnego φ K ( t ) oraz prędkośc kątowej φ K ( t ) rozwjanej w kolane osób młodych oraz osób w weku podeszłym, można wygenerować odpowedne wykresy fazowe opsujące dynamkę aparatu kroczena w stawe kolanowym (Rys. 8, 9). Badacze Paul, Gustafsson oraz Lanshammer (Jaworek, 1992) zauważyl, że uzyskwane tory fazowe na płaszczyźne Poncarégo pozorne przecnają sę w mejscach, które ne są punktam osoblwym, co przeczy przyjętej regule, że tory fazowe układów II rzędu mogą tylko przecnać sę w punktach równowag. Powyższe wykresy fazowe są dowodem pośrednm na to, że aparat ruchu człoweka jest układem co najmnej III rzędu lub nawet wyższym. W rzeczywstośc trajektora (Rys. 8, 9) ne przecna sę, K K t lecz tylko jej rzut z przestrzen fazowej ( φ, φ, ) (Rys. 10) na płaszczyznę fazową ( φ K, φk ). Rys. 10. Trajektora stawu kolanowego w przestrzen fazowej t K K ( φ, φ, ) osób w weku podeszłym, zdrowych sprawnych, poruszających sę z naturalną prędkoścą 151

5 Krzysztof K. Żur Nowa koncepcja modelowana analzy dynamk aparatu kroczena człoweka 4.,,EFEKT MOCY WYKRESÓW FAZOWYCH W ANALIZIE I OCENIE KOORDYNACJI NERWOWO - MIĘŚNIOWEJ APARATU KROCZENIA CZŁOWIEKA Lokomocja człoweka jest ruchem cyklcznym, anharmoncznym, w którym trajektore fazowe tworzą dwe pętle (Rys. 8, 9). Mała pętla odpowada faze podporowej stopy z podłożem, a duża pętla faze wymachu kończyny dolnej.,,efekt mocy wykresów fazowych został opracowany przez autora pracy (Jaworek, 2011), a jego defncja brzm: m wększa prędkość częstotlwość kroczena tym wększe jest pole małej pętl na wykrese fazowym. Autor pracy (Jaworek, 2011) zaobserwował, że mała pętla jest wprost proporcjonalna do mocy rozwjanej w faze podporowej stopy z podłożem. W faze tej wykorzystuje sę 80% mocy rozwjanej przez główne zespoły męśnowe w jednym cyklu ruchu. Autor artykułu wysunął hpotezę badawczą dotyczącą pól małych pętl na wykrese fazowym -tego stawu nog człoweka, która brzm:,,... m pole małej pętl na wykrese fazowym -tego stawu nog człoweka jest wększe, tym koordynacja nerwowo-męśnowa aparatu kroczena człoweka jest lepsza Autor twerdz, że za pomocą merzena welkośc pól małych pętl osób badanych, poruszających sę z jednakową prędkoścą w norme, patolog oraz weku starczym, można ocenć zmanę koordynacj nerwowo-męśnowej aparatu kroczena poprzez porównane poszczególnych pól małych pętl osób badanych w danym czase eksploatacyjnym (bergsonowskm). Im wększe pole małej pętl tym aparat ruchu człoweka potraf rozwjać wększą prędkość lokomocj oraz rozwjać wększą moc w męśnach obsługujących dany staw nog człoweka, co śwadczy o lepszej koordynacj układu nerwowo-męśnowego nóg człoweka. Rys. 11. Przykładowa metoda,,stycznych służąca do oblczana pola małej pętl na wykrese fazowym Wykresy fazowe stawu kolanowego osób młodych, zdrowych sprawnych (Rys. 8) oraz osób w weku podeszłym, także zdrowych sprawnych (Rys. 9), zostały wygenerowane dla stałej, normalnej prędkośc częstotlwośc kroczena. Aparat kroczena człoweka w weku podeszłym jest mnej sprawny od aparatu kroczena osoby młodej, węc pole małej pętl pownno być wększe u osób młodych sprawnych nż u osób w weku podeszłym, lecz także zdrowych sprawnych poruszających sę z jednakową prędkoścą. Autor dokonał oblczeń pól małych pętl dwema metodam. Perwsza metoda jest bardzo pracochłonna, gdyż wymaga poprowadzena stycznych przez punkty należące do małej pętl (Rys. 11), a następne oblczene pola jej wnętrza metodą trapezów (Dreszer nn, 1971). Autor znalazł, także nną metodę numerycznografczną, polegającą na oznaczenu odpowednch obszarów wykresu dwoma różnym barwam wczytana ch do programu Matlab-Smulnk w postac macerzowej. Ze zwykłej proporcj można oblczyć pola pętl bazując na wartoścach macerzy przypsanych odpowednm barwom wykresu. Obe metody dały podobne wynk, które różnły sę o pomjalną wartość rad 2 /s. Pola małych pętl odpowedno wynoszą: 2 rad SM = dla osób młodych, zdrowych s sprawnych; 2 rad SS = dla osób w weku podeszłym, zdrowych sprawnych. s Pole małej pętl osób młodych, kroczących z prędkoścą naturalną jest wększe o rad 2 /s od pola osób starszych, także kroczących z tą samą prędkoścą. 5. PODSUMOWANIE I WNIOSKI W pracy przedstawono własną koncepcję opsu aparatu kroczena człoweka w przestrzen stanu. Przedstawono sposób opsu dynamk aparatu kroczena człoweka na płaszczyźne fazowej, na której trajektore fazowe są wykreślone na podstawe danych pomarowych boobektu (uzyskanych beznwazyjne, np. za pomocą systemu ELI- TE-3D (Jaworek, 1992)) bez znajomośc jego równań ruchu. Wykorzystano,,efekt mocy wykresów fazowych do oceny zman dynamk stawu kolanowego aparatu kroczena człoweka w czase bergsonowskm. Wysunęto hpotezę dotyczącą możlwośc wykorzystana pól małych pętl na wykrese fazowym do oceny koordynacj nerwowomęśnowej aparatu lokomocj człoweka. Na podstawe otrzymanych wynków, nasuwa sę wnosek, że pola małych pętl opsujących m.n. koordynację nerwowo-męśnową aparatu kroczena człoweka, zmnejszają sę wraz z utratą mocy w męśnach nóg człoweka (np. spowodowanych starzenem sę układu nerwowomęśnowego aparatu kroczena), a co za tym dze malejąc opsują spadek ch sprawnośc na odwrót. W dalszych badanach, można także na podstawe danych pomarowych osób np. z hemplegą, umeszczonych w pracy Wntera (1991), wykreślć tory fazowe ch ruchu oraz polczyć pole małej pętl dla każdego ze stawów nóg człoweka porównać je z polam małych pętl fazowych osób sprawnych. Metody take mogą meć zastosowane w przyszłośc, gdyż są metryzowalne mogą być wykorzystane w ośrodkach rehabltacyjnych, do oceny postępów ndywdualnej 152

6 acta mechanca et automatca, vol.5 no.1 (2011) rehabltacj np. osób z nedowładem kończyn dolnych, poddanym beznwazyjnym pomarom przed rehabltacją oraz po jej zakończenu. LITERATURA 1. Dreszer J., Koch E., Kulesza Cz., Trajdos T., Wojdat M. (1971), Matematyka. Poradnk nżynera, Wyd. Naukowo- Technczne, Warszawa. 2. Jaworek K. (2011), Bocybernetyczne metody oceny lokomocj dwunożnej człoweka (w przygotowanu do druku w Instytuce Bocybenetyk Inżyner Bomedycznej PAN). 3. Jaworek K. (1992), Metoda wskaźnkowa oceny lokomocj dwunożnej człoweka na przykładze chodu begu, Prace Instytutu Bocybernetyk Inżyner Bomedycznej, Zeszyt nr 32, Warszawa. 4. Kaczorek T. nn (2005), Teora Sterowana, Wyd. PWN, Warszawa. 5. Moreck A., Ekel J., Fdelus K. (1979), Cybernetc systems of lmb movements n man, anmals and robots, PWN-Polsh Scentfc Publshers Warszawa, 1979, Ells Horwaad Lmted Publshers. Chester, Takahash Y., Rabns M. J., Auslander D. M. (1976), Sterowane systemy dynamczne, Wyd. Naukowo-Technczne WNT, Warszawa.. 7. Wnter D. A. (1991), The bomechancs and motor control of human gat: normal, elderly and pathologcal, Ed. by Unversty of Waterloo Press, Ontaro, Canada. 8. Wnter D. A. (2009), The bomechancs and motor control of human movement, Fourth Edton, Publshed by John Wley & Sons Inc., New Jersey, USA. 9. Woltrng H. J. (1987), Data acquston and processng systems n functonal movement analyss, Estratto da Mnerva Ortopedca e Traumatologca, 38-N, 12, Żur K. K., Jaworek K. (2011), Nowa koncepcja sterowana antropomorfcznym robotem kroczącym typu DAR, Pomary. Automatyka. Robotyka, PAR, Mesęcznk naukowotechnczny, nr 2, Warszawa, s A NEW IDEA OF MODELLING AND DYNAMIC ANALYSIS OF A MAN WALKING APPARATUS Abstract: In ths paper a new dea of descrpton and dynamc analyss of a man walkng apparatus. Own mathematcal model of a man walkng apparatus n the space state was presented. Method of phase plane by usng,,phase effect of dagram was used. Durng own nvestgaton of young and old subjects were choosen from monograph elaborated by very famous Canadan nvestgator D.A. Wnter (Wnter, 1991, 2009). A new hypothess about usng a small phase loops for assessment of neuro-muscular coordnaton system of a man was proposed. 153