OELOANIE INŻYNIERKIE INN 896-77X s. -8 liwice 6 ANALIZA RAŃ ŁANYCH PŁYT PIERŚCIENIOYCH O KOKOO ZIENNEJ RUBOŚCI TANIŁA KUKLA ARIUZ ZECZYK Instytut temtyki i Infomtyki Politechnik Częstochowsk teszczenie. Pzestwion pc otyczy zgnieni osiowosymetycznych gń włsnych płyt pieścieniowych o skokowo zmienne gubości. Rozwiąznie zgnieni otzymno pzez poził ozwżne płyty n elementy któymi są płyty pieścieniowe o stłych gubościch. okłne ozwiąznie zgnieni uzyskno stosuąc metoę funkci een. Pzestwiono wyniki bń numeycznych wpływu skokowe zminy gubości płyty n gni włsne.. TĘP Zgnieni gń włsnych płyt pieścieniowych są pzemiotem bń wielu pc (np. pce [ ]. pcch tych pzestwiono wyniki bń teoetycznych i numeycznych gń włsnych płyt pieścieniowych o gubości zmieniące się wzłuż pomieni płyty. Rozwiązni postwionych zgnień gń uzyskno stosuąc metoy pzybliżone: metoę elementów skończonych [] lub metoę Ryleigh-Ritz [ ]. pcy [] ozwżno poblem gń płyty pieścieniowe o stłe gubości popte n współśokowych pieścienich spężystych. Rozwiąznie zgnieni otzymno wykozystuąc włsności funkci een. Niniesz pc otyczy osiowosymetycznych gń włsnych płyt pieścieniowych o skokowo zmienne gubości. Rozwiąznie zgnieni gń otzymno okonuąc poziłu ozwżne płyty n płyty pieścieniowe o stłych gubościch. oel mtemtyczny obemue płyty skłące się z owolne skończone liczby płyt pieścieniowych o stłych gubościch. opisie mtemtycznym gń płyty złożone połączeni sąsiuących płyt o stłe gubości wzłuż ich wspólnego bzegu zpewnione są pzez wunki ciągłości. Równni uchu płyty i wunki ciągłości uzupełnią opowienie wunki bzegowe. Rozptzono płyty swobonie popte swobone i sztywno zmocowne n bzegch zewnętznym i wewnętznym płyty złożone. okłne ozwiąznie zgnieni gń włsnych otzymno stosuąc metoę funkci een. Funkce een opowiące ozwżnym płytom pieścieniowym wyznczono ozwiązuąc opowienie zgnieni pomocnicze. Równnie częstości gń płyty o skokowo zmienne gubości otzymno wykozystuąc wunki ciągłości. ykozystuąc otzymne w postci nlityczne ozwiąznie zgnieni gń wykonno bni numeyczne wpływu pmetów chkteyzuących płytę n częstości gń
. KUKLA. ZECZYK włsnych. Rozptzono pzypki płyt pieścieniowych o skokowo zmienne gubości skłących się z wóch lub wielu płyt o stłe gubości.. FORUŁOANIE I ROZIĄZANIE ZAANIENIA Rozwżmy płytę pieścieniową o skokowo zmienne gubości (ys.. Zkłmy że zmin gubości płyty nstępue wzłuż (n koncentycznych okęgów któe zielą płytę n n elementów płyt o stłych gubościch h oz o pomienich - gzie - < ( n. Rys.. Pzekó popzeczny płyty pieścieniowe skłące się z n elementów o stłych gubościch Osiowosymetyczne gni -tego elementu czyli pieścieniowe płyty enoone o stłe gubości opisue nstępuące ównnie óżniczkowe: w ( w q h s δ( m δ ( sδ( mδ ( t gzie w w ( t est wychyleniem popzecznym płyty sztywnością zginni płyty q q( t funkcą opisuącą ozkł obciążeni płyty n enostkę powiezchni gęstością płyty h gubością płyty ntomist s s (t est siłą tnącą m m (t momentem gnącym pzy czym s m s n m n. ystępuąc po pwe stonie ównni δ( ozncz ystybucę ic. Równni óżniczkowe ( uzupełnione są opowienimi wunkmi bzegowymi: w n [ w ] ( oz wunkmi ciągłości: w t [ ] n n ( w ( t w ( t w ( t n ( Rozwżąc swobone gni hmoniczne pzymuemy q oz iω iω t iω t w t e s ( t e m ( t e ( ( ( t gzie ω est częstością gń włsnych ukłu. Po ozzieleniu zmiennych oz wpowzeniu wielkości bezwymiowych / i / ównnie ( oz wunki ciągłości ( pzymuą postć:
ANALIZA RAŃ ŁANYCH PŁYT PIERŚCIENIOYCH O KOKOO ZIENNEJ... [ ] ( ( ( ( δ δ δ δ L (5 ( ( ( ( n (6 gzie [ ] ( L oz ( h ω / / / i / n. lsze części pcy opuszczone zostły keski n litemi. Rozwiąznie ównni (5 wyznczymy wykozystuąc włsności funkci een. Funkce een opeto L l wybnych wunków bzegowych wyznczono w nstępnym ozzile pcy. Zkłąc że funkc een est znn ozwiąznie ównni (5 możn pzestwić w postci: ( ( ( ( ( (7 Uwzglęniąc (7 w wunkch ciągłości (6 otzymue się ukł (n ównń z niewiomymi (...n : ( ( ( ( ( ( ( ( (8 ( ( ( ( ( ( ( ( ( (9 pzy czym n n. Ukł ten zpisuemy w postci mciezowe X A ( gzie [ ] T n n X.... Równnie ( m nietywilne ozwiąznie wtey i tylko wtey gy ( et ω A (
. KUKLA. ZECZYK unek ( stnowi ównnie częstości gń włsnych ukłu. Równnie to est ozwiązywne numeycznie wzglęem ω.. FUNKCJE REENA Rozwżmy osiowosymetyczne gni enoone płyty pieścieniowe o stłe gubości. Zkłmy że bzeg zewnętzny ( te płyty est swobony bzeg wewnętzny ( b swobonie popty. Funkc een opowiąc te płycie est ozwiązniem nstępuącego ównni óżniczkowego: [ ( ] δ ( L ( hω gzie L [ ] oz. Ponto funkc spełni wunki bzegowe: ν ( b ν ( gzie ν est współczynnikiem Poisson. Rozwiąznie ównni ( możn pzestwić w postci sumy []: ( ( ( H ( (5 gzie funkc est ozwiązniem ównni enoonego: L [ ] (6 ntomist iloczyn ( H ( ( est ozwiązniem szczególnym ównni ( (H ozncz funkcę Hevisie. ożn pokzć że funkc est ozwiązniem ównni enoonego (6 spełniącym wunki: oz Poniewż ozwiąznie ogólne ównni (6 m postć: ( cj ( ci ( cy ( ck( (8 więc wyzncząc stłe c c c c z wunków (7 otzymue się: π ( ( I ( K ( I ( K ( ( J ( Y ( J ( Y ( (9 ystępuące w ównnich (8 9 funkce J Y i I K są opowienio funkcmi Bessel i zmoyfikownymi funkcmi Bessel zęu. Funkc m nstępuącą postć: ( CJ ( CI ( CY ( CK ( ( b (7
ANALIZA RAŃ ŁANYCH PŁYT PIERŚCIENIOYCH O KOKOO ZIENNEJ... 5 pzy czym stłe C C C C wyznczmy uwzglęniąc (9 i ( w (5 nstępnie wykozystuąc wunki bzegowe (-. Pzymuąc b < otzymuemy funkcę w postci: ν ( ( J( ( Ψ( ( b I( b Y( b ( ν Φ( b Ψ( b gzie: ( b K( b Y( b ( ν Φ( b Ψ( ( ( ( ν I Ψ ( ( b J ( b K ( b ( ν Φ ( b Ψ ( bπ ν b ( K ( b Y ( b ( ν Φ ( b Ψ ( b ( Y ( ( Ψ ( ( b I ( b J ( b ( ν Φ ( b Ψ ( ( b J( b K( b ( ν Φ( b Ψ( ( ( ( ν K Ψ ( ( b I ( b J ( b ( ν Φ ( b Ψ ( bπ ( bi ( b Y ( b ( ν Φ ( b Ψ ( ( ( by( b ( ν Y( b Ψ( b ( bj( b ( ν J( b Ψ( b ( ν ( K ( b Ψ ( b I ( b Ψ ( b π oz Ψ Φ ( J ( z I ( z J ( z I ( z Φ ( J ( z K ( z J ( z K ( z z z Φ ( Y ( z I ( z Y ( z I ( z Φ ( Y ( z K ( z Y ( z K ( z Ψ Ψ Ψ z z ( u z J( z K( z ( uφ( u ( ν J( u I( u I ( z ( uφ ( u ( ν J ( u K ( u ( u z Y( z K( z ( uφ( u ( ν Y( u I( u I ( z ( uφ ( u ( ν Y ( u K ( u π J ( u z I ( z ( Y ( z ( u Φ ( u ( ν J ( u I ( u π J ( z ( u Φ ( u ( ν Y ( u I ( u ( u z K ( z ( Y ( z ( u Φ ( u ( ν J ( u K ( u ( z ( u Φ ( u ( ν Y ( u K ( u Osttecznie funkcę een opowiącą płycie o bzegu zewnętznym ( swobonym i bzegu wewnętznym swobonie poptym ( b (płyt -F otzymue się uwzglęniąc (9 i ( w (5. Funkcę een g opowiącą płycie F- (b > możn pzestwić wykozystuąc wyznczone wcześnie funkce i l płyty -F. ezultcie otzymue się g ( ( ( ( H( (
6. KUKLA. ZECZYK yznczone powyże funkce een l płyt F- i -F wykozystne są w ozwiąznich zgnień gń opowienich elementów bne płyty złożone. Funkce een l innych typów płyt wyznczone zostły w pcch [ ].. PRZYKŁAY NUERYCZNE Rozwżmy płytę pieścieniową o bzegu wewnętznym ( b swobonym i bzegu zewnętznym ( sztywno zmocownym (F-C. Zmin gubości płyty nstępue wzłuż okęgu o pomieniu c. Płyt zostł pozielon n w elementy (Rys.. Tbeli zebno bezwymiowe częstości gń włsnych płyty F-C otzymne pezentowną metoą funkci een oz metomi elementów skończonych i Ryleigh-Ritz []. b Rys.. Płyt pieścieniow pozielon n w elementy F-C b F- Tbel. Bezwymiowe częstości gń włsnych h / płyty F-C meto elementów skończonych meto Ryleigh-Ritz meto funkci een h / h.6 b/...7 c/..5.8.5.8.8 9.9699.95 8.756.5.6568 5.68 9.866 9.956 7.87.55.7 5.75 9.98899. 8.9.558.6686 5.7 Poobnie wykonno bni numeyczne l płyty pieścieniowe o bzegu wewnętznym ( b swobonym i bzegu zewnętznym ( swobonie poptym (F-. Płyt zmieni swą gubość wzłuż okęgu o pomieniu c. Płyt zostł pozielon n w elementy (Rys. b. N ysunku pzestwiono częstości gń włsnych tkie płyty ko funkce stosunku gubości skłowych płyt pieścieniowych o stłych gubościch. Obliczeni wykonno l óżnych wtości pomieni c okęgu wzłuż któego nstępue zmin gubości płyty. Osttni pzykł otyczy gń płyty pieścieniowe o bzegch swobonych (F-F. otkowo zkł się że płyt est swobonie popt wzłuż okęgu o pomieniu c zmin gubości płyty nstępue wzłuż okęgu o pomieniu. Płyt t zostł pozielon n
ANALIZA RAŃ ŁANYCH PŁYT PIERŚCIENIOYCH O KOKOO ZIENNEJ... 7 tzy elementy (Rys.. Częstości gń włsnych płyty otzymne metoą funkci een zostły poównne z wynikmi pezentownymi w pcy [] któe uzyskno metoą Ryleigh-Ritz (Tbel. szystkie obliczeni zostły pzepowzone l ν....7 c/.6 c/.7 c/.8 8.5 7.5. 6.5. 5.5.8.5..5. h / h.5.5..5. h / h Rys.. wie piewsze bezwymiowe częstości gń włsnych pieścieniowe F- b/. h ω płyty / Rys.. Płyt pieścieniow F-F swobonie popt wzłuż wewnętznego okęgu pozielon n tzy elementy 5. POUOANIE tosuąc metoę funkci een otzymno ozwiąznie okłne zgnieni gń włsnych płyt pieścieniowych o skokowo zmieniące się gubości. Pzestwione ozwiąznie obemue osiowosymetyczne gni włsne płyt pieścieniowych l óżnych pzypków wunków bzegowych oz owolne skończone liczby płyt skłowych. Zstosownie pzestwione metoy pozwl wykozystć wcześnie wyznczone funkce een l ozwiązni óżnych poblemów gń płyt pieścieniowych i kołowych.
8. KUKLA. ZECZYK Tbel. Częstości gń włsnych h / płyty pieścieniowe F-F otzymnych metoą Ryleigh-Ritz (kusyw i metoą funkci een h / h.6 h / h.8 b/ c/ / /..6.8..5.7...679.8.69.65..9.7.6.8.67..9. 5.878 6.77 5.97 5.78 5.97 6.9 5. 5.79..5.75 5.6.9.7 5..9.6 7. 6.6 7. 6.6 sfomułowniu i ozwiązniu zgnieni uwzglęniono występownie swobonych popć wzłuż koncentycznych okęgów ozmieszczonych w obębie płyty. yniki otzymne pezentowną metoą zostły poównne z wynikmi otzymnymi pzez innych utoów metoą elementów skończonych i metoą Ryleigh-Ritz. ob zgoność wyników potwiez popwność pzestwione metoy. Anliz wyników numeycznych wskzue że stosunek gubości elementów płyty pieścieniowe k i pomień zminy gubości płyty mą znczący wpływ n częstości gń włsnych płyty złożone. LITERATURA.. R. Avlos H. A. Lono V. onzogni P. A. A. Lu: A genel ppoximte solution of the poblem of fee vibtions of nnul pltes of steppe thickness. Jounl of oun n Vibtion 96 996 s. 75-8.. R. H. utieez P. A. A. Lu: Funmentl fequency of n nnul cicul plte of non-unifom thickness n n intemeite concentic cicul suppot. Jounl of oun n Vibtion 999 s. 775-779... Kukl. zewczyk: Appliction of een s function metho in fequency nlysis of xisymmetic vibtion of nnul pltes with elstic ing suppots. cientific Resech of the Institute of themtics n Compute cience Częstochow 5 s. 79-86... Kukl. zewczyk: The een s functions fo vibtion poblems of cicul pltes with elstic ing suppots. cientific Resech of the Institute of themtics n Compute cience Częstochow s. 67-7. VIBRATION ANALYI OF ANNULAR PLATE OF TEPPE THICKNE ummy. The ppe concens xisymmetic vibtion of nnul pltes of steppe thickness. olution to the poblem ws obtine by iviing of consiee plte into nnul pltes of unifom thickness. Exct solution to the ntul vibtion poblem ws obtine by using een s function metho. Fequency eqution of vibtion poblem of plte with steppe thickness ws by using continuity conitions.