Repetytorium z Matematyi Elemetarej Wersja Olimpijsa Podae tutaj zadaia rozwiązywae były w jedej z grup ćwiczeiowych Są w więszości ieco trudiejsze od pozostałych zadań przygotowaych w ramach przedmiotu Repetytorium z Matematyi Elemetarej Przezaczoe są dla studetów, tórzy ie mając trudości z materiałem wymagaym w ramach Repetytorium, chcieliby bardziej rozwiąć swoje umiejętości rozwiązywaia zadań o charaterze elemetarym Zadaia pochodzą z różych źródeł, mi z Olimpiady Matematyczej, Małej Olimpiady Matematyczej, Koła Matematyczego Paa Prof Herya Pawłowsiego W zestawie 9 podao wybrae zadaia z pozostałych materiałów przygotowaych w ramach Repetytorium oraz owe, ispirowae tamtymi Nietóre z podaych zadań są ułożoe przez prowadzącego zajęcia Zestawy i 2 Mała Olimpiada Matematycza Zestawy te obejmują zadaia z Zawodów I stopia V mom, 0 czerwca 0 wrześia 995 rou, odp dla grupy młodszej i starszej, dostępe ze stroy: http://www-usersmatuitorupl/~sedlew/olimpiadyhtml Zestaw 3 Ciąg Fiboacciego Zad Udowodić, że Zad 2 Udowodić, że Zad 3 Udowodić, że Zad 4 Udowodić, że Zad 5 Udowodić, że oraz F = F +2 F 2 = F 2 ) + F = ) F + 2 F 2 = F F + 2 F F + = F 2 2 F F + = F 2 2+
Zad 6 Udowodić, że F F +3 = F+2 2 Zad 7 Udowodić, że ażde dwa oleje wyrazy ciągu Fiboacciego są względie pierwsze Zad 8 Udowodić, że dla wszystich m, N F +m = F F m + F F m+ Zad 9 Udowodić, że Zad 0 Udowodić, że Zad Udowodić, że Zad 2 Udowodić, że Zad 3 Udowodić, że F 2 = F+ 2 F 2 F 3 = F+ 3 + F 3 F 3 F 2 = F F + + ) + + )F = F +4 + 3) F = F +2 F +3 + 2 Zad 4 Udowodić, że F = ) + 5 5 2 )) 5 Zad 5 Udowodić, że jeśli m i są liczbami aturalymi, m, to F m dzieli F Zad 6 Udowodić, że jeśli m i są liczbami aturalymi, to NW DF m, F ) = F NW Dm,) Zad 7 Obliczyć cyfrę przed i po przeciu dziesiętym w rozwiięciu dziesiętym liczby ) 2009 + 5 2 Zad 8 Obliczyć cyfrę przed i po przeciu dziesiętym w rozwiięciu dziesiętym liczby ) 2009 + 5 5 2 2
Zad 9 Obliczyć cyfrę przed i po przeciu dziesiętym w rozwiięciu dziesiętym liczby 2 + 3) 2009 Zad 20 Obliczyć cyfrę przed i po przeciu dziesiętym w rozwiięciu dziesiętym liczby + 3) 2009 Zad 2 Obliczyć cyfrę przed i po przeciu dziesiętym w rozwiięciu dziesiętym liczby 2 2 + 3 ) 2009 Zad 22 Czy dla ażdej liczby pierwszej p istieje taie, że p dzieli F? Zestaw 4 Trójąt Pascala Zad Obliczyć Zad 2 Obliczyć Zad 3 Obliczyć Zad 4 Obliczyć Zad 5* Obliczyć Zad 6* Obliczyć Zad 7* Obliczyć ) 0 2 2 2 ) 2 ) ) 2 2
Zad 8* Obliczyć 0 2 ) 2 Zad 9 Udowodić, że liczby 2 są ieparzyste dla wszystich N, = 0,, 2 Zad 0 Udowodić, że dla wszystich aturalych F = 0 2 Zad * Obóz auowy Olimpiady Matematyczej, Zachełmie 99) Udowodić, że 2 2 ) = 2 2 dla wszystich aturalych Zad 2 Udowodić, że dla wszystich aturalych = 2 Zestaw 5 Nierówości Zad Udowodić, że jeśli x, y, z 0, to 3xy + yz + xz) x + y + z) 2 Zad 2 Udowodić, że jeśli x, y, z 0, x + y + z = 3, to 0 xy + yz + xz 3xyz x + y + z 3xyz Zad 3 Udowodić, że jeśli x, y, z > 0, xyz =, to x 2 + y 2 + z 2 + xy + yz + xz 2 x + y + z) Kiedy w powyższej ierówości zachodzi rówość? Zad 4 Niech a,, a 0 Udowodić, że + a i ) + a a ) i=
Zad 5 Udowodić, że jeśli x, y, z > 0, xyz =, to x + 2y)y + 2z)z + 2x) 27 Zad 6 Niech a, b, c będą długościami boów pewego trójąta, h a, h b, h c długościami wysoości opuszczoych a odpowiedzie boi, r długością oręgu wpisaego w te trójąt, a p połową jego obwodu Udowodić, że h a ah b bh c c 3r) 2p Zad 7 Przy ozaczeiach z poprzediego zadaia udowodić, że a + b + c a+b+c a a b b c c 3 Zad 8 Niech a i, b i > 0 i =,, ), i= a i = i= b i Udowodić, że i a 2 i a i + b i 2 a i i= Zad 9 Udowodić, że dla x,, x > 0 spełioa jest ierówość x x x + + x orzystając z wypułości fucji Zad 0 Udowodić, że dla a, b 0 spełioa jest ierówość a 4 + b 4 a6 b 2 + b6 a 2 Zad Udowodić, że dla a, b > 0 spełioa jest ierówość a 2 a + b b + b 2 a Zad 2 Udowodić, że dla a, b, c [0, ], a 2 + b 2 + c 2 = 2, spełioa jest ierówość a + b + c abc + 2 Zad 3 Udowodić, że dla a, b, c 0 spełioa jest ierówość 2a 3 + b 3 + c 3 ) aba + b) + bcb + c) + aca + c) Zad 4 Udowodić, że dla a, b, c > 0 spełioa jest ierówość a + b + c a2 + b 2 2c + a2 + c 2 2b + b2 + b 2 2a a3 bc + b3 ac + c3 ab
Zad 5 Udowodić, że dla a, b, c > 0 spełioa jest ierówość a b + c + b a + c + c a + b 3 2 Zad 6 Udowodić, że dla a, b, c > 0 spełioa jest ierówość a 3 b + b 3 c + c 3 a abca + b + c) Zad 7 Udowodić, że ciąg a = + ) jest rosący Zad 8 Udowodić, że dla ciągu a z poprzediego zadaia prawdziwa jest ierówość: a +2 a + < a + a Zad 9 Udowodić, że ciąg a = ) jest rosący Zad 20 Udowodić, że dla ciągu a z poprzediego zadaia prawdziwa jest ierówość: a +2 a + < a + a Zad 2 Udowodić, że jeśli a, b > 0, a 2 + b 2 =, to a 3 + b 3 2ab Zad 22 Przy ozaczeiach z zadaia 6 udowodić, że: p a + p b + p c 2 a + b + ) c Zad 23 25 IMO) Udowodić, że jeśli x, y, z 0, x + y + z =, to 0 xy + yz + zx 2xyz 7 27 Zestaw 6 Geometria mas Zad Udowodić, że środowe trójąta przeciają się w jedym pucie Zad 2 Udowodić, że wysoości trójąta lub ich przedłużeia) przeciają się w jedym pucie Zad 3 Udowodić, że dwusiecze trójąta przeciają się w jedym pucie
Zad 4 Udowodić, że puty łączące wierzchołi trójąta z przeciwległymi putami styczości z oręgiem wpisaym przeciają się w jedym pucie Zad 5 Udowodić twierdzeie Čevy: Odcii łączące wierzchołi A, B i C trójąta ABC z putami D, E i F, obraymi, odpowiedio, a boach BC, AC i AB trójąta, przeciają się w jedym pucie wtedy i tylo wtedy, gdy: BD CE AF = DC EA F B UWAGA: Rówież zadaie 4 z zestawu moża rozwiązać orzystając z geometrii mas Zestaw 7 Obóz auowy Olimpiady Matematyczej Zestaw te obejmuje zadaia z Obozu auowego Olimpiady Matematyczej, Zachełmie 99, dostępe ze stroy: http://wwwmimuwedupl/~wwwom/zadaiahtml Zestaw 8 Wyjąti z zadaia domowego z d 70992 z Koła Matematyczego Paa Prof Herya Pawłowsiego Zad Wyzaczyć wszystie fucje f : N N, rosące i taie, że f2) = 2 oraz fm) = fm)f), m, N Zad 2 * Wyzaczyć wszystie fucje f : N N, rosące i taie, że f2) = 4 oraz fm) = fm)f), m, N Zad 3 Trzy oręgi S, S 2, S 3 przechodzą przez put P i przeciają się taże: S 2 z S 3 w pucie A, S z S 3 w pucie B, S z S 2 w pucie C, przy czym put P leży wewątrz ABC Z dowolego putu M oręgu S prowadzimy proste MB i MC otrzymując puty T i Q a przecięciu, odpowiedio, z oręgiem S 3 i S 2 Udowodić, że puty T, A i Q leżą a jedej prostej Zad 4 Trzy oręgi o środach A, B, C i promieiach r A, r B, r C są parami stycze zewętrzie i są stycze do prostej l Niech r A r B r C Wyazać, że + = r A r B r C Zad 5 Trzy oręgi S, S 2, S 3 są parami stycze zewętrzie: S 2 i S 3 w pucie A, S i S 3 w pucie B, S i S 2 w pucie C Prowadzimy proste AB i AC otrzymując puty P i Q a przecięciu z oręgiem S 2 Udowodić, że P Q jest średicą oręgu S 2
Zestaw 9 Zadaia z zestawów przygotowaych dla pozostałych grup lub ispirowae imi Zad 42 OM) Udowodić, że 2 > 4 4 + 2, N Zad 2 Udowodić, że Zad 3 Obliczyć 2 ) + = +, N 2 Zad 4 Udowodić, że Zad 5 Udowodić, że, N + > 3 24, > Zad 6 Obliczyć dla a, b R) sumy: a) b) c) d) e) sia + b) c sia + b) c sia + b) c sia + b) c sia + b)
Zad 7 Udowodić, że 2 si x + ) π = six), x R, N Zad 8 Wiedząc, że liczby a, b, c są pierwiastami welomiau x 3 6x 2 +x 6, zaleźć wielomia stopia 3, tórego pierwiastami są liczby ab, bc, ac Zad 9 Dla N zaleźć rozład wyrażeia! xx + )x + 2) x + ) a ułami proste Jaa tożsamość związaa z symbolem Newtoa wyia z otrzymaej rówości? Zad 0 Rozwiązać w x R ierówość: 2 2x 3 2x + 2 2x 3 x+ + 2 x+3 + 2 > 2 x+ 3 2x + 3 2x+ + 2 x+ 3 x+ + 3 x+2 + 2 2x+2 Zad Rozwiązać, dla N, astępujący uład rówań w zbiorze liczb dodatich: x + x 2 + + x = x 2 + x2 2 + + x2 = x + x 2 + + x = Zad 2 * Rozwiązać uład z poprzediego zadaia w zbiorze liczb rzeczywistych, ie orzystając z własości relacji <, lub w zbiorze liczb zespoloych Zad 3 Rozwiązać, dla N, astępujący uład rówań w zbiorze liczb rzeczywistych: x + x 2 + + x = 0 x + 2x 2 + + x = 0 x + 4x 2 + + 2 x = 0 x + 2 x 2 + + x = 0 Zestaw 0 Zadaia z olowium Zad W trapezie ABCD długości rówoległych odciów AB i CD spełiają zależość AB = 2 CD Udowodić, że jeśli w trapez te wpisay jest orąg, to BC + AD = 3 CD
Zad 2 * W trapezie ABCD długości rówoległych odciów AB i CD spełiają zależość AB = 2 CD Udowodić, że jeśli BC + AD = 3 CD i w trapez te wpisaa jest elipsa, tórej jeda z osi symetrii jest rówoległa do AB, to elipsa ta jest oręgiem Zad 3 Korzystając z zasady iducji matematyczej i z ierówości udowodić, że + ) < e < + ) +, N, + + e <! < e, N e e Zad 4 * Udowodić, że ciąg a = + ) + 2 jest malejący Jaie oszacowaie dla! wyia z tego fatu? Zad 5 W trójącie ABC zajdują się cztery oręgi: S, S, S 2 i S 3 Orąg S jest wpisay w trójąt ABC Orąg S jest styczy wewętrzie do boów AB i AC trójąta oraz do oręgu S Podobie S 2 jest styczy wewętrzie do BC i AB oraz do S, a S 3 jest styczy wewętrzie do BC i AC oraz do S Udowodić, że jeśli oręgi S, S 2 i S 3 mają rówe promieie, to trójąt ABC jest rówoboczy Zad 6 * Wewątrz boów AB, BC i AC trójąta ostroątego ABC obrao odp puty P, Q i R taie, że AP R = QP B, BQP = RQC i CRQ = P RA Udowodić, że odcii AQ, BR i CP są wysoościami trójąta ABC Zad 7 Udowodić, że jeśli a > b > 0 i N to a 2+ b + a b +2 > ab 2+ + a +2 b