Algebra. Wykłady dla Studiów Doktoranckich. Kazimierz Szymiczek

Transkrypt

1 Algebra Wykłady dla Studiów Doktoranckich Kazimierz Szymiczek

2 Spis treści Przedmowa v 1 Grupy Grupy, podgrupy, homomorfizmy Definicja i przykłady grup Podgrupy i warstwy Podgrupy normalne Homomorfizmy Automorfizmy wewnętrzne Twierdzenie Jordana-Höldera Działanie grupy na zbiorze Działanie grupy przez automorfizmy wewnętrzne Zastosowania w teorii grup skończonych Iloczyn prosty i półprosty grup Iloczyny wewnętrzne Iloczyny zewnętrzne Iloczyn prosty Iloczyn półprosty Holomorf grupy Grupy wolne i kody genetyczne grup Monoidy wolne Grupy wolne Własność uniwersalna grupy wolnej Kod genetyczny grupy Zadania Pierścienie Podstawowe pojęcia Homomorfizmy i ideały Ideały w pierścieniach przemiennych Ideały pierwsze i maksymalne Rozszerzenie i zwężenie ideału Twierdzenie chińskie o resztach Elementy nilpotentne i dzielniki zera Pierścienie ułamków i lokalizacja Konstrukcja i

3 ii SPIS TREŚCI Własność uniwersalna Ideały pierścienia ułamków Zadania Moduły Definicje i przykłady Operacje na modułach Homomorfizmy modułów Rozszczepialne ciągi dokładne Moduły wolne Moduły projektywne Bazy dualne modułów projektywnych Moduły projektywne nad pierścieniami lokalnymi Bimoduły i reprezentacje pierścieni Iloczyn tensorowy modułów Rozszerzenie pierścienia skalarów Zadania Moduły nad pierścieniami ideałów głównych Moduły torsyjne Moduły skończenie generowane Grupy abelowe Grupy abelowe wolne Grupa abelowa wolna jako składnik prosty grupy abelowej.. 98 Generatory i relacje Skończenie generowane grupy abelowe Skończenie generowane beztorsyjne grupy abelowe Skończenie generowane mieszane grupy abelowe Torsyjne grupy abelowe Skończone grupy abelowe Zadania Kategorie Obiekty i morfizmy Monomorfizmy i epimorfizmy Iloczyny obiektów kategorii Sumy obiektów kategorii Funktory Transformacja naturalna funktorów Naturalna równoważność funktorów Funktory sprzężone Funktor K Grupa Grothendiecka Funktor K K teoria Zadania

4 SPIS TREŚCI iii 6 Pierścienie noetherowskie Moduły i pierścienie noetherowskie Moduły noetherowskie Pierścienie noetherowskie Moduły i pierścienie artinowskie Rozkład prymarny Ideały prymarne Radykał ideału Nota bibliograficzna Pierścienie Dedekinda Wymiar pierścienia Elementy całkowite nad pierścieniem Pierścienie Dedekinda Inna charakteryzacja pierścieni Dedekinda Pierścienie liczb algebraicznych całkowitych Zadania Afiniczne rozmaitości algebraiczne Zbiory algebraiczne i ich ideały Topologia Zariskiego Rozmaitości algebraiczne Twierdzenie Hilberta o zerach Zastosowania twierdzenia Hilberta o zerach Rozkład prymarny ideałów i rozkład zbioru algebraicznego na sumę rozmaitości Ideały maksymalne pierścienia wielomianów Ideały radykalne Ciało funkcji wymiernych na rozmaitości Pierścień funkcji wielomianowych na zbiorze algebraicznym Kategoria afinicznych zbiorów algebraicznych Zbiory algebraiczne określone nad podciałem Punkty K wymierne Ciało funkcji wymiernych na rozmaitości Wymiar rozmaitości Nieosobliwość rozmaitości Zadania Algebra endomorfizmów K algebry: definicje i przykłady Algebry z dzieleniem i algebry proste Centralność i prostota algebry endomorfizmów Wielomian minimalny endomorfizmu Endomorfizmy odwracalne Rząd endomorfizmu Podobieństwo endomorfizmów Zadania

5 iv SPIS TREŚCI 9 Algebra liniowa: Triangularyzacja i diagonalizacja Wartości własne endomorfizmu Endomorfizmy diagonalizowalne Postać kanoniczna trójkątna Diagonalizacja Zadania Algebra liniowa: Postacie kanoniczne Struktura K[X] modułu V τ Rozkład prymarny modułu V τ Rozkład modułu V τ na sumę prostą podmodułów cyklicznych Endomorfizmy nilpotentne Postać kanoniczna Jordana Jednoznaczność postaci kanonicznej Jordana Postać kanoniczna Jordana Postać kanoniczna Jednoznaczność postaci kanonicznej Wielomian charakterystyczny, wyznacznik, ślad Wielomian charakterystyczny Wyznacznik endomorfizmu Wyznacznik macierzy Ślad endomorfizmu Postać kanoniczna Frobeniusa Podprzestrzenie cykliczne Postać kanoniczna wymierna Jednoznaczność postaci kanonicznej Rozmaitości o endomorfizmach Podobieństwo przy zwężaniu ciała Charakteryzacja endomorfizmów nilpotentnych Transponowanie macierzy Zadania

6 Przedmowa Sometimes one has to say difficult things, but one ought to say them as simply as one knows how. G. H. Hardy Program studiów doktoranckich w Uniwersytecie Śląskim przewiduje wykłady z czterech podstawowych dyscyplin matematycznych. Wykłady te są adresowane do wszystkich uczestników studiów doktoranckich i mają ustanowić pewien minimalny standard wykształcenia matematycznego wszystkich doktorów, niezależnie od ich specjalizacji naukowej. W związku z tym programy tych wykładów przewidują jedynie hasła o ogólnym znaczeniu i unikają problematyki ważnej jedynie dla specjalistów. Niniejszy skrypt jest zapisem takiego wykładu z algebry w roku akademickim v

7 Rozdział 1 Grupy Ostatnie zmiany r. 1.1 Grupy, podgrupy, homomorfizmy Rozpoczniemy od przypomnienia podstawowych pojęć i faktów z teorii grup, występujących w kursowym uniwersyteckim wykładzie algebry. Następujące książki będą przydatne w odświeżaniu tych wiadomości: [BB] A. Białynicki-Birula, Zarys algebry. PWN Warszawa [H] I. N. Herstein, Topics in Algebra. 2nd edition. Wiley, New York [KM] M. I. Kargapołow, J. I. Mierzliakow, Podstawy teorii grup. PWN Warszawa [L] S. Lang, Algebra. PWN Warszawa [S] K. Szymiczek, Zbiór zadań z teorii grup. PWN Warszawa Definicja i przykłady grup Półgrupą nazywamy system złożony ze zbioru S i określonego w tym zbiorze łącznego działania binarnego. Monoidem nazywamy półgrupę z jedynką (elementem neutralnym). Grupą nazywamy monoid, w którym każdy element ma element odwrotny. Inne definicje: zob. [S], zad. 051, 053, niezależność aksjomatów: zad Przykład (a) Grupa symetryczna S(X) zbioru X. Jej elementami są bijekcje ϕ : X X, natomiast działaniem jest superpozycja bijekcji: dla ϕ, ψ S(X) odwzorowanie ϕ ψ : X X działa następująco: (ϕ ψ)(x) = ϕ(ψ(x)) dla każdego x X. Gdy zbiór X jest skończony, grupę S(X) nazywa się grupą permutacji zbioru X i oznacza S(n) (lub S n ), gdzie n jest liczbą elementów zbioru X. (b) Grupa funkcji M(X, G) określonych na zbiorze X o wartościach w grupie G. Dla dwóch funkcji f, g : X G ich iloczyn definiujemy jako funkcję fg : X G taką, że (fg)(x) = f(x) g(x) dla każdego x X (po prawej stronie mamy iloczyn dwóch elementów grupy G). (c) Pełna grupa liniowa GL(n, F ) składa się z wszystkich odwracalnych macierzy 1

8 2 ROZDZIAŁ 1. GRUPY kwadratowych stopnia n o elementach z ciała F. Specjalna grupa liniowa SL(n, F ) składa się z wszystkich macierzy kwadratowych stopnia n o elementach z ciała F, których wyznacznik jest równy 1. (d) Grupa kwaternionów Quat. W grupie SL(2, C) weźmy macierze A = [ 0 i i 0 ], B = [ Wtedy A 4 = B 4 = I, A 2 = B 2, BAB 1 = A 1 i równości te pozwalają stwierdzić, że następujących 8 macierzy I, A, A 2, A 3, B, AB, A 2 B, A 3 B tworzy grupę. Nazywamy ją grupą kwaternionów i oznaczamy Quat lub Q. (e) Grupa diedralna D(n). W grupie permutacji S(n) weźmy permutacje ( ) n x = (12... n), y =. n n Sprawdzamy, że x n = y 2 = 1, yxy 1 = x 1. Równości te pozwalają stwierdzić, że 2n permutacji 1, x,..., x n 1, y, xy,..., x n 1 y tworzy grupę. Nazywamy ją grupą diedralną i oznaczamy D(n) (lub D n ). Grupę tę nazywa się także grupą izometrii n kąta foremnego, gdyż numerując wierzchołki n kąta foremnego liczbami 1, 2,..., n stwierdzamy, że x i y, a także każdy element grupy D(n), można zinterpretować jako izometrię tego n kąta. Faktycznie są to wszystkie izometrie n kąta foremnego. Obszerną listę przykładów można znaleźć w [S], zad Podgrupy i warstwy Podgrupą H grupy G nazywamy podzbiór grupy G zamknięty ze względu na działanie grupowe (jeśli a, b H, to także ab H), który sam jest grupą ze względu na działanie będące zacieśnieniem działania na G do H. Piszemy wtedy H < G. H < G wtedy i tylko wtedy, gdy spełniony jest warunek: x, y H xy 1 H. Łatwo stwierdzić, że część wspólna dowolnej rodziny podgrup grupy G jest podgrupą grupy G. W szczególności, jeśli A jest podzbiorem grupy G, to część wspólna wszystkich podgrup grupy G zawierających zbiór A jest podgrupą grupy G. Nazywamy ją podgrupą generowaną przez zbiór A i oznaczamy A. Na przykład, grupa kwaternionów Quat jest podgrupą grupy SL(2, C) generowaną przez macierze A, B z przykładu 1.1.1(d). Podobnie, grupa diedralna D(n) jest podgrupą S(n) generowaną przez permutacje x, y z przykładu 1.1.1(e), zatem w grupie S(n) mamy x, y = D(n). Dla podzbiorów A i B grupy G określamy ich iloczyn kompleksowy A B := {a b G : a A, b B}. ].

9 1.1. GRUPY, PODGRUPY, HOMOMORFIZMY 3 Dla każdych trzech podzbiorów A, B, C grupy G mamy (A B) C = A (B C). Jeśli A i B są podgrupami grupy G, to iloczyn AB jest podgrupą grupy G wtedy i tylko wtedy gdy AB = BA. Warstwą lewostronną grupy G względem podgrupy H wyznaczoną przez element a G nazywamy zbiór ah := {a} H = {ah G : h H}. Podobnie definiuje się warstwę prawostronną Ha := {ha G : h H}. Każda warstwa grupy G względem podgrupy H jest równoliczna z podgrupą H. Mianowicie odwzorowania H ah, h ah oraz H Ha, h ha są bijekcjami. Jeśli dwie warstwy lewostronne ah i bh mają choć jeden element wspólny, to są identyczne: ah = bh. Podobnie dla warstw prawostronnych. Ponieważ każdy element a G należy do dokładnie jednej warstwy ah grupy G względem podgrupy H i różne warstwy są rozłączne, grupę G można przedstawić jako sumę mnogościową parami rozłącznych warstw G = i I a i H. Łatwo sprawdzić, że odwzorowanie ah Ha 1 jest bijekcją pomiędzy zbiorem warstw lewostronnych i zbiorem warstw prawostronnych grupy G względem podgrupy H. Zatem zbiory te są równoliczne a ich wspólną moc nazywa się indeksem podgrupy H w grupie G. Zbiór parami rozłącznych warstw lewostronnych a i H oznacza się G : H. Moc G : H zbioru warstw G : H, czyli moc zbioru I, jest więc indeksem podgrupy H w grupie G. Rozkład grupy G na sumę mnogościową parami rozłącznych warstw wraz z faktem, że każde dwie warstwy grupy względem tej samej podgrupy są równoliczne, prowadzi natychmiast do twierdzenia Lagrange a mówiącego, że dla grupy skończonej G i jej dowolnej podgrupy H mamy G : H H = G. Łatwo też zauważyć uogólnienie: dla grupy skończonej G, jeśli K < H < G, to Podgrupy normalne G : H H : K = G : K. Podgrupa H grupy G nazywa się podgrupą normalną, jeśli ah = Ha a G. Piszemy wtedy H G. Zob. [S], zad. 213, gdzie podanych jest 10 innych warunków definiujących podgrupę normalną. Dwie podstawowe obserwacje:

10 4 ROZDZIAŁ 1. GRUPY 1. Jeśli H G i K < G, to HK = KH i wobec tego HK jest podgrupą grupy G. A więc iloczyn kompleksowy dowolnej podgrupy normalnej i dowolnej podgrupy grupy G jest podgrupą grupy G. 2. Jeśli H G oraz a, b G, to ah bh = a(hb)h = a(bh)h = abhh = abh. A więc iloczyn kompleksowy dwóch warstw względem podgrupy normalnej H jest znów warstwą względem H. Zbiór G : H wszystkich warstw ah grupy G względem podgrupy normalnej H oznacza się G/H. Zbiór G/H z kompleksowym mnożeniem warstw jest grupą (z jedynką H). Nazywa się ją grupą ilorazową grupy G względem podgrupy normalnej H. Przykład Jeśli grupa G jest abelowa, to każda podgrupa H grupy G jest podgrupą normalną. W dowolnej grupie G jej centrum Z(G) = {a G : ag = ga g G} jest podgrupą normalną w G. W pełnej grupie liniowej GL(n, K) stopnia n nad ciałem K centrum składa się z wszystkich macierzy skalarnych ai, gdzie a K oraz I jest macierzą jednostkową stopnia n (zob. [S], zad. 288). Mamy także SL(n, K) GL(n, K). Dla A GL(n, K) warstwa A SL(n, K) składa się z wszystkich macierzy grupy GL(n, K), których wyznacznik jest równy det A. Komutantem grupy G nazywa się podgrupę [G, G] grupy G generowaną przez zbiór wszystkich komutatorów, czyli elementów postaci [a, b] := a 1 b 1 ab, gdzie a, b są dowolnymi elementami G. W grupie abelowej G mamy [a, b] = 1 dla każdych a, b G, zatem także [G, G] = 1. Natomiast w grupie nieabelowej G jej komutant [G, G] jest zawsze nietrywialną podgrupą grupy G. Ponadto, [G, G] G dla każdej grupy G. Łatwo stwierdzić, że grupa ilorazowa G/[G, G] jest abelowa. Grupę G {1} nazywa się prostą, jeśli podgrupa jednostkowa E = {1} oraz cała grupa G są jedynymi podgrupami normalnymi w G. Przykład (a) Na podstawie twierdzenia Lagrange a, jeśli rząd grupy G jest liczbą pierwszą, to grupa G nie posiada właściwych podgrup i tym bardziej nie posiada właściwych podgrup normalnych, jest zatem grupą prostą. A więc grupy reszt Z p, gdzie p jest liczbą pierwszą, są proste. (b) W kursowym wykładzie algebry dowodzi się także, że grupy alternujące A n (grupy permutacji parzystych) dla n 5 są grupami prostymi. (c) Jeszcze jedną serię nieskończoną skończonych grup prostych otrzymuje się jako grupy ilorazowe specjalnych grup liniowych. Grupa SL(n, K) ma centrum złożone z macierzy skalarnych o wyznaczniku 1, a więc Z(SL(n, K)) = {ai : a K, a n = 1}. Grupa ilorazowa SL(n, K)/Z(SL(n, K)) nazywa się rzutową grupą specjalną stopnia n nad ciałem K i oznacza się ją PSL(n, K). Można udowodnić, że dla każdego ciała K, które ma co najmniej 4 elementy i dla każdej liczby naturalnej n 2 grupa PSL(n, K) jest prosta (zob. [KM], str. 125).

11 1.1. GRUPY, PODGRUPY, HOMOMORFIZMY Homomorfizmy Homomorfizmem grupy G w grupę G nazywamy każde odwzorowanie h : G G takie, że h(ab) = h(a)h(b) dla każdych a, b G. Jeśli f : G G jest także homomorfizmem grup, to złożenie f h : G G jest także homomorfizmem grup. Często zamiast f h będziemy w takiej sytuacji pisać po prostu fh. Obrazem im h homomorfizmu h : G G nazywamy obraz h(g) grupy G w grupie G. Jest to podgrupa grupy G. Jądrem ker h homomorfizmu h nazywamy zbiór h 1 (1 ), czyli zbiór tych elementów grupy G, których obrazem poprzez h jest jedynka 1 G grupy G. Łatwo sprawdza się, że ker h jest podgrupą grupy G. Jeśli h : G G jest homomorfizmem, to dla każdego a G Zatem ker h jest podgrupą normalną grupy G. Dla dowodu (1.1) zauważmy, że ker h a = h 1 (h(a)) = a ker h. (1.1) h 1 (h(a)) = {b G : h(b) = h(a)} = {b G : a 1 b ker h} = {b G : b a ker h} = a ker h. Ponieważ h(a) = h(b) pociąga również ba 1 ker h, czyli b ker h a, więc także ker h a = h 1 (h(a)). Formułę (1.1) łatwo uogólnimy w następujący sposób: dla dowolnego niepustego podzbioru A grupy G Rzeczywiście, h 1 (h(a)) = ker h A = h 1 (h(a)) = A ker h. (1.2) a A h 1 (h(a)) = a A a ker h = A ker h i podobnie otrzymamy drugą część równości (1.2). Z równości (1.2) otrzymujemy teraz ker h < H < G h 1 (h(h)) = H (1.3) dla dowolnego homomorfizmu h : G G. Jeśli homomorfizm h jest odwzorowaniem różnowartościowym (injektywnym), to dla każdego a G zbiór h 1 (h(a)) jest jednoelementowy. A więc na podstawie (1.1) homomorfizm h jest injektywny wtedy i tylko wtedy gdy ker h = {1}. Definicja Homomorfizm grup h : G G nazywa się monomorfizmem kategoryjnym grupy G w grupę G jeśli dla dowolnej grupy K i homomorfizmów f 1, f 2 : K G mamy następującą implikację: hf 1 = hf 2 f 1 = f 2.

12 6 ROZDZIAŁ 1. GRUPY Homomorfizmy występujące w tej definicji wygodnie jest zapisać w postaci następującego diagramu: f 1 K G h G f 2 K Rozważymy teraz własność homomorfizmów dualną w stosunku do kategoryjnej monomorficzności. Dualność ta polega na tym, że w definicji zmieniamy kierunki działania wszystkich homomorfizmów. Definicja Homomorfizm grup h : G G nazywa się epimorfizmem kategoryjnym grupy G w grupę G jeśli dla dowolnej grupy K i homomorfizmów f 1, f 2 : G K mamy następującą implikację: hf 1 hf 2 f 1 h = f 2 h f 1 = f 2. Homomorfizmy występujące w tej definicji tworzą następujący diagram: K f 1 f 1 h G h G f 2 K f 2 h Stwierdzenie Jeśli homomorfizm grup h : G G jest odwzorowaniem injektywnym, to h jest monomorfizmem kategoryjnym grupy G w grupę G. Jeśli homomorfizm grup h : G G jest odwzorowaniem surjektywnym, to h jest epimorfizmem kategoryjnym grupy G w grupę G. Dowód. W oznaczeniach definicji zakładamy, że a K oraz hf 1 = hf 2. Wtedy h(f 1 (a)) = (hf 1 )(a) = (hf 2 )(a) = h(f 2 (a)). Jeśli h jest odwzorowaniem injektywnym, to stąd otrzymujemy f 1 (a) = f 2 (a). Wobec tego f 1 = f 2. Podobnie, w oznaczeniach definicji zakładamy, że a G oraz f 1 h = f 2 h. Jeśli h jest odwzorowaniem surjektywnym, to istnieje b G taki, że a = h(b). Wobec tego f 1 (a) = f 1 (h(b)) = (f 1 h)(b) = (f 2 h)(b) = f 2 (h(b)) = f 2 (a). Stąd f 1 = f 2.

13 1.1. GRUPY, PODGRUPY, HOMOMORFIZMY 7 Injektywny homomorfizm grup h : G G nazywa się zwykle monomorfizmem, zaś homomorfizm surjektywny nazywa się epimorfizmem. Tak więc każdy monomorfizm grup jest monomorfizmem kategoryjnym i każdy epimorfizm grup jest epimorfizmem kategoryjnym. Można pokazać, że twierdzenia odwrotne są także prawdziwe i w związku z tym nie ma konieczności rozróżniania morfizmów grupowych i kategoryjnych. W rozdziale 5 dyskutujemy ten problem w pełnej ogólności. Homomorfizm, który jest równocześnie monomorfizmem i epimorfizmem nazywa się izomorfizmem. Najważniejszym przykładem homomorfizmu grup jest homomorfizm kanoniczny κ : G G/H, gdzie H jest dowolną podgrupą normalną grupy G. Jest on określony następująco: κ(a) = ah dla a G. Jest to epimorfizm oraz ker κ = H. A więc każda podgrupa normalna H grupy G jest jądrem pewnego homomorfizmu grupy G w odpowiednio dobraną grupę G (na przykład na grupę ilorazową G/H). Sformułujemy teraz trzy podstawowe twierdzenia o homomorfizmach grup. Twierdzenie (Twierdzenie o faktoryzacji.) Jeśli h : G G jest homomorfizmem grup, J := ker h oraz κ : G G/J jest homomorfizmem kanonicznym, to istnieje dokładnie jeden monomorfizm h : G/J G taki, że h = h κ, a więc taki, że następujący diagram jest przemienny: h G G κ G/J Homomorfizm h definiuje się kładąc h (aj) = h(a) dla a G. Z tego twierdzenia wynika, że każdy homomorfizm h : G G ma rozkład postaci h G κ G/J h im h j G, gdzie κ jest homomorfizmem kanonicznym, h jest izomorfizmem oraz j jest włożeniem. Innym bardzo użytecznym faktem jest następujący wniosek. Wniosek Jeśli h : G G jest epimorfizmem grup, to homomorfizm h jest izomorfizmem i wobec tego G/ ker h = G. Uwaga Twierdzenie o faktoryzacji można sformułować w następującej nieco ogólniejszej formie. Niech H będzie podgrupą normalną grupy G i niech h : G G będzie homomorfizmem grup. Jeśli H ker h, to istnieje dokładnie jeden homomorfizm h : G/H G taki, że h = h κ, gdzie κ : G G/H jest homomorfizmem kanonicznym. Ponadto, jeśli H = ker h, to h jest monomorfizmem. Założenie, że H ker h pozwala określić h formułą h (ah) = h(a). Rzeczywiście, jeśli ah = bh, to a 1 b H ker h, skąd wynika, że h(a) = h(b). Ponadto, jeśli H = ker h, to h(a) = 1 pociąga ah = H, zatem h jest monomorfizmem.

14 8 ROZDZIAŁ 1. GRUPY Dla grupy G symbolami Sub G i NSub G oznaczamy odpowiednio zbiór wszystkich podgrup grupy G i zbiór wszystkich podgrup normalnych grupy G. Jeśli H jest podgrupą grupy G, to Sub H G i NSub H G oznaczają odpowiednio zbiór wszystkich podgrup grupy G zawierających podgrupę H i zbiór wszystkich podgrup normalnych grupy G zawierających podgrupę H. Twierdzenie (Twierdzenie o odpowiedniości.) Niech h : G G będzie epimorfizmem grup. Wtedy przyporządkowanie h : Sub J G Sub G, h (H) = h(h) każdej podgrupie H grupy G zawierającej jądro J = ker h jej obrazu h(h) w grupie G jest bijekcją taką, że h (NSub J G) = NSub G. Ponadto, dla każdej podgrupy normalnej H grupy G zawierającej jądro J = ker h mamy izomorfizm G/H = G /h(h). Dowód. Dla L Sub G mamy h(h 1 (L)) = L, zatem h jest odwzorowaniem surjektywnym. Dla dowodu, że h jest odwzorowaniem injektywnym przypuśćmy, że J < H 1, H 2 < G oraz h(h 1 ) = h(h 2 ). Wtedy na podstawie (1.3) mamy H 1 = h 1 (h(h 1 )) = h 1 (h(h 2 )) = H 2. A więc h jest bijekcją. Niech teraz J < H G (to znaczy H NSub J G). Wtedy dla x G oraz a G takiego, że h(a) = x mamy x h(h) x 1 = h(a) h(h) h(a 1 ) = h(aha 1 ) = h(h). Stąd wynika, że h(h) NSub G. Zatem zacieśnienie h do NSub J G jest injekcją w zbiór NSub G. Pozostaje pokazać, że zacieśnienie to jest surjekcją. Niech więc L NSub G. Dla każdego a G mamy h(a h 1 (L) a 1 ) = h(a) L h(a) 1 = L. Zatem a h 1 (L) a 1 h 1 (L). Stąd wynika już, że h 1 (L) G i wobec h(h 1 (L)) = L odwzorowanie h jest surjekcją. Dla dowodu ostatniej części twierdzenia określamy odwzorowanie h : G G /h(h), h (a) = h(a)h(h). Z łatwością stwierdzamy, że h jest epimorfizmem grup. Ponadto, ponieważ ker h < H, na podstawie (1.3) mamy ker h = {a G : h(a) h(h)} = h 1 (h(h)) = H. Zatem istnienie izomorfizmu G/H = G /h(h) wynika z wniosku Wniosek Jeśli H G, to homomorfizm kanoniczny κ : G G/H indukuje bijekcję κ : Sub H G Sub G/H taką, że κ (NSub H G) = NSub G/H.

15 1.1. GRUPY, PODGRUPY, HOMOMORFIZMY 9 Wniosek Jeśli K G, H G i K < H, to K H (a) H/K G/K, (b) (G/K)/(H/K) = G/H. oraz Dowód. Rozpatrzmy homomorfizm kanoniczny κ : G G/K =: G. Wtedy na podstawie wniosku mamy κ(h) = H/K G/K, oraz na podstawie twierdzenia otrzymujemy G/H = G /κ(h) = (G/K)/(H/K). Bardziej bezpośredni dowód otrzymamy rozpatrując odwzorowanie G/K G/H, gk gh. Jest to epimorfizm z jądrem H/K. Izomorfizm w części (b) wniosku otrzymujemy przez zastosowanie wniosku Twierdzenie (Twierdzenie o izomorfizmie.) Jeśli H G, K < G, to (a) H K K, (b) HK/H = K/H K. Dowód. Przede wszystkim HK < G, gdyż z założeń wynika, że HK = KH, a to wystarcza by iloczyn dwóch podgrup grupy G był jej podgrupą. H jest podgrupą normalną w G, zatem jest także podgrupą normalną w HK. Dla dowodu twierdzenia rozważamy homomorfizm K HK/H, k kh. Jest to epimorfizm i ma jądro K H skąd wobec wniosku otrzymujemy (b) Automorfizmy wewnętrzne Automorfizmem grupy G nazywamy każdy izomorfizm α : G G. Zbiór Aut G wszystkich automorfizmów grupy G jest podgrupą grupy symetrycznej S(G) zbioru G. Dla każdego elementu a G definiujemy odwzorowanie i a : G G, i a (x) = axa 1. Łatwo sprawdza się, że i a Aut G. Automorfizm i a nazywa się automorfizmem wewnętrznym grupy G. Dla a, b G mamy i a i b = i ab oraz i 1 a = i a 1. Stąd wynika, że automorfizmy wewnętrzne tworzą podgrupę w grupie automorfizmów grupy G. Nazywamy ją grupą automorfizmów wewnętrznych grupy G i oznaczamy Inn G. Odwzorowanie G Inn G, a i a jest epimorfizmem grup. Jądrem tego epimorfizmu jest podgrupa normalna {a G : i a = id G } = {a G : ax = xa x G} = Z(G). Na podstawie wniosku mamy zatem izomorfizm gdzie Z(G) jest centrum grupy G. Inn G = G/Z(G),

16 10 ROZDZIAŁ 1. GRUPY Twierdzenie Jordana-Höldera Jeśli H G i grupa G/H nie jest prosta, to na podstawie wniosku istnieje podgrupa K grupy G różna od H i G taka, że H K G. Podobnie, jeśli grupa K/H nie jest prosta (lub gdy G/K nie jest prosta), to istnieje podgrupa K 1 grupy K różna od H i K taka, że H K 1 K (istnieje podgrupa K 2 grupy G różna od K i G taka, że K K 2 G). Kontynuując to postępowanie dla grupy skończonej G skonstruujemy ciąg podnormalny H 0 = E H 1 H k 1 G = H k (1.4) którego faktory H i+1 /H i są grupami prostymi dla i = 0, 1,..., k 1. Taki ciąg podnormalny grupy G nazywa się ciągiem kompozycyjnym grupy G a liczba k nazywa się długością ciągu kompozycyjnego (1.4). Każda grupa skończona posiada więc przynajmniej jeden ciąg kompozycyjny, ale jak sugeruje konstrukcja przedstawiona powyżej, grupa mająca wiele podgrup normalnych będzie na ogół miała wiele ciągów kompozycyjnych. Podstawowe pytania jakie się nasuwają są następujące: (a) Czy grupa skończona może mieć ciągi kompozycyjne o różnych długościach? (b) Czy faktory proste ciągu kompozycyjnego są wyznaczone jednoznacznie (z dokładnością do izomorfizmu) przez grupę G, czy też zależą od ciągu kompozycyjnego? Na obydwa te pytania istnieje bardzo satysfakcjonująca odpowiedź znana jako twierdzenie Jordana-Höldera (zob. [L], str.123): Długości wszystkich ciągów kompozycyjnych grupy skończonej są równe. Zbiory faktorów prostych F 1,..., F k oraz G 1,..., G k dowolnych dwóch ciągów kompozycyjnych grupy skończonej G różnią się (z dokładnością do izomorfizmu) co najwyżej porządkiem. Oznacza to, że istnieje permutacja π S(k) taka, że grupy F i oraz G π(i) są izomorficzne dla i = 1,..., k. Z twierdzenia Jordana-Höldera wynika, że jeśli dwie grupy skończone mają różne długości ciągów kompozycyjnych lub jeśli ich ciągi kompozycyjne mają różne zbiory faktorów prostych, to grupy te nie mogą być izomorficzne. Jest to jeden z motywów zainteresowania problemem klasyfikacji skończonych grup prostych. Problem ten polega na charakteryzacji z dokładnością do izomorfizmu wszystkich skończonych grup prostych. Praca nad klasyfikacją skończonych grup prostych trwa już ponad 110 lat (od 1892 roku). Okres największej koncentracji pracy przypadł na lata Wreszcie w roku 1981 ogłoszono że problem został kompletnie rozwiązany. Oceniano, że kompletny dowód twierdzenia klasyfikacyjnego tworzy zestaw co najmniej 500 prac zajmujących co najmniej stronic w profesjonalnych czasopismach matematycznych i napisanych przez około 100 matematyków. Pierwszą próbą objaśnienia twierdzenia klasyfikacyjnego była monografia Daniela Gorensteina Finite simple groups. An introduction to their classification. Plenum Press Pod koniec lat 90-tych znaleziono jednak pewne luki w argumentacji (w 800-stronicowej pracy Masona) i podjęto próbę uratowania twierdzenia klasyfikacyjnego. W 2004 roku ukazały się dwie książki Aschbachera i Smitha pod wspólnym tytułem The classification

17 1.2. DZIAŁANIE GRUPY NA ZBIORZE 11 of quasithin groups (razem ponad 1200 stronic), które według przekonania autorów definitywnie usuwają znalezione luki i w ten sposób stanowią ostatnie ogniwo w klasyfikacji skończonych grup prostych (zob. informację bibliograficzną w Notices of the AMS Vol. 51 No. 8 (2004), p. 977). Jednakże kompletny dowód twierdzenia klasyfikacyjnego nie jest jeszcze napisany i ciągle istnieją wątpliwości, czy nie pojawią się luki trudne do uzupełnienia. Trwa realizacja programu Gorensteina, Lyonsa i Solomona przedstawienia głównych części dowodu twierdzenia klasyfikacyjnego. W latach opublikowano 6 monografii w wydawnictwie American Mathematical Society, ale program ten jest jeszcze daleki od finalizacji. Autorzy tego projektu przewidują, że uda im się napisać kompletny dowód twierdzenia klasyfikacyjnego w serii monografii, które w sumie będą miały około 3000 do 4000 stronic tekstu. Zapowiedź autorów w pierwszym tomie serii brzmi dość skromnie: It is our purpose in these monographs to prove the following theorem: Classification Theorem. Every finite simple group is cyclic of prime order, an alternating group, a finite simple group of Lie type, or one of the twenty-six sporadic finite simple groups. Historię całego przedsięwzięcia przedstawia interesująco praca Ronalda Solomona A brief history of the classification of the finite simple groups, Bulletin of the Amer. Math. Soc. Vol. 38 (2001), pp Sytuację po ukazaniu się książek Aschbachera i Smitha opisuje Micheal Aschbacher w artykule The status of the classification of finite simple groups, Notices of the Amer. Math. Soc. Vol. 51, No. 7 (2004), pp Powracając do ciągu kompozycyjnego (1.4), jeśli faktory tego ciągu są abelowe (a więc izomorficzne z grupami Z p dla liczb pierwszych p), to grupa G nazywa się grupą rozwiązalną. Wszystkie grupy małych rzędów są rozwiązalne. Najmniejszą grupą skończoną, która nie jest rozwiązalna jest grupa alternująca A 5 rzędu 60. Jest to mianowicie najmniejsza nieabelowa grupa prosta. Żadna nieabelowa grupa prosta G nie jest rozwiązalna, gdyż E G jest jej ciągiem kompozycyjnym i jedyny faktor prosty G/E = G jest grupą nieabelową. Najsławniejszym twierdzeniem o grupach rozwiązalnych jest zapewne twierdzenie Feita i Thompsona z 1963 roku mówiące, że każda grupa skończona rzędu nieparzystego jest rozwiązalna. Wynika stąd w szczególności, że każda nieabelowa skończona grupa prosta ma rząd parzysty. 1.2 Działanie grupy na zbiorze Mówimy, że grupa G działa na zbiorze X jeśli jest dane odwzorowanie takie, że spełnione są dwa warunki: (a) f(gx) = (fg)x dla f, g G, x X, (b) 1x = x dla x X. G X X, (g, x) gx, Uwaga Każdy element g G wyznacza odwzorowanie g zbioru X w siebie g : X X, g (x) = gx.

18 12 ROZDZIAŁ 1. GRUPY Odwzorowanie to jest bijekcją. Injektywność g wynika stąd, że gx = gy g 1 (gx) = g 1 (gy) (g 1 g)x = (g 1 g)y x = y. Natomiast surjektywność g wynika z faktu, że x = g(g 1 x) dla każdego x X. Krótko mówiąc, (g 1 ) jest odwzorowaniem odwrotnym do g. Uwaga Odwzorowanie G S(X), g g jest homomorfizmem grup. Mamy mianowicie (fg) (x) = (fg)x = f(gx) = f (g (x)) = (f g )(x) dla każdych x X, f, g G. Zatem (fg) = f g. Na odwrót, każdy homomorfizm G S(X), g g wyznacza działanie grupy G na zbiorze X poprzez odwzorowanie G X X, (g, x) gx = g (x). Rzeczywiście, dla f, g G mamy f g = (fg) zatem dla dowolnego x X otrzymujemy f(gx) = f(g (x)) = f (g (x)) = (f g )(x) = (fg) (x) = (fg)x, 1x = 1 (x) = x, gdzie 1 jest jedynką grupy S(X). Przyporządkowanie każdemu homomorfizmowi grupy G w grupę symetryczną S(X) zbioru X odpowiadającego mu w ten sposób działania grupy G na zbiorze X ustala wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między homomorfizmami grupy G w grupę S(X) i działaniami grupy G na zbiorze X. W związku z tym działaniem grupy G na zbiorze X można nazwać dowolny homomorfizm G S(X). Przykład Najbardziej naturalnym przykładem działania grupy na zbiorze jest działanie grupy symetrycznej G = S(X) zbioru X na zbiorze X: S(X) X X, (σ, x) σ(x). Odpowiadający temu działaniu homomorfizm G S(X) jest homomorfizmem identycznościowym. Definicja Niech grupa G działa na zbiorze X. Elementy x, y X nazywają się sprzężone, jeśli istnieje g G taki, że y = gx. Piszemy wtedy x y. O elemencie g takim, że y = gx mówimy, że transformuje x na y. Relacja sprzężenia jest relacją równoważnościową w zbiorze X. Definicja Klasę abstrakcji relacji sprzężenia nazywa się orbitą zbioru X, lub G-orbitą zbioru X.

19 1.2. DZIAŁANIE GRUPY NA ZBIORZE 13 G-orbita zbioru X zawierająca element x X ma postać: {y X : y x} = {gx X : g G} =: Gx. Zbiór X można więc przedstawić jako sumę mnogościową rozłącznych orbit: X = Gx i gdzie x i przebiega zbiór reprezentantów orbit zbioru X. Stąd, dla zbioru skończonego X, otrzymujemy X = Gx i. Bardzo ważnym dla zastosowań jest fakt, że liczbę elementów Gx orbity Gx można przedstawić jako indeks pewnej podgrupy grupy G. Przystępujemy do opisu tego przedstawienia. Definicja Niech grupa G działa na zbiorze X. Stabilizatorem elementu x X nazywamy zbiór Stab x = {f G : fx = x}. Łatwo zauważyć, że Stab x jest podgrupą grupy G. Jeśli s Stab x, to dla dowolnego elementu g G mamy (gs)x = g(sx) = gx. A więc każdy element warstwy g Stab x transformuje element x na ten sam element gx. Pokażemy, że poza warstwą g Stab x nie ma w grupie G elementów, które transformują x na gx. Twierdzenie Niech grupa G działa na zbiorze X i niech x X, g G. (a) Jeśli y = gx, to zbiór elementów h G transformujących x na y (tzn. takich, że y = hx ) jest warstwą g Stab x w grupie G. (b) Przyporządkowanie elementowi y = gx Gx zbioru wszystkich elementów h G transformujących x na y jest bijekcją orbity Gx na zbiór warstw G : Stab x. Dowód. (a) wynika z następujących równoważności: gx = hx x = g 1 hx g 1 h Stab x h g Stab x. (b) Na podstawie (a) mamy odwzorowanie Gx G : Stab x, gx {h G : gx = hx} = g Stab x. (1.5) Jest to oczywiście surjekcja (bo g przebiega całą grupę G). Injektywność wynika z następujących równoważności: f Stab x = g Stab x f 1 g Stab x fx = gx. Zatem odwzorowanie (1.5) jest bijekcją. Wniosek Jeśli grupa G działa na zbiorze X, to dla każdego x X, Gx = G : Stab x. W szczególności, jeśli grupa G jest skończona, to liczba elementów w orbicie Gx jest dzielnikiem rzędu grupy G. Wniosek Jeśli grupa skończona G działa na zbiorze skończonym X oraz {x 1,..., x k } jest zbiorem reprezentantów wszystkich orbit zbioru X, to k X = G : Stab x i. i=1 Tę równość nazywa się równaniem klas dla działania grupy G na zbiorze X.

20 14 ROZDZIAŁ 1. GRUPY Działanie grupy przez automorfizmy wewnętrzne Rozpatrujemy działanie grupy G na zbiorze X = G określone następująco: G G G, (g, x) gxg 1 =: x g. Gdybyśmy zachowali oznaczenie gx dla obrazu pary (g, x) w zbiorze X = G, to mielibyśmy gx = gxg 1, co byłoby mylące. Dlatego w tym specjalnym przypadku stosujemy symbolikę wykładniczą i piszemy x g zamiast gx. Zauważmy, że związana z tym działaniem grupy G na G bijekcja g S(G) działa następująco: g (x) = gxg 1 = i g (x) x G. A więc g jest automorfizmem wewnętrznym i g. W związku z tym, opisane wyżej działanie grupy G na G nazywa się działaniem przez automorfizmy wewnętrzne. Orbitę x G = {x g G : g G} = {gxg 1 : g G} nazywa się klasą elementów sprzężonych grupy G. Natomiast stabilizator Stab x = {f G : fxf 1 = x} = {f G : fx = xf} nazywa się centralizatorem elementu x i oznacza Z(x). Dla grupy skończonej G równanie klas przyjmuje następującą postać: k k G = G : Stab x i = G : Z(x i ). i=1 i=1 Tutaj x 1,..., x k są elementami reprezentującymi wszystkie różne klasy elementów sprzężonych grupy G oraz G : Z(x i ) = x G i jest liczbą elementów w klasie elementów sprzężonych z elementem x i. Na szczególną uwagę zasługują klasy jednoelementowe: x G = 1 gx = xg g G x Z(G). A więc klasa jest jednoelementowa wtedy i tylko wtedy gdy jej element należy do centrum Z(G) grupy G. Stąd rozbicie grupy G na rozłączne klasy elementów sprzężonych zapisujemy zwykle w postaci G = Z(G) x G 1 x G r, gdzie elementy x i reprezentują różne klasy elementów sprzężonych oraz x G i > 1 dla i = 1,..., r, a równanie klas r r G = Z(G) + x G i = Z(G) + G : Z(x i ), i=1 i=1 gdzie x i G reprezentują różne klasy elementów sprzężonych oraz G : Z(x i ) > 1 dla i = 1,..., r.