MECHANIKA 2 Wykład Nr 12 Zasady pracy i energii Prowadzący: dr Krzysztof Polko
WEKTOR POLA SIŁ Wektor pola sił możemy zapisać w postaci: (1) Prawa strona jest gradientem funkcji Φ, czyli (2)
POTENCJAŁ POLA SIŁ ( ) ( ) Funkcję U x, y, z = Φ x, y, z nazywamy potencjałem pola sił. Potencjał spełnia następujące zależności: (3) lub w postaci wektorowej
POTENCJAŁ POLA SIŁ Potencjałem pola sił nazywamy skalarną funkcję położenia ( x, y z) U,, której pochodne cząstkowe względem odpowiednich kierunków są równe składowym siły pola w tych kierunkach ze znakiem ujemnym. Gradient tej funkcji jest równy sile pola ze znakiem (-). Miejsce geometryczne punktów, dla których ( x, y, z) const U = nazywamy powierzchnią ekwipotencjalną.
SIŁA W POTENCJALNYM POLU SIŁ Cechy siły potencjalnego pola sił : a) Moduł siły jest równy b) kierunek prostopadły do powierzchni ekwipotencjalnej, c) Siła ma zwrot od powierzchni wyższego potencjału do powierzchni niższego potencjału.
WŁASNOŚCI POTENCJALNEGO POLA SIŁ Po zróżniczkowaniu pierwszego równania (z układu 3) względem y, drugiego względem x, otrzymamy: (4) Z (4) wynika, że: (5) Podobnie, różniczkując względem przemiennych" kierunków układ równań (3), dochodzimy do następujących zależności: (6)
WŁASNOŚCI POTENCJALNEGO POLA SIŁ Składowe siły pola muszą spełniać związki (6), ażeby pole sił było polem potencjalnym. W postaci wektorowej: (7) Aby pole sił było polem potencjalnym, rotacja wektora siły pola musi być równa zeru.
PRACA W POTENCJALNYM POLU SIŁ Praca elementarna (8) W polu potencjalnym praca elementarna jest różniczką zupełną pewnej funkcji skalarnej - potencjału pola sił - ze znakiem ujemnym. Praca całkowita (9) stąd (10) W polu potencjalnym praca całkowita jest równa różnicy potencjałów w położeniu początkowym i końcowym.
CECHY POTENCJALNEGO POLA SIŁ a) potencjał jest skalarną funkcją położenia b) potencjał istnieje w polu, dla którego c) w polu potencjalnym praca elementarna jest równa różniczce zupełnej potencjału ze znakiem ujemnym d) praca całkowita w polu potencjalnym nie zależy od kształtu toru i równa się różnicy potencjałów e) praca w polu potencjalnym po dowolnej krzywej leżącej na powierzchni ekwipotencjalnej jest równa zeru.
CECHY POTENCJALNEGO POLA SIŁ h) powierzchnie ekwipotencjonalne i linie sił tworzą układ ortogonalny, i) siły pola są zwrócone od powierzchni wyższego potencjału do powierzchni niższego potencjału. j) praca całkowita w polu potencjalnym po dowolnej linii zamkniętej jest równa zeru
PRACA W POLU SIŁ CIĘŻKOŚCI Rys. 4 Składowe sił pola grawitacyjnego Ziemi Praca elementarna Potencjał pola sił ciężkości ma postać: (11) Praca całkowita od położenia 1 do położenia 2 (rys. 4) będzie równa
PRACA W POLU SIŁ CIĘŻKOŚCI Przyjmiemy, że na poziomie Ziemi (na której znajduje się położenie 2) potencjał jest równy zeru. Wtedy praca całkowita wynosi : (12) Pracę U = mgh nazywamy energią potencjalną. Jest to praca, jaką wykona pole sił ciężkości przy przemieszczeniu masy m z wysokości h na powierzchnię Ziemi.
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ Z zasady pracy i energii kinetycznej oraz pracy i energii potencjalnej δa = de δa = du wynikaże: czyli (13) Jest to forma różniczkowa zasady zachowania energii mechanicznej. Całkując to równanie otrzymujemy (14) W polu potencjalnym suma energii kinetycznej i potencjalnej jest w każdym położeniu wielkością stalą. W odniesieniu do poruszającego się punktu zasadę tę możemy przedstawić za pomocą wzoru (15)
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ Przykład 1 A h B υ Z zasady zachowania energii mechanicznej E A = E B, (E = E p + E k )
ZASADA ZACHOWANIA ENERGII MECHANICZNEJ Przykład 2 Rys. 5 Po gładkim torze porusza się punkt materialny o masie m. Z zasady zachowania energii (15) wynika równość: (16) a stąd (17)
ZACHOWANIE PUNKTU W POLU SIŁ CIĘŻKOŚCI Największa wysokość z max, którą osiągnie punkt materialny, otrzymamy = 0, podstawiając do równania (17) v (18) Wynika stąd,że: a) na jednym i tym samym poziomie punkt ma tę samą prędkość (przy założeniu toru gładkiego), b) maksymalny poziom, jaki osiągnie punkt materialny, wynosi z max (18), c) punkt materialny przejdzie przez wszystkie garby toru, nie większe od wysokości z max.
PRZYKŁAD 3 Narciarz o masie m wystartował z punktu A (rys. poniżej) z prędkością początkową v 0. Wyznaczyć jego prędkość w chwili, gdy znalazł się na dole zbocza (w punkcie C). Współczynnik tarcia kinetycznego nart o śnieg w każdym punkcie wynosiłµ. Dane: s, h iα.
Rozwiązanie Ruch A B Z zasady pracy i energii mechanicznej: gdzie: A A B = praca siły tarcia Zatem : 1
Ruch B C Z zasady pracy i energii mechanicznej: gdzie: A B C = praca siły tarcia Zatem : 2
1 2 Odp.:
PRZYKŁAD 4 Z powierzchni ziemi wyrzucono pionowo w górę ciało z prędkością v 0 = 10 m/s. Na wysokości h = 3 m energia potencjalna tego ciała wynosiła U = 15 J. Ile wynosiła na tej wysokości jego energia kinetyczna (do obliczeń przyjąć: g = 10 m/s 2 )? Pominąć opory ośrodka. Z zasady zachowania energii: Odp.:
PRZYKŁAD 5 Kamień o masie 2 kg został wyrzucony pionowo do góry z prędkością początkową v 0 = 10 m/s. Czy podczas lotu kamienia była zachowana energia mechaniczna, jeżeli wiadomo,że kamień osiągnął maksymalną wysokość równą 4 m? Przyjąć g = 9,81 m/s 2. Z zasady zachowania energii powinno wynikać: Odp.: zasada zachowania energii nie była spełniona, ponieważ działały opory ośrodka.
PRZYKŁAD 6 Obciążnik o masie m 1 porusza ciało o masie m 2. Współczynnik tarcia między masą m 2 a podłożem wynosi µ. Obliczyć, z jaką prędkością obciążnik uderzy o podłogę, jeśli początkowo wisi na wysokości h i jego prędkość początkowa jest równa v 1. Pominąć tarcie linki o krążek i opory ośrodka.
Rozwiązanie
Z zasady pracy i energii: gdzie: A 1 2 = praca siły tarcia T 2 Podstawiając: otrzymujemy:
PRZYKŁAD 7 Skrzynię o masie m ciągniemy po chropowatym podłożu siłą o wartości F, nachyloną do poziomu pod kątem 30. Obliczyć pracę wykonaną przy przemieszczeniu na odległość s przez siłę wypadkową działającą na skrzynię. Narysować wszystkie siły. Współczynnik tarcia skrzyni o podłoże wynosi µ. Znaleźć też prędkość końcową skrzyni po czasie t, jeżeli skrzynia ruszyła bez prędkości początkowej. Dane: m, F,α=30, s,µ, t Szukane: W, v 1
Wypadkowa: Rozwiązanie równanie równowagi, gdyż ruch odbywa się tylko wzdłuż osi x.
Praca siły wypadkowej: Prędkość końcową znajdziemy z zasady pędu:
PRZYKŁAD 8 Na końcu sznurka o długości l umieszczono kulkę o masie m. Sznurek odchylono o kąt α. Oblicz pęd kulki w najniższym położeniu. Dane: m, l,α Szukane: p
Rozwiązanie Ponieważ nie ma tutaj sił zewnętrznych, stosujemy zasadę zachowania energii: Energię potencjalną liczymy względem położenia [2]: Ponadto:
Zatem:
RÓWNOWAGA Równowagę punktu w polu ciężkości na gładkim torze (19) Punkt będzie w równowadze na krzywej gładkiej wtedy, gdy wypadkowa sił czynnych będzie prostopadła do tej krzywej. Rozróżniamy: równowagę stałą, która zachodzi w położeniu, w którym wychylony z położenie równowagi punkt materialny będzie się poruszał w pobliżu tego położenia równowagi, równowagę chwiejną, która zachodzi w,położeniu, w którym nawet dowolnie m prędkość udzielona punktowi materialnemu oddala go na stałe od tego położenia równowagi, równowagę obojętną, zachodzącą w położeniu, gdzie punkt materialny wychylony ze swego położenia równowagi natrafia w pobliżu na nowe położenie równowagi.
RÓWNOWAGA W polu sił ciężkości równowaga punktu materialnego zachodzi w położeniu, gdzie energia potencjalna osiąga ekstremum (rys.6). Rys. 6 W szczególności równowaga stała zachodzi w położeniu, w którym energia potencjalna osiąga minimum. Jest to tzw. kryterium stateczności Mindinga i Dirichleta.
POSTACIE ENERGII ENERGIA zdolność układu do wykonania pracy potencjalna położenia, sprężystości potencjalna ciśnienia (płynu) kinetyczna elektryczna chemiczna cieplna jądrowa termojądrowa elektrostatyczna, magnetyczna, elektromagnetyczna