Elektrodynamika Elektriké a magnetiké veličiny, jednotky SI Elektriký proud I je v systému SI základní veličina, jednotka je Ampere A. Definie: Stejné proudy ve rovnoběžnýh dráteh ve vzdalenosti m mají velikost A, když vzájemná přitahovaí síla na m drátu je 0 7 N. Náboj q: Zdroj elektromagnetikýh sil, pohybuje se ve vodiči, když teče elektriký proud. Jednotka: Coulomb C. Definie: Při elektrikém proudu o A proteče průřezem vodiče C za sekundu. C = As 6 0 8 elementárníh nábojů. Coulombův zákon Přitažlivá nebo odpudivá síla dvou nábojů q a q v místeh x a x F q q = k x r 3 x, F = k q q, r kde r = x x a k je konstanta. Dimenze [k] této konstanty výplyvá z. N = [k] Definie Amperu byla tak zvolena, aby As As m [k] = Nm A s. k = 0 7 N A, kde je ryhlosti světla. V SI se píše z historikýh důvodů k =: s tzv. dielektrikou konstantou vakua ɛ 0. 4πɛ 0, Poznámka: Mohli byhom předpokládat k =. Tím byhom určovali dimenzi náboje, vyjádřenou mehanikými veličinami. V systému gs dostáváme z Coulombova zákona dyn = g m = [q] s m, [q] = g 3 m s. To je jednotka náboje v Gaußově systému. Elektriké pole: Síla souboru nábojů q,..., q N v místeh x,..., x N na další náboj q v bodě x je popsaná působením elektrikého pole v bodě x na náboj. Intenzita eletrikého pole E x je lokální vlastnost prostoru, v němž se naházejí elektiké náboje. F x = N x x i q q i 4πɛ 0 x x i =: q E x. 3 i=
Intenzita = síla na jednotkový náboj. Dimenze: [E] = N C = J mc. Nápětí U. Práe = změna poteniální energie při pohybu náboje v elektrikém poli je daná integrálem W = F d s. V prípadě pohybu o vzdalenost l podél homogenního elektrikého pole např. v deskovém kondensátoru platí jednoduše W = q E l =: q U. Elektriké nápětí je rozdíl poteniální energie jednotkového náboje na dvou bodeh. Dimenze: [U] = J C Jednotka: Volt = V = J C. Volt se používá pro běžné oznáčení jednotky elektrikého pole, [E] = V m. Magnetiké pole. Staionární elektriké proudy vyvolávají síly na pohybujíí se náboje Lorentzova síla. Analogiky k zavedení intenzity elektrikého pole uvažujeme sílu souboru eletrikýh proudů v dáném uspořadání vodičů na úsek dl jednoho dalšího drátu s konstantním proudem I. Síla je úměrná I a dl, d F x = I d l B x. 3 Magnetiká induke B x zahrnuje působení všeh elektikýh proudů v bodě x. Dimenze: Z 3 výplyvá N = A m[b], [B] = Jednotka: Tesla = T = Vs m. N Am = J Am = Js Cm = Vs m. Přispěvek elektrikého proudu v úseku drátu dl na místě x k magnetikému poli v bodě x analogiky Coulombovu zákonu je d B x = k m I d l x x x x 3. 4 V SI se píše k m = µ 0, µ 4π 0 = ɛ 0 je tzv. magnetiká permeabilita vakua. Síla mezi dvěma infinitesimálními úseky vodiče, umístěnými v bodeh x a x s elektrikými proudy I a I analogon Coulombova zákona: F x = µ 0 4π I I d l d l x x. x x 3
Hustota náboje: q ρ x = lim V 0 V, kde q je naboj v objemu V, který obsahuje bod x. Hustota proudu: j x = lim A 0 kde A je element průřezu vodiče a d l dl proudu I. I d l A dl, je jednotkový vektor ve směru elektrikého Maxwellovy rovnie, statiký případ J. C. Maxwell našel v 9. století dvě vektorové a dvě skalární pariální difereniální rovnie. řadu, které spojují elektriké a magnetiké pole navzájem a s elektrikým nábojem. Z těh rovni lze odvodit elá elektrodynamika. dive = ρ, ɛ 0 rote = B t, rot µ E B = ɛ 0 0 t + j, div B = 0. 5 Vektorové operátory div a rot lze vyjádřit pomoi operátoru Nabla, = x, y,. 6 z div v = v, rot v = v. 7 V případě statikýh polí, když časové derivae jsou nulové, odpojují se elektriké a magnetiké pole. Z Maxwellovýh rovni plyne /em rovnie kontinuity t. j. zahování náboje. ρ t + div j = 0, Elektrostatika Základní rovnie div E = ρ ɛ 0, rot E = 0. 8 3
Elektrostatiké pole je bezvírové pole se zřídlem ρ ɛ 0. Pro takové pole existuje skalární poteniál φ tak že E = grad φ = φ. 9 Dosazením do Maxwellovy rovnie dostaneme Definujeme Laplaeův operátor div grad φ = φ = ρ ɛ 0. pak nabýva rovnie pro poteniál následujíí tvar, := = x + y + z, 0 φ = ρ ɛ 0. Táto rovnie se nazývá Poissonova rovnie. Oprotí Maxwellově rovnii dive = ρ ɛ 0 má výhodu, že jejím řešením je jedna skalární funke φ x místo vektorového pole E x. Magnetostatika rot B = µ 0 j, div B = 0. Magnetostatiké pole je bezzřídlové, siločáry jsou uzavřené; existuje vektorový poteniál A, tak že B = rot A, 3 protože Dosazení do Maxwellovy rovnie vede k nebo div rot A 0. rot B = rot rot A grad div A A = µ 0 j, A A = µ 0 j. 4 Poteniály nejsou jednoznačné určeny svými rovniemi a 4, φ je jednoznačné až na libovolnou konstantu, A až na gradient libovolné funke, poněvadž rot gradf 0. Poteniály lze kalibrovat, jsou kalibrační, nikoliv fyzikální veličiny. 4
3 Greenova funke Poissonovy rovnie, δ-distribue Poissonova rovnie je eliptiká lineární pariální difereniální rovnie druhého řadu. Pro takové rovnie existuje rozsahlá teorie, my budeme ale zkonstruovat řešení na zákládě známýh fyzikálníh skutečností. Elektriké pole bodového náboje v počátku je E = q 4πɛ 0 x x 3, 5 příslušný poteniál je Pro hustotu bodového náboje platí ρ x 0 x 0 a φ = 4πɛ 0 q r. 6 d 3 x ρ x = q. Přestože taková funke v klasikém smyslu neexistuje, existuje matematiký objekt, který popisuje idealizai bodového náboje a pomoi toho můžeme skladat elektriké pole a poteniál libovolného rozložení náboje z výrazů 5 a 6. Hustota bodového náboje je zkonstruovaná pomoí Diraovy δ-funke, která lze definovat jako limita funkí s integrálem od minus do plus nekonečna rovným jedné, kterě jsou víe a víe soustředěné na jeden bod, např. Takové limity mají vlastnost, že nebo obeněji, δx := lim g ɛ x = x lim ɛ 0 π ɛ 0 ɛ e ɛ. 7 fx δx dx = lim ɛ 0 fx g ɛ x dx = f0, 8 fx δx x dx = fx 9 pro libovolnou spojitou funki f. Integrál s δ-funkí tedy vybírá hodnotu funke v určitém bodě. Výběr určité funkční hodnoty je exaktní význam δ v rámi distribuí, t.j. jako zobrazení vhodného prostoru funkí do reálníh nebo komplexníh čísel. V jazye distribuí se píše ekvivalent rovnie 9 δ x [f] = fx. 0 Distribue δ x přiřazuje funki f funkční hodnotu fx; pro její definii stačí, že f je spojitá funke. Hustota bodového náboje v počátku souřadné soustavy se vyjádřuje trojrozměrnou δ-funkí ρ x = q δ 3 x = q δx δy δz. 5
Dosadíme poteniál a hustotu náboje v bodě x do Poissonovy rovnie, odvodíme z toho φ x = q 4πɛ 0 x x = q δ 3 x x, ɛ 0 4π x x = δ3 x x. 3 G x, x := 4π x x se nazývá Greenova funke Laplaeova operátoru = poteniál jednoho bodového náboje. Poněvadž Poissonova rovnie je lineární, můžeme zkonstruovat poteniál rozložení náboje ρ x jako superpozii poteniálů bodovýh nábojů, tedy popřípadě φ x = 4πɛ 0 4 d 3 x ρ x x x, 5 φ x = d 3 x G x, x ρ x. 6 ɛ 0 To je řešení Poissonovy rovnie pro rozložení náboje ρ x. Důkaz: x φ x = d 3 x x G x, x ρ x = d 3 x δ 3 x x ρ x ɛ 0 ɛ 0 = ρ x ɛ 0. Index x zdůrazňuje působení Laplaiánu na nečarkované souřadnie. Pro eletrostatiké pole vyplývá z toho E x = d 3 x ρ x x x 4πɛ 0 x x. 7 3 Greenova funke není jednoznačná. G x, x plus libovolné řešení homogenné difereniální rovnie φ = 0 je také Greenovou funkí stejného operátoru. Greenova věta, Greenův vzore Odečtením dvou identit, a dostaneme u v = u v + u v v u = v u + v u, u v v u = u v v u. Integrovaním a aplikaí Gaußovy věty odvodíme Greenovu větu: V u v v u dv = V u v v u n ds, 8 6
kde V je oblast a n je normálový vektor na okraj V. Podle okrajovýh podmínek má Greenova věta dvě standardní aplikae. Dirihletův problém: Známe ρ x uvnitř nějakého objemu V a poteniál φ na okraji V. Dosadíme u = φ a v = G do Greenovy věty. [φ x x G x, x G x, x x φ x ] d 3 x = V [ = φ x x G x, x G x, x x φ x ] n ds. V Podle předpokladu je první člen na pravé straně znamý, druhý, který obsahuje gradient poteniálu, nikoliv. Tak využíme možnost volby Greenovy funke a zkonstruujeme takovou, která se rovná nule na okraji V. Greenově funki s tou vlastností říkáme Dirihletovu Greenovu funki, G D. Poteniál ve V je pak dán vzorem φ x = V G D x, x ρ x ɛ 0 d 3 x + V G D x, x φ x n ds. 9 Neumannův problém: Známe gradient poteniálu na V. Vybereme Neumannovu Greenovu funki G N, jejíž gradient se rovná nule na okraji. φ x = G N x, x ρ x d 3 x G N x, x φ x V ɛ n ds. 30 0 V 4 Elektrostatiká energie nábojů Napíšeme si poteniální energii náboje v elektrostatikém poteniálu U = q φ x. Energie dvou nábojů = energie náboje q v bodě x v poteniálu vyvolaném nábojem q v bodě x plus výraz s přehozenými náboji lomeno dvěma, aby se energie nepočítala dvakrát. U = q φ x + q φ x, kde φ i x = q i 4πɛ 0 x x i. Energie spojitého rozložení náboje: U = ρ φ dv. 3 Pro rozložení bodovýh nábojů je poteniál a energie φ x a = q b, r ab = x a x b 3 4πɛ 0 r ab b a U = 8πɛ 0 b a q a q b r ab. 33 7
5 Multipólový rozklad pole V následujíím budeme hledat rozvoj elektrikého poteniálu ve velké vzdalenosti od zdroje. 5. Laplaeova rovnie ve sférikýh souřadniíh Laplaeova rovnie φ = 0 34 platí všude, kde se nenahází náboj. Ve sférikýh souřadniíh má Laplaián následujíí tvar: φ = r φ + sin ϑ φ φ + r r r r sin ϑ ϑ ϑ r sin ϑ ϕ. 35 Separae proměnnýh: Pokoušíme se přeměnit pariální difereniální rovnii v tří obyčejné difereniální rovnie pro funke jednotlivýh proměnnýh, Rr, Θϑ a Φϕ. K tomu předpokládáme řešení ve tvaru součinu φr, ϑ, ϕ = Rr Θϑ Φϕ 36 a dosadíme do Laplaeovy rovnie φ = r dr r r dr Θ Φ + sin ϑ R dθ r sin ϑ ϑ dϑ Φ + r sin ϑ R Θ d Φ dϕ = 0. 37 Násobíme r sin ϑ a píšeme část, závisejíí na ϕ, na pravou stranu RΘΦ sin ϑ R d dr r dr dr + sin ϑ Θ d dϑ sin ϑ dθ dϑ = d Φ Φ dϕ. Levá strana ted závisí na r a ϑ, pravá strana na ϕ. Z toho vyplývá, že se obě strany musí rovnat konstantě, kterou nazveme m. Z pravé strany dostaneme obyčejnou difereniálni rovnii, d Φ dϕ + m Φ = 0. 38 Rovnii vyplyvajíí z levé strany můžeme upravit podobným způsobem, d r dr = m R dr dr sin ϑ d sin ϑ dθ = λ, sin ϑ Θ dϑ dϑ kde se opět obě strany musí rovnat konstantě, označené λ. Z toho dostaneme dvě další obyčejné difereniální rovnie, d r dr λ R = 0 39 dr dr a d sin ϑ dθ + λ m sin ϑ dϑ dϑ sin Θ = 0, 40 ϑ 8
tak že místo pariální difereniální rovnie máme rovnie 38, 39 a 40. Řešení: Rovnie 38 má řešení Φ m ϕ = C m os mϕ + S m sin mϕ 4 příslušné k parametru m, který musí být eločíselný, aby Φ bylo periodiké ve ϕ. Radiální rovnie 39 má řešení R l r = A l r l + B l, 4 rl+ kde λ = ll+. V rovnii 40 píšeme os ϑ = x. Řešení, které obsahuje obě integrační konstanty m a l, označíme Pl m. Takovou úpravou dostaneme Legendreovu rovnii x d Pl m x x dp m [ ] l x + ll + m P m dx dx x l x = 0. 43 5. Legendreovy polynomy Ortogonální bází řešení pro m = 0 jsou Legendreovy polynomy P l x, vyhovujíí jednodušší rovnii [ d x dp ] lx + ll + P l x = 0 44 dx dx s nezáporným eločíselným parametrem l. Legendreovy polynomy jsou ortogonální v intervalu, P k x P l x dx = 0 k l. 45 Legendreovy polynomy se objevují jako koefiienty v rozvoji tzv. vytvařejíí funke Použitím Leibnizova pravidla d m [fx gx] dx m = xt + t = P / l x t l. 46 m k=0 l=0 m! k! m k! dostaneme m-násobným derivováním rovnie 44 d m k fx d k gx 47 dx m k dx k x f x xm + f x + l ml + m + fx = 0, 48 kde fx = d m P l x/dx m. Substitue fx = x m/ gx vede k tomu, že funke gx musí splňovat rovnii 43, je tedy konečně Pl m x = x m/ dm P l x dx. 49 m Legendreovy polynomy lze vyjádřít pomoí Rodriguesova vzore P l x = l! l d l dx l x l. 50 9
Využitím tothoto vztahu můžeme rozšířit 49 na oblast záporníh m, tedy Polynomy P m l Pl m x = l x m/ dm+l l! l dx m+l x l, l m l. 5 se nazývají přidružené Legendreovy polynomy. Námi definované Pl m x nebo P l x nejsou na intervalu -, normované na jedničku. Ostatně různé drobné i větší odhylky v definiíh speiálníh funkí jsou díky historikému vývoji bohužel zela běžné. 5.3 Kulové funke Pomoí přidruženýh Legendreovýh polynomů definujeme úplný ortonormální soubor kulovýh funkí t.j. každou spojitou funki úhlovýh proměnnýh ve sférikýh souřadniíh můžeme napsat pomoí nekonečné řady těhto funkí Platí tedy Y m l ortonormalita a fϑ, ϕ = ϑ, ϕ = m π 0 m=l l=0 m= l dϕ π 0 l + l m! 4π l + m! P l m os ϑ expimϕ. 5 dϑ sin ϑ Y m l ϑ, ϕ Y m l ϑ, ϕ = δ l l δ m m 53 π π fl m Yl m ϑ, ϕ, fl m = dϕ dϑ sin ϑ fϑ, ϕ Yl m ϑ, ϕ. 54 0 0 úplnost. Několik prvníh kulovýh funkí je Y = Y = Y 0 0 = 3 8π sin ϑ e iϕ Y 0 = Y = 5 8π sin ϑ os ϑ e iϕ Y 0 = 4π 5 3π sin ϑ e iϕ Y 3 4π os ϑ Y = 5 6π 3 os ϑ Y = 3 = sin ϑ eiϕ 8π 5 3π sin ϑ e iϕ 55 5 8π sin ϑ os ϑ eiϕ. Velmi důležitým speiálním případem rozkladu 54 je vztah pro Legendreův polynom obeného úhlu γ mezi dvěma vektory n = sin ϑ os ϕ, sin ϑ sin ϕ, os ϑ a n = sin α os β, sin α sin β, os α, tedy os γ = n n = os ϑ os α + sin ϑ sin α osϕ β, P l os γ = 4π l + m=l m= l 0 Yl m α, β Yl m ϑ, ϕ. 56
5.4 Multipólový rozklad rozložení náboje Uvažujeme rozložení náboje uvnitř koule o poloměru R, ρ x = { ρr, ϑ, ϕ r < R 0 r > R 57 Poteniál mimo koule je dán vzorem 5 φ x = 4πɛ 0 d 3 x ρ x x x = 4πɛ 0 = 4πɛ 0 x d 3 x ρ x x + x x x os γ d 3 x ρ x x os γ +. 58 x x x γ je úhel mezi x a x. V integrálu se objeví vytvářejíí funke Legendreovýh polynomů, tak φ x = r d 3 x ρ x l P l os γ 59 4πɛ 0 r r psali jsme x = r a x = r. Použítím 56 dostaneme rozvoj φ x = 4πɛ 0 l=0 d 3 x ρ x 4π l,m l + r r l m Y l+ l ϑ, ϕ Yl m ϑ, ϕ. 60 Pomoí multipólovýh momentů q lm := d 3 x ρ x r l Y m l ϑ, ϕ 6 můžeme konečně psat poteniál jako superpozii kulovýh funkí φ x = ɛ 0 l l=0 m= l q lm l + r Y m l+ l ϑ, ϕ. 6 V případě bodového náboje víme, že pole je dáno Coulombovým poteniálem. Je-li náboj q umístěn mimo počátek souřadni, např. na ose z v bodě z = R, je poteniál dán vztahem φ = φ = q 4πɛ 0 R q 4πɛ 0 r l=0 l=0 r l P l os ϑ, r R, R R l P l os ϑ, r R. r Pro r >> R převažuje rotačně souměrná vzhledem k počátku souřadni, nikoli poloze náboje složka l = 0. Umístíme-li však na ose z ještě náboj opačné velikosti do z = R, vyruší se identiké příspěvky členů s l = 0 a pro r >> R převažuje pak dipólová složka l = φ dip = qr P os ϑ = D os ϑ, 64 4πɛ 0 r 4πɛ 0 r 63
kde D = qr označuje dipólový moment. Podobně, umístíme-li na ose z v z = ±R náboje q a v počátku náboj q, vyruší se identiké příspěvky členů s l = 0 a l = a pro r >> R převažuje pak kvadrupólová složka l = φ quad = qr 4πɛ 0 P os ϑ r 3 = Q 4πɛ 0 3 os ϑ r 3, 65 kde Q = qr je kvadrupólový moment. Obeně jsou multipólové momenty závislé na umístění v souřadném systému, s výjimkou nejnížšího nenulového momentu. 6 Magnetostatika 6. Analogie mezi elektrostatikou a magnetostatikou Integrální tvar infinitesimální rovnie 4, vyjádřený pomoí hustoty proudu, je B x = µ 0 4π d 3 x j x x x x x = µ 0 3 4π = µ 0 4π d 3 x j x x x d 3 x j x x x =: rot A x. 66 Zavedli jsme vektorový poteniál A x = µ 0 4π d 3 x j x x x. 67 Vektorový poteniál není jednoznačný, protože můžeme přičíst gradient libovolné funke, jehož rotae je identiky nulová. Taková transformae, A x A x + grad Λ x se nazývá kalibrační transformae. Stejně je skalární poteniál jednoznačný jenom až na konstantu. Coulombova kalibrae div A = 0 vede k značnému zjednodušení: Dosazením do Maxwellovy rovnie dostaneme rot B x = rot rota x = grad diva x A x = A x = µ 0 d 3 x j x 4π x x = µ 0 j x, 68 tedy vektorovou Poissonovu rovnii pro A. Následujíí tabulka ukazuje analogie mezi elektrostatikou a magnetostatikou.
Elektrostatika Veličina, vztah Magnetostatika d F = dq E definie pole d F = I d l B dq hustota zřídel I d l = j d 3 x F = q E síla na náboj F = q v B div E = ρ/ɛ 0 rot E = 0 rovnie pole rot B = µ 0 j div B = 0 E = grad φ poteniály B = rot A φ = ρ ɛ 0 rovnie poteniálu A = µ 0 j φ x = d 3 x ρ x 4πɛ 0 x x poteniál zřídel A x µ 0 = d 3 x j x 4π x x Analogiké magnetiké pole k elektrikému Coulombovu poli je pole lineárního vodiče. Uvažujme nekonečně dlouhý, rovný drát ve směru osy z s elektrikým proudem I j x = I δx δy e 3. 69 Podle 66 je magnetiké pole B x = µ 0I 4π dz e 3 x 0, 0, z x 0, 0, z. 70 3 Zavedeme polární souřadnie ρ = x + y, ϕ = artan y, z a uvedomíme se, že pole x musí být konstantní ve směru z, tak že stačí počítat B v rovině x, y. Výpočet vede k Biotovu-Savartovu zákonu Bρ = µ 0I e ϕ π ρ. 7 6. Magnetiké pole kruhové smyčky. Do vztahu pro vektorový poteniál 67 dosadíme hustotu proudu j x d 3 x = I δρ a δz e ϕ ρ dρ dz dϕ, kde e ϕ = sinϕ ϕ e ρ + osϕ ϕ e ϕ, a dostaneme Aρ, z = A ϕ ρ, z e ϕ, A ϕ ρ, z = µ 0I π π 0 a os ϕ dϕ. 7 a + ρ + z aρ os ϕ Integrál lze vyjádřit úplnými eliptikými integrály E a K, A ϕ ρ, z = µ 0I πk [ a k ρ Kk Ek ], 73 3
kde k = π 4aρ a + ρ + z, Kk = 0 Při výpočtu induke potřebujeme identity dξ, Ek = k sin ξ π 0 k sin ξ dξ. 74 dek dk = Ek Kk, k dkk dk = Ek k k Kk k. 75 Potom máme pro složky induke B ϕ = 0 B ρ ρ, z = A ϕ z B z ρ, z = ρa ϕ ρ ρ = µ 0I π [ z ρ a + ρ + z = µ 0I π [ a + ρ + z Kk + a + ρ + z a ρ + z Ek Kk + a ρ z a ρ + z Ek ] ], 76. 77 7 Maxwellovy rovnie v materiálovém prostředí 7. Polarizae, magnetizae Když se materiálové prostředí nahází pod vlivem vnějšího elektromagnetikého pole, např. mezi deskami kondensátoru nebo v magnetikém poli ívky, rozlišujeme vnější náboje a proudy, ρ ext a j ext, a náboje ρ a proudy j indukované vnějším polem v materiálu. Náboje a proudy uvnitř atomů, molekul, nebo elementárníh buňek krystalů, které vyvolávají mnohem větší pole než jsou makroskopiká, můžeme zanedbat, když středujeme přes prostorové oblasti podstatně větší než vzdalenost elementárníh jednotek materiálu. Středované Maxwellovy rovnie jsou div E = ρ + ρ ext ɛ 0 rot E = B t rot µ E B = ɛ 0 0 t + j + j ext divb = 0. 78 E a B jsou středovaná pole, označuje středování zdrojů. Celkový náboj vázaný na prostředí, které je plně uzavřeno uvnitř oblasti V, je roven nule ρ dv = 0 ρ = divp, 79 přičemž P = 0 vně materiálu. Potom je totiž V V ρ dv = div P dv = V S P n ds = 0, 4
kde S = V. Uvažujme dipólový moment V x ρ dv = x div P dv = x n P ds + P x dv = V S V V P dv. 80 Uvažujme nyní uzavřenou plohu S uvnitř materiálu. Celkový proud touto plohou vázaný na prostředí je dán elkovou hodnotou časové změny průmětu vektoru polarizae P S j n ds = V přičemž M = 0 vně materiálu. S ρ t dv = V t div P P dv = S t n ds j = rot M + P t, 8 rot M n ds = 0 protože S =. V statikém případě je P / t = 0. Uvažujme magnetiký moment x j dv = x rot M V dv = 8 V x n M ds M x dv = S V V M dv. Definie vektorů polarizae P a magnetizae M pomoí momentů je důležitá pro jednoznačnost, jinak by vyhovovaly také P + rotf a M + grad f. Jako vedlejší výsledek dostaneme ze spojení rovni 79 a 8 difereniální = mikroskopikou rovnii kontinuity ρ + div j = 0. 83 t 7. Makroskopiké Maxwellovy rovnie Zavedeme vektory induke elektrikého pole a intenzity magnetikého pole jako D = ɛ 0 E + P, H = µ 0 B M. 84 Použitím polarizae 79 a magnetizae 8 dostaneme makroskopiké Maxwellovy rovnie, divd = ρ ext, rote = B t, rot H = D t + j ext, div B = 0. 85 5
Jak Maxwellovy rovnie ve všeobené formě, tyto rovnie jsou konsistentní s rovnií kontinuity ρ ext + div j ext = 0. 86 t V homogenním isotropním lineárním prostředí bez disperse jsou vztahy mezi D a E a mezi H a B obzvlašt jednoduhé, pole jsou úměrná, D = ɛ r ɛ 0 E, H = µ r µ 0 B, 87 kde ɛ r je dielektriká konstanta a konstanta µ r je magnetiká permeabilita materiálu. Lineární prostředí znamená, že tyto veličiny jsou konstantní. 7.3 Energie a impuls elektromagnetikého pole Mějme spojité rozložení náboje ρ. ε označuje energii náboje obsaženého v objemu V, ε změna energie při pohybu v elektromagnetikém poli. ρ a j označují ted externí veličiny. ε = F x, F = ρ E V + j B V V S využitím vztahu odvodíme z Maxwellovýh rovni výraz E H H E = H E ε t = j E. 88 89 H B t + E D t = j E E H. 90 Na pravé straně vystupuje vykonaná práe a divergene toku, výraz na levé straně můžeme tedy interpretovat jako časovou změnu hustoty energie. Po zavedení veličin hustoty energie W a Poyntingova vektoru S můžeme 90 psát jako W = E D + B H, S = E H 9 W dv + j t E dv + V V V S n dσ = 0. 9 S má tedy význam hustoty toku energie. Obdobnou úvahu můžeme provést pro impuls. Při přehodu ke spojitému rozložení náboje je p = F t, F = ρ E V + j B V V p t = ρ E + j B. 93 6
Z Maxwellovýh rovni odvodíme výraz D B t + D t B = E D B H + H B D E j B ρ E. 94 Poslední dva členy na pravé straně popisují Lorentzovu sílu, můžeme tedy časovou derivai na levé straně interpretovat jako časovou změnu hustoty impulsu G = D B = ɛ r µ r ɛ 0 µ 0 E H n = S, 95 pokud první čtyři členy na pravé straně lze psát jako divergene toku impulsu. Zavedli jsme :=, n := ɛ r µ r. 96 ɛ 0 µ 0 je ryhlost šíření elektromagnetikýh vln ve vakuu, tedy ryhlost světla, jak budeme brzo vidět, a n je index lomu, jehož význam bude také zřejmý v souvislosti s šíření elektromagnetikýh vln. Po úpravě, kdy předpokládáme, že permitivita a permeabilita nezávisí na prostorovýh souřadniíh, můžeme psát [ 3 E D D E ]i = E i D j j= x j δ ij E D, [ 3 H B B H ]i = H i B j x j δ ij H B 97 a zákon zahování má tvar [ G i dv + ρei + j B t 3 dv + T V V i] ij n j dσ = 0. 98 V j= j= Definovali jsme Maxwellův tensor nápětí T ij jako T ij = E i D j + H i B j + δ ij E D + H B. 99 Takto definovaný Maxwellův tensor určuje tok impulsu z uvažovaného objemu. Jeho stopa je rovna hustotě energie 3 W T ii = 0. 00 i= 8 Integrální formy Maxwellovýh rovni, induke 8. Integrované rovnie Uvažujeme prostorovou oblast V s okrajem V a plohu S s okrajem S. n označuje normální jednotkový vektor na plohu V, popř. S, t tečný vektor na S. Integrujeme rovnii dive = ρ ɛ 0 přes objem V, dostaneme podle Gaußovy věty Gaußův zákon elektrostatiky. E n ds = Q. 0 ɛ 0 V 7
Když integrujeme rotai elektrikého pole přes plohu S, můžeme uplatňovat Stokesovu větu t je tečny vektor okraje S: S E t ds = S rot E n ds = t S B n ds. 0 Integral B n ds definuje magnetiký tok Φm plohou S. Odvodili jsme tedy Faradayův indukční zákon: Elektriké nápětí v uzavřené drátěné smyče se rovná minus časové derivai magnetikého toku, S E t ds = t Φ m. 03 Analogiky dostaneme v statikém případě E = 0 B t ds = rot B n ds = µ 0 S S S j n ds. 04 Integral na pravé straně představuje elkový elektriký proud I, z toho vyplývá Ampèreův zákon B t ds = µ 0 I. 05 S 8. Aplikae vzájemná induke a vlastní induke Uvažujeme dvě geometriky pevné smyčky s proměnným proudem ve smyče. Indukované nápětí ve smyče vyvolané změnou pole buzeného smyčkou je U = t B n ds, Po dosazení dostáváme B n ds = A d l, A = µ 0I 4π d l r. 06 di U = M dt, M = µ 0 d l d l 4π x x. 07 Pokud by tekl proměnný proud smyčkou, bylo by indukované nápětí ve smyče U = M di dt, M = M = M. 08 Ale také změna magnetikého toku smyčkou vytvoří indukované nápětí v této smyče, stejně platí pro smyčku. Obeně tedy můžeme psát di U = L dt + M di dt, U = M di dt L di dt. 09 Časová změna energie magnetikého pole je rovna záporně vzaté prái dw di = U I U I = L I dt dt + L di I dt M di I dt + I di, 0 dt 8
takže pro energii magnetikého pole je W = L I + L I M I I, L L M. Energii magnetikého pole máme ovšem také vyjádřenou jako W = V B H dv = Při odvození obou výrazů v této rovnii je postupně využito vztahů V j A dv. B = rot A, H rot A A rot H = div A H, rot H = j. 3 Vztahu pro energii využijeme pro výpočet vlastní indukčnosti L = B dv. 4 µ 0 I V Uvažujme dvě solenoidální ívky, každou o N záviteh, těsně na sobě. Průřez ívek je S a jejih délka l. Pole první a druhé ívky jsou tedy přibližně Ampèreův zákon a pro indukčnosti máme B µ 0NI, B µ 0NI l l 5 L L M µ 0N S. 6 l Pro energii magnetikého pole pak W = µ 0N S I + I. 7 l 9 Časově proměnná elektromagnetiká pole 9. Dynamiké poteniály, kalibrae Předpokládáme dynamiké poteniály φ x, t a A x, t a B = rot A. Pak vyplývá z Maxwellovy rovnie rote = B, že i časová derivae vektorového poteniálu přispívá k elektrikému poli B = rota, E A = grad φ t. 8 Dosazení do dalšíh Maxwellovýh rovni vede k A ɛ 0 µ 0 A t grad φ + t div A = ρ ɛ 0, div A + ɛ 0 µ 0 φ t = µ 0 j. 9 9
S využitím kalibrační transformae A A + grad ψ, φ φ ψ t 0 můžeme mít Lorenzovu kalibrai Ludwig Valentin Lorenz Hendrik Antoon Lorentz a dostáváme tak pro poteniály nehomogenní rovnie div A + ɛ 0 µ 0 φ t = 0 φ φ t = ρ ɛ 0, A A t = µ 0 j. Označili jsme ryhlost světla ve vakuu = ɛ0 µ 0. Rovnie jsou Maxwellovy rovnie pro poteniály, spolu s kalibraí jsou ekvivalentní 5. 9. Rovinná a kulová vlna V případě volného elektromagnetikého pole popisují homogenní rovnie odpovídajíí šíření vln. Vlnová rovnie v jednorozměrném případě popisuje rovinnou vlnu ve směru x ψx, t ψx, t = 0. 3 x t Obené řešení je ψx, t = f t x + g t x. 4 Vezmeme jako príklad Gaußovu funki f = exp[ t x ]. Maximum se nahází při t x = 0, pohybuje se tedy ryhlostí ve směru rostouího x. Dalším jednorozměrném příkladem je sfériky symetriká vlnová rovnie, rψr, t ψr, t = 0 5 r r t s obeným řešením ψr, t = r f t r + r g t + r. 6 Na toto řešení se můžeme divat jako na rozbíhavou nebo sbíhavou kulovou vlnu. Tvar řešení také ukazuje, že ryhlost šíření je. V lineárním materiálovém prostředí se nahrazuje ɛ 0 ɛ r ɛ 0 a µ 0 µ r µ 0. Pak dostaneme z rovnie ryhlost šíření /n, když zavedeme index lomu n = ɛ r µ r. 0
9.3 Obené řešení nehomogenní rovnie pro poteniály. Pro obené řešení rovnie ještě hybí partikulární řešení nehomogenní rovnie. Zavedeme Fourierovu transformai časové závislosti poteniálu a hustoty náboje φ x, t = dω π φ x, ω e iωt, 7 ρ x, t = dω ρ x, ω e iωt 8 π a dosadíme do rovnie, dω + ω φ x, ω e iωt = dω ρ x, ω e iωt. 9 ɛ 0 Exponeniální funke s různými ω jsou nezávislé, proto platí + ω ρ x, ω φ x, ω =. 30 ɛ 0 Hledáme Greenovu funki difereniálního operatoru na levé straně, definovanou vztahem + k G x, x, k = δ 3 x x. 3 Řešení této rovnie závisí jen na absolutní hodnotu r = x x : Důkaz: G x, x, k = Gr, k == e±ikr 4πr. 3 + k e±ikr r = e ±ikr r r r + k r = 0 33 platí pro r 0. Násobíme levou stranu testovaí funkí f x a integrujeme přes elý prostor. Díky 33 stačí integral přes infinitesimální kouli o poloměru ɛ kolem počátku, d 3 x f x + k e±ikr r = r ɛ d 3 x f x + k e±ikr. 34 r Rozvíjeme exponeniální funki a využijeme /r = 4πδ 3 x x d 3 x f x + k r ɛ r ± ik k r ±... = d 3 x f x r ɛ r + k r ±... = 4πf0 + Oɛ. 35 V limitě ɛ 0 tak získáme + k e±ik x x 4π x x = δ3 x x. 36
Řešením rovnie 30 je tedy φ x, ω = 4πɛ 0 d 3 x ρ x, ω e±i ω x x x x. 37 Zpětná Fourierova transformae pro kladné znaménko vede k φ x, t = 8π ɛ 0 d 3 x dω ρ x, ω e iω x x t x x = 4πɛ 0 d 3 x ρ x, t ret x x, 38 kde retardovaný čas byl definovan jako t ret = t x x. 39 Z rovnie 36 lze přímo vypočítat Greenovu funki v prostoru a čase: G x x, t t = δ t t + x x 4π x x = δt t ret 4π x x. 40 Poteniál časově závislého rozložení náboje vypapdá formálně jako statiký poteniál, s rozdílem, že časový argument závisí na vzdalenost x x, t. j. poteniál a elektriké pole se šíří konečnou ryhlostí. Takto získaný poteniál se nazývá retardovaný poteniál, analogiky to platí pro vektorový poteniál. φ ret x, t = 4πɛ 0 d 3 x ρ x, t x x x x, 4 A ret x, t = µ 0 4π d 3 x j x, t x x x x. 4 9.4 Pole časově proměnného dipólu Uvažujme bodové náboje, soustředené všehny kolem počátku souřadni. Pak můžeme pro vektorový poteniál psát A x, t µ 0 4πr j x, t r d 3 x = µ 0 4πr α e α v α t r 43 neboli pomoí dipólového momentu A x, t µ 0 4πr p t r, pt = α e α x α t. 44 Skalární poteniál spočteme integraí vztahu Lorenzova kalibrae φ t = div A. 45
Jednoduhými úpravami dostaneme Skalární poteniál je tedy Pro intenzity dostaneme diva = µ 0 [ p t 4πr x r + r 3 p t r ], rot A = µ 0 4πr 3 x [ p t r + r p t r ]. 46 φ x, t = [ x 4πɛ 0 r p t r + r 3 p t r ]. 47 E x, t = { [ 3 p t r ] x x p t r + [ p t r ] } x x, 4πɛ 0 r 3 r B x, t = µ 0 p t r x, p t r = p t r + r 4πr 3 p t r. 48 Dostatečně daleko od dipólu máme E x, t = D 4πɛ 0 r x, t r n, µ 0 B x, t = D 4π r x, t r, 49 kde jsme označili D x, t r = p t r n, n = x r. 50 Pro hustotu energie a Poyntingův vektor platí W = ɛ 0 E + µ0 B = 6π 4 ɛ 0 r D, S = E B = µ 0 6π 3 ɛ 0 r D n. 5 Je přirozeně S = n. 5 W Příklad: Vezměme rozložení proudu ve tvaru j x, t = I δx δy sin Podle 43 a 44 spočteme snadno πz osωt e z, 0 z L. 53 L a podle 50 D x, t r = LIω π p t = LI πω sinωt e z 54 sin ϑ sin ω t r e ϕ. 55 3
Příklad: Rotujíí náboj v rovině x, y v dipólové aproximai: p = qr 0 os ωt, sin ωt, 0, 56 D = qr 0ω z sin ωt, z os ωt, y os ωt x sin ωt. r 57 Časově středovaný Poyntingův vektor popisuje výkon záření do elementu prostorového úhlu, S = q r0ω 4 + os ϑ x, y, z. 58 6π 3 ɛ 0 r r Celková vyzařovaná energie za sekundu je pak P = S n ds = q r 0ω 4 6πɛ 0 3 = q a 6πɛ 0 3, 59 kde a označuje zryhlení r 0 ω na kruhové dráze. Táto ztráta energie by vedla k ryhlému kolapsu atomů v klasiké elektrodynamie. 9.5 Liénardův - Wiehertův poteniál At se nabitá částie pohybuje po zadané trajektorii x = x 0 t. Hustota náboje je pak ρ x, t = e δ 3 x x 0 t. 60 Vzore pro skalární poteniál přepíšeme jako ρ x, t φ x, t = 4πɛ 0 x x δ t t + x x dt d 3 x = = 4πɛ 0 e Rt δ t t + Rt dt, 6 kde jsme označili Rt = x x 0 t, Rt = Rt. S pomoí vztahu δ t t + Rt = δt t r Rt r vt r Rt r napíšeme výraz pro skalární poteniál jako φ x, t = Výraz pro vektorový poteniál je pak obdobně, t r = t Rt r, 6 e 4πɛ 0 Rt Rt r r vt r. 63 A x, t = eµ 0 4π vt r Rt r Rt r vt r. 64 4
Vezměme ted jednoduhý případ pohybu s konstantní ryhlostí podél osy x. Podmínku pro nalezení časového zpoždění přepíšeme na odkud v t t r = x vt r + y + z, 65 t r = t vx [ ] x vt + v y + z. 66 Jmenovatel výrazů 63 a 64 pro poteniály můžeme psát jako t t r vx vt r Po malé úpravě pak dostáváme = [ t vx v t r ]. 67 φ x, t = e 68 4πɛ 0 v r pro skalární poteniál a A x, t = A x x, t, 0, 0, A x x, t = eµ 0 4π pro vektorový poteniál, kde jsme označili v v r 69 r = Vektor intenzity elektrikého pole je E x, t = a vektor induke magnetikého pole je [ ] x vt + y + z. 70 v e 4πɛ 0 v r 3 x vt, y, z 7 B x, t = eµ 0 4π v v 0, z, y. 7 r 3 Pro vektor hustoty impulsu pole G = ɛ 0 E B dostáváme G x, t = e µ 0 6π v a pro hustotu energie W = ɛ 0 E + B /µ 0 / výraz W x, t = v r 6 y + z, yx vt, zx vt 73 e x vt + + v y + z. 74 3π ɛ 0 v r 6 5
0 Základy teorie relativity 0. Prinipy Prinip relativity: všehny přírodní zákony jsou stejné ve všeh ineriálníh souřadnýh soustaváh. Ineriální soustavy jsou takové, kde se pohyb dějě s konstantní ryhlostí. Interake části se v obyčejné mehanie popisuje pomoí interakční poteniální energie, která je funkí polohy interagujííh části. Tento způsob popisu v sobě obsahuje předpoklad o okamžitém působení. Prinip konečné ryhlosti šíření signalu: Ryhlost šíření interake je konečná. Z prinipu relativity je tato ryhlost ve všeh ineriálníh soustaváh stejná. Z Maxwellovýh rovni je vidět, že jde o ryhlost světla ve vakuu = 99 79 458 ms. 75 Toto je exaktní hodnota, určujíí tak délkovou jednotku jednotkou času. Sjednoení prinipu relativity s prinipem konečné ryhlosti šíření signalu je nazýváno Einsteinovým prinipem relativity. 0. Interval, vlastní čas. Uvažujme dvě události: emisi a absorpi fotonu. V soustavě K je v soustavě K pak x x + y y + z z t t = 0, 76 x x + y y + z z t t = 0. 77 Zavedeme obeně kvadrat intervalu mezi dvěma událostmi dvěma body čtyřrozměrného prostoročasu jako s = t t x x y y z z, 78 popřípadě pro infinitesimálně blízké události ds = dt dx dy dz. 79 Je-li interval roven nule v nějaké ineriální souřadné soustavě K, je roven nule i v libovolné jiné soustavě K. Potom tedy musí být ds = kv ds. 80 Vzhledem k homogenitě prostoru a času nemůže faktor úměrnosti záviset na souřadniíh, vzhledem k isotropii prostoru může pak tento faktor záviset pouze na velikosti relativní ryhlosti uvažovanýh ineriálníh soustav. Uvažujeme-li tři soustavy K, K a K, dostáváme ds = kv ds, ds = kv ds, ds = kv ds kv kv = kv, 6 8
a protože levá strana poslední rovnie nezávisí na úhlu mezi vektory ryhlostí v a v, zatímo pravá strana může, musí být kv =. 8 Kvadrát intervalu mezi dvěma událostmi 78 nebo mezi dvěma infinitesimálně blízkými událostmi 79 je stejný ve všeh ineriálníh soustaváh. V předešlýh uvaháh se připojuje čas přírozeným způsobem k prostoru, proto je výhodně definovat čtyřrozměrný prostoročas či Minkowskiho prostor, v němž se počítá kvadrat prostorového intervalu záporně a kvadrat časového intervalu kladně nebo opačně. Oznamení událost má význam bodu v čtyřrozměrném prostoručase. Označme si v soustavě K t = t t, l = x x +y y +z z s = t l. 83 Zkoumejme, existuje-li taková soustava K, kde by se obě události odehraly v jednom bodě prostoru, tedy že platí l = 0. Máme tak podmínku s = t l = t > 0,; takový interval se nazývá časupodobný. Naopak požadavek na to, aby existovala soustava, ve které obě události nastanou současně t = 0, vede k podmíne s = t l = l < 0,; interval se pak nazývá prostorupodobný. V soustavě, která se pohybuje s daným hmotným bodem l = 0, můžeme tedy definovat vlastní čas jako t t = s t ds = v dt. 84 s V případě konstantní ryhlosti v dostaneme jednoduhý vztah mezi parametrem s trajektorie tělesa a časovou souřadnií t, s s = v t t. 85 0.3 Lorentzova transformae Soustava K se pohybuje vůči ineriální soustavě K ryhlostí v podél osy x. Z elementárníh úvah je zřejmé, že čtvere intervalu s = t x se nezmění při transformai t = x sinh ψ + t osh ψ, x = x osh ψ + t sinh ψ, 86 podobně jako se nezmění čtvere vzdalenosti l = x + y při transformai t x = x os ϕ + y sin ϕ, y = x sin ϕ + y os ϕ. 87 Pro počátek soustavy K bod x = 0 máme v soustavě K z definie x/t = v, jednak z 86 x/t = tanh ψ, máme tedy tanh ψ = v/ a vztah 86 můžeme zapsat jako Lorentzovu transformai t = t + v x, x = x + v t, y = y, z = z. 88 v v 7
Vždy jsou uváděny dva klasiké příklady na použití vztahu 88. a V soustavě K je podél osy x v klidu měřítko, jehož dvě rysky mají v této soustavě souřadnie x, x. Vzdalenost klidová rysek je tedy x 0 = x x. Vzdalenost v soustavě K souřadnie jsou určovány ve stejném čase t = t je x = x x = x 0 v. Mluvíme o kontraki délky. b V soustavě K se v časeh t a t odehrají dvě události v jediném místě x = x, y = y, z = z interval mezi událostmi je tedy t 0 = t t. V soustavě K je interval mezi těmito událostmi t = t t = t 0 v. Mluvíme pak o dilatai času. / Vztah 88 můžeme zapsat i v difereniálním tvaru dt = dt + v dx, dx = dx + v dt, dy = dy, dz = dz. 89 v v Pro transformai složek vektoru ryhlosti w = d x/dt, w = d x /dt dostaneme z 89 vztah w x = w x + v, w + w x v y = w y v, w + w x v z = w z v. 90 + w x v Sledujeme-li šíření světelného paprsku v rovině w x = os ϑ, w y = sin ϑ, w z = 0 resp. w x = os ϑ, w y = sin ϑ, w z = 0, dostaneme vztah aberae světla v sin ϑ = + v os sin ϑ. 9 ϑ Pro v/ položíme ϑ = ϑ ϑ a porovnáním nejnižšího členu Taylorova rozvoje dostaneme obvykle uvádený vztah ϑ = v sin ϑ. 9 0.4 Čtyřvektory, čtyřtenzory Nejprve definujeme podstatné tenzory. Metriký tenzor v Minkowskiho prostoru a jednotkový tenzor jsou 0 0 0 0 0 0 g ik = g ik 0 0 0 = 0 0 0, δk 0 0 0 i = 0 0 0. 93 0 0 0 0 0 0 g ik se nazývá kovariantní metrika, inversní metrika g ik se nazývá kontravariantní. Dále definujeme kontravariantní a kovariantní úplně antisymetriký tenzor 4. řádu pomoí vztahů ɛ iklm ɛ 03 =, ɛ iklm ɛ 03 =. 94 8
Čtyřvektor souřadni události kontravariantní a kovariantní zapisujeme jako x i = x 0, x, x, x 3 = t, x, x i = x 0, x, x, x 3 = t, x. 95 Metrika nám udává invariantní prostoročasovou délku vektoru x i Přitom platí s = g ik x i x k = g ik x i x k = x i x i = t x + y + z. 96 x i = g ik x k, x i = g ik x k 97 zvednutí a spustění indexů = transformae mezi kontravariantními a kovariantními indexy. V čtyřrozměrném zápisu můžeme Lorentzovu transformai ve směru x 88 psát ve tvaru x i = Λ i k x k 98 s Lorentzovou matií kde γ je běžné zkráení Λ i k = γ := 0.5 Čtyřryhlost a čtyřzryhlení v γ γ 0 0 v γ γ 0 0 0 0 0, 99 0 0 0. 00 v Definujeme čtyřvektor ryhlosti přírozeným způsobem jako derivai čtyřvektoru událostí, ze kterýh se skladá světočára čtyřrozměrná trajektorie tělesa, podle parametru s = krát vlastní čas u i = dxi ds, ui =, v v v u i je tedy tečným vektorem světočáry. Obdobně čtyřvektor zryhlení, u i u i =. 0 a i = dui ds = d x i ds, ui a i = 0. 0 Podivejme se na relativistiký popis pohybu s konstantním zryhlením. V souřadné soustavě, kde ryhlost částie je momentálně nulová v = 0, máme u i K =, 0, 0, 0, a i K = 0, a, 0, 0, 03 kde a je obyčejné zryhlení. V souřadné soustavě pohybujíí se ryhlostí v ve směru x je ryhlost a zryhlení v dv dv u i v =,, 0, 0, a i = 3 dt dt v v v, v, 0, 0. 04 9
Po malé úpravě z rovnosti a i a i = a i K a Ki dostáváme d v = a. 05 dt v S počátečními podmínkami v 0 = 0, x 0 = 0 dostáváme řešení pro konstantní zryhlení a at v = +, x = at +. 06 at a 0.6 Relativistiký impuls Jak v klasiké mehanie, tak existuje i ve speiální teorii relativity prinip nejmenšího účinku. Jako invariantní a jednoduhý účinek bodové částie se nabízí integrál délky podél světočáry. Z důvodu dimenze a abyhom v nerelativistiké limitě dostali pro účinek známý nerelativistiký výraz, musíme konstantu úměrnost zvolit rovnu m, tedy Lagrangeova funke a impuls jsou L = m b S = m ds = m tb a t a v, v dt. 07 L p = v = m v v. 08 S volbou faktoru m dostaneme v přiblížení v L m v = mv m, 09 tedy nerelativistikou Lagrangovu funki volné částie minus konstantu m, která je bez významu pro pohybové rovnie klasiké mehaniky. Hamiltonova funke je pak H = p v L = m = p + m 4 ; 0 v v prípadě v dostaneme H m + mv, t. j. klidová energie hmoty + nerelativistiká kinetiká energie. Z hamiltoniánu a impulsu skládáme čtyřimpuls H p i =, p = mu i, p i p i = m a zavedeme čtyřvektor sily f i = dpi ds = f v f,, f i p i = 0. 3 v v 30
Náboj v elektromagnetikém poli. Pohybové rovnie Účinek nabité částie v elektromagnetikém poli je dán vzorem kde jsme zavedli čtyřpoteniál Lagrangeova funke a zobeněný impuls jsou L = m v + e A v eφ, hamiltonova funke je H = P v L = b b S = m ds e A i dx i, 4 a a A i = φ, A. 5 P = L v = Z vektorové analýzy budeme potřebovat identitu Je pak m v v + e A = p + e A, 6 m + eφ = m 4 + P ea + eφ. 7 v a b = a b + b a + b a + a b. 8 L = e A v e φ = e v A + e v A e φ, Lagrangeova rovnie je tedy kde jsme označili d p + ea d p = dt dt + e A t + e v A. 9 d p dt = e E + v B, 0 E = φ A t, B = A. Ve čtyřrozměrné notai je Variae elementu délky je b b δs = m δds e δ A i dx i. a a δds = δ g ik dx i dx k = g ik dx i δdx k ds 3 = u k δdx k, 3
variae vektorového poteniálu δa i = A i x k δxk. 4 Použítím toho a integraí per partes dostaneme b δs = m δx i du i + e A i a x k δxi dx k e A i x k δxk dx i mu i + ea i δx i b. 5 a Z toho vyplývají pohybové rovnie s definií tenzoru F ik m du i ds = e F ik u k 6 Fik = A k x i A i x k. 7 Prostorové složky pohybovýh rovni popisují Lorentzovu sílu 0.. Tenzor elektromagnetikého pole V minulém podkapitoli jsme zavedli tenzor elektromagnetikého pole F ik = 0 E x E y E z E z 0 B z B y Ey B z 0 B x E z B y B x 0, F ik = 0 Ex E y Ez E x 0 B z B y E y B z 0 B x E z B y B x 0. 8 Při Lorentzově transformai se tenzor elektromagnetikého pole transformuje podle vztahu F ik = Λ i m Λ k n F mn. 9 Při Lorentzově transformai ve směru x s matií Λ i k 99 dostaneme následujíí transformační vztah tenzoru elektromagnetikého pole 0 F 0 γ F 0 + v F γ F 03 + v F 3 F ik F 0 0 γ F + v = F 0 γ F 3 + v F 03 γ F 0 + v F γ F + v F 0 0 F 3. γ F 30 + v F 3 γ F 3 + v F 30 F 3 0 30 Převedeno do vektorů intenzity a induke platí E x = E x, E y = γe y + vb z, E z = γe z vb y, B x = B x, B y = γ B y v E z, B z = γ B z + v E y. 3 3
V nerelativistikém přiblížení v/ 0 přehází 3 na E = E v B, B = B. 3 Invarianty pole můžeme zkonstruovat z tenzoru pole. Poněvadž je antisymetriký, zúžení nedává ni a máme až kvadratiké výrazy g im g kn F ik F mn = F ik F ik = inv, ɛikmn F ik F mn = F ik F ik = inv. 33 Duální tenzor vyjádřený pomoí intenzity elektrikého pole a induke magnetikého pole má tvar 0 B x B y B z B x 0 E z E y F ik = E z B y 0 E 34 x B z E y E x 0 Invarianty mají pak vyjádření F ik F ik = E B, Synhrotronové záření. Liénardův-Wiehertův poteniál F ik F ik E = 4 B. 35 Počítáme poteniál pole, vytvařeného jedním nábojem, který se pohybuje po trajektorii x = x 0 t, v čase t v bodě P x, y, z. Poteniál je dán stavem pohybu částie v čase t, pro který platí doba potřebná pro šíření světelného signalu t t = Rt = x x 0 t. 36 V souřadné soustavě, ve které je částie v čase t v klidu, máme právě Coulombův zákon φ x, t = e 4πɛ 0 Rt, A x, t = 0. 37 Podmínku 36 zapíšeme ve čtyřrozměrném kovariantním tvaru jako podmínku toho, že interval mezi událostmi emise fotonu t, x 0 t a absorpe fotonu t, x leží na světelném kuželu, tedy pro rozdíl čtyřvektorů událostí R k = t t, x x 0 t platí R k R k = 0. 38 33
Pomoí tohoto nulového čtyřvektoru a jednotkového čtyřvektoru ryhlosti částie u i =, v v v, v = vt = d x 0t dt, u i u i = 39 se pokusíme zapsat čtyřvektor poteniálu pole tak, aby pro v = 0 tj. pro čtyřvektor u i =, 0 přešel do tvaru 37. Z možnýh kombinaí snadno nalezeme výsledek A i = φ, A = e 4πɛ 0 u i u k R k. 40 Pokud nevypisujeme expliitně argumenty, musíme mít na pamětí, že levé strany vztahů jsou uvažovány v čase t, pravé strany v čase t. V trojrozměrném značení pak má 40 tvar φ = e 4πɛ 0 R, eµ 0 A = v R 4π R v R Výsledek 4 je přirozeně stejný jako 63 a 64. Při výpočtu polí. 4 v R R E = φ A t, B = A 4 budeme potřebovat následujíí triky pro výpočet pariálníh derivaí: Derivováním vztahu 36 podle t dostáváme R t = R t t t = R v t R t = t t t Obdobně derivováním vztahu 36 podle x dostáváme t = t = Rt = R t R + t R t R = R v R R. 43. 44 v R R Výraz pro poteniály ve 4 pak budeme hápat jako funke f x, t, a budeme počítat pariální derivae podle x při konstantním t a podle t při konstantním x. Porovnaváním difereniálů df = f d x + f t dt = f d x + f t dt = přepíšeme 4 jako f + f t d x + f t dt 45 t t t E = φ x, t φ x, t t t A x, t t t t, B = A x, t + t A x, t t. 46 34
Pro intenzitu elektrikého pole dostáváme pak E = e v n v 4πɛ 3 + n n v w 0 R v n R 3, 47 v n zatímo pro induki magnetikého pole pole B = n E = eµ 0 v v n 4π 3 + n n n v w R v n R 3. 48 v n Označili jsme jednotkový vektor n = R/R a zryhlení w = d v/dt. Limitní případy pro v/ 0 jsou E e n 4πɛ 0 R, eµ 0 v n B. 49 4πR. Intenzita záření Poyntingův vektor energie, proházejíí jednotkovou plohou za jednotku času, dimenze [Jm s ] je S = µ 0 E B = ɛ0 E n 50 a intenzitu záření tj. energie, vyzařovanou za sekundu do elementu prostorového úhlu, [Watt] spočteme tedy jako di = lim S n R dω. 5 R Po dosazení z 50 a 47 di = e 6π ɛ 0 3 n w v w 5 + v n w v n v n w 4 6 dω. 5 v n Pro v/ 0 dostáváme s označením n w = w os ξ pro elkovou vyzařovanou intenzitu I = e w π π dη dξ sin ξ os ξ = e w 6π ɛ 0 3 0 0 6πɛ 0. 53 3 V klidové soustavě částie je tedy s označením I = de/dt de = e w 6πɛ 0 3 dt, ui = dxi ds =, 0, w i = dui ds = 0, w. 54 Relativistiky invariantní výraz tj. difereniál čtyřvektoru impulsu vytvořený z čtyřvektorů ryhlosti a zryhlení, který v klidové soustavě přejde na výrazy ze vztahu 54, je pak p i = E, p, dp i = e du k du k 6πɛ 0 ds ds dxi = 35 e 6πɛ 0 du k ds du k ds ui ds. 55
V laboratorní soustavě tedy máme pro elkovou vyzařovanou intenzitu výraz I = e w 6πɛ 0 3 w v v 3. 56 Zde jsme potřebovali vyjádření čtyřvektoru ryhlosti i zryhlení v laboratorní soustavě. Abyhom nemuseli při výpočtu čtyřvektoru zryhlení užit obené Lorentzovy transformae, vypočteme w i derivováním známého tvaru u i = / v, v/, v potom w i v w w v v w = 3 v, + v 4 v. 57 V homogenním magnetikém poli se nabitá částie pohybuje ryhlostí v po kružnii poloměru R, její zryhlení w = v /R je kolmé k ryhlosti. Dosazením do vztahu 56 I = e v 4 6πɛ 0 3 R v = e p 4 e T 4. 58 6πɛ 0 R m 6πɛ 0 R m V posledním výrazu ve 58 jsme použili aproximae vysokýh energií, kde pro kinetikou energii platí T = p + m 4 m p. Z tohoto výrazu je také zřejmé, že synhrotronové záření je omezujíím faktorem při uryhlování lehkýh části elektronů a positronů. Pro normovaí hodnotu R 0 0, 5 km můžeme psát I R 0 /R T/m 4 ev s. Jsou-li ryhlost a zryhlení v určitém okamžiku rovnoběžné, dostáváme n v = v os ϑ, ryhlost podél osy z pro úhlové rozložení záření výraz di = e w 6π ɛ 0 3 sin ϑ v os ϑ 6 dω. 59 Pro hodnoty v/ má úhlové rozložení velmi úzké, ale dvouhrbé maximum kolem ϑ = 0. Jsou-li ryhlost a zryhlení v určitém okamžiku navzájem kolmé, dostáváme n v = v os ϑ, n w = w os ϕ sin ϑ, ryhlost podél osy z a zryhlení podél osy x pro úhlové rozložení di = e w 6π ɛ 0 3 v os ϑ 4 v sin ϑ os ϕ v os ϑ 6 dω. 60 3 Maxwellovy rovnie v čtyřrozměrné formulai 3. Čtyřrozměrný vektor proudu, rovnie kontinuity Definujeme čtyřvektor proudu pro částii: náboj krát čtyřryhlost j i = ρ dxi dt = ρ, ρ v = ρ, j. 6 36
Náboj, který ubude v nějakém objemu, můžeme zapsat dvojím způsobem S pomoí Gaußovy věty pak z 6 plyne tedy objem je libovolný rovnie kontinuity 3. Homogenní Maxwellovy rovnie ρ dv = j n ds. 6 t ρ j + dv = 0, 63 t j + ρ t = ji = 0. 64 xi Z vyjádření tensoru elektromagnetikého pole pomoí poteniálu snadno odvodíme platnost vztahu F ik x l + F kl x i + F li = 0. 65 xk Na levé straně je úplně antisymetriký tensor třetího řádu, představuje pouze čtyři různé rovnie. Zřetelněji je to vidět, užijeme-li zápis duálního pseudovektoru F ɛiklm lm x k ik F = = 0. 66 x k Nultá komponenta dává tvrzení o nezřídlovém harakteru magnetikého pole, další tři komponenty Faradayův indukční zákon B = 0, E = B t. 67 3.3 Nehomogenní Maxwellovy rovnie Čtyřrozměrný zápis nehomogenníh Maxwellovýh rovni, obsahujííh hustotu náboje a proudu, je F ik x k = µ 0j i. 68 Nultá komponenta je rovnie pro divergeni intenzity elektrikého pole Gaußova věta elektrostatiky, zbývajíí tři pro rotai magnetikého pole Ampèreův zákon E = ρ ɛ 0, B = E t + µ 0 j. 69 37
3.4 Tensor energie-impulsu Z hustoty energie W = ɛ 0E + B, 70 µ 0 z Poyntingova vektoru S = µ 0 E B 7 a z Maxwellova tensoru nápětí σ αβ = ɛ 0 E α E β + µ 0 B α B β W δ αβ 7 elektromagnetikého pole ve vakuu můžeme sestavit čtyřrozměrný tensor energieimpulsu, T ik = W S β S α σ αβ. 73 Pomoí tensoru elektromagnetikého pole dostáváme jednoduhý výraz T ik = µ 0 g lm F il F km + 4 gik F lm F lm. 74 Tensor energie-impulsu soustavy části zapíšeme pomoí analogie s tensorem energieimpulsu elektromagnetikého pole. Hustotu impulsu soustavy části napíšeme jako π α = µu α, µ = a m a δ 3 x x a. 75 Hustota impulsu je u elektromagnetikého pole rovna hustotě toku energie dělené. Výraz 75 bude tedy analogiky roven T 0α /. Veličina µ je nultou komponentou stejně jako hustota náboje u čtyřvektoru proudu čtyřvektoru toku hmoty µ dx i /dt. Tensor energie-impulsu tak můžeme konečně psát jako T ik = µ dxi ds dx k dt = µ ui u k ds dt, T ik = T ki. 76 Pro tensor energie-impulsu elektromagnetikého pole dostaneme s využitím Maxwellovýh rovni F ik x = µ k 0 j i, ɛ iklm F lm x = 0 77 k výraz x T ik k F = F ik j k. 78 Pro tensor energie-impulsu soustavy části dostaneme s využitím pohybovýh rovni µ dui ds = ρ F ik u k µ dui dt = F ik j k 79 38
a rovnie zahování hmotnosti rovnie kontinuity pro čtyřvektor toku hmotnosti, podobně jako pro čtyřvektor proudu µ dxk = 0 80 x k dt výraz x T ik k P = F ik j k. 8 Spojením 78 a 8 dostáváme zákon zahování T ik x k F + TP ik = 0. 8 Pro tensor energie-impulsu platí rovnost právě pro elektromagnetiké pole 4 Elektromagnetiké vlny 4. Vlnová rovnie T i i 0. 83 Vezmeme nehomogenní Maxwellovy rovni ve vakuu ρ = 0, j = 0 a dosadíme vyjádření pole pomoí poteniálů F ik x = 0, F ik = g ij g kl Al k x A j, j x l g ij A k x j x A i k gkl = 0. x k x l Lorenzova kalibrační podmínka nabývá formu čtyřdivergene 84 a zjednoduší 84 na vlnovu rovnii A k x k = 0 85 Pomoí d Alembertova operátoru g kl A i x k x l = 0. 86 máme pak ve třírozměrném zápisu = t 87 φ t + A = 0, φ = 0, A = 0. 88 39
Vlnové rovnie, spolu s Lorenzovou kalibrační podmínkou, jsou ekvivalentní Maxwellovým rovniím pro volné elektromagnetiké pole. Konsistene kalibračníh podmínek s rovniemi pole se dokáže takto: Zvolíme Lorenzovu kalibrai k A k = 0 na počáteční nadploše t = 0. Řešíme rovnii Ak = 0. 3 Protože A k je řešení vlnové rovnie, platí t ka k = Ä0 + A = A0 + A = A0 + A = E = 0. k A k = 0 a t ka k = 0 pro t = 0. 4 Když A k je řešení vlnové rovnie, pak je k A k také řešení: 5 Z toho vyplývá, že k A k = 0 všude. k A k = k A k = 0. 4. Rovinná monohromatiká vlna Řešení hledáme ve tvaru rovinné vlny, tedy konstantní čtyřvektor násobený komplexním fázovým faktorem A i = Re{a i expik j x j }, k i k i = 0, k i a i = 0. 89 Poslední vztah ve 89 je dán Lorenzovou kalibrační podmínkou. Vlnový čtyřvektor zapisujeme jako ω k i =, k, ω k = n, n =. 90 Velmi jednoduše popíšeme pomoí harakteristik rovinné monohromatiké vlny Dopplerův jev. Mějme zdroj světla, který je v klidu v soustavě K 0. Soustava K 0 se pohybuje vzhledem k laboratorní soustavě K ryhlostí v. At je úhel mezi směrem pohybu zdroje a směrem šíření světla α. Potom platí k0 0 = k0 v k, k v 0 0 = k0 = k v k0, k v 0 = ω 0, k0 = ω, ω 0 os α 0, k = ω os α. 9 a odtud v ω = ω 0 v 9 os α. Pro ryhlosti malé ve srovnání s ryhlostí světla máme ω ω 0 + v os α + v os α. 93 40
Tensor energie-impulsu je T ik = ω W ki k k, W = µ 0 [ a i a i + Re { a i a i exp ik j x j}]. 94 Ve střední hodnotě podle času je druhý člen ve výrazu pro hustotu energie roven nule. Oba invarianty 35 jsou rovny nule. Se speiální volbou kalibrae spojené ovšem s jednou určitou ineriální souřadnou soustavou máme pro rovinnou vlnu ve směru x A i = 0, A, A = ay osωt kx + α e y + a z sinωt kx + α e z, E = ωa y sinωt kx + α e y ωa z osωt kx + α e z, B = ka z osωt kx + α e y + ka y sinωt kx + α e z. 95 Eliptiká polarizae takové vlny je vidět ze vztahu E y ω a y + E z ω a z =, B y k a z + B z k a y =. 96 4.3 Rozklad elektrostatikého pole bodového náboje Poteniál bodového náboje Coulombův poteniál vyhovuje rovnii Uvažujme Fourierovu transformai φ x = φ x = q ɛ 0 δ 3 x. 97 φ k expi k x d3 k π, φ 3 k = φ x exp i k x d 3 x. 98 Máme dvě vyjádření pro Fourierovu transformai působení Laplaeova operátoru φ x = φ x = q ɛ 0 Porovnáním obou vyjádření dostáváme 4.4 Vlastní kmity pole k φ k expi k x d3 k π 3 φ k = k φ k, expi k x d3 k π 3 φ k = q ɛ 0. φ k = 99 q ɛ 0 k. 300 Uvažujme objem V uzavřený v hranole o hranáh délky A, B, C a kalibrai φ = 0, A = 0. Máme A = k A k expi k x, k A k = 0, A k = A k, 30 4
přitom k x = πn x A, k y = πn y B, k z = πn z C, 30 kde n x, n y, n z jsou elá čísla. Fourierovy složky vyhovují rovnii d A k dt + ω A k = 0. 303 Jsou-li rozměry A, B, C zvoleného objemu dostatečně velké, jsou sousední hodnoty k x, k y, k z velmi blízké a můžeme uvažovat o počtu možnýh stavů v intervalu hodnot vlnového vektoru n x = A π k x, n y = B π k y, n z = C π k z, n = n x n y n z = V k x k y k z π 3. 304 Pro pole dostaneme s poteniálem 30 E = A t = k d A k dt expi k x, B = A = i k k A k expi k x. 305 Celková energie pole je E = ɛ 0E + B dv = V µ 0 da ɛ k 0 dt k d A k dt + k A k k A µ k. 0 Jednoduhou úpravou využití kalibrační podmínky přepíšeme výraz 306 na E = V ɛ 0 d A k dt k d A k dt 306 + ωk A k A k, ω k = k. 307 V ozkladu poteniálu 30 je časová závislost obsažená v A k. Vhodnější pro interpretai je expliitní zápis časového hováni pro každé k A = k [ a k exp i k x ωk t + a k exp i k x ωk t ]. 308 Porovnáním 308 a 30 dostáváme A k = a k exp iω k t + a expiω k kt. 309 Dosazení 309 do 307 umožňuje ted napsat energii pole jako E = E k, E k = V ɛ 0 ωk a k a k. 30 k 4