5. ROZWIĄZANIA ZAGADNIEŃ PRZEPŁYWU PŁYNU PRZEZ OŚRODEK POROWATY Michał Strzelecki, Andrzej Kaźmierczak

5. ROZWIĄZANIA ZAGADNIEŃ PRZEPŁYWU PŁYNU PRZEZ OŚRODEK POROWATY Michał Strzelecki, Andrzej Kaźierczak 5.1 Metody rozwiązywania równań hydrodynaiki wód podzienych płaskich zagadnień przepływów ustalonych etodai analitycznyi. 5.1.1 Zastosowanie funkcji potencjału zespolonego filtracji. Rozważania przedstawione w ty podrozdziale oparte są na wynikach prac badawczych Połubarinovej-Kocziny [1977] oraz teorii funkcji analitycznych oówionej w onografii Trajdosa i Wróbla, [1965] oraz pracach Rebezy [1984,199, 1998], Castany ego [1967], Filczakova [196], Wieczystego [198], Strzeleckiego i in. [8], Kaźierczaka [13]. Wprowadźy do naszych rozważań dowolną funkcję analityczną Ω = Ω( z). Każdą funkcję analityczną ożna przedstawić w postaci kobinacji liniowej dwóch funkcji ziennych rzeczywistych x, y Ψ x, y w postaci: Φ ( ) i ( ) ( x iy) ( x, y) i ( x, y) Ω = Ω + = Φ + Ψ. (5.1) Wykażey teraz, że funkcje Φ i Ψ spełniają równania wprowadzone w rozdziale 4. Na wstępie rozważy własności funkcji analitycznej Ω. W ty celu przyponijy, że zienną zespoloną z wyrażay wzore: z = x + iy (5.) gdzie i = 1. Pierwsze i drugie pochodne ziennej zespolonej po x i y są równe: z = 1, x z = i, y z x = z y =,. Różniczkę zupełną funkcji z obliczay ze wzoru: z z dz = dx + dy, x y stąd: 1

dz = dx + idy Obliczy następnie pierwsze pochodne cząstkowe funkcji Ω względe x i y. Dostaniey Ω Ω z = x z x, stąd dostajey, że Ω Ω = x z, a następnie Ω Ω z = y z y. Z powyższego wynika, że Ω Ω = i. Powyższe zależności pozwalają zapisać: y z Wiedząc, że: i Ω Ω = i. x y Ω = Φ + i Ψ x x x (5.3) (5.4) Ω = Φ + i Ψ, y y y (5.5) oraz wstawiając związki (5.4) i (5.5) do równania (5.3) dostajey: Φ Ψ Φ Ψ i + = x y y x. Równanie powyższe jest spełnione, gdy część rzeczywista i urojona jest równa zero. Otrzyujey następujące związki: Φ Ψ = x y i Φ Ψ =. (5.6) y x Związki (5.6) są związkai Cauchy Rieanna [Trajdos i Wróbel, 1965]. Jak wiey z geoetrii analitycznej, funkcje Φ = const i Ψ = const są wzajenie ortogonalne i spełniają warunek prostopadłości krzywych: Φ Ψ Φ Ψ + = x x y y (5.7) Obliczy następnie drugie pochodne funkcji Ω względe x i y: Ω x = Ω = x x Ω = x z Ω = z x Ω Ω =, z z z

Ω y Ω Ω Ω Ω Ω = = i = i = i i =. y y x z z y z z z Suując stronai powyższe związki dostajey: Ponieważ Ω =. (5.8) Ω Φ Ψ = + i x x x Ω Φ Ψ = + i y y y (5.9) otrzyujey: Ω = Φ + i Ψ (5.1) Biorąc pod uwagę związek (5.1) i równanie (5.8) otrzyujey następujące dwa równania: Φ = i Ψ =. (5.11) Możey stwierdzić, że funkcje Φ i Ψ spełniają równania (5.11) i związki (5.6). Są więc, zgodnie z rozważaniai przedstawionyi w rozdziale 4, odpowiednio: funkcją prądu Ψ i funkcją potencjału prędkości Φ. Funkcję Ω będziey nazywali dalej funkcją potencjału zespolonego filtracji i wyraziy ją przy poocy funkcji Φ i Ψ w postaci: Ω = Φ + iψ (5.1) Spróbujey następnie wyznaczyć prędkość filtracji w dowolny punkcie obszaru filtracji przy poocy funkcji potencjału zespolonego. Ze wzorów (5.6) wiey, że: v x Φ Ψ = = ; x y v y Φ Ψ = =. (5.13) y x Obliczyy pochodną funkcji Ω po ziennej zespolonej z : ( z) Różniczka zupełna funkcji Ω wyraża się wzore: Ω Ω dω ( z) = dx + i dy. x y dω Ω '( z) = (5.14) dz 3

Wyrażając funkcję Ω w postaci (5.1) i uwzględniając (5.13) dostajey: Φ Ψ Ψ Φ dω ( z) = + i dx + i i dy. x y y y Korzystając następnie ze związków (5.13) ożey zapisać: ( z) = ( v iv )( dx idy) dω, x y + Stąd ( ) Ω z = v iv = w (5.15) ' x y Rys. 5.1 Wizualizacja zespolonej prędkości filtracji. Funkcja w ( z ) nosi nazwę prędkości zespolonej filtracji. Znając funkcję w, ożna określić funkcję w sprzężoną z funkcją w (rys.5.1) : w = v + iv (5.16) x y Długość wektora filtracji v zgodnie ze wzorai (5.15) i (5.16)ożna wyrazić wzore: v = w w (5.17) Znając funkcję potencjału zespolonego ożna określić funkcję prędkości zespolonej filtracji, a, co za ty idzie, określić składowe wektora filtracji vx i v y. 5.1. Sposób rozwiązywania płaskich zagadnień przepływu etodą przekształceń konforenych. Sposób rozwiązywania płaskich zagadnień teorii filtracji przy wykorzystaniu funkcji analitycznej przedstawiono w wielu onografiach i podręcznikach akadeickich. Pierwsze prace wraz z licznyi 4

przykładai zostały wykonane przez Połubarinovą-Koczinę [1977]. Wiele późniejszych autorów publikacji (np. [Castany, 1967], [Strzelecki i in., 8]) korzystało z etodyki rozwiązywania płaskich zagadnień teorii filtracji opracowanej przez tę uczoną. W niniejszej pracy oówiy etodykę postępowania pozwalającą na znalezienie rozwiązań w postaci zakniętej dla niektórych zadań z zakresu hydrogeologii inżynierskiej i budownictwa wodnego. Przedstawiy ponadto przykłady liczbowe dla wybranych zagadnień brzegowych, aby zorientować czytelnika o przydatności przedstawionego sposobu uzyskiwania rozwiązań praktycznych probleów inżynierskich. Określy na brzegach obszaru filtracji warunki brzegowe. Następnie poszukujy takiej funkcji analitycznej, która spełnia warunki brzegowe zadania. Jeżeli istnieje trudność w określeniu bezpośrednio funkcji potencjału zespolonego, ożey poszukiwać funkcji prędkości zespolonej, spełniającej warunki brzegowe zadania, a następnie określić poprzez całkowanie funkcję potencjału zespolonego. Następnie należy wówczas rozdzielić funkcję Ω na część rzeczywistą i urojoną uzyskując tą drogą funkcje Φ i Ψ w postaci zakniętej. Pozwala to na wyznaczenie linii Φ = const i Ψ = const, tworzących w obszarze filtracji siatkę hydrodynaiczną przepływu. Korzystając z własności funkcji prądu Ψ, ożey określić wydatek poiędzy dowolnie wybranyi z obszaru filtracji linii prądu. Sposób rozwiązania zobrazujey na przykładach konkretnych zagadnień brzegowych. Przedstawiona etoda jest łatwy sposobe wykorzystania odwzorowań konforenych. Dla bliższego wyjaśnienia, czy są rozwiązania oparte na odwzorowaniach konforenych, weźy pod rozwagę funkcję analityczną: którą ożna wyrazić `przy poocy dwóch funkcji X i Y wzore: i która jest funkcją ziennej zespolonej z x iy Cauchy Rieanna, czyli jeżeli: Z = f ( z), (5.18) Z = X + iy (5.19) = +. Jeżeli funkcja f ( ) X Y X Y =, oraz = x y y x, z jest ciągła i spełnia równania wówczas funkcja f ( z ) jest holoorficzna w całej płaszczyźnie ziennej zespolonej z. Jeżeli dodatkowo założyy, że funkcje X i Y ają ciągłe pierwsze i drugie pochodne cząstkowe czyli jest klasy C, to ożna wykazać, że są to funkcje haroniczne, czyli że: X = oraz Y =. W pracy Trajdosa i Wróbla [1965] przedstawiono dowody dwóch twierdzeń: Twierdzenie I 5

Jeżeli w funkcji haronicznej u( X, Y ) wprowadziy nowe zienne x,y, względe których zienne są haronicznyi sprzężonyi, to funkcja (, ), (, ) = (, ) u X x y Y x y u X Y będzie haroniczna względe nowych ziennych. Twierdzenie II Jeśli X ( x, y ) i (, ) Y x y są funkcjai haronicznyi sprzężonyi i w pewny obszarze ich jakobian ( X, Y ) ( x, y) jest różny od zera, to w ty obszarze funkcje odwrotne x( X, Y ) i (, ) funkcjai haronicznyi sprzężonyi. y X Y są Załóży następnie, że funkcja Z = f ( z) jest holoorficzna i posiada pierwszą pochodną różną od zera. Jeżeli jakobian odwzorowania jest różny od zera: J X X x y = Y Y x y (5.) z tego wynika, że J f ( z) X Y = + = ', zgodnie z przyjęty założenie. x y W taki przypadku obraze linii jest linia, a obraze obszaru obszar. Niech przez ustalony punkt z przechodzi zadana gładka linia C. Wówczas przez obraz Z tego punktu przechodzi gładki obraz tej linii. Wybierzy na linii C punkt z bliski z. Obraze punktu z będzie oczywiście punkt Z na krzywej C ' bliski Z. Poprowadźy przez z i z sieczną linii C oraz przez punkt Z i Z (niebędącą na ogół obraze siecznej liniic ) sieczną linii C ' [rys. 5.]. C ' 6

Wiey z przyjętego założenia, że Rys. 5. Odwzorowanie funkcji holoorficznej. f ( z ) Z Z ' = li z z z z (5.1) Obliczając arguent pochodnej dostajey: Z Z Arg f '( z ) = Arg li z z z z = = li Arg Z Z li Arg z z = Θ θ + kπ, ( ) ( ) z z z z (5.) gdzie k jest dowolną liczbą całkowitą. Z tego wynika, że każda krzywa wychodząca z punktu z doznaje obrotu, przy odwzorowaniu za poocą funkcji holoorficznej, o kąt równy Arg f '( z ). W pracy Trajdosa i Wróbla [1965] udowodniono twierdzenie o kącie względny poiędzy dwoa liniai o treści: Twierdzenie III Kąt względny poiędzy dwoa liniai w dany punkcie nie ulega zianie przy odwzorowaniu za poocą funkcji holoorficznej o pochodnej w ty punkcie różnej od zera. Rozpatrzy dwie krzywe C 1 i C na płaszczyźnie z oraz odpowiadające i obrazy ' C 1 i ' C przedstawione na rys. 5.3. Zgodnie z oznaczeniai na rys. 5.3 i uwzględniając poprzednie rozważania wzór (5.) ożey zapisać: ω = Θ1 θ1 = Θ θ (5.3) Powyższa równość zachodzi z dokładnością do wielokrotności kąta π. Odwzorowanie zachowujące względne kąty nazyway odwzorowanie konforeny. Każda funkcja holoorficzna o pochodnej różnej od zera określa przekształcenie konforene. Jeżeli w przekształceniu konforeny kąty nie ulegają zianie, a długości zieniają się proporcjonalnie do odułu pochodnej, to pola zieniają się proporcjonalnie do kwadratu odułu pochodnej, co wynika bezpośrednio z definicji jakobianu (5.) przekształcenia konforenego. 7

Rys. 5.3 Idea odwzorowań konforenych (wg. [Trajdosa i Wróbla, 1967]). Dwa podstawowe zagadnienia teorii odwzorowań konforenych to: znalezienie obrazu danego zbioru (linii, obszaru) przy zadany odwzorowaniu konforeny, znalezienie odwzorowania konforenego, które daneu obszarowi przypisuje określony obraz, będący również obszare. Drugie z zagadnień jest bardziej skoplikowane i nie zawsze potrafiy je rozwiązać. O jego rozwiązalności świadczy jednakże twierdzenie Rieanna, będące jedny z podstawowych twierdzeń teorii odwzorowań konforenych. Twierdzenie Rieanna. Każde dwa jednospójne obszary, których brzegi składają się więcej niż z jednego punktu, ożna na siebie odwzorować konforenie. Twierdzenie Rieanna, jak to pokazali Trajdos i Wróbel [1967], zawiera jednakże jedno istotne założenie o jednospójności obu obszarów, wynikające z tego, że odwzorowanie konforene jest rodzaje odwzorowania topologicznego, przy który zachowuje się rodzaj spójności obszaru. Jeśli każdej wartości ziennej zespolonej z przyporządkujey jedną wartość funkcji Ω : Ω = Φ( x, y) + iψ( x, y) oraz założyy, że istnieje taka funkcja f ( z ), posiadająca pierwszą pochodną względe z, taką, że: ( z) Ω = f (5.4) to ożey stwierdzić, że Ω jest funkcją ziennej zespolonej z, co ożna zapisać w postaci wzoru (5.4). Można więc stwierdzić, że funkcja ta przyporządkowuje punkto płaszczyzny z = x + iy punkty płaszczyzny Ω = Φ + i Ψ (rys. 5.3). Możey, więc wysnuć wniosek, że funkcja f ( z ) odwzorowuje płaszczyznę ziennej z na płaszczyznę ziennej Ω i jest funkcją holoorficzną. Przyjijy dla przykładu: 8

Φ = x y oraz Ψ = xy (5.5) Podobnie jak w przypadku płaszczyzny ziennej zespolonej z na płaszczyźnie Ω, proste Φ = C i Ψ = przecinają się pod kąte prosty. Wynika stąd bezpośrednio, że odwzorowanie f(z) C 1 zachowuje kąty. A właśnie takie odwzorowanie, które zachowuje kąty, co pokazaliśy powyżej, nazyway odwzorowanie konforeny. a b Rys. 5.4 Siatka hydrodynaiczna przepływu na płaszczyźnie z=x+iy ( a ) i na płaszczyźnie Z = X + iy ( b )., i, i 1 Krzywe X ( x y) = C oraz Y ( x y) C pozioicai odwzorowania konforenego. = (rys. 5.4) na płaszczyźnie z = x + iy będziey nazywać W przypadku zagadnień bardziej złożonych płaskiego przepływu teorii filtracji wód podzienych ay do czynienia z sytuacją, gdy znany jest obszar filtracji oraz wartości funkcji Φ i Ψ na jego brzegu, natoiast nie znay funkcji realizującej odwzorowania konforene wewnątrz obszaru, ay wiec do czynienia z zagadnienie trudniejszy. Tego typu proble pozwala na rozwiązać teoria przekształceń konforenych oparta na wzorze Christoffela Schwarza. Wzór ten pozwala wg. Połubarinovej-Kocziny [1977] określić funkcje realizujące przekształcenie konforene na obszary wielokątne, jeżeli przyjiey, że na płaszczyźnie z=x+iy jest określony wielokąt o wierzchołkach A i (A 1,A,...A n) (rys. 5.5). Kąty odpowiadające poszczególny wierzchołko tego wielokąta oznaczy α i, a przez ai będziey oznaczać współrzędne rzeczywiste tych wierzchołków. Jeżeli, przez t określiy zienną całkowania (zienna zespolona), to wzór Christoffela Schwarza realizujący odwzorowanie konforene ożna przedstawić w postaci: t dt z = M + N (5.6) α1 α αn 1-1- 1- ( t - a ) π ( ) π ( ) π 1 t - a... t - an 9

Kąty α i odpowiadające określony punkto Rys. 5.5 Scheat do wzoru Christoffela Schwarza. A i we wzorze (5.6) odczytujey z wielokąta na rys. 5.5. Wielkości stałych odpowiadające części rzeczywistej ziennej t a i są stałyi rzeczywistyi. Wartość tych stałych po uwzględnieniu stałej całkowania N odpowiadają długości boków wielokąta o wierzchołkach A i. Stałe M i N są stałyi wyrażonyi przez liczby zespolone. Stosując wzór (5.6) i należy ieć na uwadze zgodnie z pracą Rebezy [1998] kilka jego właściwości: 1. człon we wzorze Christoffela Schwarza, który zawiera stałą a k =, jest w ni poijany,. trzy stałe ai ogą ieć wartość dowolną. Wynika to z twierdzenia Rieanna o jednoznaczności odwzorowań konforenych. Zazwyczaj przyjuje się wartość tych stałych równą,1,. Praktyczne wykorzystanie wzoru Christoffela - Schwarza znaleźć ożna w pracach Połubarinovej-Kocziny [1977], Aravina i innych [1953], Castany ego [1967], Rebezy [1998], Strzeleckiego i in. [8] i wielu innych. Bardzo istotny eleente budowania rozwiązań brzegowych jest stosowanie etody superpozycji rozwiązań zagadnień prostszych przy analizowaniu zagadnień bardziej skoplikowanych. Generalnie ożna stwierdzić, że jeżeli Ω1, Ω, Ωn są potencjałai zespolonyi określającyi przepływy proste, to potencjał Ω będący suą tych potencjałów przepływów prostych jest, zgodnie z pracą Rebezy [1998], potencjałe odpowiadający przepływowi złożoneu w postaci: Ω = c Ω + c Ω + c Ω + c Ω (5.7) 1 1 3 3 n n przy czy c1, c, c3, cn są stałyi. 5.1.3 Wykorzystanie funkcji potencjału zespolonego filtracji do rozwiązywania zagadnień dwuwyiarowych przepływu filtracyjnego. Rozwiązywanie płaskich zagadnień etodą analityczną iało iejsce w czasach, gdy koputery nie iały powszechnego zasięgu, a ich zdolności obliczeniowe były ograniczone, jedyną etodą uzyskania rozwiązań zagadnień filtracji pozwalających na wykonywanie obliczeń inżynierskich w konkretnych zagadnieniach hydrogeologii inżynierskiej, budownictwa wodnego i ochrony środowiska. Obecnie istnieją przyjazne dla użytkownika progray koputerowe, które pozwalają na nawet doowy sprzęcie koputerowy rozwiązywać złożone zagadnienia brzegowe. Metodyka rozwiązań przedstawionych w ty podrozdziale nic nie straciła jednakże na swojej wartości. Uzyskane przedstawionyi 1

poniżej etodai rozwiązania pozwalają dobrze zrozuieć sens fizyczny otrzyanych w rozwiązaniu funkcji oraz przeprowadzić pełną analizę uzyskanych rozwiązań, co jest ożliwe tylko w ograniczony zakresie w przypadku rozwiązań etodai nuerycznyi. Wiele prezentowanych poniżej rozwiązań, stanowiących istotną część podręczników akadeickich i publikacji oraz onografii poświęconych teorii filtracji, zawdzięczay Połubarinowej-Koczinie [1977], i szkole rosyjskiej w ty także uczony: Aravinowi [Aravin i inni, 1953], Filczakovowi [196] oraz w Polsce Rebezie [1984, 199, 1998] Strzeleckieu [8]. Uzyskane tą etodą rozwiązania służą iędzy innyi do testowania prograów obliczeń płaskich zagadnień przepływu etodai nuerycznyi. Zajiey się przykładai zastosowań powyższej etody do zagadnień istotnych z punktu widzenia budownictwa wodnego i hydrogeologii. Przedstawiy na początku rozwiązania zagadnień ze zwierciadłe swobodny ające swoje zastosowanie przede wszystki w analizie przepływów przez przepuszczalne grodze ziene, wały przeciwpowodziowe. Następnie oówiy sposób znajdowania funkcji potencjału zespolonego Ω dla przypadku opływu fundaentu budowli piętrzących, ścianek szczelnych, oraz opływu budowli piętrzącej ze współdziałającą ścianką szczelną i drenaże. W rozwiązaniach tych, uzyskanych przez innych autorów, przedstawiy poszerzoną analizę uzyskanych wyników oraz dodatkowo przedstawiy obliczenia potencjału sił asowych filtracji oraz przewidywanej strefy upłynnienia gruntu po przekroczeniu warunku granicznego stateczności filtracyjnej. Przedstawione poniżej rozwiązania analityczne ają zastosowanie w etodach nuerycznych konkretnych zagadnień przepływu wód podzienych. Mają więc istotne znaczenie w rozwiązywaniu zagadnień praktycznych. 5. Rozwiązania zagadnień brzegowych ze zwierciadłe swobodny. 5..1 Szczelina drenażowa w warstwie nieprzepuszczalnej (Parabola Liasset a). Rozważy półpłaszczyznę wypełnioną ośrodkie porowaty o współczynniku filtracji k, która jest ograniczona od dołu granicą nieprzepuszczalną (rys.5.6) Rys. 5.6 Scheat zadania dotyczącego dopływu do szczeliny drenażowej. 11

Wzdłuż granicy nieprzepuszczalnej na odcinku występuje dren pozioy wykształcony w forie wąskiej szczeliny drenażowej. Wskutek działania drenu w obszarze półpłaszczyzny wytwarza się strefa wód gruntowych oddzielona od strefy aeracji powierzchnią swobodną. Poszukujey takiej funkcji Ω, aby zostały spełnione warunki brzegowe wzdłuż drenu, wzdłuż warstwy nieprzepuszczalnej oraz wzdłuż linii powierzchni swobodnej wód gruntowych. Na powierzchni swobodnej, gdy poijay ciśnienie powietrza i nie uwzględniay występowanie wód kapilarnych, uszą być spełnione następujące warunki brzegowe: Φ + ky = (5.8) Ψ = Ψ (5.9) a Ψ stała odpowiadająca wartości funkcji prądu dla powierzchni swobodnej. Wzdłuż granicy nieprzepuszczalnej [ y ; x ] = (patrz rys. 5.6), powinien być spełniony warunek Wzdłuż granicy przepuszczalnej [ y ; x ] Ψ = (5.3) = (patrz rys. 5.6), warunek brzegowy a postać: Wybieray kolejne funkcje z f ( ) Φ = (5.31) = Ω, poczynając od funkcji liniowej. Funkcja liniowa, jak łatwo sprawdzić, nie spełnia warunków brzegowych. Rozpatrzy następnie funkcję kwadratową. Ponieważ w ty przypadku dla dowolnego punktu obszaru filtracji: z = AΩ (5.3) sprawdziy, czy funkcja ta oże ieć powierzchnię swobodną, spełniającą warunki brzegowe. Dla powierzchni swobodnej ay warunki brzegowe (5.8) i (5.9), a więc wstawiając je do równania (5.3) otrzyujey: Po wykonaniu prostych przekształceń ożey zapisać: ( ) x + iy = A ky + iψ (5.33) ( y + AkΨ y) = x Ak y + AΨ + i, stąd dostajey: x = A k y Ψ (5.34) oraz ( ) 1

y = AkΨ y (5.35) Z równania (5.35) otrzyujey bezpośrednio wartość stałej A: 1 A = kψ (5.36) Podstawiając wartość stałej A z (5.36) do równania (5.34) otrzyujey funkcję opisującą kształt linii zwierciadła swobodnego spełniającą nałożone na tę linię warunki brzegowe: k Ψ x = y + Ψ k (5.37) Krzywa określona powyższy równanie jest nazywana w niektórych angielskich i francuskich podręcznikach akadeickich np. onografia Castany ego [Castany, 1967) parabolą Liasseta. Oznaczając wierzchołek paraboli przez d, z równania (5.37) ożey określić relację poiędzy wydatkie dopływający do drenu Q = Ψ a odciętą d: Q = kd (5.38) Na rys. 7.13 przedstawiono kształt krzywej depresji dla podanych wyżej danych w bezwyiarowy układzie współrzędnych: y Q x Q = + L kl L k L (5.39) 13

Rys. 5.7 Krzywa zwierciadła swobodnego w zależności od odciętej d [d=,1,,5, 1, ];(obliczenia progra Maple 8). Znając stałą A, funkcję potencjału zespolonego Ω ożna zapisać w postaci: 1 z = Ω kψ (5.4) Kładąc: Ω = Φ + iψ, ay: 1 x + iy = Φ + iψ kψ ( ). Po prostych przekształceniach dostajey: 1 x = ( Φ Ψ ) kψ (5.41) ΦΨ y = k Ψ (5.4) Sprawdziy obecnie, czy są spełnione założone warunki brzegowe na pozostałych brzegach. Wiey, że wzdłuż granicy nieprzepuszczalnej (ujena półoś x) powinien być spełniony warunek Ψ =. Wstawiay Ψ = do wyrażeń (5.41) i (5.4). Otrzyay: Φ x = ; y =. (5.43) kψ Ponieważ dla dowolnej Φ : x <, równania (5.43) są równaniai ujenej półosi x. Wzdłuż granicy przepuszczalnej (szczeliny drenażowej) winien być spełniony warunek Φ =. Podstawiając Φ = do wyrażeń (5.41) i (5.4) otrzyay: Ψ x = ; y =, (5.44) k Ψ dla dowolnego Ψ : x > równania (5.44) są równaniai opisującyi dodatnią półoś x na odcinku Ψ < x <. Można, więc stwierdzić, że przyjęta funkcja potencjału zespolonego Ω spełnia wszystkie k założone warunki brzegowe zadania. 14

Aby wyznaczyć linię prądu dla Ψ = const przekształciy, wyrażenia (5.41) i (5.4). Z wyrażenia (5.4) wyznaczy Φ : kψ Φ = Ψ y. (5.45) Podstawiając do wyrażenia (5.41) dostajey: kψ Ψ x = y + Ψ kψ. (5.46) Rys 5.8 Linie prądu w zadaniu ze szczeliną drenażową. Podstawiając pod Ψ kolejne wartości z przedziału (, ) Ψ otrzyay kolejne linie prądu (rys. 5.8). Ze wzoru (5.46) wynika, że wszystkie linie prądu opisują równania parabol, których wierzchołki znajdują się na dodatniej półosi x na odcinku Ψ < x (rys. 5.8). k Równania powierzchni ekwipotencjalnych otrzyay obliczając z równania (5.4) Ψ : Ψ = kψ Φ y (5.47) i podstawiając (5.47) do równania (5.41) dostajey równania linii ekwipotencjalnych w postaci: x kψ Φ Φ kψ, (5.48) = y które stanowią dla przyjętych wartości stałych Φ rodzinę parabol o wierzchołkach na ujenej półosi x. Siatkę hydrodynaiczną dla rozpatrywanego przypadku przedstawiono na rys. 5.9. 15

Wiedząc, że Q = Ψ ożey obliczyć wydatek dla całego obszaru filtracji: Q =. (5.49) Ψ Rys. 5.9 Siatka hydrodynaiczna przepływu 5.. Szczelina drenażowa w warstwie przepuszczalnej. Rys. 5.1 Scheat zadania szczeliny drenażowej w warstwie przepuszczalnej. 16

Przypadek ten różni się od poprzedniego ty, że zaiast warstwy nieprzepuszczalnej ay przyłączoną do obszaru przepływu półpłaszczyznę przepuszczalną (rys.5.1). Nie będziey szczegółowo analizowali tego przypadku, gdyż sposób postępowania jest identyczny jak w poprzedni podrozdziale. Rys 5.11 Siatka hydrodynaiczna przepływu dla przypadku szczelny drenażowej w warstwie przepuszczalnej. Wszystkie linie prądu są współogniskowyi parabolai o równaniach uzyskanych w podrozdziale 5...1.1 z tą różnicą, że dla Ψ należy jednak przyjować wartości od Ψ do. Siatkę hydrodynaiczną przepływu dla tego przypadku przedstawiono na rys. 5.11. Zajiey się za to konstrukcją izobar (linii jednakowego ciśnienia), izotach (linii jednakowej prędkości), izoklin (linii, wzdłuż których wektor prędkości posiada jednakowy kierunek). Konstrukcja Izobar. W celu określenia rodziny krzywych izobarycznych przypoinay zależności iędzy potencjałe prędkości, a ciśnienie: p Φ = k + y. γ w Zależność tę ożna napisać w postaci: p Φ = + y. γ k w 17

Stąd widać, że ając określoną siatkę hydrodynaiczną przepływu ożna znaleźć izobary etodą graficznego dodawania (rys. 5.1). Rys. 5.1. Siatka izobar uzyskana etodą graficznego dodawania. Przyjujey dla przykładu, że w obszarze filtracji ay określone linie jednakowej wysokości hydraulicznej H Φ = = 1;;3;4. k Wykreślay linię pozioą o równaniach: y = 1, y =, y = 3, y = N. p p W przecięciu linii y = 1 z linią H = +1 dostajey = 1 1 =, z linią H = + = 1 = 1 itd. γ γ Określay w ten sposób punkty, w których p p γ w w we wszystkich punktach tak uzyskanej krzywoliniowej siatki. Łączyy γ a taką saą wartość i dostajey izobary dla w w p γ =1, p γ w w = itd.. Dla rozpatrywanego zagadnienia nietrudno znaleźć równanie izobar. W ty celu wystarczy wyłączyć Ψ z równania (5.4) i po podstawieniu do (5.41) rozwiązać to równanie względe Φ. Otrzyay równanie czwartego stopnia: 1 kψ x kψ y 4 Φ + Φ =. (5.5) Przyrównując Φ + ky do stałej C otrzyay dla izobar równanie czwartego stopnia: 18

[ + kψ x] ( C ky) ( C ky) k Ψ y =. (5.51) Rodzina izotach i izoklin. Określenie siatki izotach i izoklin jest ważne wtedy, gdy istnieje niebezpieczeństwo sufozji rozrzedzania gruntu itp., na przykład pod zaporai wodnyi. Izotachy i izokliny znakoicie ułatwiają na analizę stateczności filtracyjnej gruntu w obszarze budowli wodnych. Wykonajy operację obliczenia logarytu prędkości zespolonej filtracji i rozdziely część rzeczywistą i urojoną: ln w = ln w + i arg w. (5.5) Stąd dostajey: ln w = ln v + iϑ, (5.53) gdzie: v wartość bezwzględna wektora prędkości ϑ kąt iędzy wektore a osią odciętych. Ponieważ ln w jest funkcją analityczną, więc linie ln v = const i ϑ = const tworzą rodziny krzywych wzajenie ortogonalnych. W rozpatrywany przez nas przypadku szczeliny drenażowej w warstwie przepuszczalnej, ożey więc uzyskać równanie izotach i izoklin w postaci zakniętej. Istotnie na podstawie (5.4) ay: Ω = kψ z. (5.54) Stąd: dω kψ w = =. (5.55) dz z Logaryt prędkości zespolonej równy jest: kψ y ln w = ln = ln z i argtg z + x. (5.56) 1 19

Rys. 5.13 Rodzina izotach i izoklin. Widać stąd, że izotachy stanowią koncentryczne koła o proieniu r = const i środku w ognisku parabol (,), natoiast izokliny są to proienie, wychodzące z ogniska (rys. 5.13). Wielkość prędkości równa jest współczynnikowi filtracji k wzdłuż okręgu, który jest styczny do swobodnej powierzchni (w iejscu styku tej powierzchni ze szczelina drenażową). Znając funkcje potencjału prędkości Φ ożey określić funkcję potencjału R reprezentującą współdziałanie pola potencjalnego przepływu filtracyjnego z pole sił ciężkości cząstek gruntu dla dodatniej półosi x (dla ujenej półosi nie znay oddziaływania od ciężaru naziou): otrzyujey dla rozpatrywanego przypadku: gdzie ρ os ( 1 f )) ρg R = Φ y k ρ Ψ k ( ) (5.57) R = ± g x + x + y y, (5.58) = określa ciężar objętościowy gruntu z uwzględnienie wyporu. Różniczkując potencjał sił asowych R po ziennych x i y dostajey składowe sił asowych działających na szkielet ośrodka porowatego S :

S x x x y + + R d L L L = = ρg x L x y + L L (5.59) S y x x y + + d L L L = ρ g. (5.6) L x y + L L 5..3 Przepływ przez grodzę zieną posadowioną na podłożu o nieograniczonej iąższości. Rozważy przepływ przez grodzę zieną przepuszczalną dla wody, przedstawioną scheatycznie w przekroju na rys. 5.14. Rozwiązanie tego zagadnienia zostało szczegółowo oówione w pracy Reebezy [1998], i w inny ujęciu w pracy Strzeleckiego i Kosteckiego [6a]. Powtarzając za Rebezą tok postępowania, przeprowadziy następnie szczegółową analizę uzyskanego rozwiązania. Rys. 5.14. Scheat zagadnienia brzegowego. W przypadku zagadnień ze swobodny zwierciadłe wody nie znay kształtu zwierciadła swobodnego. Jest to więc zadanie z nieznany brzegie i nie ożey bezpośrednio wykorzystać wzoru Christoffela-Schwarza. Aby ożna było jednakże rozwiązać ten proble, została opracowana etoda dodatkowego odwzorowania poprzez funkcję potencjału Żukowskiego [Połubarinova-Koczina, 1977]. Potencjał Żukowskiego wyraża się przy poocy zespolonego potencjału Ω wzore: i θ = z Ω = θ1 + iθ (5.61) k 1

Stosuje się także inne postaci potencjału Żukowskiego, np. θ = z + iω / k lub θ = Ω ikz. Podstawiając pod z = x + iy, dostajey część rzeczywistą i urojoną potencjału Żukowskiego: Ψ Φ θ1 = x + oraz θ = y. (5.6) k k Dla przyjętego układu odniesienia jak na rys. 5.14 ożey przedstawić scheat obliczeniowy naszego zagadnienia na płaszczyźnie potencjału zespolonego i na płaszczyźnie potencjału Żukowskiego rys. 5.15. Na płaszczyźnie potencjału zespolonego Ω znay wartości potencjału w punktach: A Ω = oraz θ =, B Ω = kh oraz θ = L, ψ c C Ω = kh + iψ c oraz θ = L +, k D Ω = kh + i oraz θ =, (5.63) gdzie H oznacza różnicę wysokości hydraulicznej przed i za grodzą zieną. Rys. 5.15 Scheat obliczeniowy zagadnienia brzegowego grodzy zienej. Analiza wzoru Christoffela-Schwarza i scheatu obliczeniowego na rys. 5.15 pokazuje, że do uwzględnienia we wzorze: t dt z = M + N α1 α αn 1 1 1 ( t a1 ) π ( t a ) π...( t an ) π są dwa punkty oraz podstawienie: π A a1 = ; α1 = ; π B a = L; α = ;, (5.64) z zastapiy przez Ω, t zastapiy przez θ,

co pozwala zapisać wzór Christoffela-Schwarza dla naszego zagadnienia w postaci: θ dθ Ω = M + N (5.65) 1 1 θ ( θ L) Po scałkowaniu dostajey: im arcsin L θ Ω = + N. (5.66) L Znając wartości potencjału zespolonego w punktach A i B, ożey wyznaczyć stałe M i N z układu równań: π i M + N =, π i M + N = kh. (5.67) Dostajey: M kh = i oraz π kh N =. Ostatecznie zależność poiędzy potencjałe zespolony Ω oraz potencjałe Żukowskiego a postać: kh L θ Ω = arccos. π L (5.68) Po prostych przekształceniach wzór (5.68) ożna zapisać w postaci: Ω L πω z + i = 1 cos. (5.69) k kh Uwzględniając, że z = x + iy oraz Ω = Φ + iψ, dostaniey po wykonaniu przekształceń algebraicznych: H Ψ ɶ L x = + 1 cos( Φɶ ) cosh ( Ψɶ ) (5.7) π oraz 3

H Φ L y = ɶ + sin ( Φɶ ) sinh ( Ψɶ ), (5.71) π gdzie π Φ ɶ = Φ i kh π Ψ ɶ = Ψ. kh Określy linię zwierciadła swobodnego podstawiając we wzorach (5.7) i (5.71): y Ψ ɶ = oraz Φ ɶ = π. (5.7) H Ostatecznie dostajey równanie zwierciadła swobodnego: y 1 H x = arcsin. (5.73) L π L L H Przyjując =,5; 1; 1,5, krzywą zwierciadła swobodnego przedstawiono na rys. 5.16. L Rys. 5.16 Kształt zwierciadła swobodnego w zależności od L dla ziennych bezwyiarowych u H = x L oraz yb = y L. Obliczy następnie wartość funkcji prądu dla cieczy dopływającej do punktu C. Korzystając ze wzoru (5.7) oraz z warunku, jaki powinien być spełniony w punkcie C (warunek ekstreu funkcji): dz =, (5.74) dω dostajey: 4

kh H Ψ C = arcsin h π π L. (5.75) Korzystając ze wzorów (5.71) i (5.7), ożey obliczyć równania linii prądu dla Ψ ɶ = const w postaci: x Ψɶ H 1 y H + L π L = arccos + L π L cosh Ψɶ x Ψɶ H 1 4 + 1 L π L + 1 shψɶ, cosh Ψɶ (5.76) gdzie Ψɶ oraz powierzchni ekwipotencjalnych dla Φ ɶ = const : y H Φɶ x H arcsin h L L π = + L π L sin Φɶ y H Φ 1 L ɶ L π + 1 cos Φ ɶ 1 +, sin Φɶ (5.77) gdzie Φ ɶ π. Obliczając linie prądu i powierzchnie ekwipotencjalne dla rozpatrywanego zagadnienie, na podstawie wzorów (5.76) i (5.77) dostajey siatkę hydrodynaiczną przepływu, którą prezentujey na rys. 5.17, przyjując dla Φ ɶ wartości:,,5 π,.5 π,,75 π, 1π, 1,5 π, 1,5 π,1,75 π, π. 5

Rys. 5.17 Siatka hydrodynaiczna przepływu przy filtracji przez grodzę zieną posadowioną na nieograniczonej warstwie przepuszczalnej dla H L = 1.. Często dla celów praktycznych istotna jest długość czynna drenażu pozioego, czyli odległość L L, gdzie, zgodnie ze scheate przedstawiony na rys. 5.17, L określa odciętą punktu C. Znając wartość funkcji prądu dla linii prądu przechodzącej przez punkt C wzór (5.75) ożey obliczyć odciętą L na podstawie wzoru (5.7): i L πψ L + ih = ( kh + iψ C ) + 1 cos π + i k kh C. (5.78) Z równania (5.78) obliczyy wartość odciętej L : L H H H L = 1 + cosh arcsin h arcsin h π L. (5.79) π π L Wartość odległości BC oznaczyy przez d i na podstawie wzoru (5.79) obliczyy: L H H H d = L L = 1 cosh arcsin arcsin h + π L. (5.8) π π L Przejdźy następnie do obliczenia pola wektorowego prędkości v. Wychodząc z równania (5.69) Ω L πω z + i = 1 cos, k kh zróżniczkujey je względe dz. Otrzyay związek poiędzy prędkością przepływu i funkcją potencjału zespolonego Ω w postaci: k w =, (5.81) π L Ωπ i + sin H kh gdzie w - oznacza prędkość zespoloną filtracji. Po odpowiednich przekształceniach dostajey następującą postać składowych prędkości filtracji v x i v y : 6

π L sin Φɶ cosh Ψɶ vx = k, H π L π L 1+ cosφɶ sinh Ψ ɶ + sin Φɶ cosh Ψɶ H H π L 1+ ( cosφɶ ) sinh Ψɶ H vy = k. π L π L cosφɶ sinh Ψ ɶ + 1 + sin Φɶ cosh Ψɶ H H (5.8) Jak widać, powyższe wzory nie pozwalają na bezpośrednie obliczenie wartości składowych prędkości w obszarze filtracji, gdyż nie ay ożliwości bezpośredniego określenia wartości Φ ɶ i Ψ ɶ jako funkcji x i y, gdyż równania (5.76) i (5.77) są równaniai uwikłanyi. W pośredni sposób ożey jednakże określić wartości składowych, obliczając dla określonych wartości Φ ɶ i Ψ ɶ współrzędne punktów, w których te wartości występują, a następnie obliczyć składowe prędkości filtracji v. Dla przykładu ożey policzyć składowe prędkości filtracji wzdłuż zwierciadła swobodnego filtracji. Wiey, że w ty przypadku: π y Ψ ɶ = i Φ ɶ =. (5.83) H Uwzględniając, że równanie krzywej zwierciadła swobodnego a postać: y 1 H x = arcsin, L π L L obliczy składowe prędkości filtracji wzdłuż zwierciadła swobodnego: vx = k H π L π L x v y π L x sin arcsin π L H L, 1+ sin arcsin H H L 1 = k. π L π L x 1+ sin arcsin H H L (5.84) Dla zobrazowania tych wzorów wykonay obliczenia przyjując L / H = i obliczy wielkości v / k oraz v / k, odnosząc te wielkości względe zwierciadła swobodnego wyrażonego krzywą x y (5.73). Odpowiednie wykresy przedstawiono na rys. 5.18. 7

v Rys. 5.18 Wykresy a) x k i b) v y k wzdłuż linii zwierciadła swobodnego. Korzystając ze wzorów (5.8), ożey określić wielkość składowych prędkości filtracji wzdłuż brzegu BCE. Wstawiając do powyższych wzorów wartości Φ ɶ = π dostajey: v y vx = 1 = k. (5.85) π L πψ 1+ sinh H kh Rozważy warunek stateczności filtracyjnej wzdłuż linii CE. Wektor prędkości filtracji a kierunek przeciwny do sił ciężkości. Jeżeli składowa sił asowych S spełnia warunek: y S y vy = ρ g +, (5.86) k to dla obszaru, w który ten warunek jest spełniony, następuje proces upłynnienia gruntu. Interesować nas będzie obszar (określony zienną x ) znajdujący się poza zasięgie grodzy zienej. W obszarze grodzy należałoby uwzględnić dodatkowo rozkład sił asowych pochodzących od ciężaru grodzy. Uwzględniając drugi ze wzorów (5.85) w warunku (5.86) ożey obliczyć graniczną wartość, powyżej której zachodzi upłynnienie gruntu: H + ρ g Ψ ɶ gr = arcsin h π L. (5.87) 8

Aby znaleźć zakres odciętej x, dla której występuje proces upłynnienia gruntu, należy poszukać, dla jakiej wartości odciętej odpowiada wartość Ψ ɶ gr. W ty celu wykorzystay równanie (5.76), przyjując y = i dostajey równanie: x Ψɶ krh,5 H + L π L arccos + π L cosh Ψɶ kr x Ψɶ krh 4 +,5 L π L +,5sinh ( Ψɶ kr ) 1 =. cosh Ψɶ kr (5.88) Określenie bezpośrednie odciętej x jest trudne, gdyż powyższe równanie jest równanie uwikłany. Jedną z etod oże być etoda polegająca na poszukiwaniu przecięcia się dwóch funkcji uzyskanych z przeniesienia jednego z członów równania na drugą stronę równania i określeniu każdej ze stron jako oddzielnej funkcji od x. Przyjując, że funkcje te ają postać: F1 ( x) x Ψɶ krh +,5 L π L = cosh Ψɶ x H 4 + Ψɶ kr,5 π L L π L F( x) = cos sinh ( kr ) 1 Ψɶ. H cosh Ψɶ kr kr (5.89) Poniżej przedstawiono dwa rozwiązania równania tą etodą dla H L równego 1,5 i,5: a) b) Rys. 5.19 Rozwiązanie równania uwikłanego a) dla H L =1,5; b) dla H L =,5. 9

Jak widać z rys. 5.19, dla H L =1,5 nie zachodzi zjawisko upłynnienia, natoiast dla H L =,5 punkt graniczny a w przybliżeniu wartość 1,5, więc w obszarze wypływu wody po stronie odpowietrznej oże nastąpić zjawisko upłynnienia gruntu i jego wyporu. W pracy Rebezy [1998] przedstawił rozwiązanie dla przypadku grodzy posadowionej na gruncie o ograniczonej iąższości. Zadanie to a postać znacznie bardziej skoplikowaną niż przedstawiona wyżej. 5.3 Zagadnienia przepływu wody pod ciśnienie. 5.3.1 Płaski fundaent zapory wodnej na warstwie o nieskończonej iąższości. Na przepuszczalnej warstwie o współczynniku filtracji k, ograniczonej linią AD spoczywa fundaent zapory wodnej o szerokości BC. Rys. 5. Scheat zagadnienia przepływu pod fundaente zapory wodnej. Po lewej stronie (patrz rys.5.) zapory znajduje się zbiornik wody, w który pozio wody ponad terene wynosi H 1. Po prawej stronie ay koryto rzeki, przy czy pozio wody ponad teren w przekroju (rys. 5.) wynosi H. Wzdłuż półprostych AB i CD ay do czynienia z brzegie przepuszczalny, więc składowa styczna prędkości do tych brzegów jest równa zeru: v = ; v. (5.9) x y Natoiast dla brzegu BC ay do czynienia z brzegie nieprzepuszczalny, więc składowa noralna do tego brzegu jest równa zeru: v = ; v. (5.91) y x Wiey ponadto, że dla x ± lub y ± obydwie składowe prędkości v winny dążyć do zera, więc prędkość zespolona w: 3

w = v - iv (5.9) x y powinna również dążyć do zera, czyli: li w = z ±. (5.93) Warunki brzegowe zadania dają się przedstawić w prostej postaci przy poocy składowych prędkości (5.9), (5.91). Przyjując układ współrzędnych, jak na rys. 5., widziy zgodnie z (5.9) i (5.91), że: dla x < b, w a wartość rzeczywistą, dla x > b, w a wartość urojoną. Wykorzystajy wzór Christoffela Schwarza, czyli etodę odwzorowań konforenych dla znalezienia funkcji potencjału zespolonego Ω. W ty celu usiy określić obszar filtracji na płaszczyźnie zespolonej Ω dzięki znajoości warunków brzegowych zagadnienia. Jak widać to na rys. 5.1, obszar ten jest ograniczony prostyi Ψ = oraz półprostyi określonyi równaniai Φ = i Φ = kh. Punkty charakterystyczne pokazane na rysunku 5.1 A, B, C, D oraz punkt określający początek układu odniesienia ają swoje iejsce na płaszczyźnie Ω. Rys. 5.1 Odwzorowanie obszaru filtracji na płaszczyźnie potencjału zespolonego Ω. Punkty charakterystyczne A, B, C, D i punkt znajdują się zarówno na płaszczyźnie Ω, jak również na płaszczyźnie z, ożna, więc skorzystać ze wzoru Christoffela Schwarza i wyznaczyć równanie potencjału zespolonego Ω. Dla ułatwienia rozważań przepiszy ten wzór poniżej: t dt z = M + N.... α α αn 1 1 1 π π π 1 n 1 ( t - a ) ( t - a ) ( t - a ) 31

Zauważyy na wstępie, że rozpatrywany przez nas obszar na płaszczyźnie Ω a postać wielokąta, w który występują dwa kąty α 1 i α przy wierzchołkach B i C. Na płaszczyźnie ziennej zespolonej z ay natoiast do czynienia z półpłaszczyzną. Kąty przy wierzchołkach A i D, poija się gdyż na płaszczyźnie ziennej zespolonej z odpowiada i odcięta ± zgodnie z właściwością całki Christoffela Schwarza. Odpowiednie wartości w powyższy wzorze będą następujące: a1 b, a b, π π = = α1 =, α =, z = Ω, t = z. (5.94) Po uwzględnieniu tych wartości we wzorze Christoffela Schwarza przedstawiy go w postaci: z dz Ω = M + N, (5.95) 1 1 ( z + b) ( z b) co prowadzi do następującej postaci funkcji potencjału zespolonego Ω : Ω = im arcsin z + N. (5.96) b Otrzyaliśy więc postać funkcji potencjału zespolonego w postaci nieco różniącej się od uzyskanej drogą intuicyjną uzyskaną przez Strzeleckiego [Strzelecki i inni,8]. Pokażey, że obydwie postacie tego rozwiązania są ekwiwalentne i prowadzą do identycznej siatki hydrodynaicznej przepływu. Aby określić funkcję potencjału zespolonego Ω, należy wyznaczyć stałe M i N dla obydwu postaci rozwiązania. Wiey, że funkcja potencjału prędkości równa się: P Φ = k γ w + y + C, gdzie: C dowolna stała zależna od przyjęcia przez nas poziou powierzchni odniesienia potencjału prędkości Φ. Przyjijy stałą C w taki sposób, aby wzdłuż poziou wody w rzece (wzdłuż brzegu CD) funkcja potencjału Φ była równa zero. Założywszy przy ty, że ciśnienie atosferyczne p a =, obliczay: kh + =. C Stąd: C = kh Możey ostatecznie stwierdzić, że funkcja Φ wyraża się wzore: 3

P Φ = k + y H γ w ( ). (5.97) Obliczay Φ wzdłuż brzegu AB. ( ) Φ = k H 1 H. AB Określając różnicę H1 H przez H dostajey: Φ AB = kh. (5.98) Funkcja prądu wzdłuż fundaentu BC równa się dowolnej stałej, przyjując jednakże, że stała ta jest równa zeru ay: Ψ BC =. (5.99) Na podstawie przeprowadzonych wyżej rozważań, ożey stwierdzić, że w punkcie B o współrzędnych x = b, y = Ψ = i Φ = kh, (5.1) natoiast w punkcie C o współrzędnych x = b, y = : Ψ = i Φ =. (5.11) Podstawiając związki (5.1) i (5.11) do wzoru (5.96) dostajey układ równań: π M + N =, 3π M + N = kh. (5.1) Po rozwiązaniu tego układu równań algebraicznych dostajey: kh π kh M = -, N =. (5.13) Podstawiając stałe M i N do wzoru (5.96) otrzyujey: 33

kh Ω = π z kh arcsin b (5.14) lub po wykorzystaniu własności funkcji trygonoetrycznych ożey funkcję potencjału zespolonego zapisać inaczej: kh z Ω = arccos. (5.15) π b Analogicznie, korzystając z tych saych warunków (5.1) i (5.11), ożey obliczyć stałe dla rozwiązania w postaci wzoru (5.96). Dostajey dla tego przypadku układ równań: π im + N =, im + N =, (5.16) z którego otrzyujey stałe: im kh kh =, N =. (5.17) π uzyskujey następującą postać funkcji potencjału zespolonego Ω : kh Ω = π z kh arcsin b. Pokazaliśy więc, że obydwie drogi rozuowania prowadzą do jednakowego wyniku etoda oparta na teorii przekształceń konforenych i intuicyjna przedstawiona w pracy Strzeleckiego i in. [8]. Przekształcając wzór (5.15) ay: πω z = bcos. (5.18) kh Wstawiając Ω = Φ + iψ oraz z = x + iy ożey stwierdzić, że zależność (5.18) a postać: πφ πψ x + iy = bcos + i. (5.19) kh kh Oznaczając: 34

πφ = Φ ɶ oraz kh πψ = Ψ ɶ, (5.11) kh ay: x + iy = bcos( Φ ɶ + iψ ɶ ). (5.111) Wiedząc na podstawie tablic ateatycznych [Riżik, Gradstein, 1964] lub prograów ateatycznych np. [Matheatica], że cos ( Φ ɶ +iψ ɶ ) = cosφcoshψ ɶ ɶ +isinφsinhψ ɶ ɶ, równanie (5.111) ożna zapisać w postaci: x + iy = bcos Φɶ coshψ ɶ + ibsin Φɶ sin hψɶ, (5.11) a stąd po przeniesieniu wszystkich członów równania na jedną stronę równania i korzystając z faktu, że równanie (5.11) jest wówczas spełnione, gdy część rzeczywista i urojona jest równa zeru, dostajey dwa związki: Obliczając ze związku (5.114) Φ ~ sin : x = bcos Φ ɶ cos hψ ɶ, (5.113) y = bsin Φ ɶ sin hψ ɶ. (5.114) y sin Φ ɶ = bsin hψɶ oraz ze związku (5.113) cos Φ ~ : x cos Φ ɶ = bcos hψɶ, a także kładąc: sin ~ ~ Φ + cos Φ = 1, dostajey równanie: x y b cos h Ψɶ b sin hψɶ + = 1. (5.115) 35

Dla różnych wartości Ψ ~ = const równanie (5.115) reprezentuje linie prądu przepływającej cieczy w ośrodku gruntowy. Są to elipsy o ogniskach w punktach x1 = bcos h( Ψ ɶ ) i = sin ( Ψ) x b h ɶ. Wyznaczając następnie ze związków (5.113) i (5.114) funkcje coshψ ɶ i sinhψ ɶ i korzystając z równania dla funkcji hiperbolicznych: h Ψɶ h Ψ ɶ = (5.116) sin cos 1 dostajey równanie: b x cos ~ Φ b y sin ~ Φ = 1 (5.117) Rys. 5.. Izolinie funkcji Φ = const i Ψ = const tworzące siatkę hydrodynaiczną przepływu. Dla kolejnych, gdy π Φɶ, równanie (5.117) opisują izolinie reprezentujące w przestrzeni powierzchnie ekwipotencjalne. Są nii hiperbole. Układ linii prądu opisanych równaniai (5.115) i (5.117) dla Ψ i izolinii reprezentujących powierzchnie ekwipotencjalne opisanych równaniai (5.117) tworzą siatkę hydrodynaiczną przepływu, którą dla rozpatrywanego przypadku przedstawiono na rys. 5.. Określy następnie składowe prędkości v w obszarze filtracji. Prędkość zespolona wyraża się wzore: kh w = π b z, (5.118) więc: kh vx ivy = π b z. (5.119) 36

Rozdzielając prawą stronę równania na części rzeczywistą i urojoną, a następnie przenosząc wszystkie wyrażenia na jedną stronę, dostaniey równanie, z którego ożey bezpośrednio wyznaczyć składowe vx i v y prędkości filtracji. Dostajey: ( ) ( ) kh ± b - x + y +4x y +b - x + y v x = π b - x + y +4x y, (5.1) ( b - x + y ) ( ) kh +4x y - b + x - y v y = π b - x + y +4x y, (5.11) przy czy znak bierzey dla x >, a znak + bierzey dla x <. Dla przykładu na rys. 5.3 i 5.4 przedstawiono wykresy prędkości v x i y =,b, y =,4b, y =,6b, y =,8b, y = b, zakładając, że H = 5, b = 1. v y na kilku pozioach k -4 = 1 / s oraz Rys. 5.3 Rozkład składowej πvx prędkości filtracji pod fundaente budowli piętrzącej k a) dla y =,b, b) y =,4b, c) y =,6b, d) y =,8b, e) y = b ; (obliczenia i wykres Matheatica 5). 37

Rys. 5.4 Rozkład składowej πv y prędkości filtracji pod fundaente budowli piętrzącej k.a) dla y =,b, b) dla y =,4b, c) dla y =,6b, d) dla y =,8b, e) dla y = b ; (obliczenia i wykres Matheatica 5). Równanie izotach otrzyay obliczając: v = v + v = const, (5.1) x y a równanie izoklin: v v y x = tgφ = const. (5.13) Interesujący jest rozkład prędkości wzdłuż brzegu AD. Wzory na składowe bezpośrednio ze wzorów (5.1) i (5.11), podstawiając w nich y =. Wzdłuż fundaentu prędkość filtracji równa jest składowej pozioej prędkości i wynosi: vx i vy ożey uzyskać v x kh = π b x. (5.14) Wzdłuż powierzchni przepuszczalnych prędkość filtracji równa jest składowej pionowej v y i wynosi: v y kh = Signu( x) * π b x. (5.15) 38

Rys. 5.5. Rozkład prędkości przepływu wzdłuż brzegu AD. Rozkład prędkości wzdłuż brzegu AD przedstawiono na rysunku 5.5. Jak widać z rysunku, w pobliżu punktów x = ± b wartość prędkości dąży do ±. Wynik ten jest rezultate stosowania liniowego prawa przepływu Darcy ego. W rzeczywistości po przekroczeniu pewnej wartości spadku hydraulicznego przepływu prawo filtracji jest nieliniowe. Przedstawiona powyżej etodologia rozwiązania probleu nie pozwala jednakże na uwzględnienie nieliniowego prawa przepływu. Do obliczeń stateczności zapór wodnych istotny jest rozkład ciśnień pod fundaente budowli, wywołany przepływe filtracyjny. Przepiszy wzór (5.113): πφ πψ x = bcos cosh. kh kh Ponieważ wzdłuż fundaentu: y =, Ψ =, dostajey: πφ x = bcos. (5.16) kh 39

Oznaczając przez h wysokość hydrauliczną w dolny punkcie obszaru filtracji, ay: Φ = kh. (5.17) Podstawiając (5.17) do (5.16), dostajey: H x h = arccos. π b Ponieważ wzdłuż fundaentu budowli piętrzącej y =, ciśnienie p równa się: γ wh x p = γ wh = arccos. (5.18) π b Rozkład ciśnień wzdłuż fundaentu zapory przedstawiono na rys. 5.6. Rys. 5.6 Rozkład ciśnienia pod fundaente budowli piętrzącej. Uzyskany rozkład ciśnienia pozwala na obliczenie wypadkowej siły parcia na fundaent budowli piętrzącej. Można wykazać, że wielkość ta jest równa wielkości parcia, gdy przyjiey rozkład ciśnienia w postaci trójkąta. Istotną różnicą jest iejsce położenia wypadkowej. Znajduje się ono w większej odległości od prawego brzegu fundaentu budowli piętrzącej, więc oent wywracający wynikający z działania tej siły jest większy niż w przypadku przyjęcia rozkładu trójkątnego ciśnienia cieczy działającego na fundaent. Dla pełnego obrazu oawianego klasycznego rozwiązania opływu fundaentu budowli piętrzącej przedstawiy sposób obliczenia wydatku przepływającego pod jej fundaente. Oczywiście całkowity wydatek jest nieskończony, ponieważ warstwa a nieskończoną iąższość. Obliczyy więc wydatek przepływający pod fundaente budowli piętrzącej poiędzy liniai prądu ającyi swój początek w punktach x = b i x= x. 4

Wiedząc, że wydatek Q przepływający poiędzy dwoa liniai prądu, równa się różnicy wartości funkcji prądu: Q = Ψ oraz że wartość funkcji prądu dla pierwszej linii prądu, biegnącej wzdłuż fundaentu, wynosi: Ψ = ożey stwierdzić, że poszukiwany wydatek równa się wartości funkcji prądu przechodzącej przez rozpatrywany punkt x = x, czyli: Q = Ψ. (5.19) Wstawiając do (5.113) x = x dostajey: kh x kh Q arccos h ln b b x + x = b =. (5.13) π π Przyjując wartości 5.7. k 4 = 1, H=5, przedstawiono krzywą wydatku w zależności od x b na rys. x Rys. 5.7. Zależność wydatku od współrzędnej wypływu linii prądu u = ; b (obliczenia i wykres Matheatica 5). 41

5.3. Opływ fundaentu budowli piętrzącej z rurą drenażową. Załóży, że bezpośrednio pod fundaente budowli hydrotechnicznej uieszczono rurę drenażową w kształcie półcylindryczny (rys. 5.8) Rys. 5.8. Scheat opływania budowli piętrzącej z rurą drenażową. Niech środek rury znajduje się w punkcie x = a. Zgodnie z ty, co powiedzieliśy wyżej o ożliwości stosowania zasady superpozycji do rozwiązań zagadnień filtracji, ożey poszukiwać funkcji prędkości zespolonej w postaci: M M1 w = b z z a b z ( ) (5.131) Obydwa człony rozwiązania (5.131) czynią zadość warunko brzegowy (5.9), (5.91)) i (5.93), a jednocześnie drugi człon rozwiązań posiada własność drenu lub źródła w punkcie: z = a. Niech wydatek rury drenażowej będzie oznaczony przez Q. Ponieważ rura dostaje się do rury drenarskiej tylko połową przekroju, więc wprowadziy wydatek obliczeniowy woda dostaje się do rury cały przekroje. Q ', który odpowiada przypadkowi, gdy Ponieważ prędkość wody dopływająca do drenu winna być w obydwu przypadkach identyczna, ay: Q ' π r Q =, π r gdzie: r proień rury drenarskiej. Stąd ay, że: Q ' = Q W dowolny punkcie obszaru prędkość zespolona w, wywołana działanie drenu i różnicy pozioów wody w zbiorniku i rzece, powinna się równać: 4

Q ' w = F z π + ( z a) ( ) (5.13) przy czy F(z) jest funkcją holoorficzną w punkcie z = a. Obliczay granicę funkcji ( z a) w( z) gdy w(z) wyraża się wzore (5.13), a z dąży do a:, li z a M 1 ( z a) w( z) = b a. (5.133) Następnie obliczay tą saą granicę, gdy w(z) wyraża się wzore (5.133). Dostajey: li z a Q ' Q = =, π π ( z a) w( z) (5.134) stąd znajdujey: Q M b a π 1 =. Prędkość zespoloną filtracji wyraża się wzore: M Q b a w = π ( ) b z b z z a. (5.135) Obliczy następnie potencjał zespolony Ω, który wyraża się wzore: Ω = wdz + N. (5.136) Po wykonaniu operacji całkowania ay: a Q 1 M b z Ω = arcsin N b z a +. (5.137) b πb b b Znając wartości funkcji Ω w punktach B i D: 43

dla B Ω = kh ; z = b, dla D Ω = ; z = b, otrzyujey układ równań: a 1 3π M Q b + + N = kh b π b a 1 + b a 1 π M Q b + N =. b π b a 1 b, (5.138) W rezultacie po rozwiązaniu układu równań (5.138) dostajey stałe M i N: a a Q 1 M kh b b = b π a πb 1 b a 3Q 1 kh b N = +. a b 1 b, (5.139) Ostatecznie funkcja potencjału zespolonego wyraża się wzore: a a a Q 1 Q 1 kh b b b z Ω = + + arcsin + π a z a π 1 π b b b b b b a 3Q 1 kh b + +. a b 1 b (5.14) Rozdzielając części urojone i rzeczywiste funkcji wartość funkcji prądu Ψ i funkcji potencjału prędkości Φ : Ω = Φ + iψ oraz z = x + iy, dostajey wzory na 44

MC D Φ = Φ 1 + arc cos E arc cosh E1, D + C C MC D Ψ = arccos he 1 + arccos E, D + C C (5.141) gdzie: a 3Q 1 kh b Φ 1 = +, a b 1 b x a x a y C = A B + A b b b b, b y D = B, b a a Q 1 kh b b A = + π a πb 1 b, a Q 1 b B =, πb x a y M = A B + A b b, b x y x y y 1 ± 1 + 4 b b b b b E1 =, E x y x y x 1 + + ± 1 + + 4 b b b b b =. Korzystając z powyższych wzorów ożey określić linie prądu na rys. 5.9 oraz linie jednakowego potencjału na rys. 5.3 45

Rys. 5.9. Linie prądu dla przypadku fundaentu budowli piętrzącej z rurą drenażową. (Obliczenia wg własnego oprograowania autorskiego) Rys. 5.3 Linie ekwipotencjalne dla przypadku fundaentu budowli piętrzącej z rurą drenażową. (Obliczenia wg własnego oprograowania autorskiego) Różniczkując funkcję potencjału zespolonego Ω po dz, uzyskay wzór na prędkość zespoloną filtracji w : a a 1 1 kh 1 Q b b w = 1 πb + z kh b z a 1 b b b. (5.14) 46

Rozdzielając część rzeczywistą i urojoną dostajey składowe wektora prędkości. Można je otrzyać również bezpośrednio, różniczkując potencjał prędkości Φ wyrażony wzore (5.141) po x i po y. a Poniżej na rysunku 7.81 przedstawione pole wektorowe prędkości filtracji, gdy, 4 b =, b = 1 oraz 3 4 1,5 1 Q =, b = 1, k =. s s 3 1 H Rys. 5.31. Pole wektorowe prędkości filtracji. (Obliczenia wg własnego oprograowania autorskiego) Interesujący jest kształt pola wektorowego prędkości filtracji w bezpośredni pobliżu drenu. Przedstawiono go na rys. 5.3. 47

Rys. 5.3. Pole wektorowe prędkości w pobliżu drenu. (Obliczenia wg własnego oprograowania autorskiego) Poniżej na rys. 5.33 przedstawiono rozkład funkcji potencjału prędkości wzdłuż górnej linii brzegowej. Rys. 5.33. Wizualizacja funkcji potencjału prędkości Φ na brzegu y =. (Obliczenia wg własnego oprograowania autorskiego) 48

Dla zobrazowania rozkładu funkcji potencjału w obszarze filtracji przedstawiono wizualizację trójwyiarową tej funkcji. Kształt funkcji potencjału prędkości na płaszczyźnie x, y przedstawiono na rys. 5.34 w trójwyiarowy układzie współrzędnych x, y, Φ. Rys. 5.34. Kształt funkcji Φ na płaszczyźnie x, y (Obliczenia wg własnego oprograowania autorskiego) Do chwili obecnej zbudowano szereg rozwiązań zagadnień brzegowych etodai analitycznyi. Część z nich przedstawiono w pracy Połubarinowej-Kociny [1977], inne w pracach Rebezy [1998]. Z punktu widzenia zastosowań praktycznych sprawiają one inżyniero trudności ze względu na skoplikowaną pod względe ateatyczny forę rozwiązań. Dlatego częściej stosowane są rozwiązania oparte na etodach nuerycznych. 5.3.3 Ścianka szczelna w gruncie przepuszczalny o nieskończonej głębokości. Dla zniejszenia prędkości wylotowych filtracji pod fundaente budowli wodnych lub ochrony wykopów zienych konstruuje się w gruncie ścianki szczelne (rys. 5.35) często z etalowych płyt profilowych. Rys. 5.35. Scheat ścianki szczelnej. Budowa siatki hydrodynaicznej dla przypadku siatki szczelnej jest istotna, w przypadku rozwiązywania praktycznych zadań opływania fundaentu budowli zienych. Sposób poszukiwania rozwiązania dla tego przypadku wynika bezpośrednio ze znalezionego rozwiązania dla przypadku zagadnienia płaskiego opływania budowli piętrzącej. 49

Rys. 5.36 Opływanie ścianki szczelnej. Gdyby w poprzednio oówiony zadaniu zaienić współrzędne x, y lub inaczej obrócić scheat zadania przedstawiony na rys. 5.8 o 9, to otrzyay przepływ zaieszczony na rys. 5.36. Rysunek ten przedstawia pionową ściankę szczelną o długości L, opływaną przez wodę gruntową pod wpływe różnicy wysokości hydraulicznej H. Uwzględniając powyższe rozuowanie, funkcję potencjału zespolonego ożna przedstawić w postaci: gdzie M i N to nieznane stałe. Przyjując warunki brzegowe jak na rys. 5.9 w punkcie B i C: w punkcie B z = ay Φ = kh, ψ =, kh w punkcie C z = il ay Φ =, ψ =. Ω = M arcsin z (5.143) N W powyższych warunkach założyliśy, że wzdłuż ścianki przepływa pierwsza linia prądu, dla której przyjęliśy wartość równą zero. Podstawiając powyższe warunki brzegowe do równania (5.9) dostajey: 1. dla punktu B: z czego dostajey: kh sin =, (5.144) M 5

kh M = nπ Kładąc n = 1 ay: M kh = ; (5.145) π. dla punktu C: kh sin kh π il =, (5.146) N dostajey więc wartość stałej N równą: N = il. (5.147) Możey więc wzór (5.143) przedstawić w postaci: z πω = sin. (5.148) il kh Podstawiając do wzoru (5.148) z = x + iy oraz Ω = Φ + iψ dostajey równanie: ( ɶ ) x + LcosΦɶ sin hψ ɶ + i y Lsin Φɶ coshψ =, (5.149) gdzie πφ Φ ɶ = oraz kh πψ Ψ ɶ =. kh Korzystając ze wzoru: ( i ) sin Φ ɶ + Ψ ɶ = sin Φɶ cosh Ψ ɶ + i cos Φɶ sinh Ψ ɶ i przyrównując część rzeczywistą i urojoną w równaniu (5.149) do zera dostajey: x = Lcos Φɶ sin hψɶ, y = Lsin Φɶ cos hψɶ. (5.15) Korzystając następnie ze wzoru jedynkowego dla funkcji trygonoetrycznych, ay: 51

x L sinh Ψɶ y L cosh Ψɶ + = 1. (5.151) Uzyskane równanie (5.151) jest równanie linii prądu, jakie stanowią elipsy o półosiach Lsinh Ψ i L cosh Ψ ɶ. Wykorzystując następnie wzór jedynkowy dla funkcji hiperbolicznych, otrzyujey: l y sin x cos = 1 Φɶ l Φɶ. (5.15) Powyższe równanie (5.15) jest równanie linii ekwipotencjalnych dla wartości Φɶ, które stanowi rodzina hiperbol o półosiach Lsin Φɶ i Lcos Φɶ. Linię prądu stanowią połówki elips (rys 5.3), natoiast linie ekwipotencjalne są hiperbolai π Rys. 5.37. Siatka hydrodynaiczna przepływu w przypadku ścianki szczelnej Na podstawie związku: dω w = dz ożey obliczyć zespoloną prędkość przepływu, która a w ty przypadku postać: w v iv kh i π = x y = L 1 + z. (5.153) Postępując podobnie jak w przypadku przepływu pod fundaente budowli piętrzącej ożey znaleźć składowe prędkości v x i v y : 5

v y v x ( ) 4 ( ) kh x y + L + x y x + y L =, π x y + L + 4x y ( ) 4 ( ) kh x y + L + x y + x y + L = Signu( x). π x y + L + 4x y (5.154) Rozkład składowych prędkości v x i v y przedstawiono na rys. 5.38 i 5.39. Na pierwszy z nich przedstawiono wykresy funkcji ( ) x v x dla y =,. l,.4 l,.6 l,.8 l,.98 l, l, przy czy rzędna na wykresie obliczana jest dla wartości π Lv kh x. π l Rys. 5.38. Rozkład prędkości vx na pozioach: kh a) y =, b) y =,L, c) y =,6L, d) y =,8L, e) y =,98L, f) y = L ; (obliczenia i wykres Maple 8). Na drugi z nich (rys.5.3) przedstawiono wykresy wartości funkcji y =,,4 L,,8 L, L v kh y dla wartości 53

Rys. 5.39. Rozkład prędkości v kh y dla: a) y =, b) y =.4L, c) y =.8L, d) y =,98L,f) y = L ; (obliczenia i wykres Maple 8). Obliczy następnie wartość ciśnienia p w obszarze filtracji przy założeniu, że wartość ciśnienia atosferycznego wynosi p a =. Aby uzyskać funkcję ciśnienia, należy określić na początku funkcję potencjału zespolonego Φ ɶ, korzystając ze wzorów (5.15). Z drugiego z nich wyznaczy funkcję sin Φɶ : Korzystając ze związku: sin Φ ɶ = y L cosh Φɶ. (5.155) Ψɶ Ψ ɶ =, (5.156) cosh sinh 1 ożey po podniesieniu do kwadratu związku (5.155) napisać: sin Φ ɶ = L y ( 1+ sinh Ψɶ ). (5.157) Podstawiając następnie związek (5.157) do równania (5.156) : sinh Ψ ɶ = x Lcos Φɶ otrzyay równanie: 54

4 x y y sin Φɶ 1 + + sin Φ ɶ + =. (5.158) L L L Rozwiązanie tego równania a postać: 1 x y x y y Φ ɶ = arcsin + + 1 + + 1 4 (5.159) L L L L L Dostajey ostatecznie: H 1 x y x y y p = ρg y + arcsin + + 1+ sign( x) + + 1 4 π L L L L L (5.16) Przykładowo rozkład ciśnienia przy przyjęciu stałych ρ = 1 kg, wartość H = 5 przedstawiono 3 na rys. 5.4. Rys. 5.4. Rozkład ciśnienia na różnych głębokościach: y/l=,b) y/l=,5, c) h/l=1,, d) y/l=1,5;(obliczenia i wykres Maple 8). Znając funkcje potencjału prędkości Φ, ożey określić funkcję potencjału R reprezentującą współdziałanie pola potencjalnego przepływu filtracyjnego z pole sił ciężkości cząstek gruntu: gdzie ( f ) ρ = 1 osg, os ρ oznacza ciężar objętościowy gruntu z uwzględnienie wyporu, ρ oznacza gęstość cieczy. ρg R = Φ y, (5.161) k 55

Korzystając ze wzoru (5.159) oraz wzoru (5.161), potencjał R, zwany potencjałe pola sił asowych filtracji, ożna wyrazić wzore: ρgh x y x y y R = arcsin + + 1 + + 1 4 y + R π L L L L L (5.16) Na podstawie związków poiędzy potencjałe pola sił asowych filtracji oraz siłai asowyi oddziaływującyi na ośrodek porowaty ożey określić składowe pola wektorowego sił asowych (siły unoszenia i ciężkości gruntu z uwzględnienie wyporu) wzorai: R g Φ Sx = = ρ, x k x R g Φ S y = = ρ. y k y Obliczając odpowiednio pochodne cząstkowe potencjału pola sił asowych filtracji dostajey: S x 3 x x y x ρgh x + + L L L L x y = + + 1 u * 8π L L u L L x y + 1+ u L L (5.163) oraz S y 3 y y x y + ρgh = y L L L L x y + + 1 u * 8π L L u L L x y * + 1 + u, L L (5.164) gdzie 4 4 x x y x y y u = + + + 1. L L L L L L 56

Korzystając z powyższych wzorów ożey uzyskać przestrzenny obraz zienności składowych sił asowych filtracji, co przedstawiono na rys. 5.41 Rys. 541. Wizualizacja wartości funkcji składowych sił asowych filtracji ; (obliczenia i wykres Maple 8 [Maple 8, 3]). Szczególnie istotne dla badania procesu stateczności filtracyjnej są składowe S y sił asowych filtracji. Ziana ich kierunku określa obszar, w który następuje upłynnienie gruntu, a w rezultacie wypór ieszaniny wodno-gruntowej. Możey więc określić, przy jakiej wielkości różnicy wysokości hydraulicznej następuje powstanie stanu granicznego powodującego upłynnienie ośrodka. 5.4 Rozwiązanie płaskich zagadnień przepływu filtracyjnego etodai nuerycznyi Metody analityczne poszukiwania rozwiązań zagadnień echaniki ośrodków ciągłych wyagają jak to zostało przedstawione powyżej, znalezienia funkcji pól potencjału prędkości, pola skalarowego funkcji prądu, które w ogólności spełniają związki konstytutywne, równania zachowania asy, pędu, i warunki brzegowe. Oprócz tych trudności dochodzi dodatkowo geoetryczna złożoność obszaru, które w wielu przypadkach unieożliwiają rozwiązanie takich zagadnień lub wyuszają odelowanie z tak daleko idącyi uproszczeniai, że często zieniają one istotę zjawiska. Obliczenia analityczne są obarczone wówczas trudny do oszacowania błęde, który podważa wiarygodność wyników. Z tego względu rozwiązania nueryczne odgrywają coraz istotniejszą rolę w obliczeniach inżynierskich oraz naukowych, szczególnie, że poprzedzone są gwałtowny rozwoje technik koputerowych, włączając w to rozwój sprzętu i prograów narzędziowych do ich stosowania. Dostępność i oc obliczeniowa koputerów osobistych oraz coraz niższe ceny oprograowania eksperckiego są dalszą zachętą do stosowania syulacji nuerycznych w iejsce klasycznych etod obliczeniowych i badań eksperyentalnych. Jednakże otrzyanie wiarygodnych wyników obliczeń nuerycznych wyaga spełnienia rygorów dotyczących zgodności odelu z fizyką zjawiska obejującą przyjęcie wyiaru przestrzeni, cech ateriałowych, zdefiniowania warunków brzegowych, itp. Następnie należy zadbać o poprawny ateatyczny opis probleu dotyczący wyboru ziennych, systeu współrzędnych, ateatycznego sforułowania warunków brzegowych i początkowych oraz ustalić, zagadnienie a być rozwiązywane za poocą równań różniczkowych czy całkowych. Stanowi to podstawę wyboru etody 57

nuerycznej, która w sposób najdogodniejszy spełni wyżej opisane wyogi. Po dokonaniu wyboru etody i wykonaniu obliczeń należy zbadać, czy zachowane zostały warunki istnienia, zbieżności i dokładności rozwiązania nuerycznego, bowie syulacje nueryczne są tylko przybliżenie rzeczywistości i należy zdawać sobie sprawę z błędu, jaki powstaje w wyniku tych obliczeń. Jedną z najpowszechniej stosowanych etod obliczeń nuerycznych jest etoda eleentów skończonych. W oparciu o tą etodę przedstawiy sposób rozwiązania podobnych zagadnień, które zostały w podrozdziale 5. rozwiązane etodai analitycznyi. 5.4.1 Rozwiązanie zagadnień etodą eleentów skończonych. Rozwój MES nastąpił w późnych latach sześćdziesiątych i siededziesiątych wraz z rozwoje techniki koputerowej, która uożliwiła rozwiązywanie bardziej złożonych zagadnień echaniki,.in. probleów nieliniowych. Lata osiedziesiąte to dalszy rozwój etody w różnych dziedzinach echaniki klasycznej, echaniki płynów i terodynaiki, nieliniowych zagadnień geoetrycznych i ateriałowych, drgań itp. W Polsce popularność tej etody została zapoczątkowana podręcznikie O.C. Zienkiewicza: Metoda Eleentów Skończonych [Zienkiewicz 197], przetłuaczony przez prof. Igora Kisiela z Politechniki Wrocławskiej. Obecnie dzięki powszechności koputerów osobistych i ich stale rosnących ocy obliczeniowych etoda eleentów skończonych jest powszechnie dostępna i wykorzystywana w nauce przez pracowników i studentów oraz przez liczne biura projektowe. Szerzej etoda opisana jest w licznych onografiach i podręcznikach Metoda eleentów skończonych zgodnie z pracą [Strzeleckiego i inni, 8] polega na dyskretyzacji kontinuu skończoną liczbą podobszarów (eleentów) zwykle o prostej geoetrii, które są ze sobą połączone w punktach nazywanych węzłai, najczęściej występującyi w narożach eleentów. W węzłach eleentów poszukiwane jest przybliżone rozwiązanie równania różniczkowego lub układu równań. Metoda eleentów skończonych dla wielu zagadnień wykazuje przewagę nad klasyczną etodą różnic skończonych, szczególnie w przypadku niejednorodności ośrodka i złożonych geoetrycznie warunków brzegowych, które są w MES spełnione w sposób naturalny. Algoryt obliczeń MES ożna przedstawić w postaci w postaci następujących etapów: dokonanie podziału obszaru rozwiązania na podobszary w postaci prostych geoetrycznie eleentów, zwykle trójkątów lub prostokątów (czworokątów) dla zagadnienia D, albo czworościanów, graniastosłupów lub prostopadłościanów w probleach trójwyiarowych; niektóre systey MES dokonują autoatyczne podziału obszaru na podobszary; wybór punktów węzłowych dla wybranego typu eleentu, w których określane będą niewiadoe wartości wielkości fizycznych. Iloczyn liczby punktów węzłowych i liczby niewiadoych w węźle stanowi wyiar układu równań algebraicznych; również ta czynność wykonywana jest najczęściej autoatycznie w prograach profesjonalnych do rozwiazywania zagadnień inżynierskich etodą MES; wybór funkcji rozkładu niewiadoych wielkości fizycznych w eleencie w zależności od wartości węzłowych; przekształcenie równań różniczkowych do układu równań algebraicznych poprzez zastosowanie funkcji wagowych; ułożenie układu równań algebraicznych dla całego obszaru na podstawie inforacji o topologii eleentów i węzłów; uwzględnienie w acierzy warunków brzegowych i początkowych poprzez odyfikację współczynników lub eliinację części równań; 58

rozwiązanie układu równań i znalezienie wartości poszukiwanych wielkości fizycznych w węzłach obszaru; dla zagadnień nieliniowych lub niestacjonarnych powtarzanie etapów 6 i 7 aż do uzyskania żądanej dokładności lub osiągnięcia wyaganej liczby kroków czasowych. Istnieje kilka sforułowań MES. Najczęściej stosuje się podejście wariacyjne, polegające na inializacji funkcjonału lub sforułowanie Galerkina oparte na etodzie ważonych reziduów (reszt). Należy podkreślić, że obie etody prowadzą do jednakowego rozwiązania, tj. zbudowania takiego saego układu równań algebraicznych. Metoda ważonych reziduów jest narzędzie rozwiązywania równań różniczkowych i posiada kilka odian. Jeśli dowolne równanie różniczkowe ważne jest w obszarze ciągły i ograniczony Ω, zapiszey sybolicznie w postaci: L( u ) = w Ω (5.165) z warunkie brzegowy B( u ) = na Γ = Γ + Γ, (5.166) 1 to wstawiając w rów.(5.165) w iejsce funkcji u( x, y, z) jej przybliżenie, otrzyujey resztę R różną od zera, bowie funkcja aproksyująca û nie spełni dokładnie równania różniczkowego: ( ) L uˆ = R. (5.167) Załóży, że funkcja û spełnia warunki brzegowe (5.166). Błąd aproksyacji R oże być inializowany (w średni sensie) przez ortogonalizację wyrażenia (5.167),tj.: gdzie w jest funkcją wagową zależną tylko od współrzędnych. R, w = w R d Ω =, (5.168) Ω Jeżeli liczba wartości poszukiwanej funkcji w węzłach jest n to należy wybrać n-liczbowo niezależnych funkcji wagowych w i (i=1,..n), z których każda usi spełnić równanie (5.168). Uzyskuje się w ten sposób odpowiednią liczbę równań algebraicznych: w i R d Ω = dla i = 1,,..., k. (5.169) Ω Metoda zaproponowana przez Galerkina jest szczególny przypadkie etody ważonych reziduów, bowie stosuje się w niej takie sae funkcje aproksyujące i wagowe, tj.: uˆ α1ϕ 1 αϕ... αnϕn = + + +, (5.17) w = β1ϕ 1 + βϕ +... + βnϕn, (5.171) 59

co z reguły prowadzi do najlepszego przybliżenia. Podstawiając powyższe wyrażenia do równania (5.169) otrzyay układ równań, których rozwiązanie da poszukiwane wartości α i. Często funkcję wagową zapisuje się w postaci: w = δ u = δα1ϕ 1 + δαϕ +... + δαnϕ n, (5.17) gdzie δαi βi, które to współczynniki są utożsaiane z wirtualnyi wielkościai fizycznyi, np. przeieszczeniai lub prędkościai. Dzięki swojej własności równoważnych funkcji aproksyacyjnych i wagowych współczynniki w układzie równań są (na ogół) syetryczne, co a duże praktyczne znaczenie przy rozwiązywaniu tego układu. Metoda Galerkina jest najczęściej wykorzystywana przy forułowaniu układów równań w etodzie eleentów skończonych. Aproksyacji funkcji u( x, y, z ) wewnątrz eleentu skończonego dokonuje się przy poocy liniowej kobinacji nieznanych wartości węzłowych i znanych funkcji bazowych (funkcji kształtu) : û = N u, (5.173) e e e gdzie: [ N, N,..., N ] e N = acierz funkcji bazowych zależnych tylko od współrzędnych dla eleentu e, 1 n [ u,u,...,u ] u = wektor poszukiwanych wartości funkcji w węzłach eleentu e. e 1 e Dla całego obszaru ożna zapisać: û = N u. (5.174) Przyjując funkcje wagowe w i, takie sae jak funkcje bazowe N i i podstawiając kolejno równanie(5.174) do równania(5.167), a następnie do (5.168), ożna stosowne równanie etody Galerkina zapisać następująco: w ( ˆ il u) d Ω= N i L( Nu ) d Ω =, i = 1,... n. (5.175) Ω Ω Zakładając, że całka po cały obszarze Ω oże być zastąpiona suą całek po eleentach, otrzyujey: Ω T N L( Nu) d Ω = L( N u ) N dω, (5.176) i e= 1 Ωe e e e 6

gdzie e - oznacza eleent skończony 5.4.1.1 Płaski fundaent zapory wodnej na podłożu o ograniczonej iąższości. Na przepuszczalnej warstwie o współczynniku filtracji k, ograniczonej linią AD spoczywa fundaent zapory wodnej o szerokości BC. Rys. 5.4 Scheat zagadnienia przepływu pod fundaente zapory wodnej. Po lewej stronie (patrz rys.5.4) zapory znajduje się zbiornik wody, w który pozio wody ponad terene wynosi H 1. Po prawej stronie ay koryto rzeki, przy czy pozio wody ponad teren w przekroju (rys. 5.4) wynosi H. W rozwiązaniu analityczny zakładaliśy, że iąższość warstwy przepuszczalnej w rozpatrywany zadaniu jest nieskończona, oraz rozciągłość warstwy przepuszczalnej w kierunku dodatni i ujeny osi x jest również nieograniczona. Dla rozpatrzenia zagadnienia nuerycznego obszar, w który dokonujey obliczeń usi być ograniczony. Przyjęto, ze warstwa przepuszczalne jest ograniczona do prostokąta ADEF, przy czy brzeg AFED jest nieprzepuszczalny dla filtracji wody natoiast zgodnie odcinki brzegu AB=CD=c są oczywiście przepuszczalne. Odcinek BC jest również nieprzepuszczalny. Do obliczeń wykorzystano progra FlexPDE [FlexPDE v.6, 1], który wykonał obliczenia zgodnie ze skrypte obliczeniowy wykonany w narzędziach tego oprograowania. Poniżej przedstawiliśy wykonany skrypt z załączonyi koentarzai. Skrypt do obliczeń przepływu pod fundaente zapory wodnej w narzędziach FlexPDE TITLE 'Oplyw fundaentu budowli pietrzacej' { Nazwa zagadnienia } Select errli=1e-3 COORDINATES cartesian { coordinate syste, 1D,D,3D, etc } VARIABLES { syste variables } FI { Funkcja potencjału predkosci } PSI DEFINITIONS {Funkcja pradu} 61

{wspólczynnik filtracji } k=1e-4! Wysokość Hydrauliczna przed i za zapora H1=15 H=!Potencjał predkości przed i za zapora FI1=-k*H1 FI=-k*H!Skladowe pola wektorowego predkosci vx=dx(fi) vy=dy(fi) v=grad(fi)!wyiary obszaru filtracji a=1 w= c=3!wysokosc hydrauliczna H=-FI/k EQUATIONS { Rownania rozniczkowe } FI: div(grad(fi))= PSI: div(grad(psi))= BOUNDARIES { Warunki brzegowe } REGION 1 START(,) natural(fi)= value(psi)=1 LINE TO (a,) TO (a,w) value(fi)=fi natural(psi)= LINE TO (a-c,w) natural(fi)= value(psi)= LINE TO (c,w) value(fi)=fi1 natural(psi)= LINE TO (,w) natural(fi)= value(psi)=1 LINE TO CLOSE MONITORS { onitoring } contour(fi) as "Wykres funkcji potencjału predkosci" PLOTS { save result displays } CONTOUR(FI,PSI) as "siatka hydrodynaiczna przeplywu" CONTOUR(FI) as "Funkcja potencjalu predkosci" CONTOUR(PSI) as "Funkcja pradu" CONTOUR(FI) as "Funkcja potencjalu predkosci" painted CONTOUR(PSI) as "Funkcja pradu" painted 6

CONTOUR(H) as "Wysokosc hydrauliczna H" painted grid(x,y) as "Siatka eleentow skonczonych" vtk(fi,h,psi,vx,vy) surface(-fi/k) as "Wykres przestrzenny wysokosci hydraulicznej" vector(vx,vy) nor as "Pole wektorowe predkosci filtracji" ELEVATION(H) FROM (,w) to (a,w) as "Wykres wysokości hydraulicznej wzdłuż brzegu y=w" ELEVATION(v) FROM (,w) to (a,w) as "wykres predkosci wzdluz brzegu y=w" END Progra wygenerował siatkę eleentów skończonych wraz z węzłai w których obliczane są poszukiwane wielkości funkcji potencjału prędkości Φ oraz funkcji prądu Ψ. Dla przyjętej dokładności obliczeń zostało wygenerowanych 66 trójkątnych obszarów co utworzyło 585 węzłów. Biorąc pod uwagę, że poszukujey dwóch funkcji daje to 117 niewiadoych w węzłach utworzonej siatki eleentów skończonych. Siatkę eleentów skończonych przedstawiono na rys. 5.43. Rys. 5.43 Siatka eleentów skończonych dla rozwiązywanego zagadnienia 63

W wyniku obliczeń nuerycznych uzyskano siatkę hydrodynaiczną przepływu, która zgodnie z założeniai teorii pokazuje, że linie ekwipotencjalne potencjału prędkości są w każdy punkcie prostopadłe do linii prądu, co uwidacznia rys. 5.44. Rys. 5.44 Siatka hydrodynaiczna przepływu Pole wektorowe prędkości filtracji przedstawiono na rys. 5.45 w narzędziach wizualizacji prograu FlexPDE [FlexPDE v.6 1] oraz w prezentacji graficznej przy użyciu oprograowania Paraview [Paraview, 18] na rys.5.46. na tle funkcji potencjału prędkości obrazowanej paletą kolorów. 64

Rys. 5.45 Pole wektorowe prędkości filtracji wizualizowane przez FlexPDE [FlexPDE v.6 1] 65

Rys. 5.46 Pole wektorowe prędkości filtracji na tle funkcji potencjału prędkości w narzędziach prograu Paraview [Paraview,18] W celu zobrazowania wektorów prędkości wzdłuż brzegu AD wykonano wykres składowej pozioej i pionowej prędkości na rys. 5.47. 66

Rys. 5.47 Wykres składowej pozioej i pionowej wektora prędkości wzdłuż brzegu AD Powyższy wykres pokazuje, że w punktach A i B wartości prędkości rosną do znacznych wielkości, co uwidoczniają wyniki rozwiązania analitycznego pokazane na wykresie 5.5. 5.4.1. Opływ ścianki szczelnej Scheat zagadnienia opływu ścianki szczelnej obrazuje rys. 5.48 67

Rys. 5.48 Opływanie ścianki szczelnej. Obliczenia zostały wykonane z wykorzystanie oprograowania FlexPDE [FlexPDE v.6., 1] tworząc skrypt obliczeniowy załączony poniżej. Skrypt do obliczeń zagadnienia opływu ścianki szczelnej w narzędziach FlexPDE TITLE 'Oplyw scianki szczelnej' { Nazwa zagadnienia } Select errli=1e-3 COORDINATES cartesian { coordinate syste, 1D,D,3D, etc } VARIABLES { syste variables } FI { Funkcja potencjału predkosci } PSI DEFINITIONS {wspólczynnik filtracji } k=1e-4 {Funkcja pradu}! Wysokość Hydrauliczna przed i za scanka szczelna H1=15 H=1!Potencjał predkości przed i za scanka szczelna FI1=-k*H1 FI=-k*H!Skladowe pola wektorowego predkosci vx=dx(fi) vy=dy(fi) 68

v=grad(fi)!wyiary obszaru filtracji a=6 w=15 c=9.8 d=1 e=5!wysokosc hydrauliczna H=-FI/k EQUATIONS { Rownania rozniczkowe } FI: div(grad(fi))= PSI: div(grad(psi))= BOUNDARIES { Warunki brzegowe } REGION 1 START(,) natural(fi)= value(psi)=1 LINE TO (a,) TO (a,d) value(fi)=fi natural(psi)= LINE TO (a-c,d) natural(fi)= value(psi)= LINE TO (a-c,e) TO (c,e) TO (c,w) value(fi)=fi1 natural(psi)= LINE TO (,w) natural(fi)= value(psi)=1 LINE TO CLOSE MONITORS { onitoring } contour(fi) as "Wykres funkcji potencjału predkosci" PLOTS { save result displays } CONTOUR(FI,PSI) as "siatka hydrodynaiczna przeplywu" CONTOUR(FI) as "Funkcja potencjalu predkosci" CONTOUR(PSI) as "Funkcja pradu" CONTOUR(FI) as "Funkcja potencjalu predkosci" painted CONTOUR(PSI) as "Funkcja pradu" painted CONTOUR(H) as "Wysokosc hydrauliczna H" painted grid(x,y) as "Siatka eleentow skonczonych" vtk(fi,h,psi,vx,vy) surface(-fi/k) as "Wykres przestrzenny wysokosci hydraulicznej" vector(vx,vy) nor as "Pole wektorowe predkosci filtracji" ELEVATION(H) FROM (a-c,d) to (a,d) as "Wykres wysokości hydraulicznej wzdłuż brzegu y=w" ELEVATION(v) FROM (a-c,d) to (a,d) as "wykres predkosci wzdluz brzegu y=w" END 69

Progra wygenerował siatkę eleentów skończonych wraz z węzłai w których obliczane są poszukiwane wielkości funkcji potencjału prędkości Φ oraz funkcji prądu Ψ. Dla przyjętej dokładności obliczeń zostało wygenerowanych 6 trójkątnych elentów zawierajacych 583 węzłów. Biorąc pod uwagę, że poszukujey dwóch funkcji daje to 1166 niewiadoych w węzłach utworzonej siatki eleentów skończonych. Siatkę eleentów skończonych przedstawiono na rys. 5.49. Rys. 5.49 Siatka eleentów skończonych dla rozwiązywanego zagadnienia W wyniku obliczeń nuerycznych uzyskano siatkę hydrodynaiczną przepływu, która zgodnie z założeniai teorii pokazuje, że linie ekwipotencjalne potencjału prędkości są w każdy punkcie prostopadłe do linii prądu, co uwidacznia rys. 5.5. 7

Rys. 5.5 Siatka hydrodynaiczna przepływu Pole wektorowe prędkości filtracji przedstawiono na rys. 5.51 w narzędziach wizualizacji prograu FlexPDE [FlexPDE v.6, 1] oraz w prezentacji graficznej przy użyciu oprograowania Paraview [Paraview,18] na rys.5.5. na tle funkcji potencjału prędkości obrazowanej paletą kolorów. Rys. 5.51 Pole wektorowe prędkości filtracji wizualizowane przez FlexPDE 71

Rys. 5.5 Pole wektorowe prędkości filtracji na tle funkcji potencjału prędkości w narzędziach prograu Paraview [Paraview, 18] W celu zobrazowania wektorów prędkości wzdłuż brzegu DC wykonano wykres składowej pozioej i pionowej prędkości na rys. 5.53 Rys. 5.53 Wykres składowej pozioej i pionowej wektora prędkości wzdłuż brzegu AD Powyższy wykres pokazuje, że w punkcie wzdłuż linii brzegowej DC prędkość a tylko składową pionową i wartości prędkości w punkcie D są aksyalne a następnie aleją wraz odległością od ścianki szczelnej. Ponieważ wektory prędkości są skierowane pionowo w górę i skierowane przeciwnie do działania sił grawitacji obszar przyległy do ścianki szczelnej jest narażony na utratę stateczności filtracyjnej. Na rys. 5.54 przedstawiono wykres potencjału stateczności filtracyjnej w badany przypadku. Wartość potencjału stateczności wyraża się wzore: 7

S H = + g *( ρ ρ ) y y g w (5.177) Rys. 5.54 Wykres potencjału stateczności filtracyjnej Ponieważ jak widać z wykresu potencjał stateczności filtracyjnej nie zienia znaku nie występuje niebezpieczeństwo utraty stateczności filtracyjnej. 5.5 Rozwiązania analityczne przepływów nieustalonych. 5.5.1 Zagadnienie Bousinessqa. Rozważy przypadek przepływu swobodnego w trójwyiarowej przestrzeni x,y,z. Płaszczyzna x,y, znajduje się na granicy warstwy przepuszczalnej i nieprzepuszczalnej. W teorii Boussinesqu a opisującej przepływ nieustalony przyjuje się następujące założenia: 1. ośrodek, przez który następuje przepływ jest jednorodny i izotropowy,. przepływ odbywa się w zakresie liniowego prawa przepływu Darcy ego (ruch lainarny), 3. wysokość hydrauliczna wzdłuż wyciętego z obszaru prostopadłościanu jest w każdy punkcie jednakowa i równa wysokości tego prostopadłościanu (rys. 5.3), 4. własności filtracyjne określa stały w cały obszarze współczynnik filtracji k, 5. prędkość filtracji jest wektore dwuwyiarowy o składowych v x i v y odpowiednio w kierunku osi x i y spełniających równania Dupuit: H H v = k i v = k x y x y, (5.178) 6. do powierzchni swobodnej dopływają wody infiltracyjne o wydatku infiltracji inf Q, 7. wydatek infiltracji przypadający na obszar eleentarny równy jest: 73

Qinf = εdxdy, (5.179) gdzie ε określa prędkość dopływu wód infiltracyjnych zwana dalej intensywnością infiltracji, obszar filtracji zienia się w czasie, co na rysunku 5.55 reprezentuje podniesienie się zwierciadła wody w przedziale czasu dt o wielkość dh, 8. przez podstawę prostopadłościanu nie występuje przepływ ponieważ zakładay, że jest to brzeg nieprzepuszczalny Rys 5.55 Scheat obrazujący założenia teorii Boussinesqu a. Całkowity przyrost wydatku Q stanowi suę przyrostu wydatków przepływających w kierunku osi x, y i z, więc: dq = dqx + dqy + dqz. (5.18) Przyrost wydatku w kierunku osi z ze względu na brak przepływu przez podstawę prostopadłościanu eleentarnego wynosi: dq = Q = εdxdy. (5.181) z inf Znak inus oznacza kierunek przeciwny wektora intensywności infiltracji ε w odniesieniu do osi y Obliczy przyrost wydatku dq x : Q = F v, x x x przy czy 74

H F x = dyh oraz vx = k, (5.18) x więc H dqx = kh dy dx. x x Ponieważ k jest wielkością stałą, a y jest zienną niezależną od x, więc: H dqx = k H dxdy. (5.183) x x Podobnie obliczyy przyrost wydatku dq y ze wzoru: H dqy = k H dxdy. (5.184) y y Całkowity przyrost wydatku przepływającego przez obszar eleentarny wynosi: H H dq = k H dxdy + k H dxdy ε dxdy. (5.185) x x y y Ziana wydatku dq w czasie dt w obszarze filtracji powoduje wzrost lub ubytek całkowitej objętości fazy ciekłej w obszarze filtracji: dv dq =, (5.186) dt gdzie dv określa przyrost objętości obszaru eleentarnego, który ożna wyrazić wzore: dv = dqdt. Zianę objętości dv ożey w przybliżeniu obliczyć ze wzoru: dv = µ dhdxdy, (5.187) e gdzie µ e jest współczynnikie porowatości efektywnej; znak inus wynika z faktu, że przyrostowi wydatku dodatnieu obliczonego wzore (5.185) towarzyszy ubytek wynikający ze wzoru (5.187) Ponieważ dh określa przyrost wysokości hydraulicznej w czasie dt, ożey uwzględniając fakt, że przyjęty przez nas układ odniesienia jest układe Lagrange a, zapisać: 75

dh H = dt, t więc: dv H = µ e t dxdydt. (5.188) Korzystając z powyższych wzorów ożna zapisać: H H H µ e dxdydt = k H + k H + ε dxdydt. (5.189) t x x y y Dzieląc obie strony równania przez dxdydt dostajey ostatecznie równanie Boussinesqa w postaci: H H H µ e k H k = + H + ε. (5.19) t x x y y W przypadku braku infiltracji równanie Boussinesqu a sprowadza się do równania Dupuit dla przypadku przepływu przestrzennego (odel dwuwyiarowy przepływu trójwyiarowego). Powyższe równanie (5.19) jest nieliniowe i z tego powodu istnieją trudności w jego rozwiązywaniu. W taki przypadku poszukuje się równania liniowego, które daje rozwiązania zbliżone do równania oryginalnego. Poszukiwanie takiego równania nazywa się procese linearyzacji, a ekwiwalentne równanie liniowe równanie zlinearyzowany Boussinesqu a. 5.5.1.1 Płaskie zadanie teorii Bousinessqa Powyżej zostało wyprowadzone równanie Bousinessqa), które dla płaskiego przepływu swobodnego a postaci: H H µ e k H ε =, (5.191) t x x Rozwiążey zagadnienie płaskiego przepływu nieustalonego. Proble ten nie zostanie rozwiązany dla przypadku ogólnego. Rozwiążey jedno z najprostszych zagadnień brzegowych, wprowadzając szereg założeń upraszczających. Rozważać będziey warstwę gruntu o ograniczonej iąższości, spoczywającą na pozioej warstwie nieprzepuszczalnej. Warstwa przepuszczalna jest izotropowa i jednorodna w całej swojej rozciągłości. Pozio wody w rozważanej warstwie w chwili początkowej jest jednakowy względe granicy warstw i wynosi H (rys.5.56). W chwili t= rozpoczynay wpopowywanie wody ze stały wydatkie Q do rowu sięgającego do warstwy nieprzepuszczalnej i przecinającego naszą warstwę przepuszczalną. Na skutek podnoszenia się wody w rowie występuje nieustalony przepływ wody przez warstwę przepuszczalną. Naszy zadanie będzie określenie ewolucji zwierciadła swobodnego w czasie. 76

Równanie Bousinessqa jest nieliniowe. Aby uzyskać rozwiązanie tego równania w postaci zakniętej dokonay linearyzacji tego równania zgodnie z poysłe Boussinesqa. Wysokość położenia zwierciadła wody H ożey wyrazić wzore: H = z + h (5.19) gdzie z określa położenie wody względe jego położenia początkowego w chwili t=. Rys. 5.56 Scheat zadania płaskiego przepływu nieustalonego. Poijając infiltrację ε oraz uwzględniając (5.19) w równaniu Boussinesqa dostajey: ( ) ( ) z h z h µ + e k ( z + h ) + = t x x. (5.193) z Załóży następnie, że z jest ałe w stosunku do H. Więc człon równania z jest ały w x x porównaniu z pozostały członai równania i ożna go poinąć. Uwzględniając powyższe założenia, równanie wyjściowe upraszcza się do postaci: z x z t a =, (5.194) gdzie: a µ kh e =. (5.195) Otrzyane równanie (5.194) jest równanie różniczkowy drugiego stopnia o pochodnych cząstkowych, którego postać jest identyczna pod względe ateatyczny z równanie przewodnictwa cieplnego Fouriera. Należy ono do rodziny równań parabolicznych. Aby przystąpić do rozwiązania zadania, konieczne jest sforułowanie warunków granicznych. 77

Warunek początkowy wynika bezpośrednio z przyjętego założenia, że położenie zwierciadła wody w chwili t= znajdowało się na wysokości H względe warstwy nieprzepuszczalnej, więc: dla t z =. (5.196) Pierwszy warunek brzegowy określiy z warunku, że wydatek Q wpływający do ośrodka odniesiony do jednostki długości rowu określa wzrost objętości wody poiędzy zwierciadłe wody w gruncie w dowolnej chwili t i zwierciadłe swobodny w chwili początkowej (rys.5.57). Rys. 5.57 Ilustracja pierwszego warunku brzegowego. Wzrost objętości wody w eleencie dx i szerokości jednostkowej wynosi: dv z = µ e dtdx. t Wzrost objętości cieczy w jednostce czasu dla paseczka o długości dx wynosi: dv dt z = µ e dx. t Całkowity wzrost objętości cieczy wpływającej do ośrodka po jednej stronie rowu w jednostce czasu równa się połowie wydatku wprowadzonego do rowu: z Qη ( t) = µ e dx, (5.197) t gdzie η(t) określa pseudofunkcję Heavisidea [rys.5.58]. 78