Wykład 5 Soczewki. Przyrządy optycze Soczewka cieka - rówaie oczewek Rozważyy teraz dwie powierzchi erycze oddzielające ośrodki o wpółczyikach załaaia kolejo i odległych od iebie o d. Niech proień krzywizy pierwzej powierzchi wyoi R, a drugiej - R. Przyjujey oczywiście, że obraz wytworzoy przez pierwzą powierzchię taowić będzie przediot dla powierzchi drugiej, a zate d. (5.) Tu pierwzy doly wkaźik, tak jak poprzedio, jet rówy zero dla przediotu, jede - dla obrazu, a drugi wkaźik ueruje powierzchie załaujące. Wzytkie odległości:,,,, ą liczoe względe, odpowiedio, puktu V lub V, tak jak dla pojedyczej powierzchi. Stoując dwukrotie rówaie pojedyczej powierzchi załaującej otrzyujey: + i R +. (5.) R Suując troai te dwa rówaia, uwzględiając związek d i grupując odpowiedie wyrazy zajdujey 3
( + ) ( ) ( ) + R R. (5.3) d Dla ciekiej oczewki d, a zate drugi wyraz po prawej troie rówaia (5.3) ożey zaiedbać i wtedy ozaczając i otrzyujey tzw. rówaie oczewek : + R R. (5.4) Wzór te pokazuje, że oc optycza dla oczewki ciekiej i dwuwypukłej ( R > i R < ) jet uą ocy optyczych dla obu powierzchi (druga powierzchia jet co prawda wklęła od troy wiązki padającej, ale wiązka pada od troy ośrodka gętzego a ie rzadzego jak oralie, a więc, z uwagi a różicę wpółczyików załaaia ta powierzchia otateczie także będzie kupiająca). Z grubza widać także, ad czy ależy ię zataowić w przypadku gdy oczewka jet gruba i ie oża poiąć jej grubości d ; będziey pewie uieli (o ile zdecydujey, że warto taki przypadek rozważyć) przypiać jakąś oc optyczą wartwie o grubości d i wpółczyiku załaaia. No i oczywiście ay wyrażeie (to jet pewie to co potrzebują zliierze oczewek), które pozwala a obliczyć oc optyczą każdej oczewki eryczej, wypukło - wypukłej, wklęło - wypukłej, wypukło - płakiej ( R ) itd, zak wyrażeia z proieiai krzywiz obu powierzchi będzie decydował o ty, czy oczewka będzie kupiająca czy rozprazająca (oczywiście o ile > ). obie rówe: Z rówaia oczewek wyika, że obie ogikowe, przediotowa i obrazowa, będą P R R O. (5.5) R R Dla oczewek zbierających jet dodatie, (p. dla oczewki dwuwypukłej, poieważ R jet ujee, zate i liczik i iaowik ą ujee i wzytko ię zgadza), dla rozprazających (p. dwuwklęłych) ogikowa będzie ujea. 3
Rówaie oczewkowe Gaua i Newtoa Podtawiając wyrażeie (6.5) do rówaia zliierzy oczewek (5.4) dotajey rówaie, które azywa ię rówaie oczewkowy Gaua: +. (5.6) Z rówaia Gaua atychiat wyika, że dla oczewek rozprazających ( < ), dla dowolego dodatiego (czyli dla dowolego przediotu rzeczywitego) ui być ujee (czyli obraz będzie zawze pozory i proty) itd., itp. Rówaie oczewkowe w iej potaci, tzw. rówaie oczewkowe Newtoa, wiąże ze obą ie wielkości; zaiat odległości przediotowej i obrazowej i wytępują w i odległości od odpowiedich puktów ogikowych, ozaczoe x i x. Potać taka jet czae wygodiejza, p. dla grubych oczewek, kiedy łatwiej jet zierzyć bezpośredio odległości ogik, a pote przediotu i obrazu, od ajbliżzych powierzchi zewętrzych oczewki. Żeby otrzyać rówaie oczewkowe w potaci ewtoowkiej, podtawy do rówaia w potaci gauowkiej związki poiędzy odległościai gauowkii i ewtoowkii: x + oraz x +. Otrzyujey wtedy: x + + x +. (5.7) Skąd przez prote przekztałceia zajdujey rówaie oczewkowe Newtoa: x. (5.8) x Z rówaia (5.8) wyika bezpośredio, że zaki odległości ewtoowkich x i x uzą być jedakowe (obie dodatie, albo obie ujee, jedocześie), a zate przediot i jego obraz uzą zajdować ię po przeciwych troach odpowiedich puktów ogikowych). łaiących: Kowecja zaków dla oczewek Kowecja zaków dla oczewek jet podoba do tej dla zwierciadeł i powierzchi. Odległość przediotowa jet dodatia dla przediotu rzeczywitego i ujea dla 3
pozorego.. Odległość obrazowa jet dodatia dla obrazu rzeczywitego i ujea dla pozorego. 3. Ogikowa oczewki jet dodatia dla oczewek zbierających (kupiających) i ujea dla rozprazających. Wyzaczaie biegu proiei dla oczewki ciekiej Do zalezieia obrazu przediotu oża toować etodę, podobą jak dla zwierciadła. Dla utaleia położeia obrazu wytarczy oczywiście wyzaczeie biegu dwóch dowolie wybraych proiei z wiązki padającej a układ. Najłatwiej jet wykorzytaie trzech proiei, których bieg w układzie optyczy oża łatwo zaleźć. Są to atępujące trzy proiei: )proień główy - ieodchyloy proień przechodzący przez środek krzywizy (dla pojedyczej powierzchi) lub środek oczewki (proień S O ); ) proień rówoległy - proień rówoległy do oi optyczej, po załaaiu przechodzi o przez ogiko obrazowe (proień S A); 3) proień ogikowy - proień przechodzący przez ogiko przediotowe, po załaaiu proień te poruza ię po torze rówoległy do oi optyczej (proień S FP ). Bieg dwóch pośród trzech wyliczoych wyżej proiei do puktu ich przecięcia (w przypadku obrazu pozorego ależy przedłużyć proieie wtecz ), wytarcza do zalezieia obrazu dowolego puktu. 33
Powiękzeie poprzecze i podłuże obrazu utworzoego przez oczewkę cieką. Powiękzeie poprzecze T obrazu deiiujey w poób atępujący: T y y. (5.9) Przypoiy, że zgode z ogólie przyjętą kowecją odległości powyżej oi optyczej liczyy jako dodatie, a poiżej jako ujee. Tak więc dla obrazu rzeczywitego T będzie zawze ujee ( i dodatie), a wartość bezwzględa oże być zarówo więkza jak iejza od. Porówując trójkąty S S FP i P OBF a także P P FO i O AOF zajdujey: T y y, (5.) x x gdzie x P FO i x SFP ą odległościai przediotu i obrazu od odpowiedich ogik (ą to odległości ewtoowkie, które wprowadziliśy poprzedio). Powiękzeie podłuże obrazu L deiiujey jako: L d d. (5.) dx dx Korzytając z rówaia Newtoa ( x x ) otrzyujey dx / x, a zate dx / dx. (5.) L T dx x Z rówaia (5.) wyika, że po pierwze, ubytko x towarzyzą przyroty x (trzałka kierowaa do oczewki zotaie odwzorowaa w trzałkę kierowaą od oczewki), a po drugie, że oba powiękzeia ą róże; oża więc oczekiwać dytorji obrazu, zczególie wtedy, gdy oczekujey dużych powiękzeń lub poiejzeń. Soczewki grube i układy złożoe Rozpatrując oczewki grube i złożoe układy optycze (kładające ię z kilku oczewek, ciekich lub grubych) przyjiey za Möbiue i Gaue (bez dowodu), że dowoly układ optyczy oża opiać przy poocy protego odelu, w który zakłada ię, 34
że załaaie proiei wiązki światła w układzie zachodzi tylko i wyłączie w dwóch tzw. płazczyzach główych protopadłych do oi optyczej i zlokalizowaych a ogół wewątrz układu. Właości płazczyz główych ą atępujące:. Rówoległa do oi optyczej wiązka światła padająca a układ z jedej troy wychodzi z układu z drugiej troy kupiając ię w ogiku odległy o ogikową od drugiej płazczyzy główej i, aalogiczie, rówoległa wiązka światła padająca a układ z drugiej troy, wychodzi z układu po przeciwej troie kupiając ię w ogiku odległy o tę aą odległość ogikową od pierwzej płazczyzy główej. Rozbieża wiązka proiei wychodząca z jedego z ogik układu opuści układ po przeciwej troie jako wiązka rówoległa. 3. Jeżeli odległości przediotową i obrazową będziey ierzyć od, odpowiedio, pierwzej i drugiej płazczyzy główej, to rówaie opiujące relację poiędzy tyi wielkościai i ogikową będzie iało potać: +. Dla oczewki ciekiej obie płazczyzy główe pokrywają ię, dla oczewek grubych płazczyzy te ą zlokalizowae w pobliżu zewętrzych powierzchi oczewki, a dla układu optyczego kładającego ię z kilku oczewek zajdują ię, odpowiedio, w pobliżu pierwzej powierzchi pierwzej oczewki i drugiej powierzchi otatiej oczewki w układzie. Dla oczewki grubej pukty przecięcia płazczyz główych z oią optyczą, tzw. pukty główe, powiy zate być zlokalizowae iezbyt daleko od puktów wierzchołkowych. 35
Właości ogikujące (obrazujące) układu optyczego ą całkowicie wyzaczoe przez położeia płazczyz główych i ogik tego układu. Zajoość położeń płazczyz główych i ogik przediotowego i obrazowego, pozwala zaleźć bieg proiei rówoległego i ogikowego, a zate pozwala a zalezieie położeia obrazu. Warto jezcze raz podkreślić, że chociaż rzeczywity przebieg proiei w układzie kładający ię z wielu oczewek oże być zaczie bardziej koplikoway, to jedak położeie obrazu zalezioe czy to etodą wytyczaia biegu proiei, czy dzięki zatoowaiu rówaia Gaua w oparciu o zajoość położeń płazczyz główych i ogik, będzie odpowiadało rzeczywitości. Lupa (zkło powiękzające) Najprotzy układe optyczy jet pojedycza oczewka kupiająca, która oże łużyć jako zkło powiękzające czyli tzw. lupa. Poieważ lupa łuży jako przyrząd optyczy wpoagający oko ludzkie zacziey od rozważań ad powiękzeie przediotów oglądaych przez ieuzbrojoe oko. Jak pokazao a ryuku otre widzeie przediotów zajdujących ię w różej odległości od oka wyaga dopaowaia ogikowej tak, by obraz wypadał zawze a iatkówce (akoodacja oka). Poieważ wielkość obrazu a iatkówce oka rośie z alejącą odległością przediotu od oka wprot proporcjoalie do kąta widzeia przediotu α, korzytie jet oglądać przedioty z blika. Powiękzeie dla trzech przypadków pokazaych a ryuku oiąga ajwiękzą wartość dla przypadku c), gdy przediot zajduje ię ajbliżej oka. Nietety dla tego 36
przypadku (odległość przediotu od oka iejza iż pewa iiala odległość a którą pozwala zdolość akoodacji oka, tzw odległość dobrego widzeia) obraz jet duży ale ieotry. Przyjuje ię, że odległość dobrego widzeia (róża dla różych ludzi) wyoi średio około 5 c. Na ryuku przedtawioo zaadę działaia lupy. Przediot, który z odległości dobrego widzeia ( L ) jet widziay pod kąte α, oże być, dzięki lupie, widziay pod zaczie więkzy kąte α. Chociaż przediot zajduje ię teraz bliżej oka (w odległości + l ), ie a probleu z akoodacją, gdyż jego pozory obraz, wytworzoy przez lupę i widziay przez oko, zajduje ię w odległości L, która powia być ie iejza iż odległość dobrego widzeia L. Ozaczy odległość przediotu od lupy przez, odległość obrazu pozorego od lupy przez, odległość lupy od oka przez l, a ogikową lupy przez. Powiękzeie kątowe obrazu oglądaego przez lupę określay jako: α α. (5.3) α 37
Wprowadzając ozaczeia h i H a wyokość przediotu i jego obrazu pozorego ay dalej (w przybliżeiu ałych kątów: α tg α H / L i α tg α h / L ): α H L L H L α, (5.4) α L h L h L gdzie zak iu zabezpiecza dodatią wartość powiękzeia kątowego dla obrazu pozorego i protego ( ujee). Korzytając z rówaia Gaua (5.6) otrzyujey: L L L α ( ) L L L. (5.5) Poieważ zajdujey: D / jet ocą optyczą oczewki a L + l ( ujee) ze wzoru (5.5) L L L l l α + L + D. (5.6) L L L L Ze wzoru (5.6) wyika, że akyale powiękzeie kątowe wytępuje przy iialej odległości lupy od oka. A zate kładziey w (5.6) l i otrzyujey: L α L + D L D + L. (5.7) L Z wyrażeia (5.7) wiokujey, że powiękzeie kątowe α jet zawarte poiędzy (dla iekończoej odległości obrazu od lupy, przediot w ogiku, wobode oko) i ( L D +) (dla obrazu zajdującego ię w odległości dobrego widzeia L od oka). Dla typowej lupy o ocy optyczej rzędu +D (ogikowa c) powiękzeie kątowe będzie w taki razie zawarte poiędzy.5 i 3.5 co odpowiada oberwacji bezpośrediej przediotu (przez oobę bez wad wzroku) z odległości 7 do c. Mikrokop D L Mikrokopy łużą do otrzyywaia ilie powiękzoych obrazów ałych przediotów. W kład ajprotzego ikrokopu wchodzą obiektyw (oczewka o krótkiej ogikowej tworzący obraz pośredi, rzeczywity, odwrócoy i powiękzoy), oraz okular, 38
który pozwala a dalze powiękzeie tworząc obraz pozory, powiękzoy i proty. Powiękzeie ikrokopu będzie rówe iloczyowi powiękzeń obiektywu i okularu. Korzytając ze wzoru (5.): y T, y x dla powiękzeia poprzeczego obiektywu ożey zapiać: x Tob x ob, (5.8) gdzie jet odległością obrazu pośrediego od ogika obiektywu obiektywu. Powiękzeie okularu, z rozważań ad lupą wyoi: F ob, a ob jet ogikową Tok x L ok, (5.9) ok L ok gdzie L jet odległością dobrego widzeia, a ok - ogikową okularu (poijay jedykę). Zauważy, że powiękzeie kątowe i poprzecze dla lupy, o ile ogląday przez lupę obraz zajduje ię w odległości dobrego widzeia, ą obie rówe. 39
Pryzaty i dyperja światła Zjawiko dyperji światła jet związae z zależością prędkości światła, a zate i wpółczyika załaaia c / υ, od długości ali świetlej. Zjawiko to taowi podtawę działaia przyrządów pektralych wykorzytujących pryzaty. Zaada działaia pryzatu jet przedtawioa a ryuku. Poieważ kat odchyleia ε proieia wychodzącego z pryzatu po dwukroty załaaiu a powierzchiach pryzatu zależy od kata łaiącego pryzatu δ i od wpółczyika załaaia światła ateriału, z którego wykoao pryzat, a z kolei wpółczyik załaaia światła zależy od długości ali świetlej, pryzat twarza ożliwość przetrzeego rozdzieleia światła o różych barwach. Ozacza to, ze za poocą pryzatu ożey wyzaczyć ilościowo zawartość w widie badaej wiązki światła różych jego kładowych pektralych. Stad takie przyrządy ozą azwę przyrządów pektralych (pektru ozacza wido). Newto był pierwzy, który wykorzytał w te poób pryzat i zadeotrował, ze światło białe kłada ię ze światła o wzytkich barwach, od ioletowej, iebiekiej poprzez zieloą, żółtą, do czerwoej. Udowodiy, ze kąt odchyleia proieia przechodzącego przez pryzat ε jet iialy gdy proień świetly przechodzi przez pryzat yetryczie, tz. gdy kat α jet rówy katowi β. Kąt odchyleia proieia ε jet kate zewętrzy w odpowiedi trójkącie, a zate ε ( α β) + ( β α ). Poieważ δ α + β (kąt δ jet kate zewętrzy w iy trójkącie) ay otateczie: Ze wzoru (5.) wyika, że ε α + β δ. (5.) 33
d ε dα + dβ, (5.) czyli ziaa kąta ε jet rówa uie zia katów α i β (kąt δ jet tały). Kąt ε będzie iialy, jeżeli d ε dα + dβ. (5.) Zajdziey ziay kątowe d α i d β, korzytając z prawa załaaia Sella iα i β i i β iα. (5.3) Różiczkując wzory (5.3) otrzyujey coα co dα β dβ i co β dβ coα dα. (5.4) Eliiując z rówań (XXV.4) wpółczyik załaaia otrzyujey: dβ coα coα coα dα dα dα. (5.5) co β co β co β dβ Poieważ δ α + β, a zate dα d. (5.6) β Po uwzględieiu (5.6) wzór (5.5) ożey zapiać w potaci: coα coα d β dα. (5.7) co β co β Po podtawieiu (5.7) do wzoru (5.) otrzyujey otateczie: coα coα d ε dα + dβ dα ( ). (5.8) co β co β Rówaie (5.8) będzie pełioe, jeżeli α β oraz β α, (5.9) czyli dla yetryczego przechodzeia proieia przez pryzat. Ozacza to, ze kat odchyleia przyjuje w takich warukach wartość iialą. Wykorzytując wzór (5.), ε α + β δ, dla yetryczego przechodzeia proieia przez pryzat ay 33
ε + δ α + β β. Dalej ze wzoru δ α + β zajdujey δ α + β α. A zate i β iα ε + δ i δ i. (5.3) Skąd otateczie otrzyujey rówaie pryzatu: ε + δ δ i i. (5.3) Przypoiy, że w rówaiu ty jet wpółczyikie załaaia ateriału pryzatu, a ε i δ ą odpowiedio, kate ajiejzego odchyleia i kate łaiący pryzatu. Dla ciekiego pryzatu kąty ε i δ ą ieduże i rówaie (5.3) przyjuje, w przybliżeiu, protzą potać: ε + δ δ, kąd ε δ ( ). (5.3) Z rówań (5.3) i (5.3) wyika, ze wielkość rozzczepieia proiei odpowiadających światłu o różych barwach będzie zależą od różicy wartości wpółczyika załaaia dla odpowiedich długości ali. Dyperją średią azywa ię różice wpółczyików załaaia dla światła iebiekiego F ( λ 485 ) i czerwoego C ( λ 656 ). Z kolei rerakcją dla daego ateriału azywa ię wielkość ( D ), gdzie D jet wpółczyikie załaaia dla długości ali odpowiadającej żółtej liii odu (589 ). Wielkość: F C D (5.33) azywa ię dyperją względą albo zdolością rozzczepiającą. Dyperja orala i aoala Zależość wpółczyika załaaia od długości ali światła częto azywa ię dyperją, chociaż bardziej poprawie dyperją azywa ię pochoda wpółczyika 33
załaaia względe długości ali d / dλ. Pierwza próba aalityczego opiu zależości wpółczyika załaaia od długości ali światła zapropoował Cauchy (836 r): B C ( λ) A + + + 4, (5.34) λ λ gdzie A, B, C ą tałe, charakteryzujące day ateriał. Wzór Cauchy ego (5.34) opiuje tzw. dyperję oralą (wpółczyik załaaia aleje ze wzrote długości ali λ ). Okazuje ię, że dla każdego ateriału itieje jedak pewie zakre długości ali, w który wpółczyik załaaia rośie ze wzrote długości ali. W zakreie ty, zway obzare dyperji aoalej, wzór Cauchy ego ie jet łuzy. Wytłuaczeie wytępowaia obu rodzajów dyperji wyaga wiedzy z izyki atoowej, a zate ikrokopowe rozważaie zjawik dyperji odłożyy do dalzych wykładów. Korzytając ze wzoru (5.3) ( ε δ ( ) ) oraz wzoru (5.34), łatwo ożey wyliczyć wielkość ziay kata odchyleia proieia z długością ali światła (a jedotkę długości ali): dε d B 4C δ B δ δ + + 3 5 3. (5.35) dλ dλ λ λ λ Rówaie (5.35) pokazuje, że wzrote długości ali kat odchyleia aleje, jedak aleje ty woliej i więkza jet wartość długości ali światła. Stouek wartości dyperji, a przykład, dla światła o długości ali 4 i 8 (odpowiadających z grubza zakreowi światła widzialego), wyoi około 8, co ozacza, ze w obzarze światła iebiekiego rozzczepieie światła przechodzącego przez pryzat i ierzoe wielkością d ε / dλ, jet 8 razy więkze iż w obzarze światła czerwoego. Warto zwrócić uwagę, ze wielkość wpółczyika załaaia zależy od wartości tałych A i B, atoiat dyperja d / dλ ie zależy od tałej A. Zate duża wartość wpółczyika załaaia (duża wartość A) ie jet warukie koieczy dla uzykaia dużej wartości dyperji. Spektroetry i oochroatory pryzatycze Na ryuku przedtawioo pektroetr pryzatyczy, czyli przyrząd do poiaru wida światła. Szczelia wejściowa S zajduje ię w ogiku koliatora, który ze światła padającego a zczelię S oruje wiązkę rówoległą światła. Po podwójy załaaiu tej wiązki w pryzacie i rozzczepieiu wiązka pada a zwierciadło. Po odbiciu od zwierciadła 333
wiązka pada a obiektyw. Wyjściowa zczelia S zajduje ię w płazczyźie ogikowej obiektywu. Oberwacja wida goły okie wyaga zatoowaia okularu; tak kotruoway przyrząd azyway pektrokope. Rejetracja otograicza wida wyagałaby uuięcia zczeliy wyjściowej S (chcey otograować cale wido) i zatoowaia klizy otograiczej, uiezczoej w płazczyźie ogikowej obiektywu; taki przyrząd azyway pektrograe. Moochroator to przyrząd pozwalający a wydzieleie z wiązki światła białego światła o określoej barwie; układ będzie wówcza idetyczy z ty, które jet pokazay a ryuku. W układzie pokazay a ryuku (układzie Wadwortha), jak zreztą we wzytkich iych układach pryzatyczych, wykorzytuje ię pryzat w położeiu iialego kata odchyleia. Pryzat jet ztywo przężoy ze zwierciadłe. Układ taki pozwala, poprzez obrót wokół oi obrotu zajdującej ię w wierzchołku pryzatu, zieiać kąt iialego odchyleia i w te poób dotroić układ do różych długości ali. 334