Rachunek prawdopodobieństwa MAP1181 Wydział PPT, MS, rok akad. 213/14, sem. zimowy Wykładowca: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Wykład 12: Warunkowa wartość oczekiwana. Rozkłady warunkowe. Mieszanina rozkładów. Warunkowa wartość oczekiwana. Definicja: Niech Ω, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Warunkową wartością oczekiwaną w.w.o.) zmiennej losowej X względem σ-ciała G F nazywamy zmienną losową EX G), która jest G-mierzalna oraz spełnia warunek EX G) dp X dp G G. G G Twierdzenie: Jeżeli E X <, to warunkowa wartość oczekiwana EX G) jest dobrze określona z tw. Radona-Nikodyma. Własności warunkowej wartości oczekiwanej: Przy założeniu, że E X < a) EEX G)) EX; b) jeżeli X p.n., to EX G) p.n.; c) EaX +by G) aex G) + bey G) p.n., gdzie a, b są dowolnymi stałymi. d) jeżeli X jest G-mierzalna, to EX G) X p.n.; e) jeżeli X jest niezależna od G, to EX G) EX p.n. f) dla G 1 G F mamy EEX G 1 ) G) EEX G) G 1 ) EX G 1 ) p.n. g) E EX G) E X ; h) jeżeli X n L 1 X, to EX n G) L1 EX G). i) jeżeli X n X p.n., X n Y dla pewnej Y L 1 P ), to EX n G) EX G) p.n.; j) jeżeli X n tworzą ciąg niemalejący, X n X p.n. dla X L 1 P ), to EX n G) EX G) p.n. k) jeżeli X jest G-mierzalna, E XY <, to EXY G) XEY G) p.n.; l) jeżeli X jest G-mierzalna, gx, y) jest funkcją borelowską, E gx, Y ) <, to EgX, Y ) G) Egx, Y ) G) xx p.n. 1
Niech Y będzie zmienną losową, σy ) σy 1 B), B B R }, gdzie B R to σ-ciało zbiorów borelowskich. Wówczas EX σy )) oznaczamy krótko EX Y ). Fakt: Istnieje funkcja borelowska m, taka że EX Y ) my ) p.n.; Uwaga: Często podajemy warunkową wartość oczekiwana tylko poprzez wzór na funkcję my), przy czym zapis ma postać: EX Y y) my). Funkcja my) zwana jest funkcją regresji I rodzaju. Fakt: Jeżeli D 2 Y <, D 2 X <, to min f EX fy )) 2 EX my )) 2 dla f - funkcji borelowskich). Przykłady: Niech X i Y będą niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym E X <, E Y <. Wtedy 1. EX + Y Y ) EX + y Y ) yy EX + y) yy EX + y) yy EX + Y my) y + EX) 2. EXY Y ) EXy Y ) yy yex Y ) yy yex yy Y EX my) EX y). Rozkłady warunkowe. Definicja: Niech B będzie zbiorem borelowskim, a X pewną zmienną losową. Definiujemy nową zmienną losową Z 1I X B}. Rozkładem warunkowym zmiennej losowej X względem σ-ciała G nazywamy P X B G) : EZ G) E1I X B} G), jako funkcję borelowskiego zbioru B. Zauważmy, że E Z EZ P X B) < dla dowolnego B, zatem warunkowa wartość oczekiwana EZ G) czyli rozkład warunkowy Y względem G) jest dobrze zdefiniowana. Dla G σy ), gdzie Y jest pewną zmienną losową, P X B G) P X B Y ) nazywamy rozkładem warunkowym zmiennej losowej X pod warunkiem Y. Przy ustalonym y takim, który jest wartością istotnie przyjmowaną przez Y ) rozkład warunkowy P X B Y y) jako funkcja zbioru borelowskiego B jest pewnym rozkładem prawdopodobieństwa. Rozkład ten ma dystrybuantę zwaną dystrybuantą warunkową). F x y) P X < x Y y) Rozkład warunkowy X pod warunkiem Y możemy zatem opisać podając rodzinę dystrybuant warunkowych F x y) po wszystkich wartościach y istotnie przyjmowanych przez Y. 2
Dla dowolnej funkcji borelowskiej h takiej, że E hx) < mamy EhX) Y y) hx) F dx y). W szczególności, warunkowa wartość oczekiwana EX Y y) przy ustalonym y to zwykła wartość oczekiwana rozkładu warunkowego P X B Y y). Jeżeli wektor losowy X, Y ) ma rozkład dyskretny zadany ciągiem x n, y k, p nk ), n T 1, k T 2 }, to rozkład warunkowy X pod warunkiem Y y k też jest dyskretny i opisać możemy go także podając rodzinę ciągów x n, p ) ) } yk nk, n T 1 p k po wszystkich tych wartościach y k, dla których p k P Y y k ) >, czyli po wartościach istotnie przyjmowanych przez Y. Zauważmy, że p nk warunkowe.) p k R P X x n Y y k ) to zwykłe prawdopodobieństwo Jeżeli wektor losowy X, Y ) ma rozkład ciągły o gęstości f X,Y x, y), to rozkład warunkowy X pod warunkiem Y y też jest ciągły o gęstości fx y) f X,Y x, y) f Y y) dla wszystkich takich y, dla których f Y y) f X,Y x, y)dx >, czyli po wartościach istotnie przyjmowanych przez Y. Rozkład warunkowy opisujemy zatem wtedy także podając rodzinę gęstości warunkowych fx y) po wszystkich wartościach y, dla których f Y y) >. Wzór na prawdopodobieństwo całkowite: P X B) P X B Y y)df Y y). gdzie F Y to dystrybuanta rozkładu zmiennej losowej Y. Jeśli znamy rozkład zmiennej losowej Y i rozkład warunkowy X pod warunkiem Y, to znamy też rozkład łączny wektora losowego X, Y ): F X,Y x, y) y Dla rozkładu dyskretnego p nk P X x n Y y k )p k ; dla rozkładu ciągłego f X,Y x, y) fx y)f Y y). F x y )df Y y ). 1) Jeżeli X i Y są niezależnymi zmiennymi losowymi, to P X B Y ) P X B) z prawd. 1, tzn. wtedy rozkład warunkowy jest taki sam jak rozkład zmiennej losowej X. Wtedy wzór 1) sprowadza się do znanego wzoru F X,Y x, y) F X x)f Y y). 3
Przykłady: 1. Wektor losowy X, Y ) ma następujący rozkład łączny: x n 2 r.brzeg. y k Y 2, 1, 2, 3, 2, 2 1, 2, 3, 5 r.brzeg.x, 3, 7 1 Rozkład warunkowy Y pod warunkiem X i warunkowa wartość oczekiwana EY X) ma postać: dla x n : P Y 2 X ) P X, Y 2) P X ), 1, 3 1 3, Podobnie P Y X ), P Y 1 X ) 2 3, Mamy zatem dla x n y k p nk /p n 2 1/3 1 2/3 Stąd EY X ) 2) 1 3 + + 1 2 3 dla x n 2: P Y 2 X 2) 2 7, P Y X 2) 2 7, P Y 1 X 2) 3 7, Mamy zatem dla x n 2 y k p nk /p n 2 2/7 2/7 1 3/7 Stąd EY X 2) 1 7. Zatem EY X) 1 7 1 2 X) 4
2. Wektor losowy X, Y ) ma rozkład o gęstości f X,Y x, y) Wtedy X ma rozkład o gęstości: f X x) 2x + y) dla x 1, y x, poza tym x 2x + y)dy 3x 2 dla < x 1, f X,Y x, y)dy dla pozostalych x. Gęstość warunkowa rozkładu Y pod warunkiem X ma zatem postać: fy x) f X,Y x, y) f X x) 2x + y) 3x 2 dla y x, dla pozostalych y, gdzie < x 1 są to wartości istotnie przyjmowane przez X). Warunkowa wartość oczekiwana wynosi: EY X x) Zatem yfy x)dy x 2x + y) y dy 5/9)x dla < x 1. 3x 2 EY X) 5/9)X 3. Czas pracy τ urządzenia ma rozkład wykładniczy Expλ 1). Koszt użytkowania urządzenia, które uległo awarii w chwili t, ma rozkład jednostajny U1, 3 e t ). Jaka jest wartość oczekiwana kosztów K użytkowania urządzenia? W zadaniu mamy podany rozkład brzegowy zmiennej losowej τ: jest to rozkład Expλ 1). Mamy także podany rozkład warunkowy zmiennej losowej K pod warunkiem τ t: jest to rozkład U1, 3 e t ). Stąd EK τ t) 1 + 3 e t 2 1 2 2 e t Zatem EK EEK τ)) E 2 1 ) 2 e τ 2 1 e t f τ t)dt 2 1 2 2 2 1 2 e 2t dt 2 + 1 2 e 2t 2 2 1 2 1 2 7 4 e t e t dt 5
Suma losowa. Niech X 1, X 2,... będzie ciągiem niezależnych zmiennych losowych o jednakowym rozkładzie. Niech N będzie indeksem losowym tzn. zmienną losową dyskretną przyjmującą tylko wartości naturalne 1, 2,...) niezależną od ciągu X k, k 1, 2,...}. Sumą losową nazywamy zmienną losową N to losowa ilość składników w sumie.) N S X k X 1 + X 2 +... + X N. Załóżmy, że istnieją skończone wartości oczekiwane EX 1 i EN. Korzystając z techniki warunkowej wartości oczekiwanej obliczymy wartość oczekiwaną ES: )) N N n ) ) N ES EES N)) E E X k E E X k nn n ) ) ) E E X k E nex 1 ) EN EX 1 ) EN EX 1. nn nn Otrzymaliśmy zatem, że ES EN EX 1. Załóżmy teraz, że D 2 X 1 < i D 2 N <. Obliczymy wariancję D 2 S: ) N 2 ES 2 EES 2 N)) E E N n ) 2 N ) ) X k E E X k nn n ) ) 2 E E X k E nn E n Xk 2 + n n X k X j j1 nn ) j k E nex1 2 + nn 1)EX 1 ) 2 ) EN EX 1 2 + NN 1)EX 1 ) 2 ) nn EN EX1 2 EX 1 ) 2 ) + EN 2 EX 1 ) 2 EN D 2 X 1 + EN 2 EX 1 ) 2. Zatem D 2 S EN D 2 X 1 + EN 2 EX 1 ) 2 EN EX 1 ) 2 EN D 2 X 1 + EN 2 EN) 2 ) EX 1 ) 2 EN D 2 X 1 + D 2 N EX 1 ) 2. Otrzymaliśmy zatem, że D 2 S EN D 2 X 1 + D 2 N EX 1 ) 2. 6
Możemy też określić rozkład S za pomocą funkcji charakterystycznej ϕ S t). Niech ϕ X t) oznacza funkcję charakterystyczną zmiennych losowych X k, a g N z) - funkcję tworzącą losowego indeksu N. Wtedy ϕ S t) g N ϕ X t)) Uzasadnienie: ϕ S t) Ee its EEe its N)) E E exp it n ) N ) ) X k nn E E exp it n ) ) ) ) X k E ϕ X1+...+Xn nn nn t) E ϕ X t)) nn n E ϕ X t)) N g N ϕ X t)) Przykład: Niech X k ma rozkład wykładniczy Expλ), λ >, a N - rozkład ujemny dwumianowy N Bm, p), m N, < p < 1. Wtedy EX 1 1 λ, D2 X 1 1 λ 2 oraz EN m p, D2 N i stąd Mamy też ϕ X t) Zatem m1 p) p 2 ES m p 1 λ m pλ D 2 S m ) p 1 m1 p) 1 2 + m λ2 p 2 λ p 2 λ 2 1 it ) 1 ) m pz oraz g N z) λ 1 1 p)z ϕ S t) p ) 1 1 it λ 1 1 p) 1 it λ m ) 1 Jest to funkcja charakterystyczna rozkładu gamma Gpλ, m) Zatem S ma taki właśnie rozkład. Otrzymane wcześniej ES i D 2 S zgadzają się.) 1 it ) m pλ 7
Mieszanina rozkładów. Definicja: Niech N będzie zmienną losową dyskretną przyjmującą wartości naturalne indeksem n losowym), przy czym p n P N n) dla n 1, 2,..., n, p n 1. Y 1, Y 2,..., Y n to ciąg zmiennych losowych niezależnych od N, o dystrybuantach odpowiednio F 1, F 2,..., F n. Rozkład zmiennej losowej Z Y N nazywamy mieszaniną rozkładów F 1, F 2,..., F n, przy czym p 1, p 2,..., p n to udziały tych rozkładów w mieszaninie. Uwaga: Mamy P Z Y n ) P N n) p n oraz F Z z) P Z < z) n P Z < z, N n) n P Y n < z, N n) [z niezależności N i Y n ] n P Y n < z)p N n) n p n F n z), czyli F Z z) p 1 F 1 z) +... + p n F n z). Natomiast EZ EEZ N)) EEY n ) nn ) n p n EY n, czyli EZ p 1 EY 1 +... + p n EY n. Przykład: Do systemu obsługi zgłasza się 1% klientów uprzywilejowanych i 9% nieuprzywilejowanych. Rozkład czasu w minutach) obsługi klienta uprzywilejowanego jest wykładniczy Exp1/2), a klienta nieuprzywilejowanego - Exp1/1). Jaki jest rozkład czasu obsługi klienta wybranego losowego. Jaki jest jego średni czas obsługi? Czas obsługi klienta oznaczmy przez Z, klienta uprzywilejowanego przez Y 1, klienta nieuprzywilejowanego przez Y 2. dla z, Zmienna losowa Y 1 ma rozkład Exp1/2) o dystrybuancie F 1 z) 1 e 1/2)z dla z >. dla z, Natomiast Y 2 ma rozkład Exp1/1) o dystrybuancie F 2 z) 1 e 1/1)z dla z >. Z Y N, gdzie P N 1) p 1, 1, P N 2) p 2, 9, N niezależna od Y 1 i Y 2. Zatem Z ma rozkład, który jest mieszaniną rozkładów wykładniczych Exp1/2) i Exp1/1) o udziałach odpowiednio p 1, 1 i p 2, 9. Dystrybuanta tego rozkładu ma postać dla z, F Z z) p 1 F 1 z) + p 2 F 2 z), 11 e 1/2)z ) +, 91 e 1/1)z )) dla z >. dla z, 1, 1e 1/2)z, 9e 1/1)z dla z >. dla z, Jest to rozkład ciągły o gęstości f Z z), 5e 1/2)z +, 9e 1/1)z dla z >. Średni czas obsługi to EZ, 1EY 1 +, 9EY 2, 1 2 +, 9 1 9, 2. 8
Rozkład mieszany Twierdzenie: Każdy rozkład prawdopodobieństwa jest mieszaniną rozkładu dyskretnego, rozkładu ciągłego i rozkładu osobliwego, tzn. dowolną dystrybuantę F x) można w jednoznaczny sposób przedstawić jako F x) p d F d x) + p c F c x) + p o F o x) dla pewnych stałych p d, p c, p o takich, że p d + p c + p o 1, oraz pewnych dystrybuant F d, F c, F o odpowiednio rozkładu dyskretnego, ciągłego, osobliwego. Definicja: Rozkład mieszany to taki, dla którego przynajmniej dwie spośród liczb p d, p c, p o są większe od. Przykład: Niech X ma rozkład ciągły o gęstości fx) Definiujemy Y, gdy X 1, X 1, gdy X > 1. x dla x 1, 2 x dla 1 < x 2, poza tym. Zbadajmy rozkład Y : P Y ) P X 1) 1 xdx, 5. Stąd rozkład Y nie jest ciągły ani osobliwy. Dystrybuanta ma postać: dla y, F Y y) P Y < y) P Y ) + P < X 1 < y) dla y > ; dla y, dla y,, 5 + y+1 2 x)dx dla < y 1,, 5 + P 1 < X < y + 1) dla y >. 1 1 dla y > 1. dla y,, 5 +, 5y2 y) dla < y 1, 1 dla y > 1. Dystrybuanta nie jest funkcją schodkową, więc rozkład Y nie jest dyskretny. Wynika stąd, że Y ma rozkład mieszany. odpowiada zmiennej losowej Y 1 o rozkła- Zauważmy, że F Y y), 5F d y) +, 5F c y), dla y, gdzie dystrybuanta F d y) 1 dla y > dzie dyskretnym, takiej że P Y 1 ) 1, a dystrybuanta F c y) dla y, y2 y) dla < y 1, 1 dla y > 1 21 y) dla < y < 1, rozkładzie ciągłym o gęstości fx) poza tym. Udziały tych rozkładów w mieszaninie wynoszą p d p c, 5. odpowiada zmiennej losowej Y 2 o 9