11 Przybliżenie semiklasyczne

11 Przybliżenie semiklasyczne W tym rozdziale rozważymy rachunek przybliżony, który opiera się na rozwinięciu funkcji falowej w szereg potęg stałej Plancka. Zakłada się przy tym jawnie, że h jest małym parametrem (co to znaczy mały parametr wymaga oczywiście uściślenia). Gdyby h było równe zeru, odtworzylibyśmy mechanikę klasyczną. Ograniczenie się do kilku pierwszych potęg h jest stąd nazywane przebliżeniem semiklasycznym. W literaturze znane jest ono także po nazwą przybliżenia WKB od nazwisk jego twórców: Wentzla, Kramersa i Brillouina. Warto też pamiętać, że uzyskane tą metodą wyrażenia na kwantyzację energii, były znane wcześniej jako warunki kwantyzacji Bohra-Sommerfelda. Warunki te we wczesnym okresie rozwoju mechaniki kwantowej usiłowano zgadnąć na podstawie pewnych założeń; tu wyprowadzimy je ściśle. 11.1 Ogólna postać funkcji falowej Punktem wyjściowym jest zależne od czasu równanie Schrödingera i h ψ t = h m ψ + V ( r)ψ. (11.1) Ponieważ interesuje nas stan związany o zadanej energii E funkcję ψ zapiszemy w postaci: Równanie (11.1) można przepisać jako równanie na fazę S: 1 m ψ( r, t) = e i(et S( r))/ h. (11.) ( S( r) ) (E V ( r)) i h m S( r) = 0. (11.3) W przypadku jednowymiarowym, do którego się teraz ograniczymy, równanie (11.3) przyjmuje postać: S m (E V ) i hs = 0, (11.4) gdzie prim oznacza różniczkowanie po. Przybliżenie, które teraz zrobimy, polega na rozwinięciu fazy S w potęgi h. Warto w tym miejscu zauważyć, że rozwinięcie to ma nieco inny charakter niż rozwinięcie omawiane w rozdziale (??), ze względu na to, że h jest parametrem wymiarowym. W praktyce ograniczymy się do pierwszej potęgi h: co daje S = S 0 + h S 1 +..., (11.5) S 0 + h S 0S 1 +... m (E V ) i hs 0 +... = 0. (11.6) Prównując współczynniki przy kolejnych potęgach h otrzymujemy dwa równania: S 0 = ± m (E V ), S 0 = i S 0S 1. (11.7) 61

Jak widać S 0 ma sens klasycznego pędu cząstki poruszającej się w potencjale V (). Pierwsze z równań (11.7) daje się łatwo scałkować: S 0 () = ± d m (E V ( )) + const., (11.8) gdzie stała const. związana z dolną granicą całkowania, redefiniuje i tak na razie dowolną stałą z rówania (11.) i dlatego może zostać pominięta. Drugie z równań (11.7) daje się też prosto scałkować i dalej S 0 S 0 = d d ln S 0 = i S 1 (11.9) S 1 () = i ln S 0() = i ln p(). (11.10) Warto zauważyć, że równanie na S 1 nie zależy od znaku S 0 (znak ten upraszcza się w (11.9)), a ewentualna stała addytywna znowu może zostać wciągnięta do. Podsumowując, ogólna postać funkcji falowej ψ dana jest jako ψ() = ± e ± ī h = 4 d m(e V ( )) e ln 4 m(e V ()) ± m (E V ()) e ± ī h d m(e V ( )). (11.11) Ponieważ wielkość E V () może przyjmować wartości ujemne i dodatnie, warto wprowadzić oznaczenia k() = 1 h m (E V ()) dla 1 < < κ() = 1 h m (V () E) dla < 1 lub <, (11.1) gdzie, są klasycznymi punktami zwrotu. 11. Postać funkcji falowej Zapiszmy funkcję (11.11) w obszarach I ) i II ): ψ I () = e hκ() 1 d κ( ), ψ (1) II () = C 1 e hk() i d k( ) C + e hk() i d k( ), (11.13) gdzie dla funkcji ψ I wybraliśmy znak " w eksponencie, aby znikała dla, a czynnik w normalizacji został dodany dla późniejszej wygody. Inde (1) przy funkcji 6

ψ II oznacza, że w całce po d za dolną granicę wybraliśmy. Zauważmy, że funkcję falową w obszarze II) możemy zapisać inaczej I wreszcie w obszarze III) ψ () II () = D 1 e hk() i d k( ) D + e hk() i d k( ). (11.14) ψ III () = B d κ( ) e. (11.15) hκ() 11.3 Warunki zszycia Wyprowadzoną w poprzednim paragrafie postać funkcji falowej użyjemy do opisu cząstki w trzech obszarach I ) na lewo od punktu zwrotu, II ) między punktami zwrotu < < i III ) na prawo od punktu. Zauważmy, że przybliżenie (11.11) nie stosuje się w punktach zwrotu i w pewnych otoczeniach wokół punktów zwrotu. Ponieważ, aby uzyskać funkcję falową dla wszystkich -ów, musimy dokonać zszycia fragmentów funkcji falowej zadanych w poszczególnych obszarach, zachodzi potrzeba zastosowania jakiegoś innego przybliżenia, słusznego w punktach zwrotu i w najbliższym ich otoczeniu. Najprostszym rozwiązaniem jest przybliżenie potencjału przez linię prostą V () = E F 1 ( ) +... dla, V () = E + F ( ) +... dla, (11.16) gdzie F 1, > 0. W tym przybliżeniu równanie Schrödingera redukuje się do równania Bessela i można go dokładnie rozwiązać. Otrzymane w ten sposób rozwiązanie można następnie zszyć z funkcją falową (11.11) po lewej i po prawej stronie punktów zwrotu. Metoda ta opisana jest w podręczniku Schiffa. My postąpimy jednak inaczej: obejdziemy osobliwość funkcji (11.11) po małym okręgu w płaszczyźnie zespolonego. Jest to metoda opisana w podręczniku Landaua i Lifszica. Dla bliskich zachodzi W konsekwencji k() = 1 h mf1 ( ) 1/, κ() = 1 h mf1 ( ) 1/. (11.17) d k( ) = 1 mf1 ( ) 3/, d κ( ) = mf1 ( ) 3/ (11.18) 63

I II III ϕ =0 π +π +π π ϕ =0 Rysunek 1: nalityczne przedłużenie funkcji falowej w metodzie WKB. Przechodząc od obszaru I do II napotykamy na osobliwość związaną z zerem κ(). by ją ominąć przyjmiemy = ρe iϕ, (11.19) przy czym ϕ = 0 dla < i zmienia się od 0 do π, jeżeli poruszamy się od I do II po małym okręgu o promieniu ρ zgodnie z ruchem wskazówek zegara aż do >, lub od 0 do π, jeżeli poruszamy się po dolnym półokręgu w stronę przeciwną niż wskazówki zegara. Przechodząc po górnym półokręgu mamy zatem 1 d κ( ) = mf 1 = mf 1 ρ 3/ mf 1 ρ 3/ e i 3π ( ) 3/ i = i d k( ) (11.0) Podobnie czynnik hκ() = 4 mf 1 ( ) 1/4 4 mf 1 ( ) 1/4 e i π 4 W sumie otrzymujemy, że: = hk() e i π 4. (11.1) ψ I () = e hκ() d κ( ) e i π 4 d k( ) e i 1. (11.) hk() 64

Widzimy, że dokonując obejścia osobliwości po górnym półokręgu odtwarzamy tylko jeden fragment funkcji falowej w obszarze II, przy czym zachodzi Obchodząc osobliwość po dolnym półokręgu otrzymujemy C = 1 ei π 4. (11.3) oraz 1 d κ( ) = mf 1 = mf 1 ρ 3/ mf 1 ρ 3/ e i 3π ( ) 3/ ( i) = i d k( ) (11.4) hκ() = 4 mf 1 ( ) 1/4 4 mf 1 ( ) 1/4 e +i π 4 hk() e +i π 4. (11.5) Z ròwnań (11.4,11.5) wynika, że ψ I () = e hκ() d κ( ) e i π 4 d k( ) ei 1. (11.6) hk() Zatem obchodząc osobliwość po dolnym półokręgu odtworzyliśmy drugi składnik funkcji falowej w obszarze II, przy czym C 1 = 1 e i π 4. (11.7) Zanim podstawimy wartości C 1 i C do równania (11.13) spróbujmy zastanowić się, dlaczego obchodząc osobliwość górą lub dołem odtwarzamy tylko jeden fragment funkcji falowej w obszarze II. W tym celu warto prześledzić zmianę pełnej funkcji falowej (11.13) przy przejściu w stronę przeciwną, to jest z obszaru II do obszaru I. W obszarze II w pobliżu = ±i d k( ) ρ 3/ (±i cos 3ϕ ) 3ϕ sin, (11.8) przy czym ϕ zmienia się od 0 do π dla przejścia górą lub 0 do π dla przejścia dołem. Rozważmy przejście górą. Decydujący jest tu czynnik ± sin 3ϕ : II () C 1 e ρ3/ sin 3ϕ + C e +ρ3/ sin 3ϕ, (11.9) ψ (1) który na początku maleje dla części proporcjonalnej do C 1, natomiast rośnie dla części proporcjonalnej do C. Stąd przy obejściu górą człon proporcjonalny do C 1 gubi się na 65

1 0.75 0.5 0.5-3 - -1 1 3-0.5-0.5-0.75-1 tle rosnącego członu proporcjonalnego do C. Przybliżenie semiklasyczne nie pozwala na utrzymanie wrazu eksponencjalnie małego na tle członu wiodącego. Dla przejścia dołem sytuacja się odwraca i gubi się człon proporcjonalny do C. Podstawiając (11.3) i (11.7) do równania (11.13) otrzymujemy ψ (1) II () = 1 e hk() i d k( ) i π 4 + e i d k( )+i π 4 = cos d hk() k( π ) (11.30) 4 Spróbujmy teraz powtórzyć to samo rozumowanie dla obszaru wok punktu. Przyjmijmy funkcje falowe w postaci: W tym obszarze ψ III () = B e hκ() d κ( ), ψ () II () = D 1 e hk() i d k( ) D + e hk() i d k( ). (11.31) k() = 1 h mf ( ) 1/, κ() = 1 h mf ( ) 1/. (11.3) Sparametryzujmy = ρ e iϕ, (11.33) 66

przy czym ϕ zmienia się od 0 do π lub π, jeśli poruszamy się po górnym względnie dolnym półokręgu przechodząc z obszaru III II. Ponieważ ( ) 3/ = ρ 3/ ρ 3/ e ±i 3π = i( ) 3/, ( ) 1/4 = ρ 1/4 ρ 1/4 e ±i π 4 = e ±i π 4 ( ) 1/4, (11.34) gdzie górny (dolny) znak odpowiada przejściu po górnym (dolnym) półokręgu. Zatem dla przejścia górą mamy ψ III () = natomiast dla przejścia dołem co implikuje ψ III () = Podobnie jak w przypadku (11.30) otrzymujemy ( ψ () II () = B 1 e hk() i = B d κ( ) e B e i π 4 d k( ) ei, (11.35) hκ() hκ() B d κ( ) e B e i π 4 d k( ) e i, (11.36) hκ() hκ() D 1 = 1 B e i π 4, D = 1 B ei π 4. (11.37) B cos hk() d k( ) i π 4 ) + e i d k( )+i π 4 d k( ) π. (11.38) 4 Na koniec warto jeszcze wspomnieć o warunkach zszycia dla potencjałów typu nieskończonej studni. Dla takich potencjałów przybliżenie semiklasyczne w obszarze II stosuje się aż do samego punktu zwrotu, zaś na zewnątrz funkcja falowa jest po prostu równa tożsamościowo zeru. 11.4 Warunki kwantowania Bohra-Sommerfelda Funkcje ψ (1) II i ψ() II muszą być sobie równe. Przepiszmy ψ(1) II w nieco innej formie cos d hk() k( π ) 4 1 = cos d hk() k( ) + π 4 + d k( π ) 1 = cos d hk() k( ) π 4 d k( π ) +. (11.39) ψ (1) II () = 67

Porównując (11.39) z (11.38) otrzymujemy d k( ) π = nπ i B = ( )n. (11.40) Pierwsze z równań (11.40) stanowi treść reguły kwantyzacji Bohra-Sommerfelda, którą zwyczajowo zapisuje się w postaci całki okrężnej po okresie ruchu z wyrażenia na pęd klasyczny: ( ) 1 d p( ) = π h + n (11.41) 11.4.1 Oscylator harmoniczny Warto w charakterze przykładu rozpatrzeć oscylator harmoniczny, dla którego p() = ( m E 1 ) 1/ ω m = ( ) 1/ me 1 ω m E, (11.4) zaś punkty zwrotu Wprowadzając nową zmienną E, = ± mω. (11.43) wyliczmy całkę ξ = ω m, 1 < ξ < 1, d = E E dξ (11.44) mω d p( ) = d p( E ) = 4 ω 1 1 dξ 1 ξ = π E ω, (11.45) gdzie skorzystaliśmy z wartości całki 1 1 dξ 1 ξ = π. (11.46) Warunek Bohra-Sommerfelda (11.41) daje zatem dla oscylatora harmonicznego ( ) E 1 ω = h + n, (11.47) co jest identyczne z dokładnym wynikiem. 68

11.4. Nieskończona studnia potencjału Dla nieskończonej studni potencjału V () = { 0 dla a < < a dla < a, a < (11.48) zachodzi k() = 1 h me, (11.49) a funkcja falowa ma postać ψ II () = C 1 4 e i me a d k( ) C + 4 e i me a d k( ). (11.50) Ponieważ ψ II ( a) = 0, stąd C 1 = C C i. (11.51) zatem ψ II () = 4 C sin me Z kolei warunek ψ II (a) = 0 implikuje warunek kwantowania Podstawiając za k( ) wyrażenie (11.49) otrzymujemy co daje skwantowaną energię a a a d k( ). (11.5) d k( ) = nπ, n = 1,,... (11.53) a me = nπ, (11.54) h E n = h π 8a m n, (11.55) co pokrywa się z wynikiem dokładnym. Warto zauważyć, że n = 0 nie jest dozwolone, gdyż mielibyśmy wtedy do czynienia z funkcją tożsamościowo równą zeru. Wynik (11.53) można zrozumieć intuicyjnie w następujący sposób. Ponieważ funkcja falowa musi być zero w obszarach k;asycznie zaobronionych, na odcinku [ = a, = a] musi się zmieścić całkowita liczba połówek długości fali. Dla skończonych potencjałów funkcja falowa nie znika w punktach zwrotu. W przypadku rozwiązania symetrycznego o najniższej energii funkcja falowa nie powinna mieć zera między punktami zwrotu, więc odcinek [, ] powinien być krótszy od połówki długości fali. Dla wyższych stanów 69

wzbudzonych na tym odcinku powinno się mieścić mniej niż n połówek fali. Stąd warunek (11.53) przyjmuje postać d k( ) = (n ξ)π, n = 1,,... lub d k( ) = (n + ξ )π, n = 0, 1,..., gdzie ξ i ξ = 1 ξ są liczbami ułamkowymi. Z dokładnej procedury opisanej w tym rozdziale wynika, że ξ = ξ = 1/. 11.5 Warunki stosowalności przybliżenia semiklasycznego Warunkiem stosowalności rozwinięcia (11.5) jest aby hs 1 S 0. (11.56) Jednak, zarówno S 0 jak i S 1 są funkcjami, przy czym S 0 jest funkcją monotoniczną. Zamiast badać równanie (11.56) przyjęło się badać stosunek pochodnych. hs 1 S 0 = k k 1. (11.57) Ostatni wzór bierze się stąd, że i h ds 1 d = i h d d ln p() = i h S 0 = p = hk. p p = i h Warto wzór (11.57) przepisać w nieco innej formie, zauważając, że długość fali de Broglie a λ = π/k: λ dk 4π d k, (11.58) co oznacza, że zmiana k na odcinku λ/4π jest mała w porównaniu z k. Innymi słowy względna zmiana k na odległości rzędu λ/4π jest mniejsza (silnie) od 1. Ponieważ za zmianę k z odpowiedzialny jest potencjał V (), to warunek (11.58) oznacza w praktyce, że potencjał jest na tyle wolno zmienny, że pęd cząstki jest prawie stały, przy zmianie o kilka długości fali de Broglie a. Widać stąd, że przybliżenie WKB załamuje się w pobliżu punktów zwrotu gdzie k 0 a λ. k k 70

V ma E 0 V 0 11.6 Przejście przez barierę Rysunek : Tunelowanie Rozpatrzmy przypadek cząstki uwięzionej w potencjale pokazanym na rysunku. Ponieważ w obszarze < < formalnie pęd cząstki jest urojony funkcja falowa na zewnątrz bariery bedzie miała postać 1 ψ( ) = ψ( 0 )e d κ() 0 = ψ(0 )e γ. (11.59) Średni czas życia można oszacować semiklasycznie w następujący sposób. Wewnątrz studni cząstka ma prędkość v = p (E + m = V0 ). (11.60) m Częstość uderzeń w barierę w punkcie 0 wynosi ν = Przy każdym uderzeniu prawdopodobieństwo ucieczki wynosi v 0. (11.61) P = e γ. (11.6) Prawdopodobieństwo ucieczki na jednostkę czasu wynosi E + V0 1 R = P ν = e γ (11.63) m 0 a średni czas życia (pozostawania w studni) τ = 1 R. nalogicznie cząstka z zewnątrz może wpaść do studni. Kwantow, PWN 006). (Wg R. Shankar, Mechanika 71