Dr iż. Staisław NOGA oga@prz.edu.pl Politechika Rzeszowska ANALIZA DRGAŃ POPRZECZNYCH PŁYTY PIERŚCIENIOWEJ O ZŁOŻONYM KSZTAŁCIE Z UWZGLĘDNIENIEM WŁASNOŚCI CYKLICZNEJ SYMETRII UKŁADU Streszczeie: W publikacji oawiae są drgaia poprzecze płyty pierścieiowej o złożoy kształcie. W procesie aalizy wykorzystuje się etodę eleetów skończoych. Rozważa się przydatość odeli, w których wykorzystuje się własości cykliczej syetrii, w aalizie drgań poprzeczych. Zapropoowao trzy odele uerycze. Otrzyae z syulacji ueryczej wyiki zweryfikowao badaiai doświadczalyi. Obliczeia uerycze przeprowadzoo w środowisku obliczeiowy ANSYS. Słowa kluczowe: drgaia poprzecze, cyklicza syetria układu, płyta pierścieiowa. TRANSVERSE VIBRATION ANALYSIS OF A COMPOUND ANNULAR PLATE WITH CYCLIC SYMMETRY MODELLING Suary: I this article the trasverse vibratio of a arbitrary chose aular plate with coplex geoetry is aalysed o basis of the fiite eleet (FE) ethod. The ivestigatio is led to preparig the FE odels by usig cyclic syetry odellig approach. Three uerical odels are proposed ad aalysed. The received results are discussed ad copared with the experietal results. FE odels are prepared by usig ANSYS software. Keywords: trasversal vibratio, cyclic syetry odel, aular plate. 1. WPROWADZENIE Zagadieia drgań poprzeczych płyt kołowych i pierścieiowych są przediote zaiteresowaia wielu badaczy oraz ośrodków badawczo rozwojowych [1, ]. Wyika to z faktu, że iektóre wirujące układy (p. koła zębate, dyski turbi) ogą być rozważae jako płyty kołowe bądź pierścieiowe, o kształcie odzwierciedlający aalizowae zespoły. Bardzo użyteczy i często stosoway arzędzie w aalizie drgań złożoych układów jest etoda eleetów skończoych (MES) [2]. W pracach [1, 5], autorzy wykorzystali MES do aalizy drgań poprzeczych kół zębatych z tarczai pełyi oraz z tarczai z otworai przelotowyi. W publikacji [], autorzy oówili drgaia poprzecze włase i wyuszoe dysku turbiy wraz z łopatkai. W aalizie stosowali róże etody uerycze (MES i ie) oraz wykorzystali własości cykliczej syetrii układu. Także w pracach [4, 5], autorzy wykorzystali własości cykliczej syetrii w aalizie drgań poprzeczych płyt pierścieiowych o złożoy kształcie. W pracy [5], płyty pierścieiowe staowiły uproszczoe odele kół zębatych. W artykule [4], oówioo wstępie zagadieia związae z dokładością odeli z cykliczą syetrią. Prowadzoe badaia syulacyje zweryfikowao dostępyi, dla wybraych przypadków, dayi eksperyetalyi. Publikacja książkowa [2], jest jedą z owszych pozycji literaturowych oawiających kopleksowo zagadieia teoretycze drgań układów ciągłych i dyskretych oraz etodykę poiaru drgań. W iiejszej publikacji oówioe zostaą drgaia włase poprzecze płyt pierścieiowych o złożoy kształcie. W aalizie wykorzystaa zostaie etoda eleetów skończoych. Rozpatrzoe zostaą zagadieia budowy odeli MES 1
aalizowaych układów z uwzględieie własości cykliczej syetrii oraz roziaru eleetów skończoych. Dyskutowae wyiki badań syulacyjych, zweryfikowae zostaą badaiai eksperyetalyi, które prowadzoo a wybraych obiektach rzeczywistych. 2. SFORMUŁOWANIE ZAGADNIENIA Zasadiczy cele pracy jest oówieie etodyki budowy odeli MES płyt pierścieiowych o złożoy kształcie. W procesie odelowaia uwzględia się własości cykliczej syetrii oraz paraetry eleetów skończoych siatki. Opracowae odele MES są przewidziae do aalizy drgań poprzeczych oawiaych układów. a) l r b) l w ødw ødz ødl ocowaie Rys. 2.1. Model geoetryczy i wyiary płyty pierścieiowej W rozważaiach wykorzystuje się dwie płyty o kształcie zdefiioway a rys. 2.1. Podstawowe wyiary geoetrycze i paraetry techicze, przyjętych do aalizy układów, podao w tabeli 2.1. Tab. 2.1 Dae techicze badaych obiektów Lp. d z [] d w [] ρ [kg/ ] 1 0.191 0.159 7.85 10 0.02 0.008 0.002 2.1 10 11 0.28 2 0.20 0.147 7.85 10 d 1 [] l r [] l w [] E [Pa] ν gdzie: d, d, d, l l z w 1 r, to wyiary obiektów zdefiiowae a rys. 2.1, w ρ to gęstość asy układów, E to oduł Youga, ν to współczyik Poissoa. Jak wspoiao wcześiej, zagadieie drgań własych rozwiązao etodą eleetów skończoych. Po dyskretyzacji każdego z układów (proces akładaia siatki), dyaicze rówaia ruchu oża zapisać w postaci acierzowej w forie zależości [2]: M u! + Ku = 0 (2.1) M, K to acierze bezwładości i sztywości w układzie globaly, u,! u to wektory przyspieszeń i przeieszczeń węzłowych. 2
Globale acierze M i K otrzyuje się po scałkowaiu acierzy as i sztywości: ( e) ( e) T ( e) M ρ N NdV, = ( e V ) ( e) ( e) T ( e) K ρ B EBdV (2.2) = ( e V ) ( e) ( e) M, K to acierze as i sztywości eleetu, ( e) ρ to gęstość eleetu, ( e) V to objętość eleetu, N to acierz fukcji kształtu, B, E to acierze pochodych fukcji kształtu i sztywości ateriałowej. Częstości drgań własych otrzyuje się z rozwiązaia zagadieia własego: 2 ( M) u = 0 K ω (2.) ω to częstość własa, u to wektor własy (postać drgań własych) ω i,u i rówa jest liczbie stopi swobody układu. Do rozwiązaia zagadieia własego (2.) stosuje się etodę blokową Laczosa [2]. Z powodu dyskretyzacji, odele MES układów, traktowae są jako aproksyacje układów rzeczywistych. Dokładość opracowaych odeli MES ustala się a podstawie błędu częstości, zdefiiowaego w forie: Liczba par ( ) f c c ( ω ω ) ω 100% ε = (2.4) f ω to częstość drgań własych z odelu ueryczego, c ω to częstość drgań własych obiektu. Zależość (2.4) azywaa jest tzw. błęde częstości [2].. ANALIZA NUMERYCZNA W ty rozdziale oówioa zostaie etodyka budowy odeli MES rozważaych układów oraz wyiki syulacji ueryczych. Modele te w dalszej kolejości wykorzystae zostaą do wyzaczeia częstości drgań własych poprzeczych aalizowaych układów. Zgodie z klasycza teorią drgań płyt kołowych i pierścieiowych, poszczególe częstości włase ozaczać będziey przez ω gdzie odosi się do liczby okręgów węzłowych a ozacza liczbę średic węzłowych [2]. Rys..1. (a) pierwszy odel MES obiektu r 1, (b) pierwszy odel MES obiektu r 2
W każdy przypadku odelu, oawiaych obiektów, obliczeia uerycze prowadzoo do oetu wyzaczeia częstości własej ω 16. Dla każdego rozważaego obiektu opracowao trzy odele MES. Pierwszy odel MES opracowao astępująco. Na pełe odele geoetrycze obiektów (rys. 2.1) ałożoo siatkę, wykorzystując stadardowe procedury prograu ANSYS. W procesie akładaia siatki przyjęto, że długość krawędzi eleetu ie przekracza wartości 2 [ ]. Zastosowao eleet bryłowy (solid187), czworościey, dziesięciowęzłowy o trzech stopiach swobody w każdy węźle. Otrzyae odele MES zawierają odpowiedio: 97404 eleety w przypadku odelu obiektu r 1 oraz 14760 eleetów w przypadku odelu obiektu r 2 (tabela 2.1). Modele te pokazao a rys..1. W tabelach.1 i.2 zaieszczoo wygeerowae z oawiaych odeli MES wartości częstotliwości własych odoszących się do poszczególych obiektów. Tab..1 Częstotliwości włase z pierwszego odelu MES odoszące się do pierwszego obiektu ω [Hz] 1 26.5 149.4 64.6 1770 40 5292 752 2 192 2240 2899 91 527 7009 451 5167 6580 Tab..2 Częstotliwości włase z pierwszego odelu MES odoszące się do drugiego obiektu ω [Hz] 1 21.5 12.4 658.9 1804 98 540 7781 2 1916 2458 7 4507 6059 4109 4680 621 Drugi odel MES opracowao wykorzystując własości cykliczej syetrii układów. Na rys. 2.1 łatwo zauważyć, że odele geoetrycze każdego z obiektów, składają się z sześciu jedakowych segetów, posiadających własości cykliczej syetrii. Na jede z takich segetów ałożoo siatkę MES zgodie z zasadai oówioyi przy okazji opracowywaia pierwszego odelu MES. Dodatkowo wprowadzoo jeszcze waruki brzegowe uwzględiające cykliczą syetrię. Opracowae odele MES zawierają odpowiedio: 1624 eleety w przypadku odelu obiektu r 1 oraz 2960 eleetów w przypadku odelu obiektu r 2. Modele te pokazao a rys..2. Rys..2. Modele MES z cykliczą syetrią; (a) drugi odel MES obiektu r 1, (b) drugi odel MES obiektu r 2 4
W tabelach. i.4 zaieszczoo wartości częstotliwości własych wyzaczoych z wykorzystaie oawiaych odeli MES z cykliczą syetrią. Tab.. Częstotliwości włase z drugiego odelu MES (z cykliczą syetrią) odoszące się do pierwszego obiektu ω [Hz] 1 26.4 149.4 64.6 1770 40 5292 752 2 195 2240 2898 90 527 7009 450 5166 6579 Tab..4 Częstotliwości włase z drugiego odelu MES (z cykliczą syetrią) odoszące się do drugiego obiektu ω [Hz] 1 21.5 12. 658.9 1804 98 540 7781 2 1916 2457 6 4507 6059 4108 4679 621 W trzeci odelu MES, podobie jak w drugi, uwzględioo własości cykliczej syetrii układu. W każdy przypadku odelu obiektu a jede seget ałożoo siatkę MES przy założeiu, że długość krawędzi eleetu jest ie większa iż 1.5[ ], co staowi wartość iejszą iż grubość cieńszych obszarów płyt (rys. 2.1, tab. 2.1). Opracowae odele MES zawierają odpowiedio: 811 eleetów w przypadku odelu obiektu r 1 oraz 5784 eleety w przypadku odelu obiektu r 2. Modele te przedstawioo a rys... Rys... Modele MES z cykliczą syetrią; (a) trzeci odel MES obiektu r 1, (b) trzeci odel MES obiektu r 2 W tabelach.5 i.6 zaieszczoo wartości częstotliwości drgań własych porzeczych wyzaczoych z wykorzystaie opracowaych odeli MES z cykliczą syetrią. Tab..5 Częstotliwości włase z trzeciego odelu MES (z cykliczą syetrią) odoszące się do pierwszego obiektu ω [Hz] 1 25.8 148.9 64.4 1770 40 5291 7519 2 1928 22 2890 922 517 6997 4520 5157 6566 5
Tab..6 Częstotliwości włase z trzeciego odelu MES (z cykliczą syetrią) odoszące się do drugiego obiektu ω [Hz] 1 212.8 122.9 658.8 1804 98 540 7781 2 191 2452 26 4496 6046 4092 4666 612 4. EKSPERYMENT POMIAROWY Eksperyet poiarowy przeprowadzoo a dwóch obiektach o geoetrii jak a rys. 2.1 i paraetrach techiczych oówioych w tabeli 2.1. W poiarach stosowao syste poiarowy firy LMS. Zestaw poiarowy składał się z: łotka odalego firy PCB odel 086C0, wyposażoego w stalową końcówkę, czujika przyspieszeia PCB odel 5B18, systeu archiwizacji daych LMS SCADA oraz odułu poiarowego typu SCM-V4E, obsługiwaego przez oprograowaie LMS Test.Lab. Rys. 4.1. Badaia eksperyetale Badaia zaplaowao tak aby wzbudzić i zidetyfikować częstości włase oraz odpowiadające i postacie drgań własych poprzeczych. Każdy z badaych obiektów przyocowao połączeie śrubowy do układu o dużej asie i zaczych wyiarach geoetryczych. Podczas eksperyetu, każdy z obiektów wzbudzao poprzez uderzaie łotkie odaly w jede pukt obiektu. Odpowiedź układu ierzoo w 2 puktach poiarowych rówoierie rozieszczoych a obwodzie każdego obiektu. Tab. 4.1 Częstotliwości drgań własych poprzeczych pierwszego obiektu ω [Hz] (badaia doświadczale) 1 26.8 141.9 575.6 1697 272 52 746 2 1847 2247 2948 976 518 6941 497 5001 645 6
Tab. 4.2 Częstotliwości drgań własych poprzeczych drugiego obiektu ω [Hz] (badaia doświadczale) 1 221. 106. 596. 1740 50 7709 2 2444 254 489 Wartości wzbudzoych i zidetyfikowaych częstotliwości własych zaieszczoo w tabelach 4.1 i 4.2. Jak łatwo zauważyć, ie wszystkie częstotliwości włase udało się zidetyfikować. Dotyczy to w szczególości obiektu r 2 (tab. 4.2), dla którego zidetyfikowao jedyie dziewięć częstotliwości własych. Zidetyfikowae wartości częstotliwości własych porówao z wyikai wygeerowayi z zapropoowaych odeli ueryczych MES (tab..1.6), rozważaych obiektów. W tabelach 4. 4.5 zaieszczoo błędy częstości (zależość (2.4)) odoszące się do zapropoowaych odeli MES obiektu r 1. Tab. 4. Błąd częstości odoszący się do pierwszego odelu MES obiektu r 1 ε [%] 1-10.5 5.29 11.81 4. 2.08 1.1 0.8 2 4.6-0.1-1.66-1.1 0.17 0.98.05.2 1.97 Tab. 4.4 Błąd częstości odoszący się do drugiego odelu MES obiektu r 1 ε [%] 1-10.9 5.29 11.81 4. 2.08 1.1 0.8 2 4.76-0.1-1.7-1.16 0.17 0.98.02. 1.95 Tab. 4.5 Błąd częstości odoszący się do trzeciego odelu MES obiektu r 1 ε [%] 1-10.61 4.9 11.78 4. 2.08 1.11 0.75 2 4.9-0.62-1.97-1.6-0.02 0.81 2.8.12 1.75 Aalizując wyzaczoe błędy częstości, zauważa się, że w każdy przypadku odelu MES obiektu r 1, jedyie przy dwóch częstościach własych, błąd częstości wyosi iezaczie powyżej 10 %. W kolejych tabelach (tab. 4.6 4.8) pokazao błędy częstości odoszące się do odeli MES drugiego obiektu. Tab. 4.6 Błąd częstości odoszący się do pierwszego odelu MES obiektu r 2 ε [%] 1 -.5 16.09 10.5.68 1.7 0.9 2 0.57 2.55 2.69 7
Tab. 4.7 Błąd częstości odoszący się do drugiego odelu MES obiektu r 2 ε [%] 1 -.5 16 10.5.68 1.7 0.9 2 0.5 2.52 2.69 Tab. 4.8 Błąd częstości odoszący się do trzeciego odelu MES obiektu r 2 ε [%] 1 -.84 15.62 10.48.68 1.7 0.9 2 0. 2.21 2.44 W odiesieiu do wyików dotyczących obiektu r 2, dyspoujey ieco uboższyi dayi, ie iej jedak zauważa się, podobie jak poprzedio, że dla dwóch przypadków częstotliwości własych, błąd częstości jest powyżej 10 % we wszystkich zapropoowaych odelach. Na rys. 4.2 4. pokazao cztery postacie drgań poprzeczych otrzyae z drugiego odelu MES i eksperyetu poiarowego dla obiektu r 1. c) d) Rys. 4.2. Postacie włase: (a) ū 11 (MES), (b) ū 11 (eksper.), (c) ū 10 (MES), (d) ū 10 (eksper.) c) d) Rys. 4.. Postacie włase: (a) ū 12 (MES), (b) ū 12 (eksper.), (c) ū 20 (MES), (d) ū 20 (eksper.) Otrzyae rezultaty są obiecujące. W obydwu rozważaych obiektach zauważa się, że ajlepsze dopasowaie do wyików badań eksperyetalych występuje w przypadku trzeciego odelu MES. 4. UWAGI I WNIOSKI W artykule aalizowao drgaia poprzecze płyt pierścieiowych o złożoy kształcie. Trzy odele MES zapropoowao do rozwiązaia zagadieia drgań własych, 8
oawiaych układów. Otrzyae z syulacji ueryczej wyiki zweryfikowao badaiai doświadczalyi. We wszystkich rozpatrywaych przypadkach uzyskao porówywale rezultaty. Najbardziej atrakcyjy, ze względu a ajiejszą liczbę eleetów, wydaje się być drugi zapropooway odel MES. Warto jeszcze adieić, że odel te tworzoo przy założeiu, że długość krawędzi eleetów skończoych oże być ie większa od grubości odelowaej płyty w cieńszy obszarze. Z prezetowaych rezultatów wyika, że koieczy jest prowadzeie dalszych badań w oawiay obszarze. LITERATURA [1] Bogacz R., Noga S.: Free trasverse vibratio aalysis of a toothed gear. Archive of Applied Mechaics 82 (2012) 1159 1168, DOI: 10.1007/s00419 012 0608 6. [2] de Silva C.: Vibratio ad Shock Hadbook, Taylor & Fracis, Boca Rato, 2005. [] Grolet A., Thouverez F.: Free ad forced vibratio aalysis of a oliear syste with cyclic syetry: Aplicatio to a siplified odel. Joural of Soud ad Vibratio 1 (2012) 2911 2928. [4] Noga S.: Trasverse vibratio aalysis of a copoud plate with usig cyclic syetry odelig. Vibratio i Physical Systes vol. XXVI (2014) 211 216. [5] Noga S., Bogacz R., Frischuth K.: Vibratio aalysis of toothed gear with cyclic syetry odellig. Vibratio i Physical Systes vol. XXV (2012) 299 04. 9