Podstawy matematyki dla informatyków. Logika formalna. Skªadnia rachunku zda« Skróty i priorytety. Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011

Podobne dokumenty
Logika matematyczna (16) (JiNoI I)

Logika pierwszego rz du. Sposób u»ycia. Tautologie, sposoby u»ywania logiki pierwszego rz du, zwi zki z j zykiem naturalnym

Rachunek zda«. Relacje. 2018/2019

Wyra»enia logicznie równowa»ne

Metoda tablic semantycznych. 1 Metoda tablic semantycznych

Język rachunku predykatów Formuły rachunku predykatów Formuły spełnialne i prawdziwe Dowody założeniowe. 1 Zmienne x, y, z...

Logika pragmatyczna. Logika pragmatyczna. Kontakt: Zaliczenie:

vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).

Indeksowane rodziny zbiorów

Logika pragmatyczna dla inżynierów

Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0

ROZDZIAŁ 1. Rachunek funkcyjny

Logika intuicjonistyczna

Metody dowodzenia twierdze«

Rachunki sekwentów. Jerzy Pogonowski. MDTiAR 1xii2015

1. Wstęp do logiki. Matematyka jest nauką dedukcyjną. Nowe pojęcia definiujemy za pomocą pojęć pierwotnych lub pojęć uprzednio wprowadzonych.

Adam Meissner.

Zadania z logiki 1. Zadania na rozgrzewk. 1. Zaznacz na rysunku zbiory

Metodydowodzenia twierdzeń

I Rok LOGISTYKI: wykªad 2 Pochodna funkcji. iloraz ró»nicowy x y x

Logika matematyczna i teoria mnogości (I) J. de Lucas

Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów

Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń

0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.

Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),

Rachunek predykatów. Formuły rachunku predykatów. Plan wykładu. Relacje i predykaty - przykłady. Relacje i predykaty

Podstawy matematyki dla informatyków

Matematyka ETId Elementy logiki

LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:

Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.

Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań

III rok kognitywistyki UAM,

Równowano modeli oblicze

Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)

Definicja: zmiennych zdaniowych spójnikach zdaniowych:

x y x y x y x + y x y

Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:

LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań

Podstawy logiki i teorii zbiorów wiczenia

LOGIKA ALGORYTMICZNA

Drobinka semantyki KRP

Lekcja 3: Elementy logiki - Rachunek zdań

Zasady krytycznego myślenia (1)

Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 2/2

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II

Rekurencyjna przeliczalność

Konsekwencja logiczna

Elementy logiki Klasyczny rachunek predykatów

Zdzisªaw Dzedzej, Katedra Analizy Nieliniowej pok. 611 Kontakt:

Matematyka I TEORIA MNOGOŒCI I LOGIKA. Æwiczenia KMMF. 1. Narysowaæsumê i przeciêcie zbiorów A = {x Ε R; x > 2} oraz B = {x Ε R; x 8}.

Składnia rachunku predykatów pierwszego rzędu

Logika intuicjonistyczna

Klasyczny rachunek predykatów

Funkcje wielu zmiennych

Logika [dla Psychologii UW]

Liniowe równania ró»niczkowe n tego rz du o staªych wspóªczynnikach

Preliminaria logiczne

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykłady 12 i 13. Dowód i dowodzenie w KRP. Tezy KRP

Wykład 11b. System aksjomatyczny Klasycznego Rachunku Predykatów. Aksjomaty i reguły inferencyjne

Rezolucja w rachunku predykatów. Przedrostkowa koniunkcyjna postać normalna. Formu ly ustalone. Joanna Józefowska. Poznań, rok akademicki 2009/2010

Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego

Elementy logiki i teorii mnogości

Elementy logiki matematycznej

Semantyka rachunku predykatów

Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

1. Klasyczny Rachunek Zdań

Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut

Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Predykatów I

MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI

Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów

Logika dla matematyków i informatyków Wykªad 1

Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017

First-order logic. Usage. Tautologies, using rst-order logic, relations to natural language

Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze

Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu

LOGIKA FORMALNA POPRAWNOŚĆ WNIOSKOWAŃ

Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne

Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.

I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.

ARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

Interpretacja Niech U będzie zbiorem formuł takim, że zbiór {p 1,..., p k } jest zbiorem wszystkich symboli predykatywnych, {f 1,..., f l } jest zbior

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1

Logika [dla Psychologii UW]

1 Logika Zbiory Pewnik wyboru Funkcje Moce zbiorów Relacje... 14

Metalogika (1) Jerzy Pogonowski. Uniwersytet Opolski. Zakład Logiki Stosowanej UAM

1. Składnia. Logika obliczeniowa - zadania 1 SKŁADNIA Teoria

Reguły gry zaliczenie przedmiotu wymaga zdania dwóch testów, z logiki (za ok. 5 tygodni) i z filozofii (w sesji); warunkiem koniecznym podejścia do

Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ

Matematyka dyskretna dla informatyków

Wybierz cztery z poniższych pięciu zadań. Poprawne rozwiazanie dwóch zadań oznacza zdany egzamin.

Jak Arabowie rozwiązywali równania?

ELEMENTARNA TEORIA LICZB. 1. Podzielno±

Zagadnienia podstawowe dotyczące metod formalnych w informatyce

Logika Matematyczna 16 17

Motywuj cy przykªad. Logika intuicjonistyczna. Alternatywne rozwi zania: Jeszcze jeden przykªad. Wykªad lutego 2012

Transkrypt:

Podstawy matematyki dla informatyków Logika formalna Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011 Skªadnia rachunku zda«symbole (zmienne) zdaniowe (p, q, r,...), oraz znaki i s formuªami zdaniowymi. Je±li napis α jest formuª zdaniow, to tak»e napis α jest formuª zdaniow. Je±li α i β s formuªami zdaniowymi to napisy (α β), (α β), (α β) te» s formuªami zdaniowymi. Skróty i priorytety Napis α β jest skrótem napisu (α β) (β α). Zewn trzne nawiasy opuszczamy. Koniunkcja i alternatywa wi» mocniej ni» implikacja (maj wy»szy priorytet). Np. zamiast (p q) r mo»na pisa p q r. Negacja ma najwy»szy priorytet: napis p q oznacza implikacj. Koniunkcja i alternatywa wi» tak samo: napis p q r jest niepoprawny.

Semantyka rachunku zda«interpretacja zdaniowa (inaczej: warto±ciowanie zdaniowe) to funkcja ϱ, która ka»dej zmiennej zdaniowej p przypisuje warto± logiczn ϱ(p) {0, 1}. Warto± formuªy przy interpretacji ϱ: [[ ]] ϱ = 0 oraz [[ ]] ϱ = 1; [[p]] ϱ = ϱ(p), gdy p jest symbolem zdaniowym; [[ α]] ϱ = 1 [[α]] ϱ ; [[α β]] ϱ = max{[[α]] ϱ, [[β]] ϱ }; [[α β]] ϱ = min{[[α]] ϱ, [[β]] ϱ }; [[α β]] ϱ = 0, gdy [[α]] ϱ = 1 i [[β]] ϱ = 0; [[α β]] ϱ = 1, w przeciwnym przypadku. Przykªad Formuªa ((p q) r) (p r) ma warto± jeden przy interpretacji ϱ, gdy ϱ(p) = ϱ(r) = 1 i ϱ(q) = 0. Ta sama formuªa ma warto± zero przy interpretacji µ, gdy µ(q) = µ(r) = 0 i µ(p) = 1. Speªnialno± i prawdziwo± Dlaczego tautologie s wa»ne Je±li [[ϕ]] ϱ = 1 to piszemy te» ϱ = ϕ i mówimy,»e formuªa ϕ jest speªniona przez interpretacj ϱ. Formuªa ϕ jest speªnialna, gdy ϱ = ϕ zachodzi dla pewnej interpretacji ϱ. Fakt: Je±li w tautologii ϕ podstawimy dowolne formuªy w miejsce zmiennych zdaniowych, 1 to otrzymamy tautologi. Przykªad: Wiadomo,»e formuªa (p q) p q jest tautologi. Zatem ((p r) r) (p r) r te» jest tautologi. Formuªa speªniona przy ka»dej interpretacji jest prawdziwa (jest tautologi ). Piszemy = ϕ. To samo dotyczy dowolnych stwierdze«, którym mo»na sensownie nadawa warto± logiczn. Zatem tautologia to ogólnie poprawny schemat wnioskowania. 1 W miejsce tej samej zmiennej p podstawiamy t sam formuª.

Przykªady tautologii Przykªady tautologii p (q p); (p (q r)) ((p q) (p r)); ((p q) p) p; p, p,. p (p q), q (p q), (p r) ((q r) (p q r)); (p q) p, (p q) q, (r p) ((r q) (r p q)); p p, p p, p. Przykªady tautologii Wnioskowanie z przesªanek p p, p p; (p q) ( q p), (p q) ( p q), (p q) ( p q); ( q p) (p q); (p q) ( p q); Mówimy,»e formuªa ϕ jest konsekwencj zbioru zaªo»e«γ i piszemy Γ = ϕ, gdy dla dowolnej interpretacji zdaniowej ϱ, je»eli [[γ]] ϱ = 1 dla ka»dego γ Γ, to tak»e [[ϕ]] ϱ = 1. Przykªad: {ϕ ψ, ψ ϑ} = {ϕ ϑ}. ((p q) r) (p (q r)); Zwi zek Γ = ϕ to ogólnie poprawny schemat wnioskowania.

Normalizacja formuª Literaª to symbol zdaniowy lub negacja symbolu zdaniowego. Formuªa zdaniowa ϕ jest w koniunkcyjnej postaci normalnej, gdy ϕ jest koniunkcj alternatyw literaªów, tj. wygl da tak: (p 1 1 p k 1 1 ) (p1 r p k r r ), gdzie wszystkie p i j s literaªami. Uwaga: (1) Pusta koniunkcja (r = 0) to staªa. (2) Pusta alternatywa (k i = 0) to staªa. Normalizacja formuª Twierdzenie: Dla ka»dej formuªy zdaniowej istnieje równowa»na jej formuªa w koniunkcyjnej postaci normalnej. Szkic dowodu: Eliminujemy implikacje, stosuj c zasad : (α β) ( α β). Przesuwamy w dóª negacje z pomoc praw De Morgana: (α β) ( α β) Eliminujemy nadmiar staªych logicznych: (α β) ( α β) α, α α, α, α α. Przesuwamy w dóª alternatywy, stosuj c równowa»no± : α (β γ) (α β) (α γ). J zyk logiki pierwszego rz du (uproszczony) Rachunek predykatów (pierwszego rz du) Zmienne indywiduowe, np. x, y,... Symbole relacyjne, np. r,, itp. Mog by symbole funkcyjne, staªe, i wyra»enia algebraiczne z nich utworzone (termy ).

Formuªy pierwszego rz du Semantyka formuª Formuªy atomowe: r(x 1,..., x n ) (ogólniej: r(t 1,..., t n )) Staªe logiczne,. Je±li ϕ, ψ s formuªami, to (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ), ϕ s formuªami. Je±li ϕ jest formuª, a x zmienn indywiduow to ( xϕ), ( xϕ) s formuªami. Struktura relacyjna (tak»e: model, interpretacja) to zbiór wraz z odpowiednimi relacjami: A = A, r A 1,..., r A n Warto±ciowanie w strukturze A to funkcja v : V A. Znaczenie formuªy ϕ przy warto±ciowaniu v to jej warto± logiczna [[ϕ]] v {0, 1}. Semantyka formuª Znaczenie formuª zªo»onych Znaczenie formuªy ϕ przy warto±ciowaniu v to jej warto± logiczna [[ϕ]] v {0, 1}. Znaczenie formuªy atomowej: [[ ]] v = 0; [[ ]] v = 1; [[r(x 1,..., x n )]] v = 1, gdy v(x 1 ),..., v(x n ) r A ; [[r(x 1,..., x n )]] v = 0, w przeciwnym przypadku. [[ α]] v = 1 [[α]] v ; [[α β]] v = max{[[α]] v, [[β]] v }; [[α β]] v = min{[[α]] v, [[β]] v }; [[α β]] v = 0, gdy [[α]] v = 1 i [[β]] v = 0; [[α β]] v = 1, w przeciwnym przypadku.

Znaczenie formuª z kwantykatorami Przykªad Znaczeniem formuªy z(x < z z < y) w strukturze Q, <, Poni»ej, v[x a](x) = a oraz v[x a](y) = v(y). [[ xϕ]] v = min{[[ϕ]] v[x a] a A }; [[ xϕ]] v = max{[[ϕ]] v[x a] a A }, przy warto±ciowaniu v(x) = 1, v(y) = 2, jest 1, przy warto±ciowaniu v(x) = 3, v(y) = 2 jest 0. Znaczeniem tej samej formuªy w strukturze Z, <, przy warto±ciowaniu v(x) = 1, v(y) = 2, jest 0. przy warto±ciowaniu v(x) = 1, v(y) = 7, jest 1. Speªnialno± i prawdziwo± Przykªad Formuªa jest speªnialna (speªnialna w A) je±li jest speªniona w pewnym modelu (w modelu A) przez pewne warto±ciowanie. Zdanie x(p(x) Q(x)) x P(x) x Q(x) nie jest tautologi, ale jest speªnialne. Formuªa ϕ jest prawdziwa w A (piszemy A = ϕ), je»eli jest speªniona w A przez wszystkie warto±ciowania. Interpretacja pierwsza: zbiór liczb naturalnych, gdzie P(x) oznacza parzysto± a Q(x) nieparzysto± liczby x. Formuªa ϕ jest prawdziwa (jest tautologi ) je»eli jest prawdziwa w ka»dym modelu A. Wtedy piszemy = ϕ. Interpretacja druga: zbiór liczb naturalnych, gdzie P(x) oznacza podzielno± przez 3, a Q(x) podzielno± przez 7.

Tautologie z kwantykatorami Tautologie z kwantykatorami x(a(x) B(x)) ( x A(x) x B(x)); x(a(x) B(x)) ( xa(x) xb(x)); xa(x) x A(x); xa(x) x A(x); x(a(x) B(x)) xa(x) xb(x); x(a(x) B(x)) xa(x) xb(x); Poni»ej, zmienna x nie jest wolna w A x(a B(x)) A xb(x); x(a B(x)) A xb(x). Zadanie: Czy to jest tautologia? ( yp(y) zq(z)) y(p(y) Q(y)) Zªe wiadomo±ci Rozwi zanie: Przesªanka yp(y) zq(z) jest równowa»na ka»dej z formuª: y P(y) z Q(z); y P(y) z Q(z); y( P(y) z Q(z)); y z( P(y) Q(z)); y z(p(y) Q(z)). Jak ustali,»e formuªa jest tautologi? Formuªa zdaniowa z n symbolami zdaniowymi ma 2 n ró»nych interpretacji. Mo»e tylko jedna jest dobra? Sprawdzenie wszystkich stanowczo trwa zbyt dªugo. Nie istnieje»adna algorytmiczna metoda sprawdzania czy dana formuªa pierwszego rz du jest tautologi. Zatem caªo± jest równowa»na oczywistej tautologii: y z(p(y) Q(z)) y(p(y) Q(y)).

W nast pnym odcinku... Jak ustali,»e formuªa jest tautologi? Mo»na j udowodni.