Heterostruktury półprzewodnikowe studnie kwantowe (cd) Studnia nieskończona Wewnątrz studni:

Heterostruktury półprzewodnikowe studnie kwantowe (cd) Studnia nieskończona Wewnątrz studni:, sin 013 0 7 Studnia nieskończona Wewnątrz studni: Studnia nieskończona Wewnątrz studni:, sin, sin 9 9 013 0 7 3 013 0 7 4 1

wybierając materiał (np. GaAs/AlAs) kontrolując skład (binary, ternary, quaternary, quiternary alloys) Jak się robi heterostruktury? Liquid-phase (LPE) wzrost z fazy ciekłej na podłożu w temperaturach niższych od temperatury topnienia hodowanego materiału. Półprzewodnik jest rozpuszczony w cieczy innego materiału, wzrost w warunkach bliskich równowagi roztworu i depozycji; prędkości wzrostu 0.1 to 1 μm/min. Vapor-phase (VPE, CVD) wzrost z fazy gazowej dzięki reakcjom chemicznym prekursorów na powierzchni, często dzielony ze względu na źródłowe gazy na wodorkową VPE i metalorganiczną VPE (MOCVD); prędkości wzrostu >10-0 nm/min. Molecular-beam (MBE) Materiał źródłowy podgrzewany w komórkach produkuje strumień cząsteczek. W wysokiej próżni (10-8 Pa) cząsteczki docierają do podłoża i osadzają się na nim; prędkości wzrostu < 1 monowarstwa/s (1 μm/h). 013 0 7 5 013 0 7 6 Heterostruktury półprzewodnikowe wybierając materiał kontrolując skład Investigation of high antimony content gallium arsenic nitride gallium arsenic antimonide heterostructures for long wavelength application 013 0 7 7 013 0 7 8

Valence band offset Valence band offset Walukiewicz Physica B 30 303 (001) 13 134 013 0 7 9 013 0 7 10 wybierając materiał (np. GaAs/AlAs) kontrolując skład Prawo Vegarda: określa stałą sieci stopu dwóch kryształów binarnych A i B (np. GaAs i GaP albo GaN i AlN) 1 prawo empiryczne wybierając materiał kontrolując skład Prawo Vegarda: dot. przerwy energetycznej stopu binarnego : 1 1 b tzw. bowing przerwy energetycznej Z Dridi et al. Semicond. Sci. Technol. 18 No 9 (September 003)850 856 013 0 7 11 013 0 7 1 3

wybierając materiał kontrolując skład Valence band offset wybierając materiał (np. GaAs/AlAs) kontrolując skład 013 0 7 13 013 0 7 14 Studnia skończona Prosty przypadek był Studnia skończona Heterostruktury mogą mieć różne masy efektywne w różnych obszarach: V z Okazuje się, że zamiana nie jest dobrym rozwiązaniem problemu (równanie przestaje być hermitowskie). Trzeba to zrobić inaczej, np.: 1 V z Warunki zszycia na granicy heterostruktur muszą być zmodyfikowane (z rozważań na temat zachowania ładunku prądy płynące przez złącze wtedy ): 1 1 013 0 7 15 013 0 7 16 4

Studnia skończona Wewnątrz studni:, cos sin Bariera: exp Warunki zszycia: 1 1 sin cos exp 1 1 013 0 7 17 Studnia skończona Obliczamy: 1 1 tan cot sin cos 1 exp Oznaczamy, oraz (zależy tylko od ) tan cot 1 013 0 7 18 Studnia skończona TA SAMA masa w barierze i studni: Studnia skończona INNA masa w barierze i studni: 013 0 7 19 013 0 7 0 5

Studnia skończona Potencjał harmoniczny INNA masa w barierze i studni: 013 0 7 1 013 0 7 Potencjał harmoniczny 1 1 1 Figure 5. Schematic diagrams depicting the evolution of the conduction band structure in the transverse direction: (a) double heterostructure, (b) separate confinement heterostructure (SCH), (c) graded index separate confinement heterostructure (GRIN SCH), (d) single quantum well heterostructure (QWH), and (e) multiple quantum well (MQW). The development of the semiconductor laser diode after the first demonstration in 196 J JColeman Semicond. Sci. Technol. 7 (01) 09007 013 0 7 3 013 0 7 4 6

Potencjał harmoniczny Potencjał harmoniczny 1 1 Funkcja falowa 1 / exp! Wielomiany Hermita 1 4 8 1 Stanem podstawowym jest pakiet Gaussa czy ten pakiet się rozmywa? exp 013 0 7 5 013 0 7 6 Studnia trójkątna Studnia trójkątna 013 0 7 7 013 0 7 8 7

Studnia trójkątna Studnia trójkątna Przekształcenie: Podstawiamy: / /,, Równanie typu: Rozwiązaniem są funkcje Airy i. Rozwiązaniami równania są miejsca zerowe funkcji (trzeba tylko najpierw nieco uporządkować równanie). / 013 0 7 9 013 0 7 30 Metoda WKB Metoda przybliżona WKB (Wentzel Krammers Brillouin) dla potencjału wolnozmiennego Nazywana też metodą LG (Liouville Green) lub JWKB / WKBJ (od Jeffreys WKB) lub phase integral method lub przybliżenie półklasyczne (semi classical approximation). Co to jest potencjał wolnozmienny? Na pewno jest. Rozwiązaniem dla tego potencjału jest fala płaska faza funkcji falowej jest stała w całej przestrzeni Zdefiniujmy chcemy, by faza powoli zmieniała się w przestrzeni, tzn. (taki warunek). Szukamy rozwiązania w postaci gdzie to faza funkcji falowej. 013 0 7 31 Metoda WKB Metoda przybliżona WKB (Wentzel Krammers Brillouin) dla potencjału wolnozmiennego Zdefiniujmy chcemy, by powoli zmieniało się w przestrzeni. Szukamy rozwiązania w postaci gdzie to faza funkcji falowej. Wstawiamy do równania Schrodingera: to jest jeszcze równanie ścisłe. Zerowe przybliżenie WKB zakłada, że czyli 0 czyli Zwykle w metodzie WKB rozwija się dalej Stąd: 1 013 0 7 3 8

Metoda WKB Metoda przybliżona WKB (Wentzel Krammers Brillouin) dla potencjału wolnozmiennego Zwykle w metodzie WKB rozwija się dalej Stąd: 1 a stąd: ln Metoda WKB Metoda przybliżona WKB (Wentzel Krammers Brillouin) dla potencjału wolnozmiennego energia cząstki Dostajemy: 1 exp Człon 1/ gęstość prawdopodobieństwa szybko poruszającej się cząstki jest mała dla dużych dobrze! W przypadku punktów zwrotnych (np. krawędzi barier, studni) potencjał zmienia się szybko w porównaniu z długością fali trzeba rozszerzyć stosowanie metody WKB (daje się to zrobić przez przejście w punktach zwrotnych na płaszczyznę zespoloną). Innym sposobem jest rozwinięcie liniowe potencjału wokół punktu zwrotnego Δ ścisłym rozwiązaniem dla potencjału liniowego są funkcje Airy. Trzeba potem zszyć rozwiązanie WKB z funkcjami Airy daleko od. Brzmi skomplikowanie, ale rozwiązanie jest dość proste (pojawia się dodatkowa faza). 013 0 7 33 013 0 7 34 Metoda WKB Metoda przybliżona WKB (Wentzel Krammers Brillouin) dla potencjału wolnozmiennego energia cząstki ~ cos 4, ~ 1 exp, Metoda WKB Metoda przybliżona WKB (Wentzel Krammers Brillouin) dla potencjału wolnozmiennego ~ cos 4, Przykłady: 1. Studnia o twardych ścianach funkcja falowa musi znikać w punktach zwrotnych co daje warunek na całkowitą liczbę połówek fali Dla: mamy. Studnia o miękkich ścianach funkcja falowa na granicy ma dodatkową fazę i to samo na granicy kolejne. W sumie: 1 013 0 7 35 013 0 7 36 9

Metoda WKB Metoda przybliżona WKB (Wentzel Krammers Brillouin) dla potencjału wolnozmiennego ~ cos 4, 3. Studnia trójkątna o twardej i miękkiej ścianie: Np. studnia trójkątna: wtedy 1 4 Studnia trójkątna Metoda przybliżona WKB (Wentzel Krammers Brillouin) dla potencjału wolnozmiennego / 1 / 1 / 1 3 / 3 1 4 / / 3 1 4 / / 013 0 7 37 013 0 7 38 Studnia trójkątna Metoda przybliżona WKB (Wentzel Krammers Brillouin) dla potencjału wolnozmiennego Metoda WKB 1 http://www.phys.unsw.edu.au/qed/research/d_scattering.htm 1 1 1 3 1 4 / / 013 0 7 39 013 0 7 40 10

TU 01 10 7 Struktury niskowymiarowe Pełen Hamiltonian w naszym wszechświecie ma 3 wymiary przestrzenne,,,, Dla mamy:,,,, Wzdłuż kierunków i mamy ruch swobodny:,, exp exp Można pokazać (przy tablicy!), że ostatecznie energie własne potencjału są w postaci: 131 013 0 7 41 131 013 0 7 4 Struktury niskowymiarowwe,,,, exp exp,, exp Struktury niskowymiarowwe,,,, exp exp,, exp,, 013 0 7 43 013 0 7 44 11

Studnia skończona INNA masa w barierze i studni: Struktury niskowymiarowwe Masa efektywa w barierze i w studni, Dla rozseparowanej funkcji falowej:,, exp Dostajemy (przy tablicy!): 013 0 7 45 013 0 7 46 Struktury niskowymiarowwe Czyli cząstka porusza się w studni, której potencjał zależy od, a właściwie Struktury niskowymiarowwe Czyli cząstka porusza się w studni, której potencjał zależy od, a właściwie 1 1 1 1 Cząstka nabiera częściowo masy efektywnej bariery: 0 Np. w strukturze GaAs AlGaAs więc studnia robi się płytsza Np. w strukturze GaAs AlGaAs więc studnia robi się płytsza prawdopodobieństwo znalezienia cząstki 013 0 7 47 013 0 7 48 1

Studnie D i 3D Studnie D i 3D Drut prostokątny rozwiązania typu:, http://wn.com/d_and_3d_standing_wave 013 0 7 49 013 0 7 50 Studnie D i 3D Studnie D i 3D Studnia cylindryczna (o nieskończonych ścianach) 1 1,, 1 Co daje rozwiązania w postaci f. Bessla, głębokość potencjału zależy od 0 exp /, exp, ~ cos 1 1 4 Miejsca zerowe f. Bessela są w, Studnia Cylindryczna http://www.nature.com/nature/journal/v363/n649/abs/36354a0.html 013 0 7 51 013 0 7 5 13

Studnia trójkątna 013 0 7 53 013 0 7 54 Satyam S. Parashari et al. Physica B 403 (008) 3077 3088 wybierając materiał (np. GaAs/AlAs) kontrolując skład 013 0 7 55 Elabsy et al. Physica B 405 (010) 3709 3713 wybierając materiał (np. GaAs/AlAs) kontrolując skład jednoosiowe dwuosiowe 013 0 7 56 Prog. Quant. Electr. Vol. 1, No. 5, pp. 361±419, 1998 14

wybierając materiał (np. GaAs/AlAs) kontrolując skład jednoosiowe Prog. Quant. Electr. Vol. 1, No. 5, pp. 361±419, 1998 wybierając materiał (np. GaAs/AlAs) kontrolując skład dwuosiowe Prog. Quant. Electr. Vol. 1, No. 5, pp. 361±419, 1998 013 0 7 57 013 0 7 58 Pasma w krysztale Struktura pasmowa ciał stałych Przykłady: TU 01.10.10 D. Wasik. 013 0 7 59 013 0 7 60 15

Przejścia optyczne http://www.ecse.rpi.edu/~schubert/light Emitting Diodes dot org/ 013 0 7 61 013 0 7 6 Trochę więcej na temat pasm Trochę więcej na temat pasm 013 0 7 63 013 0 7 64 16

Przejścia optyczne Trochę więcej na temat pasm Krzem i german przerwa skośna Krzem Si German Ge http://www.ecse.rpi.edu/~schubert/light Emitting Diodes dot org/ 013 0 7 65 013 0 7 66http://www.ioffe.ru/SVA/NSM/Semicond/SiGe/bandstr.html Trochę więcej na temat pasm Komórka Vignera Seitza Trochę więcej na temat pasm Krzem i german przerwa skośna Krzem Si German Ge 013 0 7 67 013 0 7 68http://www.ioffe.ru/SVA/NSM/Semicond/SiGe/bandstr.html 17

Trochę więcej na temat pasm 013 0 7 69 013 0 7 70 wybierając materiał (np. GaAs/AlAs) kontrolując skład (ternary, quaternary, quiternary alloys) 013 0 7 71 18