Algebra konspekt wykladu 2009/10 1. du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle

Podobne dokumenty
Wyk lad 5 Grupa ilorazowa, iloczyn prosty, homomorfizm

Ćwiczenia 1 - Pojęcie grupy i rzędu elementu

Wyk lad 2 Podgrupa grupy

Wyk lad 4 Warstwy, dzielniki normalne

Algebra liniowa z geometria. - zadania Rok akademicki 2010/2011

1 Grupy. 1.1 Grupy. 1.2 Podgrupy. 1.3 Dzielniki normalne. 1.4 Homomorfizmy

1 Znaleźć wszystkie możliwe tabelki dzia lań grupowych na zbiorze 4-elementowym.

6 Homomorfizmy przestrzeni liniowych

Dzia lanie grupy na zbiorze. Twierdzenie Sylowa

2 Kongruencje 5. 4 Grupy 9. 5 Grupy permutacji Homomorfizmy grup Pierścienie 16

4. Dzia lanie grupy na zbiorze

Teoria ciała stałego Cz. I

Wyk lad 6 Przyk lady homomorfizmów

5. Algebra działania, grupy, grupy permutacji, pierścienie, ciała, pierścień wielomianów.

5. Podgrupy normalne i grupy ilorazowe

1. Zadania z Algebry I

Algorytm Euklidesa. ZADANIE 1. Oblicz korzystając z algorytmu Euklidesa: (a) NWD(120, 195), (b) NWD(80, 208), (c) NWD(36, 60, 90),

... [a n,b n ] kn [M 1,M 2 ], gdzie a i M 1, b i M 2, dla i {1,..., n}. Wówczas: [a 1,b 1 ] k [a n,b n ] kn =(a 1 b 1 a 1

1. Elementy (abstrakcyjnej) teorii grup

13. Cia la. Rozszerzenia cia l.

WYKŁADY Z ALGEBRY OGÓLNEJ

Działanie grupy na zbiorze

Zadania o grupach Zadania zawieraja

Uwaga 1.2. Niech (G, ) będzie grupą, H 1, H 2 < G. Następujące warunki są równoważne:

Algebra i jej zastosowania konspekt wyk ladu, czȩść druga

1 Grupy. 1.1 Grupy. (2) dla działania istnieje element neutralny, tzn. istnieje e G taki, że ae = a = ea dla dowolnego a G;

Zadania z algebry liniowej - sem. I Struktury algebraiczne

Algebra I B ALGEBRA I B. W ladys law Narkiewicz

1 Określenie pierścienia

Działanie grupy na zbiorze

1. Określenie pierścienia

Definicja1.2.Niech Abędzieniepustymzbiorem,a i działaniamiwa. (1)Mówimy,że jestłączne,jeżeli. x,y,z A[x (y z) = (x y) z].

ALGEBRA Z GEOMETRIĄ PIERŚCIENIE, CIAŁA I HOMOMORFIZMY

opracował Maciej Grzesiak Grupy

Grupy. Rozdział Grupy, podgrupy, homomorfizmy Definicja i przykłady grup

Matematyka dyskretna

1. R jest grupą abelową względem działania + (tzn. działanie jest łączne, przemienne, istnieje element neutralny oraz element odwrotny)

Wyk lad 14 Cia la i ich w lasności

Prostota grup A n. Pokażemy, że grupy A n sa. proste dla n 5. Dowód jest indukcyjny i poprzedzimy go lematem.

Algebra Abstrakcyjna i Kodowanie Lista zadań

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu

Algebra i jej zastosowania ćwiczenia

Algebra i jej zastosowania - konspekt wykładu

Zadania do wykładu Algebra DALG 201 Lato prof. Wojciech Gajda

14. Wykład 14: Grupa Galois wielomianu. Zasadnicze twierdzenia teorii Galois. Rozszerzenia rozwiązalne, cykliczne i abelowe

φ(x 1,..., x n ) = a i x 2 i +

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

Działania Definicja: Działaniem wewnętrznym w niepustym zbiorze G nazywamy funkcję działającą ze zbioru GxG w zbiór G.

Zadanie 2. Obliczyć rangę dowolnego elementu zbioru uporządkowanego N 0 N 0, gdy porządek jest zdefiniowany następująco: (a, b) (c, d) (a c b d)

Grupy. Permutacje 1. (G2) istnieje element jednostkowy (lub neutralny), tzn. taki element e G, że dla dowolnego a G zachodzi.

5. Wykład 5: Grupy proste. Definicja 5.1. Grupę (G, ) nazywamy grupą prostą, gdy G nie zawiera właściwych podgrup normalnych.

Treść wykładu. Pierścienie wielomianów. Dzielenie wielomianów i algorytm Euklidesa Pierścienie ilorazowe wielomianów

Algebra liniowa z geometrią. wykład I

Rzędy Elementów Grupy Abelowej Andrzej Nowicki 16 września 2015, wersja rz-15

Podstawowe struktury algebraiczne

Zadania z Algebry Studia Doktoranckie Instytutu Matematyki Uniwersytetu Śląskiego 1

1. Definicja granicy właściwej i niewłaściwej funkcji.

Dziedziny Euklidesowe

Algebra I. A. Bojanowska P. Traczyk

Algebra. Wykłady dla Studiów Doktoranckich. Kazimierz Szymiczek

Systemy algebraiczne. Materiały pomocnicze do wykładu. przedmiot: Matematyka Dyskretna 1 wykładowca: dr Magdalena Kacprzak

Projekt matematyczny

Wykład 4 Udowodnimy teraz, że jeśli U, W są podprzetrzeniami skończenie wymiarowej przestrzeni V to zachodzi wzór: dim(u + W ) = dim U + dim W dim(u

2 Algebra 2 zarys wykładu Szymon Brzostowski Element b G spełniający warunek G3 dla danego a G i e G nazywamy elementem odwrotnym do a i oznaczamy prz

Relacje binarne. Def. Relację ϱ w zbiorze X nazywamy. antysymetryczną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y) spójną, gdy x, y X (xϱy yϱx x = y)

im = (P )={b 2 R : 9a 2 P [b = (a)]} nazywamy obrazem homomorfizmu.

Wyk lad 9 Podpierścienie, elementy odwracalne, dzielniki zera

Rozdzia l 3. Elementy algebry uniwersalnej

Macierze - obliczanie wyznacznika macierzy z użyciem permutacji

Funkcje elementarne. Matematyka 1

0.1 Pierścienie wielomianów

1.1 Definicja. 1.2 Przykład. 1.3 Definicja. Niech G oznacza dowolny, niepusty zbiór.

1 WPROWADZENIE 1. Agata Pilitowska. parzysta. 3. Znaleźć odległość kodu kontroli parzystości nad ciałem GF (q).

Funkcje. Oznaczenia i pojęcia wstępne. Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016

Algebra i jej zastosowania ćwiczenia

= b i M i [x], gdy charf = p, to a i jest pierwiastkiem wielomianu x n i

FUNKCJE. (odwzorowania) Funkcje 1

Definicja 1.2. Niech A będzie niepustym zbiorem, a i działaniami w A. (1) Mówimy, że jest łączne, jeżeli. x, y, z A[x (y z) =(x y) z].

Grupy i matematyka szkolna

2 Rodziny zbiorów. 2.1 Algebry i σ - algebry zbiorów. M. Beśka, Wstęp do teorii miary, rozdz. 2 11

Definicje- Algebra III

Maciej Grzesiak. Wielomiany

Twierdzenie 5.1 Definicja i uwaga 5.1. relacjami zadana za pomocą zbioru generatorów i zbioru relacji kodem genetycz- nym

Zadania do samodzielnego rozwiązania

Algebra II Wykład 1. Definicja. Element a pierścienia R nazywamy odwracalnym, jeśli istnieje element b R taki, że ab = 1.

Algebra i jej zastosowania ćwiczenia

Skończone rozszerzenia ciał

Grupa klas odwzorowań powierzchni

Metody dowodzenia prostoty grup

Chcąc wyróżnić jedno z działań, piszemy np. (, ) i mówimy, że działanie wprowadza w STRUKTURĘ ALGEBRAICZNĄ lub, że (, ) jest SYSTEMEM ALGEBRAICZNYM.

Sumy kwadratów. Twierdzenie Fermata-Eulera. Lemat Minkowskiego

1 Grupy - wiadomości wstępne

Podciała, podciała generowane przez zbiór, rozszerzenia ciał.

Algebra. Jakub Maksymiuk. lato 2018/19

Wyk lad 3 Grupy cykliczne

Wniosek Niech R będzie pierścieniem, niech I R. WówczasI R wtedy i tylko wtedy, gdy I jest jądrem pewnego homomorfizmu.

7. Klasyfikacja skończenie generowanych grup przemiennych

Transkrypt:

Algebra konspekt wykladu 2009/10 1 3 Podgrupy Niech S g mówimy, że podzbiór S jest zamknie ty ze wzgle du na dzialanie na zbioze G, jeśli dla dowolnych elementów x, y S, x y S. S jest zamkniety ze wzgle du na operacje 1, jeśli dla dowolnego x S, x 1 S. Definicja 3.1. Niepusty podzbiór podzbiór S grupy G jest podgrupa grupy G, jeśli jest zamknie ty ze wzgledu na operacje oraz 1. Piszemy wtedy S G. Każda podgrupa grupy G jest grupa. Ponadto, jeśli S jest podgrupa grupy G to S zawiera element neutralny grupy G. Lemat 3.2. Niepusty podzbiór S jest podgrupa skończonej grupy G x,y S xy S. Zadanie Wyznacz wszystkie podgrupy grup Z 5, Z 12, S 3. Lemat 3.3. Niech dla dowolnego i T, K i < G. Wtedy K i < G. Niech S bedzie podzbiorem G. Najmniejsza podgrupe zawieraja ca zbiór S nazywamy podgrupa generowana przez S i oznaczamy przez S. Lemat 3.4. Niech S be dzie podzbiorem G. Wtedy S = {x 1 x 2... x n, x 1, x 2,..., x n S S 1, m 0}. Definicja 3.5. Jeśli zbiór generatorów grupy G jest jednoelementowy, to G nazywamy grupa cykliczna. Grupy (Z, +) oraz (Z n, + n ) sa cykliczne. 4 Homomorfizmy i izomorfizmy Definicja 4.1. Niech G, H be da grupami. Odwzorowanie f : G H nazywamy homomorfizmem grup, jeśli dla dowolnych x, y G, f(x G y) = f(x) H f(y). Przyklady i T

Algebra konspekt wykladu 2009/10 2 1. f : S n { 1, 1}, f sgnf. 2. f : (R 0, ) (R, +), x lnx. Lemat 4.2. Niech f : G H be dzie homomorfizmem grup. Wtedy f(e G ) = e H oraz (f(x)) 1 = f(x 1 ), x G. Homomorfizm f : G H nazywamy monomorfizmem, wtedy i tylko wtedy gdy f jest przeksztalceniem różnowartościowym. Homomorfizm f : G H nazywamy epimorfizmem, wtedy i tylko wtedy gdy f jest przeksztalceniem na. Homomorfizm, który jest róznowartosciowy i na nazywamy izomorfizmem. Niech f : G H bedzie homomorfizmem grup. Definiujemy ja dro (kerf) i obraz (imf) homomorfizmu f naste pujaco: kerf = {x G, f(x) = e G }, imf = {y H, y = f(x) x G}. Twierdzenie 4.3. Niech f : G H be dzie homomorfizmem grup. Wtedy kerf < G, imf < H. Lemat 4.4. Niech f : G H be dzie homomorfizmem grup i x G. Jeśli rz(x) = n to rz(f(x)) n. Wniosek 4.5. Niech f : G H be dzie izomorfizmem grup. dowolnego x G rz(x) = rz(f(x)). Wtedy dla 5 Algorytm Euklidesa Algorytm Euklidesa pozwala obliczyć najwiekszy wspólny dzielnik dla dowolnych liczb calkowitych, bez rozkladania liczb na czynniki pierwsze. Niech a, b Z, b = 0. Wtedy istnieja jednoznacznie wyznaczone liczby calkowite q, r, takie że a = bq + r, 0 r < b. Twierdzenie 5.1. Niech a, b Z, b = 0, oraz niech a = bq 1 + r 1, 0 r 1 < b, b = r 1 q 2 + r 2, 0 r 2 < r 1,

Algebra konspekt wykladu 2009/10 3 r 1 = r 2 q 3 + r 3, 0 r 3 < r 2,. r n 2 = r n 1 q n 1 + r n, 0 r n < r n 1, r n 1 = r n q n. Wtedy NW D(a, b) = r n. Twierdzenie 5.2. Niech a, b Z, że NW D(a, b) = ka + nb. b = 0 Istnieja liczby calkowite k, n takie, Liczby a, b nazywamy wzgle dnie pierwszymi wtedy i tylko wtedy gdy NW D(a, b) = 1. Twierdzenie 5.3. Niech Z n = {0, 1,..., n 1}, m generuje grupe (Z n, + n ) NW D(m, n) = 1. 1 m n 1. Element 6 Grupy permutacji S(X) = {f : X X, f róznowartościowe i na } Zbiór S(X) jest grupa z dzialaniem skladania przeksztalcen. Gdy zbiór X = {1, 2,, n} grupe te oznaczamy S n. Grupa permutacji S n jest generowana przez wszystkie permutacje cykliczne. Jest ona tez generowana przez wszystkie cykle dlugości 2 zwane transpozycjami. Permutacje nazywamy parzysta jeśli rozklada sie na parzysta liczbe transpozycji. Wszytkie permutacje parzyste tworza podgrupe grupy S n oznaczana A n. Twierdzenie 6.1. Niech G bedzie grupa. G jest izomorficzna z pewna podgrupa grupy S(G). 7 Grupy cykliczne Twierdzenie 7.1. Jeśli G jest n elementowa grupa cykliczna to G jest izomorficzna z grupa Z n. Dowolna nieskonczona grupa cykliczna jest izomorficzna z grupa Z. Twierdzenie 7.2. Podgrupy grupy cyklicznej sa cykliczne. Obrazy homomorficzne grupy cyklicznej sa cykliczne.

Algebra konspekt wykladu 2009/10 4 8 Warstwy Niech H < G i element g G Zbiór gh := {gh, h H} nazywamy lewostronna elemetu x wzgle dem podgrupy H w G. Podobnie definiujemy warstwy prawostronne Hg := {hg, h H}. Lemat 8.1. Niech H < G. Dowolne dwie warstwy lewostronne (prawostronne) G wzgle dem podgrupy H sa równe lub rozlaczne. Dowolne dwie warstwy sa równoliczne. Zauważmy, ze g xh x 1 g H. Podobnie g Hx gx 1 g H. Twierdzenie 8.2. (Lagrange a Niech G grupa skończona. podgrupa grupy G to H G. Jesli H jest Jeśli H jest podgrupa grupy G to liczba warst G wzgle dem H jest równa G. Nazywamy ja H indeksem podgrupy H w grupie G i oznaczamy [G : H]. Wniosek 8.3. Rza d dowolnego elementu grupy G dzieli rza d grupy. Wniosek 8.4. Niech p bedzie liczba pierwsza i niech G be dzie grupa rzedu p. Wtedy grupa G jest izomorficzna z grupa Z p. 9 Podgrupy normalne Definicja 9.1. Podgrupe H grupy G nazywamy podrupa normalna (dzielnikiem normalnym) grupy G jeśli dla dowolnego g G, gh = Hg Jeśli H jest nornalna podgrupa G to oznaczamy to pisza c H G. Jeśli G jest grupa abelowa to każda podgrupa G jest normalna. Lemat 9.2. Podgrupa H grupy G jest normalna g G h H H. g 1 hg Lemat 9.3. Niech f : G H bedzie homomorfizmem grup. Wtedy kerf G. Jeśli H jest pogrupa normalna grupy G to na zbiorze warstw G/H mozna zdefiniowac operacje binarna naste puja co; ah bh := abh.

Algebra konspekt wykladu 2009/10 5 Operacja jest dobrze zdefiniowana (nie zależy od wyboru reprezentantów warstw. Zbiór G/H z tak zdefiniowana operacja jest grupa. Nazywamy ja grupa ilorazowa G przez H. Jeśli G/H jest grupa ilorazowa G przez H, to możemy zdefiniować odwzorowanie π G/H : G H π G/H : g gh. Odworowanie π G/H jest homomorfizmem grupy G na grupe G/H. Przyklad Grupa ilorazowa Z/nZ jest izomorficzna z grupa Z n. Twierdzenie 9.4. (tw. o homomorfizmie) Niech f : G H be dzie epimorfizmem grup. Wtedy istnieje izomorfizm grup i : G/kerf H, taki że (iπ G/H )(g) = f(g). Zadania 1. Czy dzialanie jest la czne w zbiorze M, jeśli: (a) M = N, x y = x y, (b) M = N, x y = 2xy, (c) M = N, x y = NW D(x, y), (d) M = Z, x y = x y, (e) M = R { 1}, x y = x + y + xy? 2. Opisać grupy symetrii (a) prostokata, który nie jet kwadratem (b) trójkata równobocznego (c) kwadratu. 3. Niech O(Π), O X (Π) oznaczaja odpowiednio zbiór wszystkich obrotów plaszczyzny Π oraz zbiór wszystkich obrotów plaszczyzny Π wokól ustalonego punktu X Π. Czy zbiory te wraz z dzialaniem skladania obrotów sa grupami? 4. Sprawdzić czy sa grupami:

Algebra konspekt wykladu 2009/10 6 (a) ({f i : R {0, 1} R {0, 1}}, ), gdzie skladanie funkcji a f 1 (x) := x, f 2 (x) := 1 x, f 3 (x) := 1, f x 4(x) := 1 1, f x 5(x) := 1, f 1 x 6(x) := x, 1 x (b) ({ a Q, a, b Z, b nieparzyste }, +), b (c) ({f : R R, f(x) = ax+b, a, b, c, d R, ad bc = 0}, ), cx+d gdzie skladanie funkcji. 5. Które z podanych zbiorów odwzorowań zbioru A = {1, 2,..., n} w siebie tworza grupe ze wzgle du na skladanie: (a) zbiór wszystkich odwzorowań, (b) zbiór wszystkich odwzorowań surjektywnych (na), (c) zbiór wszystkich odwzorowań bijektywnych, (d) zbiór wszystkich permutacji parzystych, (e) zbiór wszystkich transpozycji, (f) zbiór wszystkich permutacji odwzorowuja cych punkty pewnego podzbioru B A na punkty tego samego podzbioru, (g) zbiór wszystkich permutacji stalych na punktach pewnego podzbioru B A, (h) {id, (12)(34), (13)(24), (14)(23)}. 20 6. Wykazać, że f : 1 20 1, dane wzorem f(z) := iz 3 jest permutacja. Obliczyć jej znak. 7. Niech Przedstawić permutacje ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 f := 2 4 5 8 7 6 3 1 9 ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 g := 9 2 6 4 3 5 1 7 8 ( 1 2 3 4 5 6 7 8 9 h := 3 4 5 6 7 8 9 1 2 ), ), ). f, f 1, gf,, hf,, f 1 gh, h 1 g 1 f 1 jako iloczyny rozla cznych cykli.

Algebra konspekt wykladu 2009/10 7 8. Znaleźć znak permutacji σ, rozklad σ na rozla czne cykle oraz obliczyć σ 24, jeżeli ( ) 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 σ :=. 5 8 9 1 3 10 4 2 7 11 6 9. Znaleźc wszystkie podgrupy grup (a) (Z 10, + 10 ) (b) grup (S 3, ), (A 4, ) (c) grupy liczb calkowitych (Z, +). Narysuj diagramy podgrup. 10. Znależc generatory grupy D 4 symetrii kwadratu. 11. Czy H = {2 n 3 m ; n, m Z} jest podgrupa grupy G = (R {0}, )? 12. Niech G bedzie grupa. Definiujemy Z(G) = {x G, y G xy = yx} (zbiór Z(G) nazywamy centrum grupy G.) Pokazać, że Z(G) G. Wyznaczyć Z(S 3 ). 13. Udowodnij, ze sa dokladnie dwie (z dokladnościa do izomorfizmu) grupy rze du 4. 14. Pokazać, ze odwzorowanie f : G G, f(x) = x 2 jest homomorfizmem wtedy i tylko wtedy gdy G jest grupa abelowa. 15. Czy nastepuja ce przeksztalcenia sa homomorfizmami grup? Znaleźc jadra homomorfizmów. (a) g : (R {0}, ) (R {0}, ), g(x) = x. (b) h : (C {0}, ) (R {0}, ), h(a + bi) = a 2 + b 2. (c) f : Z 12 Z 12 ; x x + 1. (d) f : C 12 C 12 ; g g 3, gdzie C 12 jest grupa cykliczna rze du 12. (e) f : Z 8 Z 2 ; x (x) 2. 16. Niech G = R {0} oraz x y = xy 2 i (G, ). Znaleźć izomorfizm grup (R {0}, )

Algebra konspekt wykladu 2009/10 8 17. Obliczyc N W D(108265, 4185). 18. Znaleźć wszystkie warstwy lewostronne Z w (R, +).Znaleźć R/Z. 19. Znaleźć wszytkie warstwy H = 5 w G = Z 15. Znaleźć G/H. 20. Znaleźć wszystkie obrazy homomorficzne grupy S 3. 21. Znaleźć wszystkie obrazy homomorficzne grupy D 4. 22. Czy istnieje homomorfizm grupy izometrii n-ka ta foremnego D n na grupe cykliczna rze du 2? 23. Znaleźć wszystkie homomorfizmy grupy Z 15 w grupe Z 12. 24. Znaleźć wszystkie homomorficzne obrazy grupy Z 18. Czy istnieje homomorfizm grupy Z 18 na grupe Z 6? Znależć taki homomorfizm, jeśli istnieje lub udowodnić, ze nie istnieje. Czy istnieje homomorfizm Z 18 na Z 12? Czy istnieje nietrywialny homomorfizm grup Z 18 i Z 12? A Z 18 i Z 5?