Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice

Podobne dokumenty
Geometrická nelinearita: úvod

kontaktní modely (Winklerův, Pasternakův)

Teorie plasticity. Varianty teorie plasticity. Pružnoplastická matice tuhosti materiálu

Vybrané kapitoly z matematiky

Kapitola 4: Soustavy diferenciálních rovnic 1. řádu

Funkce zadané implicitně. 4. března 2019

Obecná orientace (obvykle. Makroskopická anizotropie ( velmi mnoho kluzných rovin )

1 Soustava lineárních rovnic

Necht je funkce f spojitá v intervalu a, b a má derivaci v (a, b). Pak existuje bod ξ (a, b) tak, že f(b) f(a) b a. Geometricky

Aproximace funkcí 1,00 0,841 1,10 0,864 1,20 0,885. Body proložíme lomenou čarou.

Geometrická nelinearita: úvod

Stavový popis Stabilita spojitých systémů (K611MSAP) Katedra aplikované matematiky Fakulta dopravní ČVUT. čtvrtek 20. dubna 2006

Kristýna Kuncová. Matematika B2

Matematika 2, vzorová písemka 1

Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Mocninné řady 1 / 18

Co nám prozradí derivace? 21. listopadu 2018

Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.

Jednoduchá zobrazení. Podpořeno z projektu FRVŠ 584/2011.

DFT. verze:

(1) Derivace. Kristýna Kuncová. Matematika B2 17/18. Kristýna Kuncová (1) Derivace 1 / 35

Diferenciální rovnice základní pojmy. Rovnice se

Inverzní Z-transformace

Numerické metody 8. května FJFI ČVUT v Praze

Určitý (Riemannův) integrál a aplikace. Nevlastní integrál. 19. prosince 2018

Kristýna Kuncová. Matematika B3

5. a 12. prosince 2018

Cauchyova úloha pro obyčejnou diferenciální rovnici

MATEMATIKA 3. Katedra matematiky a didaktiky matematiky Technická univerzita v Liberci

Elementární funkce. Edita Pelantová. únor FJFI, ČVUT v Praze. katedra matematiky, FJFI, ČVUT v Praze

x2 + 2x 15 x 2 + 4x ) f(x) = x 2 + 2x 15 x2 + x 12 3) f(x) = x 3 + 3x 2 10x. x 3 + 3x 2 10x x 2 + x 12 10) f(x) = log 2.

Sb ırka pˇr ıklad u z matematick e anal yzy II Petr Tomiczek

Obsah. 1.2 Integrály typu ( ) R x, s αx+β

Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19

FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:

FAKULTA STAVEBNÍ. Stavební statika. Telefon: WWW:

Rovnice proudění Slapový model

Tvarová optimalizace pro 3D kontaktní problém

Numerické metody minimalizace

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava

Úvodní informace. 18. února 2019

Anna Kratochvílová Anna Kratochvílová (FJFI ČVUT) PDR ve zpracování obrazu / 17

(13) Fourierovy řady

Komplexní analýza. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze Martin Bohata Komplexní analýza Úvod 1 / 32

Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Vzorové otázky 1 / 36

Metody, s nimiž se seznámíme v této kapitole, lze použít pro libovolnou

Stabilitní analýza pružnoplastického prutu

Edita Pelantová, katedra matematiky / 16

Průvodce studiem V této kapitole se budeme zabývat diferenciálním počtem pro funkce více

Kapitola 2. Nelineární rovnice

Teorie. kuncova/ Definice 1. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže existuje.

Numerické metody a statistika

Matematické modelování elmg. polí 2. kap.: Magnetostatika

Stochastické modelování v ekonomii a financích Konzistence odhadu LWS. konzistence OLS odhadu. Předpoklady pro konzistenci LWS

Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd Katedra matematiky

Kombinatorika a grafy I

Matematická analýza 2. Kubr Milan

fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.

Základní elektrotechnická terminologie,

Definice Řekneme, že PDA M = (Q,Σ,Γ,δ,q 0,Z 0,F) je. 1. pro všechna q Q a Z Γ platí: kdykoliv δ(q,ε,z), pak δ(q,a,z) = pro všechna a Σ;

czastkowych Państwo przyk ladowe zadania z rozwiazaniami: karpinw adres strony www, na której znajda

(a). Pak f. (a) pro i j a 2 f

GEM a soustavy lineárních rovnic, část 2

Niektóre zastosowania całki krzywoliniowej niezorientowanej 1.Długość l łuku zwykłego gładkiego Γ

(2) Funkce. Kristýna Kuncová. Matematika B2. Kristýna Kuncová (2) Funkce 1 / 25

Matematika III Stechiometrie stručný

Laplaceova transformace

Fyzika laserů. Kvantová teorie laseru. 22. dubna Katedra fyzikální elektroniky.

Okrajový problém podmínky nejsou zadány v jednom bodu nejčastěji jsou podmínky zadány ve 2 bodech na okrajích, ale mohou být

studijní text Jaroslav Vlček Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB-TU Ostrava

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

B. Patzák verze 01. Direct Approach to FEM

FAKULTA STAVEBNÍ JOSEF DALÍK NUMERICKÉ METODY II

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 187

FAKULTA STAVEBNÍ NUMERICKÉ METODY II

x y (A)dy. a) Určete a načrtněte oblasti, ve kterých je funkce diferencovatelná. b) Napište diferenciál funkce v bodě A = [x 0, y 0 ].

MATEMATIKA 1 ALEŠ NEKVINDA. + + pokud x < 0; x. Supremum a infimum množiny.

Matematika (KMI/PMATE)

Katedra stavebních hmot a hornického stavitelství VŠB - Technická univerzita Ostrava Pavel Mec

1 Předmluva Značení... 3

Stabilita proudění. Matematický ústav, Univerzita Karlova. 7. května 2015

Katedra aplikované matematiky FEI VŠB Technická univerzita Ostrava

studijní text Jaroslav Vlček Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB-TU Ostrava

Paralelní implementace a optimalizace metody BDDC

v = v i e i v 1 ] T v =

Matematyczne Metody Fizyki II

Matematická analýza II pro kombinované studium. Konzultace první a druhá. RNDr. Libuše Samková, Ph.D. pf.jcu.cz

Univerzita Palackého v Olomouci

Obsah. 1 Konstrukce (definice) Riemannova integrálu Výpočet Newtonova Leibnizova věta Aplikace výpočet objemů a obsahů 30

Petr Beremlijski, Marie Sadowská

Periodický pohyb obecného oscilátoru ve dvou dimenzích

Mendelova univerzita v Brně user.mendelu.cz/marik

Operace s funkcemi [MA1-18:P2.1] funkční hodnota... y = f(x) (x argument)

7. Aplikace derivace

IEL Přechodové jevy, vedení

Fakulta elektrotechnická. Algoritmy pro

3. Znaleźć długość krzywej l = {y = x, 0 x 1}. 4. Obliczyć objętość bryły powstałej w wyniku obrotu dookoła osi OX krzywej

Obsah. Zobrazení na osmistěn. 1 Zobrazení sféry po částech - obecné vlastnosti 2 Zobrazení na pravidelný konvexní mnohostěn

Rachunek całkowy funkcji wielu zmiennych

podle přednášky doc. Eduarda Fuchse 16. prosince 2010

Transkrypt:

Energetické principy a variační metody ve stavební mechanice Přetvárná práce vnějších sil Přetvárná práce vnitřních sil Potenciální energie Lagrangeův princip Variační metody Ritzova metoda 1

Přetvárná práce vnějších sil (1) F a b w w(b) Přetvárná práce v. s.: F df F dle Le d L e = F (w) d w, (1) L e = w 0 F (w) d w. (2) w dw w(b) 2

Přetvárná práce vnějších sil (2) Lineárně pružná odezva konstrukce: F F df dle Le w Clapeyronova věta: L e = 1 F w. (3) 2 dw w(b) 3

Přetvárná práce vnějších sil (3) Lagrangeova věta: Z (2) plyne: F = F (w) = d L e d w (4) a pro případ obecného počtu sil: F i = L e u i, (5) 4

Přetvárná práce vnějších sil (4) a F w Le * F b w(b) Doplňková (komplementární) přetvárná práce v. s.: d L e = w(f ) d F, (6) L e = F 0 w(f ) d F. (7) F df dle * Pro lineárně pružnou odezvu konstrukce: dw w(b) w L e = L e = 1 F w. (8) 2 5

Přetvárná práce vnějších sil (5) Přetvárná práce vnějších sil L e : práce vnějších sil vykonaná v průběhu zatěžování. Komplementární přetvárná práce vnějších sil L e : práce nutná k tomu, aby působení síly F na dráze w mělo statický charakter (možno představit jako práci brzdící síly působící proti F na dráze w); práce nutná k navrácení konstrukce do nedeformované polohy. L e + L e = F w. (9) 6

Přetvárná práce vnějších sil (6) Castiglianova věta: Z (7) plyne: w = w(f ) = d L e d F (10) a pro případ obecného počtu sil: w i = L e F i, (11) 7

Castiglianova metoda určování deformací Ze znalosti Castiglianovy věty w = d L e d F a znalosti Π i = L e lze psát: w i = Π i F i. (12) Dosazením za Π i a úpravou lze získat vztah pro výpočet deformace nosníku pod silou (bez vlivu práce posouvajících sil): w i = L 0 N E A N F i dx + L 0 M E I M F i dx (13) 8

Potenciální energie vnitřních sil Dokonale pružné těleso plně akumuluje energii odpovídající vykonané přetvárné práci: Π i = L e (14) 9

Přetvárná práce vnitřních sil Vnitřní síly brání deformaci, proto: L i = L e (15) a L i 0 (16) tedy: Π i = L i. (17) 10

Deformační energie (1) Příspěvek normálových napětí: σ dσ σ W* * dw dw W ε W σ = Wσ = ε 0 σ 0 σ(ε) d ε, (18) ε(σ) d σ. (19) Příspěvek smykových napětí: dε W ε = Wε = γ 0 τ 0 τ(γ) d γ, (20) γ(τ) d τ. (21) 11

Deformační energie (2) Lineárně pružná odezva materiálu: σ W* Příspěvek normálových napětí: σ dσ dw* dw W ε W σ = W σ = 1 2 σ ε. (22) Příspěvek smykových napětí: dε W ε = W ε = 1 2 τ γ. (23) 12

Deformační energie (3) Tedy potenciální energie vnitřních sil (pro lin. pružnou odezvu materiálu): Π i = = 1 2 (24) V (σ x ε x + σ y ε y + σ z ε z + τ xy γ xy + τ yz γ yz + τ zx γ zx ) d V. V maticovém zápisu: Π i = Π i = 1 2 V σt ε d V. (25) 13

Přímý prut (bez vlivu smyku) Normálové síly (σ = N A ): Π i,n = 1 2 V 1 E σ2 x dv = = 1 2 l N 2 E A d x (26) Momenty (σ = M y I ): Π i,m = 1 2 V 1 E σ2 x dv = = 1 2 l M 2 y E I d x (27) Tedy: Π i = 1 2 l N 2 E A d x + 1 2 l M 2 y E I d x (28) 14

Potenciální energie vnějších sil Potenciální energie vnějších sil (Π e ): a b F Π e = F w, (29) a pro obecné zatížení: F b w(b) Π e = n i=1 F i u i n i=1 d M j ϕ j c (30) q(x) w(x) d x. Obecný stav napjatosti tělesa: Π e = V XT u d V s pt u d S. (31) 15

Potenciální energie systému (1) Potenciální energie vnějších sil (Π e ): Π e = (L e + L e). (32) Při lineárně pružné odezvě materiálu: Π e = 2 L e. (33) tedy Π e 0. (34) 16

Potenciální energie systému (2) Π = Π e + Π i. (35) Dosazením za Π e a Π i : tedy Π = Π e + Π i = (L e + L e) + L e = L e, (36) Π 0. (37) 17

Potenciální energie systému (3) (Lagrangeův) princip minima celkové potenciální energie: Π = Π e + Π i = min. (38) Ze všech možných deformačních stavů tělesa (které neporušují jeho spojitost a respektují okrajové podmínky) nastane právě ten, při kterém je potenciální energie systému minimální. 18

Variační úloha hledáme neznámou funkci (nikoli jen hodnotu), funkce musí splňovat určité okrajové nebo počáteční podmínky, hledaná funkce musí splňovat podmínku extrému nějaké veličiny. 19

Variační úlohy v teorii pružnosti Protože platí (38): Π = Π i + Π e = min, (39) tedy hodnota potenciální energie je extrémní (minimální). Z matematiky: pro extrém veličiny Π platí: Π = 0, (40) čehož využívají variační metody (např Ritzova metoda). 20

Ritzova metoda (1) 1. Aproximace řešení volíme ve tvaru: w n (x) = n i=1 a i ψ i, (41) kde a i... neznámé konstanty, ψ i... aproximační funkce. 2. Vyjádříme Π pomocí w n (x). 3. Sestavení a vyřešení n rovnic: Π a i = 0. (42) 4. Dosazení vypočtených a i do (47). 21

Rizova metoda (2) bázové funkce Bázové (aproximační) funkce ψ musí vyhovovat okrajovým podmínkám úlohy. y Např. při výpočtu průhybu musí platit: x ψ(a) = 0 (protože w(a)=0), a w(x) ψ(x) b ψ(b) = 0 (protože w(b)=0). 22

Shrnutí: Protože platí: N M = (E A) du dx, (43) = (E I y ) d2 w dx 2, (44) tedy potenciální energie vnitřních sil (bez vlivu smyku): Π i = 1 2 L 0 E Au 2 dx + 1 2 L 0 E I w 2 dx. (45) 23

Příklad 1 (1) Stanovte funkci osové deformace zadaného nosníku (viz schéma). Předpokládejte, že součin E A je po celé délce nosníku konstantní. F L Volba aproximace: u(x) = a 1 ψ 1 = a 1 x, tj. ψ 1 = x. 24

Příklad 1 (2) Okrajové podmínky: u(a) = w(x = 0) = 0... ψ 1 (a) = x = 0 u(b) = w(x = L) 0... ψ 1 (b) = x = L L 0 ψ( x) L x 25

Příklad 1 (3) Vyjádření Π e : Π e = F u L 0 q u(x)dx. Přitom F působí v bodě x = L: Π e = F u = F a 1 ψ 1 = F a 1 x = F L a 1. 26

Příklad 1 (4) Derivace funkce u = a 1 ψ 1 : u = [a 1 x] = a 1. Vyjádření Π i : Π i = 1 2 L 0 E A(u ) 2 dx = 1 2 L 0 E Aa2 E A a12 1dx = 2 L 0 dx Π i = E A a2 1 2 [x] L 0 = E A L 2 a 2 1. 27

Příklad 1 (4) Vyjádření Π: Π = Π e + Π i = F L a 1 + E A L 2 a 2 1. Sestavení rovnic(e) Π a i = 0 : F L + E A L a 1 = 0 Výpočet a 1 : a 1 = F E A 28

Příklad 1 (5) Výsledek (dosazením a i do u(x)): u(x) = a 1 ψ 1 = F E A x. Protažení v x = L: u(l) = F L E A. Výpočet vnitřních sil (normálová síla): N(x) = E A u = E A [ F ] E A x = F 29

Příklad 2 (1) Stanovte funkci průhybu prostého nosníku (viz schéma). y Výsledek: a q w(x) L b x q w(x) = 24 E I x(l3 2 L x 2 + x 3 ) w max = 5 q l 4 384E I Volba aproximace (jen 1. člen řady): w(x) = a 1 ψ 1 = a 1 sin( π x L ), tj. ψ 1 = sin( π x L ). 30

Příklad 2 (2) Okrajové podmínky: w(a) = w(x = 0) = 0... ψ 1 (a) = sin( π 0 L ) = 0 w(b) = w(x = L) = 0... ψ 1 (b) = sin( π L L ) = 0 Vyjádření Π e : Π e = L 0 q w(x)dx = L 0 q a 1 sin( π x L )dx Π e = q a 1 [ L π cos(π x L ) ]L 0 = 2 q L π a 1 31

Příklad 2 (3) Vyjádření Π i : w = w = a 1 π 2 [ a 1 sin( π x L ) ] = a1 π L cos(π x L ) L 2 sin(π x L ) Π i = 1 2 L 0 E Iw 2 dx = 1 2 L 0 a 1 π 2 L 2 sin(π x L ) 2 dx =... = π4 4 E I L 3 a2 1 32

Příklad 2 (4) Vyjádření Π: Π = Π e + Π i = 2 q L π a 1 + π4 4 E I L 3 a2 1 Sestavení rovnic(e) Π a i = 0 : Π a 1 = 2 π q L + π4 4 E I L 3 2 a 1 = 0 Výpočet a 1 : a 1 = 4 q L4 π 5 E I 33

Příklad 2 (5) Výsledek (dosazením a i do w(x)): w(x) = a 1 ψ 1 = 4 q L4 π 5 E I sin(π x L ) Výpočet vnitřních sil (moment): M(x) = E I w = E I π a 2 x 1 L 2sin(π L ) = 4 q L2 π 3 sin( π x L ) 34

Doplnění: doplňková potenciální energie Castiglianův princip minima doplňkové potenciální energie: Π = Π i = min. (46) Je analogický Lagrangeovu principu, avšak je definován pro doplňkovou potenciální energie (systém ji nabývá z doplňkové práce sil). 35

Ritzova metoda pro tenké desky Potenciální energie vnitřních sil: Π i = 1 2 b a d c 2 w x 2 + 2 w y 2 2 dxdy Potenciální energie vnějších sil: Π e = b a d c p(x, y) w(x, z)dxdy 36

Aplikace Ritzovy metody na desce 1. Aproximace řešení volíme ve tvaru: w n (x, y) = n i=1 m j=1 a i,j ψ i,j (x, z) (47) kde a i,j... neznámé konstanty, ψ i... aproximační funkce. 2. Vyjádříme Π pomocí w n (x, z). 3. Sestavení a vyřešení n rovnic: Π a i = 0. (48) 4. Dosazení vypočtených a i do (47). 37

Ritzova metoda příklad 3 (1) Stanovte rovnici průhybové plochy desky po obvodě prostě podepřené a rozměrech a b a tloušt ce t. Deska je zatížena zatížením popsaným funkcí p(x, y) = p. y, j b a x, i 38

Ritzova metoda příklad 3 (2) Volba w n (x, y): w n (x, y) = n i=1 m j=1 a 1,1 sin i π x a sin j π y, b Derivace: w x = a π 1,1 a 2 w x 2 2 w y 2 cos πx a sin πy b = a 1,1 ( π a )2 sin πx a = a 1,1 ( π b )2 sin πx a πy sin b πy sin b 39

Ritzova metoda příklad 3 (3) Potenciální energie vnitřních a vnějších sil: Π i = 1 2 D a2 1,1 = 1 8 D a2 1,1 π2 π2 a 2 + π2 b 2 a b 0 a 2 + π2 b 2 a b 0 sin2 πx a sin2 πy b dxdy Π e a b = 0 0 p(x, y)w n(x, y)dxdy (49) a b πx πy = a 1,1 p sin sin 0 0 a b dxdy 4 a b = p a 1,1 π 2 40

Ritzova metoda příklad 3 (3) Celková potenciální energie: Π = 1 8 D a2 1,1 π2 a 2 + π2 4 a b b 2 a b p a 1,1 π 2 Soustava rovnic Π a 1,1 = 0: 1 4 a 1,1 π2 a 2 + π2 b 2 a b p 4 a b π 2 = 0 Hodnota neznámé konstanty a 1,1 : a 1,1 = 16p π 2 D 1 1 a 2 + 1 b 2 41

Ritzova metoda příklad 3 (4) Výsledná aproximace průhybu: w n (x, y) = 10 p π 6 D ( 1 a 2+ 1 ) sin πx b 2 a sin πy b Dále je možné stanovit momenty, posouvající síly,... 42

Ritzova metoda pro stěny (1) Řešení využívající Airyho funkci F silová varianta. Protože platí: Π = min. (50) variujeme kde volíme: Π (F a ) a i = 0, (51) F a = a i ψ i (52) 43

Ritzova metoda pro stěny (2) Poznámka: uvedené řešení platí pro obě varianty rovinného problému: roviná napjatost ( stěny ) i rovinná deformace. 44

Ritzova metoda příklad 4 (1) Stanovte rozložení napětí uvnitř stěny na obrázku. y σ x x σ x b b l l σ x = p(1 y2 b 2), p [ MN m 2 ] 45

Ritzova metoda příklad 4 (2) Volba aproximace Airyho funkce: F = F o + F 1 Tzv. primární stav (σ x ve všech příčných řezech je rovno napětím v koncových řezech a σ y = τ xy = 0): F o = p 2 y2 (1 y2 6b 2) F o splňuje okrajové podmínky, protože: σ x,o = 2 F o y 2 = p(1 y2 b 2), σ y,o = 2 F o x 2 = 0, τ xy,o = 2 F o x y = 0 46

Ritzova metoda příklad 4 (3) Zvolíme: F 1 = a 1 ψ(x, y) = a 1 (l 2 x 2 ) 2 (b 2 y 2 ) 2 F 1 neovlivňuje okrajové podmínky: F 1 (x = 0) = 0 F 1 (x = l) = 0 47

Ritzova metoda příklad 4 (4) Napětí: σ x σ y τ xy = 2 F o y 2 = 4 a 1l 2 b 4 (1 x2 l 2 )2 ( 1 + 3 y2 b 2) = 2 F o x 2 = 4 a 1b 2 l 4 ( 1 + 3 x2 y2 )(1 l2 = 2 F o x y = 16 a 1l 3 b 3x l l 2 )2 x2 y2 (1 )(1 l2 l 2 ) 48

Ritzova metoda příklad 4 (5) Doplňková potenciání energie: Π = Π i = h 2E l l b b (σ2 x + 2τ 2 xy + σ 2 y)dydx Dosadíme napětí σ x, σ y, τ xy a výsledek variujeme podle a 1 : Π a 1 = 0 49

Ritzova metoda příklad 4 (6) Po úpravě rovnice Π a 1 = 0: a 1 64 7 256b 2 49 l 2 + 64 7 + b2 l 2 = p l 4 b 2 a 1 = p l 4 b 2 ( 64 7 + 256 49 b2 l 2 + 64 7 b2 l 2 ) F = F o +F 1 p 2 y2 (1 y2 6b 2)+ p l 4 b 2 ( 647 + 256 49 b2 l 2 + 64 7 b2 l 2 ) (l 2 x 2 ) 2 (b 2 y 2 ) 2 50

Ritzova metoda příklad 4 (7) Průběh napětí v x = 0 pro poměr l b = 1, 0: l l x y b l/b = 1,0 0.83p 0,34p σx b 51