METODY NIEDETERMINISTYCZNE W OPTYMALIZACJI SILNIKÓW INDUKCYJNYCH JEDNOFAZOWYCH

Andrzej RUDEŃSKI METODY NIEDETERMINISTYCZNE W OPTYMALIZACJI SILNIKÓW INDUKCYJNYCH JEDNOFAZOWYCH STRESZCZENIE W artykule przedstawono zastosowane metod nedetermnstycznych w optymalzacj jednofazowych slnków ndukcyjnych. Testowano trzy odmany strateg ewolucyjnych oraz algorytm genetyczny z częścową wymaną populacj zmennoprzecnkową reprezentacją genów w chromosomach. Na podstawe eksperymentów oblczenowych zbadano wpływ lczby osobnków w populacj, lczby pokoleń oraz zastosowanych operatorów genetycznych na uzyskane wynk tj. na: średną wartość funkcj przystosowana, odchylene standardowe oraz czas oblczeń. Optymalzację przeprowadzono przy 12-tu zmennych nezależnych oraz 9-cu ogranczenach. Założono cągłą zmenność wszystkch zmennych nezależnych. Jako funkcję celu przyjęto koszt materałów czynnych oraz koszt eksploatacj slnka w zadanym czase pracy. Przedstawono wynk oblczeń optymalzacyjnych sześcu slnków ndukcyjnych jednofazowych z kondensatorem pracy oraz rozruchowym o mocy znamonowej od 1,1 kw do 11 kw, przy użycu testowanych metod oraz wnosk z przeprowadzonych eksperymentów oblczenowych. Słowa kluczowe: slnk ndukcyjne jednofazowe, optymalzacja, metody ewolucyjne dr nż. Andrzej RUDEŃSKI e-mal: el.nme@el.waw.pl Zakład Maszyn Elektrycznych Instytut Elektrotechnk PRACE INSTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszyt 226, 2006

48 A. Rudeńsk 1. WPROWADZENIE Nedetermnstyczne metody optymalzacj można podzelć na stochastyczne oraz ewolucyjne. Metody stochastyczne polegają na losowym generowanu punktów w n-wymarowej przestrzen, w których jest oblczana wartość funkcj celu. Charakteryzują sę one powolną zbeżnoścą pommo stosowana różnych prób jej zwększena, ne znajdują praktycznego zastosowana w projektowanu obektów o złożonej strukturze, jakm są np. maszyny elektryczne. Metody ewolucyjne polegają na wykorzystanu do celów optymalzacj elementów teor ewolucj gatunku, tzn. doboru naturalnego, selekcj oraz dzedzczena. Odznaczają sę one następującym cecham, które odróżnają je od pozostałych metod optymalzacj: poszukwane poprawy rozwązań rozpoczyna sę ne z pojedynczego punktu jak w metodach determnstycznych, ale z ch zboru nazywanego populacją przy czym zbór ten może w szczególnym przypadku zawerać welokrotne kope jednego osobnka; korzysta sę w nch tylko z funkcj celu lub jej modyfkacj nazywanej funkcją przystosowana, a ne z jej pochodnych; w wększośc z nch stosuje sę stochastyczne, a ne determnstyczne sposoby wyboru parametrów określających strategę realzacj algorytmu. Generowane populacj początkowej, a także przeszukwane przestrzen rozwązań, odbywa sę metodam stochastycznym, a modyfkacj poszczególnych osobnków populacj w kolejnych pokolenach dokonuje sę za pomocą operatorów rekombnacj (krzyżowana chromosomów) oraz mutacj (modyfkacj genów). Podstawową zaletą metod ewolucyjnych jest możlwość zwększena lczby zmennych nezależnych optymalzacj nawet do klkuset oraz znalezena rozwązana w punkce optmum globalnego (przy właścwej strukturze algorytmu ewolucyjnego). Ponadto ch zastosowane pozwala rozszerzyć klasę analzowanych funkcj celu, poprzez włączene funkcj neróżnczkowalnych, necągłych a nawet zawerających zmenne dyskretne. Dlatego są rozszerzane badana nad ch zastosowanem do obektów o coraz bardzej złożonej strukturze. Ze względu na złożoność oblczenową oraz duży nakład pracy, zwązany m.n. z wykorzystanem metod stochastycznych, przy zastosowanu procedur ewolucyjnych trzeba posługwać sę zaawansowanym sprzętem nformacyjnym.

Metody nedetermnstyczne w optymalzacj slnków ndukcyjnych jednofazowych 49 Powtarzając oblczena przy takch samych danych początkowych takej samej strateg algorytmu, otrzymuje sę za każdym razem nne rozwązane. Wadą metod ewolucyjnych jest zatem ch mnejsza dokładność w porównanu z metodam determnstycznym To znaczy ne można jednoznaczne oblczyć składowych wektora w punkce optymalnym. Skłana to do poszukwana skutecznych metod hybrydowych, tj. łączących zalety obu metod ewolucyjnych determnstycznych. Algorytmy realzujące zadana optymalzacj metodam ewolucyjnym można podzelć na: stratege ewolucyjne; programowane ewolucyjne; algorytmy genetyczne [2]. Podzał ten wynka z kerunków ch hstorycznego rozwoju. Perwsza z wymenonych grup była rozwjana w Nemczech, druga na zachodnm, a trzeca na wschodnm wybrzeżu USA [2]. W perwszych dwóch grupach stosuje sę zmennoprzecnkową reprezentację genów w chromosomach (odpowadających poszczególnym zmennym nezależnym). Ostatna grupa metod początkowo bazowała na bnarnym kodowanu genów, jednak zwązane z tym nedogodnośc spowodowały, że stosuje sę w nch także zmennoprzecnkową reprezentację genów. W ostatnm dwudzestolecu na skutek dynamcznego rozwoju omawanych metod oraz coraz szerszego ch zastosowana w różnych dzedznach, powstało wele nowych odman algorytmów ewolucyjnych oraz wyspecjalzowanych metod służących np. do rozwązywana zadań optymalzacj w obszarze ogranczonym. Nektóre z nch wymagają stosowana specjalnych operatorów rekombnacj mutacj [12; 13]. Take okolcznośc występują przy projektowanu maszyn elektrycznych, a w szczególnośc slnków ndukcyjnych. Zastosowane algorytmów ewolucyjnych do zadań optymalzacj w dzedzne maszyn elektrycznych jest jeszcze w faze początkowej. W zadanach optymalzacj slnków ndukcyjnych główną trudność stanow nelnowość funkcj celu oraz funkcj ogranczeń. Ponadto zarówno funkcja celu jak funkcje ogranczeń ne dają sę wyrazć analtyczne w zależnośc od zmennych nezależnych sterujących optymalzacją; wyznaczane ch wartośc mus sę odbywać za pomocą algorytmów złożonych oblczeń teracyjnych [6]. Formalne ne jest stotny sposób oblczana funkcj celu oraz funkcj ogranczeń pod warunkem, że oblczena teracyjne dają wynk jednoznaczne podobne jak oblczena funkcj wyrażonych analtyczne. Ma to jednak stotny wpływ na pracochłonność oblczeń. Perwsze próby zastosowana tych metod do optymalzacj przetwornków elektromechancznych, dotyczyły obektów o prostej strukturze [10; 18], albo bazowały na uproszczonych modelach matematycznych maszyn [5]. W pracach [11; 18] zastosowano klasyczny algorytm genetyczny z prostym bnarnym kodowanem genów w chromosomach. Ne posłużono sę natomast algorytmam

50 A. Rudeńsk wykorzystującym zmennoprzecnkową reprezentację genów w chromosomach. Jak wykazano m. n. w pracach [1; 13], pommo braku matematycznego dowodu zbeżnośc takch algorytmów, są one przydatne do rozwązywana zadań optymalzacj spotykanych w technce, a to dzęk naturalnej reprezentacj zmennych decyzyjnych oraz możlwośc stosowana wyspecjalzowanych operatorów genetycznych. Ponadto, w przecweństwe do algorytmów z naturalnym kodowanem bnarnym, ne wykazują one fałszywych dodatkowych ekstremów lokalnych, które pojawają sę na skutek tzw. efektu klfów Hammnga [1; 13]. Autorzy prac zwykle pomjają szczegóły zastosowanych metod uważając, że samo sformułowane "metody ewolucyjne" jest wystarczające. Jest to nesłuszne, poneważ stale sę pogłęba "różncowane" tych metod. W lteraturze [13; 14] podkreśla sę koneczność prowadzena prac badawczych ukerunkowanych na dostosowane algorytmów ewolucyjnych do specyfk rozwązywanych zadań. Dopero take postępowane umożlwa znalezene metod najbardzej odpowednch do rozpatrywanego zagadnena. Próby zastosowana algorytmów ewolucyjnych do optymalzacj w maszynach elektrycznych są także przedstawone w pracach [11; 16]. Rozpoznawcze eksperymenty oblczenowe z wykorzystanem algorytmu ewolucyjnego do optymalzacj slnka jednofazowego zostały przedstawone w pracy [16]. Wynka z nch m.n. potrzeba bardzej wnklwej analzy ch właścwośc oraz sklasyfkowana pod względem przydatnośc do rozwązywana zadań optymalzacj w procese projektowana slnków ndukcyjnych, co jest celem tej pracy. 2. ALGORYTM OBLICZANIA FUNKCJI PRZYSTOSOWANIA W tej pracy zastosowano programy testowe przystosowując zmodyfkowane algorytmy oblczana funkcj celu stosowane w optymalzacj determnstycznej przedstawone w opracowanu [15]. Przedmotem optymalzacj jest slnk ndukcyjny jednofazowy z kondensatorem pracy oraz włączanym na czas rozruchu kondensatorem rozruchowym. Jako kryterum optymalzacj przyjęto mnmum sumy kosztów materałów czynnych użytych do produkcj oraz kosztów eksploatacj slnka w określonym czase (do oblczeń przyjęto 5000 godzn). Funkcja celu zależy od 12-tu zmennych, a optymalzacja jest przeprowadzana przy 9-cu ogranczenach. Zbór zmennych może być zmnejszony, tzn. część zmennych może ne zostać uaktywnona, ale w tej pracy eksperymenty oblczenowe wykonano przy pełnym zborze zmennych nezależnych. Są nm: śred-

Metody nedetermnstyczne w optymalzacj slnków ndukcyjnych jednofazowych 51 nca wewnętrzna rdzena stojana D; długość rdzena stojana L; szerokość żłobka stojana b Qs ; wysokość zęba stojana h ds ; szerokość żłobka wrnka b Qr ; wysokość zęba wrnka h dr ; lczba zwojów uzwojena głównego N A ; lczba zwojów uzwojena pomocnczego N B ; średnca drutu uzwojena głównego d A ; średnca drutu uzwojena pomocnczego d B ; szerokość perścena zwerającego klatk wrnka a er ; pojemność kondensatora pracy C p. Jako ogranczena przyjęto: mnmalną sprawność η mn ; mnmalny współczynnk mocy (cosϕ) mn ; mnmalny względny początkowy moment rozruchowy m kmn ; maksymalny względny początkowy prąd rozruchowy kmax ; mnmalny względny moment krytyczny m bmn ; maksymalną ndukcję w zębach stojana B dmax ; maksymalną gęstość prądu w uzwojenach stojana j max ; maksymalny współczynnk zapełnena żłobków k zmax ; maksymalne napęce na kondensatorze pracy przy begu jałowym U c0max. Poneważ celem tej pracy jest główne ocena przydatnośc różnych algorytmów ewolucyjnych w optymalzacj, to oblczena wykonano przy założenu cągłośc wszystkch zmennych nezależnych, ne wykonując po zakończenu oblczeń "urealnena" otrzymanych rozwązań. W algorytmach ewolucyjnych osobnków ocena sę na podstawe wartośc przypsywanej m funkcj przystosowana. Funkcja ta jest uzależnona od wartośc funkcj celu oraz od zboru funkcj ogranczeń. Przy czym w odróżnenu od metod determnstycznych, w których zwykle przyjmuje sę kary wewnętrzne, w metodach nedetermnstycznych stosuje sę kary zewnętrzne tj. zależne od przekroczena ogranczeń. Przy takch założenach funkcja przystosowana ma postać: f ( ) = f + w g( x) c m x (1) = 1 przy czym: x wektor zmennych nezależnych; f c wartość funkcj celu, zależnej od kryterum optymalzacj; w współczynnk wagowy -tego ogranczena; g(x) funkcja ogranczeń; m lczba ogranczeń. Funkcja g(x) może być lnowa, kwadratowa lub logarytmczna. Także współczynnk wagowe dla poszczególnych ogranczeń są na ogół różne. Ich właścwy dobór w stotny sposób wpływa na przebeg procesu ewolucyjnego jest trudnym zadanem. W opracowanych programach narzędzowych przewdzano możlwość zman zarówno funkcj kary jak współczynnków wagowych poszczególnych ogranczeń.

52 A. Rudeńsk Każdy składnk p sumy we wzorze (1), w zależnośc od tego, jaka funkcja kary została wybrana, jest oblczany wg jednej z zależnośc: p w = 0 f c [ g ( x) g, d ] dla g ( x) dla g ( x) > g g, d, d (2a) p w = 0 f c 2 [ g ( x) g, d ] dla g ( x) dla g ( x) > g g, d, d (2b) p w = 0 f c g ln g ( x), d dla dla g g ( x) ( x) > g g, d, d (2c) przy czym: g (x) oblczona wartość -tego parametru podlegającego ogranczenu; g,d wartość dopuszczalna -tego ogranczena. Wzory (2a)...(2c) dotyczą ogranczeń od dołu; dla ogranczeń od góry zmena sę kolejność składnków w nawasach kwadratowych we wzorach (2a) (2b) oraz lcznk z manownkem pod znakem logarytmu we wzorze (2c). Znanych jest klka strateg kar, przedstawonych m.n. w pracach [13; 14] polegających na: różncowanu wartośc nakładanych kar w zależnośc od stopna zaawansowana poszukwań, tj. od numeru pokolena, albo na doborze kar w tak sposób, aby osobnk nedopuszczalny zawsze mał gorszą wartość przystosowana od osobnka dopuszczalnego. Może sę bowem zdarzyć, że rozwązane, w którym zostało neznaczne naruszone jedno z granczeń, ma lepszą wartość przystosowana od rozwązana dopuszczalnego. Rolę ogranczeń spełnają także dolne górne wartośc poszczególnych zmennych nezależnych, określające przestrzeń poszukwań. Ich uwzględnene w algorytme jest proste, lecz ch obecność nakłada często trudne do spełnena warunk na algorytm oblczana funkcj celu. Ze względu bowem na stochastyczny sposób przeszukwana przestrzen rozwązań może sę zdarzyć, że wygenerowane wartośc zmennych będą prowadzć np. do bardzo dużych ndukcj w jednym z odcnków obwodu magnetycznego maszyny, co może doprowadzć do "utknęca" algorytmu teracyjnego. Take rozwązane jest jednak z reguły technczne nedopuszczalne, a węc można go pomnąć, zastępując nnym rozwązanem dopuszczalnym, co ne podważa stoty dzałana algorytmu ewolucyjnego. W opracowanych programach oblczeń zastosowano mechanzm "naprawy" takch osobnków, polegający na ch wymane na nnego, pochodzącego z dodatkowej populacj osobnków dopuszczalnych.

Metody nedetermnstyczne w optymalzacj slnków ndukcyjnych jednofazowych 53 3. ZASTOSOWANE ALGORYTMY EWOLUCYJNE Dla realzacj postawonego zadana opracowano w programowej forme obektowej procedury realzujące oblczena optymalzacyjne oparte na różnych metodach ewolucyjnych. Testowano trzy odmany strateg ewolucyjnych oraz algorytm genetyczny ze zmennoprzecnkową reprezentacją genów w chromosomach, w którym wykorzystano część rozwązań zastosowanych w algorytme GENOCOP przedstawonym w pracach [13; 14]. Podstawowe cechy tych algorytmów przedstawono w następnych podpunktach. Jako punkt startowy wprowadza sę wektor zmennych nezależnych (genów) pojedynczego, nekoneczne dopuszczalnego osobnka, granczne wartośc wszystkch zmennych nezależnych oraz zbór ogranczeń. W weloosobnczych strategach ewolucyjnych ncjalzacja populacj początkowej polega na wygenerowanu żądanej lczby osobnków, których chromosomy zawerają geny o wartoścach wybranych losowo z przedzałów zmennośc odpowadających m zmennych. Natomast w algorytme genetycznym z populacj początkowej elmnowane są osobnk, przy których algorytm teracyjny ze wspomnanych w poprzednm punkce względów mógł neprawdłowo oblczyć ch przystosowane. To samo dotyczy pojedynczego osobnka w jednoosobnczej strateg ewolucyjnej tzw. (1+1)-SE. Tak sposób postępowana wynka z zastosowanych mechanzmów selekcj. 3.1. Stratege ewolucyjne Stratege ewolucyjne należą do najstarszych spośród stosowanych nedetermnstycznych metod optymalzacj funkcj welu zmennych. Stosowana jest w nch selekcja determnstyczna, tzn. do następnego pokolena przechodzą osobnk o lepszym przystosowanu. W najprostszej strateg (1+1)-SE, populację stanow pojedynczy osobnk, który tworzy jednego potomka poprzez mutację każdego z genów rodzca zgodne z zależnoścą: x ' x + ( 0,σ ) = N (3) przy czym: x -ta składowa wektora zmennych nezależnych (gen); N 0,σ zmenna losowa o rozkładze Gaussa z wartoścą oczekwaną ( ) 0 oraz odchylenem standardowym σ.

54 A. Rudeńsk W tej wersj algorytmu zastosowano prostą samoczynną adaptację zasęgu mutacj wykorzystując zaproponowaną przez Rechenberga, tzw. "regułę 1/5 sukcesów". Polega ona na zmane odchylena standardowego σ co k pokoleń w zależnośc od tego, czy mutacja w ostatnch k pokolenach spowodowała poprawę funkcj przystosowana tj. wg zależnośc: ' σ = σ a jeżel s / k < 0,2 ' 1 σ = σ jeżel s / k > 0,2 (4) a ' σ = σ jeżel s / k = 0,2 przy czym: a < 1 parametr metody; zgodne z [8] przyjęto a = 0,82; s lczba mutacj uweńczonych sukcesem. Potomek zastępuje swojego rodzca w następnym pokolenu wtedy tylko wtedy, jeśl odznacza sę lepszym przystosowanem. W oblczenach przystosowana zrezygnowano z dodawana składnka kary do oblczonej wartośc funkcj celu, poprzestając na wygenerowanu perwszego osobnka (pokolene 0) spełnającego wszystke ogranczena oraz wprowadzając dodatkowo ten wymóg do warunku akceptacj potomka. W tej wersj algorytmu ne stosowano operatora krzyżowana (rekombnacj). Drugą testowaną odmaną strateg ewolucyjnej jest tzw. stratega ( μ + λ) -SE, w której w każdym pokolenu μ rodzców tworzy λ potomków. Pary rodzców są wyberane spośród μ osobnków populacj w sposób losowy. Każda para rodzców tworzy dwóch potomków poprzez zastosowane wybranego operatora krzyżowana. Operacja krzyżowana jest powtarzana tak długo, aż uzyska sę λ potomków. Następne każdy z potomków jest poddawany mutacj z samoczynną adaptacją zasęgu. Polega ona na wprowadzenu dodatkowego chromosomu σ, który ne ma wpływu na wartość przystosowana osobnka, a zawera jedyne parametry wpływające na zasęg mutacj tzn. wartośc odchyleń standartowych rozkładu prawdopodobeństwa. Chromosom ten podczas operacj genetycznych ulega modyfkacjom, jest wykorzystywany podczas generowana potomstwa podlega dzedzczenu. Na skutek dzałana mechanzmu selekcj, potomstwo dzedzczy ne tylko lepsze geny wpływające na wartość funkcj przystosowana, ale równeż bardzej adekwatny zasęg operatorów mutacj. Znanych jest wele operatorów krzyżowana, w tej pracy przewdzano możlwość wyboru jednego z dwóch operatorów. Są nm:

Metody nedetermnstyczne w optymalzacj slnków ndukcyjnych jednofazowych 55 1. Krzyżowane równomerne, w którym dwóch rodzców x 1 oraz x 2 tworzy dwóch potomków y 1 oraz y 2. Potomek y 1 zawera chromosomy o składowych y 1, = x 1, oraz σ' 1, = σ 1, albo y 1, = x 2, oraz σ' 1, = σ 2, dla = 1,..., n pochodzących od jednego lub drugego rodzca z jednakowym prawdopodobeństwem. Drug potomek jest tworzony przez zaprzeczene decyzj, od którego z rodzców ma pochodzć -ty gen. x x y y 1 2 1 2 = = = = ( x1,1,..., x1, n; σ 1,1,..., σ 1, n ) ( x2,1,..., x2, n; σ 2,1,..., σ 2, n ) ' ' ( y1,1,..., y1, n; σ 1,1,..., σ 1, n ) " " ( y,..., y ; σ,..., σ ) 2,1 2, n 2,1 2, n (5) 2. Krzyżowane proporcjonalne zwane równeż arytmetycznym, w którym dwóch rodzców x 1 oraz x 2 tworzy dwóch potomków y 1 oraz y 2 wg reguły: y y σ σ 1, 2, 1, 2, = a x1, + = a x2, + = a σ 1, + = a σ + 2, ( 1 a) x2, ( 1 a) x1, ( 1 a) σ 2, ( 1 a) σ 1, (6) przy czym: a [0,1] jest zmenną losową o rozkładze równomernym. Mutacja przebega w dwóch etapach. W perwszym z nch następuje modyfkacja składowych wektora odchyleń standartowych σ zgodne z zależnoścą: [ τ N( 0,1) τ N ( 0,1) ] ' σ = σ exp + (7) p przy czym: 1 τ p parametr, przyjęty wg zależnośc: τ p = ; 2 n 1 τ parametr, przyjęty wg zależnośc: τ = ; 2n n lczba zmennych nezależnych. Perwszy składnk w nawase we wzorze (7) zawera zmenną losową o rozkładze Gaussa wspólną dla wszystkch genów (zmennych) chromosomu.

56 A. Rudeńsk Natomast drug składnk zawera zmenną losową nną dla każdego genu. Przy braku tego składnka zmany wartośc genów następowałyby tylko wzdłuż kerunków os n-wymarowego układu współrzędnych. Obecność drugego składnka powoduje dodatkowe odchylena zman od tych kerunków. W drugm etape mutacj zmenano wartośc genów wg zależnośc: x ' ' ( 0,1) ' ' = x + σ N lub x = x + σ C (8) Perwszy wzór jest stosowany do mutacj z rozkładem Gaussa, a drug w przypadku rozkładu Cauchy'ego, przy czym C zmenna losowa o rozkładze Cauchy'ego. Następne oblcza sę przystosowane wszystkch λ osobnków potomnych, z zastosowanem funkcj kary zewnętrznej (opcyjne: lnowej, kwadratowej lub logarytmcznej), po czym jest dokonywana selekcja polegająca na malejącym posortowanu wszystkch μ + λ osobnków (rodzców potomków) oraz utworzenu nowego pokolena z perwszych μ najlepszych osobnków, które są po wybranu poddane tasowanu. Selekcja jest węc determnstyczna, co jest cechą charakterystyczną wszystkch odman strateg ewolucyjnych. Trzecą testowaną odmaną strateg ewolucyjnej jest tzw. stratega (μ,λ)-se. Różn sę ona od strateg ( μ, λ) -SE tym, że do następnego pokolena wybera sę μ najlepej przystosowanych osobnków tylko spośród λ potomków. Rodzce ne wchodzą do nowego pokolena, a węc każdy osobnk "żyje" tylko przez jedno pokolene. W eksperymentach oblczenowych przy zastosowanu strateg ewolucyjnych (μ+λ)-se oraz (μ,λ)-se, zrezygnowano ze stosowana podanego w p. 2 mechanzmu wymany osobnków, z którym "ne radz sobe" algorytm oblczeń wartośc przystosowana. Osobnkom takm przypsuje sę wartość przystosowana gorszą od najgorszego dotychczas osobnka, a determnstyczny charakter selekcj zawsze powoduje ch elmnację. Ta okolczność została potwerdzona w wykonanych eksperymentach oblczenowych. 3.2. Zmodyfkowany algorytm genetyczny Testowano także algorytm genetyczny zawerający elementy algorytmu o nazwe GENOCOP, przedstawonego w pracach [13, 14]. Jest to algorytm z częścową wymaną populacj, w którym zastosowano zmennoprzecnkową reprezentację genów w chromosomach oraz zmodyfkowaną w porównanu z klasycznym algorytmem procedurę selekcj. Każda nowa populacja jest tworzona w następujący sposób:

Metody nedetermnstyczne w optymalzacj slnków ndukcyjnych jednofazowych 57 wybera sę p rodzców spośród N osobnków populacj z zastosowanem selekcj turnejowej przy c uczestnkach turneju lub selekcj rankngowej (lnowej lub nelnowej). Obydwa rodzaje selekcj umożlwają regulację nacsku selektywnego; wybera sę bez powtórzeń spośród wszystkch N osobnków populacj N p osobnków, które są kopowane bez zman do następnego pokolena, przy czym p jest lczbą rodzców. Wyboru dokonuje sę losowo z zastosowanem selekcj turnejowej tzn. wybera sę k-krotne zbór N p osobnków, a do następnego pokolena kopuje sę ten zbór, w którym suma przystosowań osobnków jest lepsza. Poprzez dobór lczby uczestnków turneju k można wpływać na nacsk selektywny; p osobnków wybranych na rodzców tworzy p potomków, przy zastosowanu operatorów krzyżowana mutacj a potomków kopuje sę do następnego pokolena. Przewdzano możlwość wyboru jednego spośród dwóch operatorów krzyżowana: równomernego lub proporcjonalnego oraz trzecą, polegającą na losowym wyborze jednego z operatorów. Krzyżowane przebega zgodne z wzorem (4) lub (5), jednak w tym algorytme ne występują dodatkowe chromosomy zawerające wartośc odchyleń standartowych stosowanych podczas mutacj. W algorytme zastosowano 3 operatory mutacj: równomerny; nerównomerny; granczny. Mutacja równomerna polega na nadanu losowo wybranemu genow x k losowej wartośc z przedzału [x k,mn, x k,max ], czyl z przedzału zmennośc zmennej reprezentowanej przez ten gen. Mutacja nerównomerna polega na nadanu losowo wybranemu genow x k jednej z wartośc (z jednakowym prawdopodobeństwem): ( t, xk max xk ) ( t, x x ) x + Δ ' k x k = (9) xk Δ k k mn Funkcja Δ(t, y) przybera wartośc z przedzału [0, y] jest określona zależnoścą: t b 1 Δ ( ) = t, y y 1 r T (10)

58 A. Rudeńsk przy czym: y szerokość przedzału y = x kmax x k lub y = x k x kmn ; r lczba losowa z przedzału [0, 1]; t aktualny numer pokolena; T najwyższy numer pokolena; B parametr określający stopeń nerównomernośc mutacj. Jak wynka z wzoru (10) prawdopodobeństwo, że wartość funkcj Δ(t, y) jest blska zeru wzrasta wraz ze wzrostem numeru pokolena. Oznacza to, że na początku procesu ewolucyjnego mutacja ma duży zasęg, co pozwala na eksplorację wększego obszaru, a pod konec procesu zasęg mutacj jest mały, co pozwala dokładnej znaleźć optmum. Na rysunku 1 przedstawono zależność wartośc funkcj Δ(t, y) od zmennej losowej r przy różnych wartoścach t / T oraz przy dwóch wartoścach parametru b we wzorze (10). 1.0 0.8 Δ b = 2 Δ b = 1 t/t = 0.1 t/t = 0.5 t/t = 0.9 1.0 0.8 t/t = 0.1 t/t = 0.5 t/t = 0.9 0.6 0.6 0.4 0.4 0.2 0.2 0.0 r 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 0.0 r 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Rys. 1. Zasęg mutacj nerównomernej przy parametrach b = 1 oraz b = 2 Mutacja granczna polega na nadanu losowo wybranemu genow x k jednej z wartośc grancznych x k, max lub x k, mn (z jednakowym prawdopodobeństwem), jake może przyberać reprezentowana przez ten gen zmenna. W programe testowym rodzaj selekcj rodzców (turnejowa; rankngowa lnowa; rankngowa nelnowa), parametry selekcj: c lczba uczestnków turneju przy wyborze pul rodzców; k lczba uczestnków turneju przy wyborze ne zmenanej częśc populacj oraz b parametr nerównomernośc mutacj

Metody nedetermnstyczne w optymalzacj slnków ndukcyjnych jednofazowych 59 mogą być zmenane. Lczbę potomków, którzy mają podlegać mutacj określa sę arbtralne wybera sę ch losowo bez zwracana (spośród p). Pozostałe osobnk są poddawane jednemu z operatorów krzyżowana. Ponadto część spośród osobnków podlegających mutacj jest poddawana mutacj grancznej. Lczba ta maleje z prawdopodobeństwem p m-bord malejącym wraz z postępem procesu ewolucyjnego zgodne z zależnoścą: ( 1 t ) 3 p m bord. = 0,3 / T (11) Pozostałe osobnk ze zboru przeznaczonych do mutacj są poddawane, zależne od wyboru, mutacj równomernej lub nerównomernej. 4. WYNIKI OBLICZEŃ Za pomocą programów testowych umożlwających zmanę omawanych w poprzednm punkce parametrów zrealzowano dwa zbory eksperymentów. Perwszy z nch zawera oblczena zmerzające do wyznaczena najbardzej korzystnych wartośc parametrów algorytmów ewolucyjnych oraz doboru operatorów genetycznych. Na ch podstawe określono: lczebność populacj N (dla strateg ewolucyjnych lczby rodzców μ oraz lczby potomków λ); lczność pul rodzcelskej p dla algorytmu genetycznego oraz lczbę pokoleń T. Przebeg procesu ewolucyjnego (najlepsze, najgorsze oraz średne przystosowane w kolejnych pokolenach) może być przedstawony w postac wzualnej, co pomogło m.n. określć koneczne maksymalne lczby pokoleń oraz badać wpływ wyboru różnych operatorów genetycznych na przebeg procesu, tzn. na szybkość zbeżnośc oraz różnorodność populacj. Ponadto, w programach są rejestrowane: numer pokolena, z którego pochodz osobnk o najlepszym przystosowanu; lczba generowanych w procese ewolucyjnym rozwązań, z którym "ne radz sobe" algorytm oblczeń; oraz w przypadku, gdy rozwązane zawera granczną wartość dowolnej zmennej nezależnej jej numer. Ze względu na stochastyczny charakter przeszukwana przestrzen rozwązań, uzyskwane wynk ne są powtarzalne. Z tego powodu wszystke oblczena były powtarzane dwudzestokrotne, a ch wynk były zapsywane w plku dyskowym. Dodatkowy program rejestrował rozwązana najlepsze najgorsze oraz oblczał średne przystosowane, odchylene standardowe oraz średn czas oblczeń.

60 A. Rudeńsk Do eksperymentów oblczenowych wybrano slnk jednofazowy o mocy znamonowej 1,1 kw 2p = 4. Przy oblczanu funkcj przystosowana (1) przyjęto logarytmczną funkcję kary wg wzoru (2c). Oblczena wykonywano na komputerze z procesorem Pentum IV 2,55 GHz. Badano wpływ lczby osobnków w populacj oraz lczby pokoleń na uzyskane wynk, tzn. na średną wartość przystosowana f av, odchylene standardowe σ oraz czas oblczeń t. Tabela 1 zawera wynk oblczeń uzyskane przy zastosowanu strateg ewolucyjnej (1+1)-ES. W tabel 2 przedstawono wynk testów przy strategach ewolucyjnych (μ+λ)-es oraz (μ,λ)-es. W strategach tych zastosowano operator krzyżowana równomernego oraz następujący schemat mutacj: w perwszych 60 % maksymalnej lczby pokoleń T stosuje sę mutację z rozkładem Cauchy'ego; pomędzy 60 % a 80 % tej lczby, rozkład mutacj jest wyberany pomędzy rozkładam Cauchy'ego Gaussa z jednakowym prawdopodobeństwem; w ostatnch 20 % pokoleń stosuje sę mutację z rozkładem Gaussa. Tabela 3 zawera wynk oblczeń otrzymane przy zastosowanu algorytmu genetycznego, opsanego w punkce 3.2, przy zastosowanu operatorów krzyżowana równomernego oraz mutacj nerównomernej. Następne, dla wybranych parametrów wykonano dla porównana oblczena przy zastosowanu krzyżowana proporcjonalnego w strategach ewolucyjnych oraz algorytme genetycznym. Wynk przedstawono w tab. 4 oraz 5. Tabela 6 zawera porównane wynków uzyskanych przy zastosowanu w algorytme genetycznym operatorów mutacj nerównomernej oraz równomernej. W tabel 7 przedstawono składowe pęcu wybranych wektorów rozwązań otrzymanych w wynku uruchomeń algorytmu genetycznego wg p. 3.2 oraz składowe wektora rozwązana otrzymanego przy użycu metody determnstycznej Hooke'a-Jeevesa z zastosowanem restartu procedury optymalzacyjnej opsanego w pracy [7]. Wybrano wektory (spośród 20), dla których otrzymano jak najbardzej zblżone wartośc przystosowana f. Eksperymenty wykazały, że przy zastosowanu strateg ewolucyjnej (1+1)-ES, najlepsze rozwązane osągano ne późnej w 3900-nym pokolenu. PRACE INSTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszyt 226, 2006

Metody nedetermnstyczne w optymalzacj slnków ndukcyjnych jednofazowych 61 TABELA 1 Stratega ewolucyjna (1+1)-ES. Wynk oblczeń przy różnych lczbach pokoleń g Lczba pokoleń g Średne przystosowane f av Odchylene standartowe σ [%] Średn czas oblczeń [s] g = 500 365,10 0,77 1,5 g = 1000 365,06 0,75 2,4 g = 2000 365,03 0,57 4,3 g = 5000 364,41 0,75 11,1 TABELA 2 Stratege ewolucyjne ( μ + λ) -ES oraz ( λ) μ, -ES. Wynk oblczeń przy różnych lczbach rodzców μ, potomków λ oraz różnych lczbach pokoleń g Algorytm (μ+λ)-es (μ,λ)-es Parametry Średne przystosowane f av Odchylene standartowe σ [%] Średn czas oblczeń [s] Średne przystosowane f av Odchylene standartowe σ [%] Średn czas oblczeń [s] μ = 50 λ = 100 g = 50 μ = 100 λ = 200 g = 50 μ = 100 λ = 200 g = 100 μ = 50 λ = 300 g = 50 μ = 50 λ = 300 g = 100 362,94 0,40 8,3 367,37 0,80 8,2 361,39 0,31 16,7 365,57 0,61 16,2 359,78 0,22 32,8 364,93 0,39 31,6 359,10 0,30 24,5 361,95 0,35 23,9 359,57 0,18 48,7 360,82 0,18 48,2

62 A. Rudeńsk TABELA 3 Algorytm genetyczny wg p. 3.2. Wynk oblczeń przy różnych lczbach osobnków w populacj N, lczbach rodzców p, oraz różnych lczbach pokoleń g Parametry algorytmu Średne przystosowane f av Odchylene standartowe σ [%] Średn czas oblczeń [s] N = 100; p = 50 g = 50 N = 100; p = 50 g = 200 N = 200; p = 100 g = 100 N = 200; p = 100 g = 200 N = 100; p = 80 g = 200 N = 100; p = 40 g = 200 N = 100; p = 50 g = 1000 N = 1000; p = 500 g = 100 366,69 0,61 4,8 363,86 0,50 16,6 364,7 0,35 17,4 362,31 0,51 33,5 368,77 0,68 27,0 364,36 0,54 13,3 361,30 0,62 82,6 362,35 0,23 87,0 TABELA 4 Stratege ewolucyjne (μ+λ)-es oraz (μ,λ)-es. Porównane wynków oblczeń przy zastosowanu krzyżowana równomernego oraz proporcjonalnego. μ = 100; λ = 200; g = 100 Algorytm (μ+λ)-es (μ,λ)-es Operator krzyżowana Średne przystosowane f av Odchylene standartowe σ [%] Średn czas oblczeń [s] Średne przystosowane f av Odchylene standartowe σ [%] Średn czas oblczeń [s] Równomerne 359,78 0,22 32,8 364,93 0,39 31,6 Proporcjonalne 365,66 0,40 32,7 372,15 0,58 34,6

Metody nedetermnstyczne w optymalzacj slnków ndukcyjnych jednofazowych 63 TABELA 5 Algorytm genetyczny wg p. 3.2. Porównane wynków oblczeń przy zastosowanu krzyżowana równomernego oraz proporcjonalnego N = 100; p = 50; g = 200 Rodzaj operatora krzyżowana Średne przystosowane f av Odchylene standartowe σ [%] Średn czas oblczeń [s] Równomerne 363,86 0,50 16,6 Proporcjonalne 369,16 0,75 17,3 TABELA 6 Algorytm genetyczny wg p. 3.2. Porównane wynków oblczeń przy zastosowanu mutacj równomernej oraz nerównomernej N = 100; p = 50; g = 200 Rodzaj operatora mutacj Średne przystosowane f av Odchylene standartowe σ [%] Średn czas oblczeń [s] Nerównomerna 363,86 0,50 16,6 Równomerna 365,15 0,48 17,1 TABELA 7 Porównane składowych 5 wybranych wektorów rozwązań uzyskanych w wynku optymalzacj slnka P N = 1,1 kw; 2p = 4 przy użycu algorytmu genetycznego dla N = 200; p = 100; g = 200, oraz w wynku optymalzacj metodą determnstyczną Hooke'a-Jeevesa z restartem procedury optymalzacyjnej. Zmenna Jedn. Rozwązane 1 Rozwązane 2 Rozwązane 3 Rozwązane 4 Rozwązane 5 Rozwązane H-J + restart D mm 85,19 85,65 86,18 85,26 85,74 85,57 l mm 119,02 118,20 119,9 115,15 116,71 119,68 b Qs mm 6,02 6,04 6,08 6,07 6,01 6,05 h ds mm 14,27 13,79 13,24 13,65 13,83 14,57 b Qr mm 4,67 4,82 4,66 4,59 4,59 4,67 h dr mm 17,80 16,52 17,71 17,19 17,07 17,29 N A 336,76 343,96 329,82 337,01 328,91 337,97 N B 367,37 376,09 375,84 370,14 363,96 363,94 d A mm 0,501 0,520 0,489 0,504 0,476 0,514 d B mm 0,613 0,561 0,594 0,585 0,633 0,596 a er mm 7,60 7,96 7,15 7,43 7,77 7,22 C p μf 30,87 27,66 28,28 29,27 31,78 30,69 f zł 360,56 360,89 360,96 362,59 362,79 363,50

64 A. Rudeńsk Oblczena optymalzacyjne wykonano także dla sześcu slnków jednofazowych o mocach znamonowych: 1,1 kw; 4,0 kw; 5,5 kw; 7,5 kw oraz 11 kw. W tabelach 8a 8b przedstawono wynk oblczeń przy użycu różnych algorytmów ewolucyjnych. Dla porównana w ostatnch werszach tablc podano wynk oblczeń optymalzacyjnych przy użycu metody determnstycznej Hooke'a- Jeevesa z zastosowanem restartu procedury optymalzacyjnej [7]. TABELA 8a Porównane wynków oblczeń optymalzacyjnych przy użycu różnych algorytmów ewolucyjnych oraz procedury determnstycznej dla 3 slnków. Wartośc górne slnk o mocy znamonowej P N = 1,1 kw; 2p = 4; wartośc środkowe slnk o mocy znamonowej P N = 4,0 kw; 2p = 4; wartośc dolne slnk o mocy znamonowej P N = 5,5 kw; 2p = 4; Algorytm Parametry algorytmu Najlepsze znalezone rozwązane Średna wartość przystosowana f av z 20 uruchomeń Odchylene standardowe σ [%] Średn czas oblczeń t [s] Stratega ewolucyjna (1 + 1)-ES lczba pokoleń g = 5000 360,34 960,34 1155,97 364,41 970,23 1177,02 0,75 0,68 0,82 11,1 14,2 11,5 Stratega ewolucyjna (μ + λ)-es μ = 100; λ = 200 l. pokoleń g = 100 358,61 952,37 1135,61 359,78 955,72 1146,08 0,22 0,32 0,73 32,8 36,8 34,6 Stratega ewolucyjna (μ, λ)-es μ = 50; λ = 300 l. pokoleń g = 100 359,68 948,49 1129,26 360,82 950,63 1132,57 0,18 0,19 0,21 48,2 58,2 54,5 Algorytm genetyczny wg 3.2 l. osob. N = 200 l. rodz. p = 100 l. pokoleń g = 200 358,92 955,98 1136,73 362,31 960,47 1150,67 0,51 0,30 0,78 33,5 39,2 36,3 Metoda determnstyczna H-J + restart 363,50 955,04 1146,71 11,1 16,6 12,8 PRACE INSTYTUTU ELEKTROTECHNIKI, zeszyt 226, 2006

Metody nedetermnstyczne w optymalzacj slnków ndukcyjnych jednofazowych 65 TABELA 8b Porównane wynków oblczeń optymalzacyjnych przy użycu różnych algorytmów ewolucyjnych oraz procedury determnstycznej dla 3 slnków. Wartośc górne slnk o mocy znamonowej P N = 5,5 kw; 2p = 2; wartośc środkowe slnk o mocy znamonowej P N = 7,5 kw; 2p = 4; wartośc dolne slnk o mocy znamonowej P N = 11,0 kw; 2p = 4; Algorytm Parametry algorytmu Najlepsze znalezone rozwązane Średna wartość przystosowana f av z 20 uruchomeń Odchylene standardowe σ [%] Średn czas oblczeń t [s] Stratega ewolucyjna (1 + 1)-ES lczba pokoleń g = 5000 1103,55 1467,95 1954,07 1123,43 1486,03 1972,84 0,83 0,90 0,91 12,5 11,5 32,5 Stratega ewolucyjna (μ + λ)-es μ = 100; λ = 200 l. pokoleń g = 100 1087,06 1460,32 1943,55 1091,25 1465,87 1948,31 0,27 0,21 0,20 39,9 33,5 39,7 Stratega ewolucyjna (μ, λ)-es μ = 50; λ = 300 l. pokoleń g = 100 1074,52 1458,82 1943,12 1082,16 1468,75 1949,23 0,43 0,29 0,22 57,8 54,4 58,6 Algorytm genetyczny wg 3.2 l. osob. N = 200 l. rodz. p = 100 l. pokoleń g = 200 1097,48 1467,31 1952,96 1110,57 1475,78 1963,93 0,84 0,32 0,26 41,8 37,8 37,3 Metoda determnstyczna H-J + restart 1094,60 1478,84 1957,71 16,8 28,7 16,4 5. WNIOSKI Eksperymenty oblczenowe wykazały, że właścwe użyte metody ewolucyjne mogą być efektywne zastosowane do optymalzacj w procese projektowana slnków ndukcyjnych jednofazowych. W szczególnośc wykazano że: optymalzacja przy zastosowanu strateg ewolucyjnej (1+1)-SE, pommo małego nakładu oblczeń jest mało efektywna prowadz do wynków gorszych od uzyskanych przy użycu nnych procedur ewolucyjnych oraz metod determnstycznych (tab. 1); zastosowane strateg ewolucyjnych weloosobnczych tzn. (μ+λ)-es oraz (μ,λ)-es daje dobre wynk przy odpowedno dużej lczbe osobnków w populacj (rodzców potomków). Pommo braku powtarzal-

66 A. Rudeńsk nośc, uzyskane wynk wykazują bardzo małe odchylena standartowe (tab. 2). Średne wartośc przystosowana (uzyskane z 20 uruchomeń algorytmu) zależą od lczby rodzców oraz potomków, kosztem zwększonego czasu oblczeń. Najkorzystnejszy stosunek lczby potomków do lczby rodzców wynos dla strateg (μ+λ)-es około 2, natomast dla strateg (μ,λ)-es jest wększy wynos ok. 6. Stratega (μ,λ)-es daje wynk porównywalne z uzyskanym przy strateg (μ+λ)-es dopero przy wększych lczbach pokoleń. Borąc pod uwagę czas oblczeń można przyjąć, że najbardzej odpowedna do optymalzacj w procese projektowana slnków jednofazowych jest stratega (μ+λ)-es, przy zastosowanu krzyżowana równomernego (tab. 4); algorytm genetyczny wg p. 3.2 (tab. 3) daje neco gorsze wartośc przystosowana oraz odchyleń standartowych nż stratege ewolucyjne. Najlepsze wynk uzyskano przy wymane w każdym pokolenu ok. 50 % osobnków populacj. Dostateczna lczba osobnków w populacj wynos 200. Zwększane tej lczby prowadz do poprawy wynków, jednak w neco mnejszym stopnu, nż zwększane lczby pokoleń. Duża lczba osobnków w populacj wpływa natomast korzystne na zmnejszene odchylena standardowego. Bardzej korzystne jest krzyżowane równomerne (tab. 5) oraz mutacja nerównomerna, która odznacza sę bardzej dokładnym poszukwanem pod konec procesu ewolucyjnego (tab. 6). Podczas wstępnych eksperymentów oblczenowych zaobserwowano, że w algorytme genetycznym, dla zapewnena różnorodnośc populacj należy stosować mnmalny nacsk selektywny poprzez ustalene lczby uczestnków turneju k = 2 przy wyborze kopowanej do następnego pokolena częśc populacj o lcznośc N p. To samo dotyczy selekcj przy wyborze pul rodzcelskej p. Stwerdzono równeż, że zastosowane selekcj turnejowej (zarówno lnowej jak nelnowej) przy wyborze pul rodzcelskej prowadz do gorszych wynków zarówno pod względem uzyskwanych wartośc przystosowana jak odchyleń standartowych. Przy zastosowanu operatora mutacj nerównomernej w algorytme genetycznym, najlepsze wynk uzyskano dla współczynnka nerównomernośc mutacj b = 1 oraz b = 2, natomast gorsze dla współczynnka b = 0,5. Przy zastosowanu strateg ewolucyjnych (μ,λ)-es osobnk o najlepszym przystosowanu pojawały sę już w nższych numerach pokoleń, a determnstyczny charakter selekcj powodował ch przetrwane aż do końca procesu ewolucyjnego. Na przykład, podczas testowana operatorów krzyżowana (tab. 4), na 100 pokoleń najlepszy osobnk w strateg (μ,λ)-es pojawał sę przecętne w 35 pokolenu, podczas gdy w strateg (μ+λ)-es dopero w 96 pokolenu.

Metody nedetermnstyczne w optymalzacj slnków ndukcyjnych jednofazowych 67 Wynk przedstawone w tab. 7 wskazują, że w wynku optymalzacj zarówno ewolucyjnej jak determnstycznej uzyskuje sę zblżone wymary obwodu magnetycznego slnka. Natomast wększe różnce występują w lczbach zwojów oraz pojemnośc kondensatora pracy. Przedstawone w tabelach 8a 8b wynk oblczeń optymalzacyjnych sześcu slnków jednofazowych wskazują, że stosowane metod ewolucyjnych jest możlwe uzasadnone w procese projektowana slnków ndukcyjnych. Uzyskane wynk są zblżone, a często nawet lepsze nż przy zastosowanu metod determnstycznych. Pommo wększego nakładu pracy oblczenowej, algorytmy ewolucyjne w porównanu z metodam determnstycznym odznaczają sę wększą stablnoścą oraz są newrażlwe na właścwy dobór takch parametrów jak np. wstępna długość kroku lub parametry metody SUMT (wstępny współczynnk kary oraz współczynnk redukcj kary). Te właścwośc umożlwają korzystane z nch przez użytkownków ne mających dużego dośwadczena. Ponadto, co jest szczególne przydatne ne jest koneczne rozpoczynane oblczeń od dozwolonego, tzn. spełnającego wszystke ogranczena punktu startowego. Przedstawone wynk eksperymentów ne wyczerpują w pełn możlwośc badawczych. Interesujące jest zbadane wpływu wprowadzena sukcesj eltarnej na dzałane algorytmu genetycznego, a także wększej lczby oraz odman operatorów genetycznych, w tym wyspecjalzowanych operatorów zwązanych z charakterem zadana. Potrzeba badań zmerzających w tym kerunku jest podkreślana także w lteraturze [13; 14]. Na przykład, bardzo nteresujące jest zbadane zachowana sę algorytmów ewolucyjnych w zadanach meszanych, tzn. zawerających zarówno zmenne cągłe jak dyskretne, występujące w zadanach optymalzacj maszyn elektrycznych oraz opracowane specjalnych operatorów genetycznych przystosowanych do takch zadań. Algorytmy ewolucyjne dzęk zbeżnośc do optmum globalnego, rokują w tej dzedzne wększe możlwośc nż metody determnstyczne. Wstępne wynk są przedstawone w pracach [11; 18]. Szczególne trudne zadane występuje w slnkach jednofazowych o wększej mocy znamonowej z uzwojenam o nerozdzelonych strefach oraz optymalzowanym rozkładze zwojów łatwejsze natomast w slnkach trójfazowych z symetrycznym uzwojenam. LITERATURA 1. Arabas J.: Wykłady z algorytmów ewolucyjnych. WNT, Warszawa, 2001. 2. Bäck T., Schwefel H.P.: An Overvew of Evolutonary Algorthms for Parameter Optmzaton. Evolutonary Computaton, Vol. 1, nr 1, 1993, s. 1-23.

68 A. Rudeńsk 3. Banch N., Bolognan S.: Desgn optmzaton of electrc motors by genetc algorthms. IEE Proc.- Electr. Power Appl. Vol 145, nr 5, wrzeseń 1998, s. 475-483. 4. Boldea I., Nasar S. A.: The Inducton Machne Handbook. Boca Raton, London, New York, Washngton, CRC Press, 2002. 5. Chellaplla K.: Combnng Mutaton Operators n Evolutonary Programmng. I.E.E.E. Trans. on Evolutonary Computaton, Vol. 2, nr 3, wrzeseń. 1998, s. 91-96. 6. Dąbrowsk M.: Projektowane maszyn elektrycznych prądu przemennego. Warszawa, WNT 1994. 7. Dąbrowsk M., Rudeńsk A.: Porównane efektywnośc determnstycznych procedur optymalzacj w zadanach syntezy slnków ndukcyjnych jednofazowych. Proc. of XL Internatonal Symposum on Electrcal Machnes SME-2004, s. 107-115. 8. Eben A.E., Hnterdng R., Mchalewcz Z.: Parameter Control n Evolutonary Algorthms. I.E.E.E. Trans. on Evolutonary Computaton, Vol. 3, nr 2, lpec 1999, s. 124-141. 9. Goldberg D.E.: Algorytmy genetyczne ch zastosowana. WNT, Warszawa, 1995. 10. Kowalsk K.: Zastosowane algorytmów genetycznych w procese optymalzacj przetwornków elektromagnetycznych. Materały VII Konferencj Naukowo-Techncznej: Zastosowana komputerów w elektrotechnce, Poznań / Kekrz, kweceń 2002, s. 701-704. 11. Göl Ö., Weczorek J.P.: A Comparson of Determnstc and Stochastc Methods n Inducton Motor Desgn. Proc. Internatonal Conference on Electrcal Machnes (ICEM 98), Sept. 1998, Istambul, s. 1472-1476. 12. Kozeł S., Mchalewcz Z.: Evolutonary Algorthms, Homomorphous Mappng, and Constraned Parameter Optmzaton. Evolutonary Computaton, nr 7, 1999, s. 19-44. 13. Mchalewcz Z.: Algorytmy genetyczne + struktury danych = programy ewolucyjne. WNT, Warszawa, 1996. 14. Mchalewcz Z., Schoenauer M.: Evolutonary Algorthms for Constraned Parameter Optmzaton Problems. Evolutonary Computaton, 1996, nr 1, s. 1-37. 15. Rudeńsk A.: Algorytmzacja oraz programowane w zadanach syntezy optymalnych slnków ndukcyjnych jednofazowych. Rozprawa doktorska, Instytut Elektrotechnk, Warszawa 2003 r. 16. Rudeńsk A.: Zastosowane metod determnstycznych oraz ewolucyjnych w zadanach optymalzacj szczególnej ogólnej maszyn elektrycznych. Proc. of XL Internatonal Symposum on Electrcal Machnes SME-2004, s. 200-204. 17. Texera S., Pacheco X.: Delph 4: Vademecum profesjonalsty. Tom 1 2, Glwce, Wydawnctwo Helon, 1999. 18. Weczorek J.P., Göl Ö., Mchalewcz Z.: An Evolutonary Algorthm for the Optmal Desgn of Inducton Motor. I.E.E.E. Trans. on Magnetcs, Vol. 34, nr 6, lstopad 1998, s. 3882-3887. 19. Wurtz F.; Rchomme M.; Bgeon J.; Sabonnadere J.C.: A Few Results for usng Genetc Algorthms n the Desgn of Electrcal Machnes. I.E.E.E. Trans. of Magnetcs, Vol. 33, nr 2, marzec 1997. 20. Yao X., Lu Y., Ln G.: Evolutonary Programmng Made Faster. I.E.E.E. Trans. on Evolutonary Computaton, Vol. 3, nr 2, lpec 1999, s. 82-102. Rękops dostarczono, dna 15.10.2004 r. Opnował: prof. dr hab. nż. Jan Skora

Metody nedetermnstyczne w optymalzacj slnków ndukcyjnych jednofazowych 69 APPLICATION OF NON-DETERMINISTICS METHODS TO OPTIMIZATION OF SINGLE-PHASE INDUCTION MOTORS Andrzej RUDEŃSKI ABSTRACT In the paper an applcaton of the nondetermnstcs methods to sngle-phase nducton motors optmzaton s presented. Three knds of evoluton strateges and a genetc algorthm wth partal populaton exchange and floatng pont representaton of genes n chromosomes has been tested. On the bass of calculaton experments the nfluence of specfed number of ndvduals n a populaton of the number of generatons and genetc operators onto the obtaned results,. e.: the average value of the ftness functon, standard devaton and computaton tme s examned. Optmzaton was executed wth 12 ndependent varables and 9 constrants. The contnuous varaton of all ndependent varables has been assumed. As objectve functon the total cost of actve materals and explotaton cost of the motor n gven operaton tme has been consdered. Optmzaton results for sx sngle-phase nducton motors wth run and startng capactors, and motor rated power from 1.1 kw to 11 kw, usng the tested methods, and conclusons drawn from the computaton experments are presented. Dr nż. Andrzej Rudeńsk urodzł sę w roku 1946. Dyplom mgr nż. uzyskał w 1970 r. na Wydzale Elektrycznym Poltechnk Warszawskej w tym też roku rozpoczął pracę w Instytuce Elektrotechnk. Początkowo zajmował sę zagadnenam ceplno-wentylacyjnym, a potem przez wele lat (do końca 1982 r.) zagadnenam zjawsk pasożytnczych w slnkach ndukcyjnych, będąc autorem współautorem welu prac naukowo-badawczych oraz klku publkacj. W latach 1983...2000 pracował kolejno w WSK PZL Warszawa II, Zakładze Badawczo-Rozwojowym Dźwgów Osobowych Zakładach Remontowych Energetyk Warszawa, zajmując sę główne problematyką maszyn elektrycznych oraz zastosowanem technk nformacyjnych do oblczeń. W 2000 r. powrócł do pracy w Instytuce Elektrotechnk, gdze zajmuje sę zagadnenam analzy syntezy slnków ndukcyjnych jednofazowych oraz optymalzacj. W roku 2003 uzyskał stopeń doktora nauk techncznych. Obecne zajmuje sę zastosowanem metod ewolucyjnych w projektowanu oraz optymalzacj elektromechancznych przetwornków energ. Od roku 2000 jest autorem współautorem 19 publkacj.