STUDIA INFORMATICA 2008 Volume 29 Number 3A (78) Potr KARNASIEWICZ Katolck Unwerytet Lubelk Jana Pawła II, Katedra Analzy Obrazów DOSTOSOWANIE METOD BADANIA ROZBIEŻNOŚCI DESENI PRÓBEK DO PERCEPCJI CZŁOWIEKA Strezczene. Nnejzy artykuł omawa metodę badana jakośc róbkowana toowaną w grafce komuterowej, jaką jet rozbeżność deen. Podjęto róbę dotoowana tej metody do tego, jak deene ą otrzegane rzez człoweka. W racy rzedtawonych jet klka metod róbkowana, które ą w jej dalzej częśc wykorzytywane w tetach rozbeżnośc deen. Słowa kluczowe: róbkowane, rozbeżność, róbkowane o nkej rozbeżnośc, rodzny zborów ADAPTING MEASURING METHODS OF DISCREPANCY OF SAMPLES PATTERNS TO HUMAN PERCEPTION Summary. The followng artcle reent attern dcreancy, whch a method for meaurng the qualty of amlng ued n comuter grahc. An attemt ha been taken to adat th method to the way the attern are erceved by human. In the artcle we reent everal method of amlng, whch are then ued for tetng attern dcreancy. Keyword: amlng, dcreancy, low-dcreancy amlng, famle of et. Wtę W grafce komuterowej róbkowane odgrywa znaczącą rolę w otatecznym wyglądze obrazu. Od jakośc róbkowana zależy, jak obraz będze odberany rzez oko ludzke. Itneją matematyczne narzędza, które omagają obektywne wyznaczyć tę jakość. Takm narzędzem jet tzw. rozbeżność deen róbek. Okazuje ę jednak, że nejednokrotne ocena uzykana w wynku zbadana rozbeżnośc odbega od tej, którą wydaje ludzke oko.
40 P. Karnaewcz Nnejza raca jet róbą dotoowana rozbeżnośc do ercecyjnej oceny deena rzez człoweka. 2. Próbkowane Obraz cyfrowy jet rotokątną tablcą wartośc kel. Aby wyznaczyć tę dykretną lczbę wartośc, dokonuje ę róbkowana funkcj obrazu za omocą tzw. romen. Najleze rezultaty daje wygenerowane dla jednego kela welu róbek, na odtawe których oblcza ę jego otateczną wartość. Okazuje ę, że od ozycj róbek bezośredno zależy jakość wynkowego obrazu. Próbk ne mogą być ołożone zbyt blko ebe oraz róbkowana rzetrzeń ne może zawerać zbyt dużych utych mejc. Ponadto, róbk ne mogą być ułożone w równomerną atkę, gdyż owoduje to tzw. alang, który równeż jet źle odberany rzez oko ludzke. W grafce komuterowej orócz róbkowana amego obrazu, róbkowany jet także cza otwarca rzełony czy ozycja romena na oczewce. Zotało oracowanych wele metod generowana róbek, wśród których ą metody całkowce determntyczne loowe. Ponżej zotaną rzedtawone wybrane z nch. W dalzej częśc racy zakłada ę, że róbkowane odbywa ę w kotce jednotkowej [ 0,]. 2.. Próbkowane wartwowe Próbkowane wartwowe (ang. tratfed amlng) olega na odzelenu deena na regony (wartwy) o ścanach równoległych do ścan kotk [ 0,]. W każdej wartwe umezczana jet jedna róbka, której ozycja wewnątrz danej wartwy doberana jet loowo. Próbkowane wartwowe jet bardzo zybke jet ulezenem róbkowana całkowce loowego, tj. zaewna, że róbk ne ą ołożone zbyt blko ebe oraz deeń ne zawera dużych utych obzarów. Ry.. Próbkowane wartwowe Fg.. Stratefed amlng
Dotoowane metod badana rozbeżnośc deen róbek do ercecj człoweka 4 2.2. Próbkowane łacńkego herześcanu (LHS) Druga metoda róbkowana dzel każdy z wymarów róbkowanej rzetrzen na N równych częśc, gdze N oznacza żądaną lczbę róbek. Próbk oczątkowo umezczane ą na obzarach owtałych na rzekątnej kotk, o czym dokonywane jet loowe rzetaowane częśc w każdym z wymarów, tak jak na ryunku 2. Próbkowane LHS zaewna, że dla wybranej o wółrzędnych żadne dwe róbk ne będą mały takch amych wółrzędnych. Tej włanośc ne ma róbkowane wartwowe. Ry. 2. Próbkowane LHS Fg. 2. LHS amlng 2.3. Próbkowane orzez wybór najlezego kandydata Kolejna metoda róbkowana wykorzytuje tzw. dyk Poona. Jet to zbór unktów, z których każde dwa ą od ebe oddalone o węcej nż z góry zadana odległość. Wygenerowane dyku Poona może być bardzo czaochłonne, dlatego touje ę metodę, która tylko rzyblża zbór unktów o takej właścwośc. Aby dodać kolejny unkt do deena, generowany jet zbór loowych unktów-kandydatów. Do deena dodaje ę tego kandydata, który leży najdalej od unktów należących już do deena. Odległoścą kandydata od deena jet jego odległość od najblżej ołożonego unktu deena. Algorytm tworzena deena róbek rzewduje, że m węcej jet róbek dołączonych już do deena, tym węcej jet loowanych kandydatów.
42 P. Karnaewcz Ry. 3. Próbkowane orzez wybór najlezego kandydata. Na ryunkach zaznaczone ą róbk znajdujące ę już w deenu (wyełnone okręg) kandydac (ute okręg). Zaznaczona jet równeż najdłużza ośród odległośc omędzy kandydatam a róbkam znajdującym ę już w deenu. Kandydat, dla którego ta odległość jet oągnęta, dołączany jet do deena Fg. 3. Bet-canddate amlng. Image how amle already added to attern (flled crcle) and canddate (emty crcle). They alo how the longet length between canddate and amle whch added to attern already. A canddate for whch th length rched t added to attern 2.4. Próbkowane o nkej rozbeżnośc Próbkowane o nkej rozbeżnośc wykorzytuje ewną funkcję mary zwaną rozbeżnoścą. Za jej omocą można ocenć jakość deena. Nech P { x, x,, } [ 0, ] 2 = będze x N zborem unktów deena. Rozbeżność zboru P ze względu na rodznę B defnuje ę natęująco: gdze: a ( b) ( P b) ( P b) λ jet objętoścą zboru b. Oczywśce welkość ( ) 0 λ ( b) λ( [ 0,] ) =. B = { b = [ 0, v ] [ 0, v ]: 0 v dla # # DN ( P) = u λ( b) = u λ( b), () b B # P b B N #( P b) #P jet lczbą unktów należących do zborów P b P odowedno, λ b należy do rzedzału [ 0, ], oneważ Nech }. Nech oznacza rozbeżność ze względu na rodznę B. Cągem o nkej rozbeżnośc nazywany jet nekończony cąg unktów x, x, 2 tak, że D N
Dotoowane metod badana rozbeżnośc deen róbek do ercecj człoweka 43 ( log N ) D ( ) N P = O, (2) N gdze P = x,, x } dla dowolnego N. Itneje uzaadnone rzyuzczene, że welkość ta { N jet najmnejzą możlwą rozbeżnoścą (zobacz )., tj. Zborem o nkej rozbeżnośc określany jet zbór P { x,, } D N ( P) = O ( log N ) N x N =, dla którego Zotane zarezentowanych klka znanych cągów zborów o nkej rozbeżnośc. Nech d, d,, 0, będą kolejnym cyfram rozwnęca lczby w yteme lczbowym o odtawe k = d (4) k 0, k Cągem odwrotnośc erwatkowych nazywany jet cąg x φ ( ) () = =, gdze k φ d, k (5) k 0 Szczególnym rzyadkem takego cągu jet cąg van der Coruta, który jet cągem odwrotnośc erwatkowych dla =2: 3 5 3 7,,,,,,, 2 4 4 8 8 8 8 Wtedy welowymarowym cągem o nkej rozbeżnośc może być cąg o otac: x gdze odtawy k, ( φ () φ ( ),, φ ( ) ), 2 =, (7) k =,2,, ą względne erwze. Jeśl ą kolejnym najmnejzym lczbam erwzym, to tak cąg nazywany jet cągem Haltona: gdze x ( φ () φ (), φ (),, () ) 2, 3 5 φ k { N =, (8) ą kolejnym lczbam erwzym. Dla dowolnego N rozbeżność zboru ( N ) / P = x,, x } wyno O ( log N ) Hammerleya: x ( N (), φ (), φ (),, ( ) ) = / 2 3 5 φ k (3) (6). Przykładem zboru o nkej rozbeżnośc jet zbór φ, (9) ( / N ) którego rozbeżność wyno O ( log N ) mu być znana z góry.. Oczywśce w tym rzyadku lczba róbek
44 P. Karnaewcz 2.5. Sec (t,m,) cąg (t,) Innym rzykładem róbkowana o nkej rozbeżnośc jet zatoowane ec (t,m,) oraz cągów (t,). Przedzałem elementarnym w baze nazywana jet kotka o otac: t t + t2 t2 + t t + E =,,, k k k k k k, (0) 2 2 j gdze k 0 ą lczbam całkowtym oraz 0 t j. Objętość rzedzału elementarnego wyno j k j= j λ = () ( E) Seć (0,m,) w baze jet zdefnowana jako zbór unktów P o lczebnośc m takm, że każdy rzedzał elementarny o objętośc /b zawera dokładne jeden unkt zboru P. Na rzykład, nech P będze ecą (0,4,2) w baze 3. Wtedy w kotce [ 0,] 2 znajduje ę 3 4 = 8 unktów zboru P. W każdym z rzedzałów elementarnych o rozmarach /8, /3 / 27, / 27 / 3 oraz /8 znajduje ę dokładne jeden unkt zboru P. k m N = Ry. 4. Przykład ec (0,4,2) w baze 2. W każdym rzedzale elementarnym o objętośc /6 znajduje ę dokładne jeden unkt Fg. 4. An examle of (0,4,2)-net n bae 2. In each elementary nterval of volume /6 there only one ont Sec, dla których t>0 ą uogólnenem womnanych ec w tak oób, że w ch t m rzyadku każdy rzedzał elementarny o objętośc /b t zawera dokładne b unktów. Cągem (t,) nazywany jet nekończony cąg unktów m 0 oraz k 0 odcąg x, x, 2 tak, że dla każdego
Dotoowane metod badana rozbeżnośc deen róbek do ercecj człoweka 45 x, (2), m x kb + kb m+ jet ecą (t,m,) w baze b. W zczególnośc każdy zbór elementów tego cągu jet ecą (t,m,). x,, x N erwzych m N = b 3. Rodzny zborów używane do oblczana rozbeżnośc deen Rozbeżność jet właścwoścą deen, której badane umożlwa orównane metod róbkowana. Idealne rozłożone róbk małyby tę właścwość, że w każdym zborze o objętośc l znajdowałaby ę taka część róbek, która jet równa l, tj. jeśl n jet lczbą róbek w tym zborze, to n/n = l. Badane to olega na wyznaczenu welkośc, która mów, jak bardzo deeń róbek odbega od tego dealnego rzyadku. Rodzny B używane do badana rozbeżnośc ą doberane tak, aby można było w łatwy oób określć, które róbk należą do jej zborów, a które ne. W wękzośc rzyadków ne jet możlwe dokładne wyznaczene rozbeżnośc, dlatego też wyznaczana jet jej rzyblżona wartość orzez wygenerowane dużej lczby zborów znalezene tego, dla którego rozbeżność jet najwękza. Do najczęścej toowanych zalcza ę rodznę: gdze [, v ] [ 0, v ] [ 0 v ] B = { 0 2 B =, }, (3) 0 v dla =,2,,. Na łazczyźne rodzna ta odowada rodzne rotokątów o lewym górnym rogu umezczonym w unkce (0,0). Dla zborów należących do rodzny B bardzo łatwo można twerdzć, które róbk ą ch elementam. Częto używana jet też rodzna: [ u v ] [ u v ] [ u v ] B 2 {, 2, 2, = }, (4) = B2 gdze 0 u v dla,2,,. Poneważ jet rodzną zerzą od B zawera zbory rozrzucone o całym deenu, dlatego daje lezy ogląd o jego jakośc. Najczęścej deene w obraze ą wykorzytywane orzez welokrotne utawane ch ko obok ebe, co owoduje utworzene nowego deena. Deene utworzone w ten oób będą w dalzej częśc racy nazywane klejanym. Oba rozatrywane dotychcza rzyadk ne badają rozbeżnośc deen klejanych. Zadane to umożlwa wykorzytane natęującej rodzny zborów: gdze 3 { μ ( u, v ) μ( u2, v2 ) μ( u v )} B =,, (5) [ u, v ] [ 0, v ] [ u,0], gdyu v μ ( u, v ) = (6), gdyu > v
take 46 P. Karnaewcz dla 0 u, v dla,2,,. Przykłady zborów należących do B na łazczyźne rzedtawa ryunek 5. = 3 Ry. 5. Przykłady zborów rodzny B 3 na łazczyźne Fg. 5. Examle of et of B 3 famly on lane Rodzna BB3 rozzerza B 2B o zbory, do których mogą należeć róbk znajdujące ę blko rzecwległych krawędz kotk [ 0,]. W rzyadku rodzn BB B 2B róbk mogłyby należeć jedyne do zborów o dużej objętośc. Natomat do rodzny BB3 należą także zbory zawerające róbk, leżące blko rzecwległych ścan kotk, których objętośc mogą być bardzo małe. Dlatego może to owękzyć wartość rozbeżnośc deena. Otatną rezentowaną rodzną zborów jet rodzna kul w rzetrzen [ 0,], względem [ ] [ ] [ ] ewnej ecjalne określonej mary. Nech α : 0, 0, 0, będze funkcją zdefnowaną jako: α (, q) = mn{ q, q} Funkcja mary d α jet określona natęująco: ( u, v 2 ) ( u, v 2 ) ( u, v 2 α ) ( u v + α 2 2 + α ) d =,, (8) α + = ( ) = ( ) u v [ 0, ] gdze: u u, u2,,, v v, v2,,, u v (7),. Rodzna BB4 jet rodzną zborów o otac: B = 4 { k( o, r) }, (9) { } gdze k( o, r) = x [ 0,] : dα ( o, x) r, rzy czym o [ 0, ], r 0. 5. Uzaadnenem wyboru takej rodzny zborów może być fakt, że oługuje ę ona odległoścam w oób, w jak wdz je człowek, tzn. do tych zborów należą wzytke róbk, które na deenu klejanym ą oddalone od ch środków o odległość eukldeową mnejzą lub równą r. Ponadto, należy zaznaczyć, że funkcja mary najlezego kandydata. d α wykorzytywana jet rzez róbkowane orzez wybór
Dotoowane metod badana rozbeżnośc deen róbek do ercecj człoweka 47 Ry. 6. Przykłady zborów B 4 na łazczyźne Fg. 6. Examle of et of B 4 famly on lane 4. Tetowane rozbeżnośc deen Zotaną teraz rzedtawone wynk tetów rozbeżnośc dla deen owtałych na kutek dzałana algorytmów rzedtawonych na oczątku racy. W tetach było użyte róbkowane wartwowe (SratfedSamler), róbkowane wykorzytujące zbór Hammerleya (HammerleySamler), róbkowane, które wykorzytuje cąg (0,2) (LDSamler) oraz róbkowane orzez wybór najlezego kandydata (BetCanddateSamler). Przykładowe mlementacje tych algorytmów można znaleźć w kążce [2]. a) b) c) Ry. 7. Przykłady metod róbkowana: a) HammerleySamler, b) LDSamler, c) BetCanddateSamler Fg. 7. Examle of amlng method: a) HammerleySamler, b) LDSamler, c) BetCanddateSamler Percecyjne najleej wyglądają deene utworzone za omocą róbkowana z zatoowanem metody Hammerleya metody wyboru najlezego kandydata. Próbk ą rozłożone równomerne, ne ma kuk an zbyt dużych utych mejc. Deene utworzone za omocą cągu (0,2) mogą mejcam zawerać kuka róbek ute obzary. Tety były rzerowadzone za omocą włanego rogramu Dcreancy. Każdy algorytm róbkowana był tetowany ze względu na zatoowane różnych rodzn zborów (BB, B 2B B 4B ) oraz lczbę róbek (32, 64, 28, 256). Dla każdej możlwej trójk: metody róbkowana, rodzny zborów, lczby róbek, zotało wykonanych 000 rób, na odtawe których była, BB3,
48 P. Karnaewcz wyznaczana średna rozbeżność. W tetach wykorzytywano deene dwuwymarowe. Do wyznaczana rozbeżnośc każdego z nch zotało loowo wygenerowanych 00 000 zborów. Po rzerowadzenu tetów uzykano natęujące wynk: 32 róbk Tabela BB BB2 BB3 BB4 StratfedSamler 0.468 0.2050 0.2373 0.2243 Hammerley Samler 0.064 0.0897 0.0890 0.444 LDSamler 0.0699 0.027 0.065 0.793 BetCanddateSamler 0.28 0.348 0.534 0.494 64 róbk Tabela 2 BB BB2 BB3 BB4 StratfedSamler 0.0803 0.095 0.270 0.85 Hammerley Samler 0.036 0.0479 0.0479 0.0838 LDSamler 0.0385 0.0606 0.060 0.0974 BetCanddateSamler 0.0838 0.0987 0.25 0.0969 28 róbek Tabela 3 BB BB2 BB3 BB4 StratfedSamler 0.0522 0.0704 0.08 0.0749 Hammerley Samler 0.020 0.0255 0.0255 0.0600 LDSamler 0.0205 0.0345 0.0347 0.060 BetCanddateSamler 0.0482 0.0560 0.0627 0.0628 256 róbek Tabela 4 BB BB2 BB3 BB4 StratfedSamler 0.035 0.048 0.0475 0.0440 Hammerley Samler 0.00 0.034 0.035 0.0334 LDSamler 0.0 0.022 0.0220 0.0405 BetCanddateSamler 0.0337 0.0386 0.0434 0.040 5. Wnok Na odtawe wynków tetów można wyunąć natęujące wnok: Zatoowane LDSamler a daje leze rezultaty nż BetCanddateSamler jeśl, do badana zotaną wybrane zbory o krawędzach równoległych do krawędz kotk [ 0,]. Rozzerzene rodzny zborów z BB na B 2B znaczne owękza wartość rozbeżnośc. Dzeje ę tak dlatego, że brana jet od uwagę znaczne zerza klaa zborów.
Dotoowane metod badana rozbeżnośc deen róbek do ercecj człoweka 49 Rozzerzene rodzny zborów z BB2 na B 3B owoduje wzrot rozbeżnośc tylko dla StratfedSamler a. Oznacza to, że ozotałe metody dadzą równeż dobry rozkład róbek w rzyadku deen klejanych. Rozbeżność wyznaczona za omocą rodzny BB3 jet bardzo nka dla LDSamler a w tounku do BetCanddateSamler a. Zatoowane rodzny B 4B różncę tę nweluje, co bardzej odowada ludzkemu otrzeganu. Wydaje ę, że użyce tej rodzny zborów może dać bardzej obektywne rezultaty w badanu rozbeżnośc. LITERATURA. Nederreter H.: Random Number Generaton and Qua-Monte Carlo Method. Socety for Indutral and Aled Mathematc, 992. 2. Pharr M., Humhrey G.: Phycally Baed Renderng. From theory to mlementaton. Elever, 2003. 3. Veach E.: Robut Monte Carlo method for lght tranort mulaton. PhD the, Stanford Unverty, 997. Recenzent: Dr hab. nż. Mara Petruzka, rof. Pol. Łódzkej Włynęło do Redakcj 6 marca 2008 r. Abtract The followng artcle reent attern dcreancy, whch a method for meaurng the qualty of amlng ued n comuter grahc. An attemt ha been taken to adat th method to the way the attern are erceved by human. In the artcle we reent everal method of amlng, whch are then ued for tetng attern dcreancy. Adre Potr KARNASIEWICZ: Katolck Unwerytet Lubelk Jana Pawła II, kar@kul.lubln.l