19. O ca lkach pierwszych W paragrafie 6 przy badaniu rozwia zań równania P (x, y) + Q(x, y)y = 0 wprowadzono poje cie ca lki równania, podano pewne kryteria na wyznaczanie ca lek równania. Znajomość ca lki równania dawa la możliwość wyznaczania rozwia zań danego równania. Analogiczne poje cie ca lki (ca lki pierwszej) można wprowadzić dla równania y = f(x, y), gdzie funkcja f : G R jest funkcja cia g la w obszarze G R 2. Nie zawsze takie ca lki istnieja, a jeśli istnieja, to ich wyznaczenie może okazać sie dość skomplikowane, ba dź nawet niemożliwe (por. ćwiczenie 5.3). Niech dany be dzie uk lad równań różniczkowych normalny (1) y = F (x, y), gdzie F : G R n, F = (f 1,..., f n ) jest odwzorowaniem cia g lym w obszrze G R n+1. Funkcje u : G 0 R klasy C 1 określona w obszarze G 0 G nazywamy ca lka pierwsza uk ladu równań (1), gdy jest ona sta la wzd luż każdego rozwia zania uk ladu (1) o wykresie przebiegaja cym w obszarze G 0. Dok ladniej, dla każdego rozwia zania Φ : I R n uk ladu równań (1) takiego, że (x, Φ(x)) G 0 dla x I istnieje sta la γ taka, że (2) u(x, Φ(x)) = γ, x I. Twierdzenie 1. Niech u : G 0 R be dzie funkcja klasy C 1 określona w obszarze G 0 G. Funkcja u jest ca lka pierwsza uk ladu równań (1) wtedy i tylko wtedy, gdy jest ona rozwia zaniem równania o pochodnych cza stkowych postaci (3) u x(x, y 1,..., y n ) + (x, y 1,..., y n )f k (x, y 1,..., y n ) = 0. Dowód. Za lóżmy najpierw, że funkcja u : G 0 R klasy C 1 jest ca lka pierwsza uk ladu równań (1). Weźmy dowolny punkt (ξ, η) = (ξ, η 1,..., η n ) G 0. Pokażemy, że w tym punkcie zachodzi równość (3). Istotnie, niech Φ : I R n, Φ = (ϕ 1,..., ϕ n ) be dzie dowolnym rozwia zaniem uk ladu równań (1) o wykresie przebiegaja cym w G 0 i takim, że Φ(ξ) = η. Istnieje wtedy sta la γ taka, że u(x, Φ(x)) = γ, x I. Sta d po zróżniczkowaniu wynikaja równości u x(x, Φ(x)) + (x, Φ(x))ϕ k(x) = 0, x I. W szczególności, po uwzgle dnieniu faktu Φ (ξ) = F (ξ, Φ(ξ)) = F (ξ, η) 1
2 zachodzi równość u x(ξ, η)) + (ξ, η)f k (ξ, η) = 0, czyli równość (3) w punkcie (ξ, η) G 0. Odwrotnie, niech dana be dzie funkcja u : G 0 R, klasy C 1, dla której zachodza równości (3) w G 0. Weźmy dowolne rozwia zanie Φ : I R n uk ladu równań (1) o wykresie przebiegaja cym w G 0. Wówczas funkcja u(x, Φ(x)), x I jest funkcja różniczkowalna na I oraz zachodza równości d dx u(x, Φ(x)) = u x(x, Φ(x)) + Sta d, z uwagi na (3) mamy Istnieje wie c liczba γ taka, że (x, Φ(x))f k (x, Φ(x)), x I. d u(x, Φ(x)) = 0, x I. dx u(x, Φ(x)) = γ, x I. To oznacza, że funkcja u jest ca lka pierwsza uk ladu równań (1). To kończy dowód. Niech dane be da funkcje u 1,..., u n : G 0 R klasy C 1 i niech be da one ca lkami pierwszymi uk ladu równań (1). Po lóżmy U = (u 1,..., u n ) i za lóżmy, że jakobian det( U y ) jest stale różny od 0. W myśl twierdzenia o funkcji odwrotnej dla każdego (ξ, η) = (ξ, η 1,... η n ) G 0 jeżeli ζ = U(ξ, η), to istnieja liczby dodatnie ε i δ takie, że dla (x, z) R n+1, x ξ < δ, z ζ < δ istnieje dok ladnie jedno y R n, y η < ε takie, że U(x, y) = z. Przy oznaczeniu y = Φ(x, z) oczywiście zachodza tożsamości (4) U(x, Φ(x, z)) = z oraz Φ(x, U(x, y)) = y odpowiednio w dostatecznie ma lych otoczeniach punktu (ξ, ζ) oraz (ξ, η). Przy powyższych oznaczeniach i za lożeniach mamy Twierdzenie 2. Przy każdym ustalonym z dostatecznie bliskim ζ odwzorowanie Φ(x, z) jest rozwia zaniem uk ladu równań (1) w dostatecznie ma lym otoczeniu punktu ξ. Co wie cej, jeżeli funkcja u : G 0 R jest klasy C 1, to jest ona ca lka pierwsza uk ladu równań (1) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje funkcja w określona w dostatecznie ma lym otoczeniu punktu ζ, klasy C 1 taka, że zachodzi tożsamość (5) u(x, y) = w(u(x, y)) w pewnym otoczeniu punktu (ξ, η). Dowód. Ponieważ funkcje u 1,..., u n klasy C 1 sa ca lkami pierwszymi uk ladu równań (1), to spe lniaja one równania o pochodnych cza stkowych postaci (3) i w konsekwencji dla odwzorowania U mamy tożsamość U U (x, y) + (x, y)f (x, y) = 0, x y
3 ska d (6) ( U U ) 1 (x, y) + F (x, y) = 0 y x w pewnym otoczeniu punktu (ξ, η). Ponieważ Φ jest odwzorowaniem odwrotnym do U, to z (4) otrzymujemy (7) 0 = Φ x + Φ U z x = Φ x + ( U U ) 1 y x. Z (6) i (7) otrzymujemy, że przy każdym ustalonym z dostatecznie bliskim ζ odwzorowanie Φ w pewnym otoczeeniu ξ jest rozwia zaniem uk ladu równań (1). Za lóżmy teraz, że funkcja u : G 0 R klasy C 1 jest ca lka pierwsza uk ladu równań (1). Weźmy pod uwage funkcje v(x, z) = u(x, Φ(x, z)) określona w pewnym otoczeniu punktu (ξ, ζ). Ponieważ funkcja v jest klasy C 1, wie c z wykazanej pierwszej cze ści twierdzenia otrzymujemy v x = u x + f k, co z uwagi na twierdzenie 1 daje v x = 0. W konsekwencji funkcja v nie zależy od zmiennej x i za szukana funkcje w wystarczy przyja ć funkcje v. Odwrotnie, za lóżmy, ze istnieje funkcja w klasy C 1 taka, że zachodzi równość (5) w pewnym otoczeniu punktu (ξ, η). Wówczas z (5) wynika równość u x + f k = j=1 w z j ( u n j x + u j f k ) = 0 y k w pewnym otoczeniu punktu (ξ, η), gdyż każdy sk ladnik ostatniej sumy na mocy twierdzenia 1 jest równy 0. To kończy dowód. Przy dodatkowym za lożeniu o odwzorowaniu F zachodzi twierdzenie o istnieniu n ca lek pierwszych uk ladu równań (1) jakobianowo niezależnych. Twierdzenie 3. Jeżeli prawa strona F uk ladu równań (1) jest odwzorowaniem cia g lym w obszarze G R n+1 i posiada cia g le pochodne cza stkowe F y j, j = 1,..., n, to w otoczeniu każdego punktu (ξ, η) G istnieje n ca lek pierwszych u 1,..., u n klasy C 1 takich że jakobian det( U y ) odwzorowania U = (u 1,..., u n ) jest różny od zera. Dowód. Z przyje tych za lożeń dla odwzorowania F wynika, że istnieje odwzorowanie ogólne φ : V R n uk ladu równań (1) posiadaja ce cia g le pochodne cza stkowe φ ξ, φ η j, które spe lniaja uk lad równań Bendixona (8) φ ξ(ξ, η, x) + φ η j (ξ, η, x)f j (ξ, η) = 0, (ξ, η, x) V. j=1
4 Ustalmy punkt (ξ, η) G i rozważmy w pewnym otoczeniu G 0 punktu (ξ, η) odwzorowanie U(x, y) = φ(x, y, ξ), (x, y) G 0. Korzystaja c ba dź z prostej w lasności odwzorowania ogólnego otrzymujemy dla dowolnego rozwia zania Φ : I R n, ξ I uk ladu równań (1) równość (9) U(x, Φ(x)) = φ(x, Φ(x), ξ) = Φ(ξ), x I, ba dź korzystaja c z (8) otrzymujemy równość (10) U x(x, y) + U y J (x, y)f j (x, y) = 0, (x, y) G 0 j=1 Każda z tożsamości (9), ba dź (10) po uwzgle dnieniu ba dź definicji ca lki pierwszej, ba dź po uwzgle dnieniu twierdzenia 1 oznacza, że każda sk ladowa odwzorowania U jest ca lka pierwsza uk ladu równań (1). Z tożsamości φ(ξ, η, ξ) = η (por. w lasność 17.1) wynika, że macierz φ η (ξ, η, ξ) jest jednostkowa, wie c z uwagi na twierdzenie 17.4 w pewnym otoczeniu punktu (ξ, η) jakobian det( U y ) jest różny od zera (por. również ćwiczenie 17.2). To kończy dowód. Ćwiczenia 1. Wyznaczyć ca lki pierwsze równania o rozdzielonych zmiennych, równania jednorodnego, zupe lnego oraz równania liniowego. 2. Wyznaczyć dwie ca lki pierwsze jakobianowo niezależne uk ladu równań { y 1 = x y 2 y 2 y 1 y 2 = y 1 x y 2 y 1. Wyznaczyć rozwia zanie danego uk ladu równań przechodza ce przez punkt (ξ, η 1, η 2 ) R 3, η 1 η 2. 20. O uk ladach autonomicznych równań różniczkowych. Uk lady dynamiczne. Niech dany be dzie uk lad równań różniczkowych normalny (1) y = F (y), gdzie F : G R n jest odwzorowaniem cia g lym w obszarze G R n. Prawa strona uk ladu równań (1) nie zależy tutaj od zmiennej x. Uk lad równań (1) nazywać be dziemy uk ladem autonomicznym. Jeżeli F = (f 1,..., f n ) i funkcja f 1 nie przyjmuje wartości 0 w żadnym punkcie obszaru G. Wówczas
5 Twierdzenie 1. Jeżeli funkcja u : G 0 R klasy C 1 w obszarze G 0 G jest ca lka pierwsza uk ladu równań dy 2 = f 2(y 1,..., y n ) dy 1 f 1 (y 1,..., y n )... dy n = f n(y 1,..., y n ) dy 1 f 1 (y 1,..., y n ), to jest ona też ca lka pierwsza uk ladu równań (1). Dowód. Na mocy twierdzenia 1 z poprzedniego paragrafu dla funkcji u w obszarze G 0 zachodzi równość u y 1 (y 1,... y n ) + (y 1,..., y n ) fk(y 1,..., y n ) f 1 (y 1,..., y n ) = 0. Sta d u x(y 1,... y n ) + k=2 (y 1,..., y n ) f k (y 1,..., y n ) = 0. To oznacza znów, w myśl twierdzenia 1 z poprzedniego paragrafu, że funkcja u jest ca lka pierwsza uk ladu równań (1). W dalszym cia gu za lożymy, że G = R n. Za lóżmy, że przez każdy punkt (ξ, η) R R n przechodzi dok ladnie jedno rozwia zanie integralne uk ladu równań (1), które jest określone na ca lej prostej R. Przy tych za lożeniach rozwia zanie charakterystyczne φ : V R n uk ladu równań (1) jest określone na zbiorze V = R R n R. W 17 pokazano, że dla rozwia zania charakterystecznego φ zachodza równości: (2) φ(ξ, η, ξ) = η, (ξ, η) R R n oraz dla każdych ustalonych ξ, ξ 1 R, η R n (3) φ(ξ, η, x) = φ(ξ 1, φ(ξ, η, ξ 1 ), x), x R (por. w lasność 17.1). Równości (2) i (3) wykorzystamy dalej przy badaniu uk ladu równań (1). W lasność 1. Przy przyje tych oznaczeniach i za lożeniach dla uk ladu równań (1), dla każdego punktu (ξ, η) R R n oraz dla każdego t R odwzorowanie Λ : R R n dane wzorem Λ(x) = φ(ξ + t, η, x + t), x R jest rozwia zaniem uk ladu równań (1) identycznym z rozwia zaniem φ(ξ, η, x), R, to znaczy zachodzi równość (4) φ(ξ + t, η, x + t) = φ(ξ, η, x), x R. Dowód. Odwzorowanie Λ jest rozwia zaniem uk ladu równań (1). Istotnie, na mocy określenia rozwia zania charakterystycznego mamy Λ (x) = φ(ξ + t, η, x + t) = F (φ(ξ + t, η, x + t)) = F (Λ(x)), x R. x Ponadto, z równości (2), mamy Λ(ξ) = η, co z uwagi na za lożona jednoznaczność rozwia zań uk ladu równań (1) daje równość (4). Dla uk ladu równań (1) i jego rozwia zania charakterystycznego utwórzmy odwzorowanie Ψ : R R n R n określone wzorem (5) Ψ(x, y) = φ(0, y, x). x
6 W lasność 2. Odwzorowanie Ψ jest cia g le, ponadto dla każdego t R zachodzi równość (6) Ψ(x + t, y) = Ψ(x, Ψ(t, y)), (x, y) R R n. Dowód. Cia g lość odwzorowania Ψ wynika bezpośrednio z cia g lości odwzorowania charakterystycznego φ. W myśl określenia odwzorowania (5) i równości (3) otrzymujemy, przy każdym ustalonym t R Ψ(x + t, y) = φ(0, y, x + t) = φ(t, φ(0, y, t), x + t), ska d z uwagi na (4) i określenie (5) otrzymujemy Ψ(x + t, y) = φ(0, φ(0, y, t), x) = φ(0, Ψ(t, y), x) = Ψ(x, Ψ(t, y)). To kończy dowód. Niech X be dzie dowolna przestrzenia topologiczna. Niech dane be dzie odwzorowanie cia g le Ψ : R X X. Pare (X, Ψ) nazywamy uk ladem dynamicznym jeżeli dla każdego y X oraz dowolnych x, t R zachodza równości (7) Ψ(0, y) = y, (8) Ψ(x + t, y) = Ψ(x, Ψ(t, y)). Twierdzenie 2. Niech odwzorowanie F : R n R n be dzie odwzorowaniem cia g lym i takim, że przez każdy punkt (ξ, η) R R n przechodzi dok ladnie jedno rozwia zanie integralne uk ladu równań (1) określone na ca lej prostej R. Niech φ : R R n R R n be dzie rozwia zaniem charakterystycznym uk ladu równań (1). Wówczas uk lad równań (1) wyznacza uk lad dynamiczny (R n, Ψ), gdzie Ψ(x, y) = φ(0, y, x), (x, y) R R n. Dowód. Wynika bezpośrednio z w lasności 2 i równości (2). Ćwiczenia 1. Wyznaczyć ca lke pierwsza uk ladu równań Volterry - Lotki y 1 = (by 2 a)y 1 y 2 = (c dy 1 )y 2, gdzie a, b, c, d sa sta lymi dodatnimi. 2. Wyznaczyć uk lady dynamiczne generowane przez równania różniczkowe y = 1 e y + e y,
y = 1 3y 2 + 3. 3. Niech A = [a k,l ] 1 k,l n, gdzie a k,l R be dzie macierza kwadratowa, I = [δ k,l ] 1 k,l n, gdzie δ k,l = 1, gdy k = l, zaś δ k,l = 0, gdy k l, macierza jednostkowa. Określmy macierz e A jako sume szeregu I + A + 1 2! A2 + 1 3! A3 +... = k=0 1 k! Ak. Sume te rozumiemy jako granice cia gu sum cze ściowych (która zawsze istnieje) w przestrzeni macierzy R n2. W teorii równań różniczkowych dowodzi sie, że jeżeli wektory η 1,..., η n R n tworza baze w przestrzeni R n, to wektory 7 e xa η 1,..., e xa η n, x R tworza uk lad fundamentalny rozwia zań uk ladu równań y = Ay. Niech dana be dzie macierz A = 2 2 2 2 2 2. 2 2 2 Wykazać, że uk lad równań różniczkowych y = Ay indukuje uk lad dynamiczny (R 3, Ψ), gdzie Ψ(x, y) = e xa y, x R, y R 3. 21. Równania różniczkowe o pochodnych cza stkowych rze du pierwszego. Równaniem różniczkowym o pochodnych cza stkowych rze du pierwszego nazywamy równanie postaci F (z, x 1,..., x n, z z,..., ) = 0 gdzie F : D R jest zadana funkcja w pewnym obszarze D R 2n+1. Rozwia - zaniem tego równania nazywamy każda funkcje ϕ : G R określona w jakimś obszarze G R n taka, że dla każdego (x 1,..., x n ) G zachodza relacje i (x 1,..., x n, ϕ(x 1,..., x n ), ϕ (x 1,..., x n ),..., ϕ (x 1,..., x n )) D F (x 1,..., x n, ϕ(x 1,..., x n ), ϕ (x 1,..., x n ),..., ϕ (x 1,..., x n )) = 0. Rozważać tutaj be dziemy równania postaci (1) f 1 (x 1,..., x n ) z + + f n (x 1,..., x n ) z = 0,
8 gdzie f 1,..., f n : G R sa danymi funkcjami klasy C 1 w obszarze G R n, które nie znikaja jednocześnie w żadnym punkcie zbioru G. Równanie (1) nazywać be dziemy równaniem różniczkowym liniowym jednorodnym o pochodnych cza stkowych. Dla ustalenia uwagi przyjmijmy, że f 1 (x 1,..., x n ) 0 dla (x 1,..., x n ) G. Rozważmy uk lad równań zwyczajnych dy 2 dx = f 2(x, y 2,..., y n ) f 1 (x, y 2,..., y n ) (2)... dy n dx = f n(x, y 2,..., y n ) f 1 (x, y 2,..., y n ) w obszarze G. Niech P 0 = (ξ 1, ξ 2,... ξ n ) be dzie dowolnym punktem obszaru G. Niech funkcje u 2 = u 2 (x, y 2,..., y n ),..., u n = u n (x, y 2,..., y n ), klasy C 1 be da ca lkami pierwszymi uk ladu równań (1) w pewnym otoczeniu punktu P 0 takimi, że jakobian (3) det (u 2,..., u n ) (y 2,..., y n ) nie znika w tym otoczeniu. Wówczas zachodzi Twierdzenie 1. Ogó l rozwia zań równania (1) w dostatecznie ma lym otoczeniu punktu P 0 jest postaci (4) ϕ(x 1, x 2,..., x n ) = w(u 2 (x 1, x 2,..., x n ),..., u n (x 1, x 2,..., x n )), gdzie w jest dowolna funkcja o cia g lych pochodnych cza stkowych w dostatecznie ma lym otoczeniu punktu Q 0 = (ζ 2,..., ζn) = (u 2 (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ),..., u n (ξ 1, ξ 2,..., ξ n )) R n 1 Dowód. Ponieważ funkcje u 2,..., u n sa ca lkami pierwszymi uk ladu równań (2), to w pewnym otoczeniu punktu P 0 zachodza równości u k x + n l=1 u k y l fl f 1 = 0 k = 2,..., n, czyli równości u n k (5) f 1 x + u k f l = 0 k = 2,..., n. y l l=1 Widać wie c, że ca lki pierwsze u 2,..., u n uk ladu równań (1) sa jednocześnie rozwia - zaniami równania (1) w pewnym otoczeniu punktu P 0.
Weźmy dowolna funkcje w o pochodnych cza stkowych cia g lych w otoczeniu punktu Q 0 i utwórzmy w pewnym otoczeniu punktu P 0 funkcje postaci (4). Funkcja ta posiada cia g le pochodne cza stkowe w otoczeniu puktu P 0 i z uwagi na (5), zachodza w tym otoczeniu równości f 1 ϕ + + f n ϕ = f 1 w z j u j x + f 2 w u j (f 1 z j x + f 2 w z j u j y 2 + + f n u j u j + f n ) = 0. y 2 y n 9 w z j u j y n = To oznacza, że każda funkcja postaci (4) jest rozwia zaniem równania (1) w otoczeniu punktu P 0. Odwrotnie, weźmy dowolne rozwia zanie ϕ równania (1) w otoczeniu punktu P 0. Wtedy w tym otoczeniu zachodza równości (6) f 1 ϕ + + f n ϕ = 0. W myśl przyje tych za lożeń dla odwzorowania U = (u 2,..., u n ) w otoczeniu punktu P 0 = (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) istnieje odwzorowanie odwrotne Λ = (λ 2,..., λ n ) w otoczeniu punktu (ξ 1, ζ 2,..., ζ n ) i zachodzi tożsamość w otoczeniu punktu P 0 (7) (Λ U)(x, y 2,..., y n ) = (y 2,..., y n ), ska d wynikaja tożsamości (8) λ k z j { u j 1, k = m = y m 0, k m, k, m = 2,..., n, (9) λ k x + n λ k u j z j x = 0, k = 2,..., n. Weźmy pod uwage funkcje (10) ω(x 1, z 2,..., z n ) = ϕ(x 1, λ 2 (x 1, z 2,..., z n ),..., λ n (x 1, z 2,..., z n )) w pewnym otoczeniu (ξ 1, ζ 2,..., ζ n ). Posiada ona cia g le pochodne cza stkowe. Z tożsamości (9) i faktu, że funkcje u 2,..., u n spe lniaja równanie (1) w otoczeniu punktu P 0 otrzymujemy równości (11) f 1 λ k = f k k = 2,..., n. Dla funkcji (10), z uwagi na równości (11) i fakt, że funkcja ϕ spe lnia równanie (1) mamy ω ϕ f 1 = f 1 + ϕ λ 2 f 1 + + ϕ λ n f 1 = 0, x 2
10 co przy za lożeniu, że funkcja f 1 nigdzie nie znika, daje, że funkcja ω nie zależy od zmiennej x 1. Przyjmuja c w otoczeniu punktu Q 0 otrzymujemy, z uwagi na (7) i (10) w(z 2,..., z n ) = ω(x 1, z 2,..., z n ) w(u 2 (x 1, x 2,..., x n ),..., u n (x 1, x 2,..., x n )) = ϕ(x 1, x 2,..., x n ) w pewnym otoczeniu punktu P 0. To kończy dowód. Tak jak w przypadku równań różniczkowych zwyczajnych, aby wyróżnić jakieś rozwia zanie szczególne równania o pochodnych cza stkowych (1) należy przyja ć jakieś dodatkowe warunki, na przyk lad warunki Cauchy ego. Warunki Cauchy ego polegaja na wyznaczeniu takiego rozwia zania ϕ równania (1) w otoczeniu punktu P 0 = (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) G takiego, że (12) ϕ(ξ 1, x 2,..., x n ) = ψ(x 2,..., x n ), gdzie ψ jest zadana funkcja klasy C 1 w pewnym otoczeniu punktu (ξ 2,..., ξ n ). Przyjmijmy, jak poprzednio za lożenia, że funkcje f 1,..., f n sa klasy C 1 w obszarze G R n i funkcja f 1 nie znika w żadnym punkcie obszaru G. Niech P 0 = (ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) be dzie dowolnym punktem obszaru G. Niech funkcja ψ be dzie funkcja klasy C 1 w pewnym otoczeniu punktu (ξ 2,..., ξ n ) R n 1. Niech funkcje u 2,..., u n klasy C 1 be da ca lkami pierwszymi uk ladu równań (2) w otoczeniu puktu P 0 takim, że jakobian (3) nie znika w tym otoczeniu. Po lóżmy U = (u 2,..., u n ) oraz U(ξ 1, ξ 2,..., ξ n ) = (ζ 2,..., ζ n ). Niech Λ = (λ 2,..., λ n ) be dzie odwzorowaniem odwrotnym do U w otoczeniu punktu (ξ 1, ζ 2,..., ζ n ). Wówczas mamy Twierdzenie 2. W otoczeniu punktu P 0 istnieje rozwia zanie równania (1) spe lniaja ce warunek pocza tkowy (12) i jest ono postaci (13) ϕ(x 1, x 2,..., x n ) = ψ(λ 2 (ξ 1, U(x 1,..., x n )),..., λ n (ξ 1, U(x 1,..., x n ))). Dowód. Na mocy twierdzenia 1 mamy, że funkcja postaci (13) jest rozwia zaniem równania (1), bo prawa strona (13) jest postaci (4). Co wie cej, z uwagi na (7) mamy równość ϕ(ξ 1, x 2,..., x n ) = ψ((λ U)(ξ 1, x 2,..., x n )) = ψ(x 2,..., x n ), co oznacza, że funkcja (13) spe lnia warunek Cauchy ego (12) w pewnym otoczeniu punktu (ξ 2,..., ξ n ) Uwaga 1. Można pokazać, że funkcja (13) w otoczeniu punktu P 0 jest jedynym rozwia zaniem równania (1) spe lniaja cym warunek (12).
Uwaga 2. Metody rozwia zywania równania (1) podane w twierdzeniach 1 i 2 można zastosować też do równania liniowego o pochodnych cza stkowych postaci 11 (14) f 1 (x 1,..., x n, z) z + + f n (x 1,..., x n, z) z = g(x 1,..., x n, z). Mianowicie, budujemy równanie liniowe jednorodne postaci (15) f 1 (x 1,..., x n, z) u + + f n (x 1,..., x n, z) u + g(x 1,..., x n, z) u z = 0. Jeżeli dla równania (15) można zastosować twierdzenie 1 w otoczeniu pewnego punktu (ξ 1,..., ξ n, z 0 ) R n+1 i wyznaczyć n ca lek pierwszych jakobianowo niezależnych u 1 = u 1 (x 1,..., x n, z),..., u n = u n (x 1,..., x n, z) odpowiedniego uk ladu równań zwyczajnych (analogicznego do (2)) tak, że funkcja (16) v(u 1,..., x n, z),..., u n (x 1,..., x n, z)) jest rozwia zaniem równania (15) przy pewnej funkcji v określonej w pewnym otoczeniu punktu (u 1 (ξ 1,..., ξ n, z 0 ),..., u n (ξ 1,..., ξ n, z 0 )) i potrafimy rozwia zać równanie (17) v(u 1,..., x n, z),..., u n (x 1,..., x n, z)) = 0 wzgle dem z, to tak otrzymana funkcja zmiennych x 1,..., x n równania (14). Ćwiczenia 1. Wyznaczyć ogó l rozwia zań równania jest rozwia zaniem (1 + x 2 1) z + x 1 x 2 z x 2 = 0 oraz wyznaczyć rozwia zanie spe lniaja ce warunek Cauchy ego ϕ(0, x 2 ) = x 2 2.