Podstawy matematyki dla informatyków Logika formalna Wykªad 10 (Klasyczny rachunek zda«) 15 grudnia 2011 Skªadnia rachunku zda«symbole (zmienne) zdaniowe (p, q, r,...), oraz znaki i s formuªami zdaniowymi. Je±li napis α jest formuª zdaniow, to tak»e napis α jest formuª zdaniow. Je±li α i β s formuªami zdaniowymi to napisy (α β), (α β), (α β) te» s formuªami zdaniowymi. Skróty i priorytety Napis α β jest skrótem napisu (α β) (β α). Zewn trzne nawiasy opuszczamy. Koniunkcja i alternatywa wi» mocniej ni» implikacja (maj wy»szy priorytet). Np. zamiast (p q) r mo»na pisa p q r. Negacja ma najwy»szy priorytet: napis p q oznacza implikacj. Koniunkcja i alternatywa wi» tak samo: napis p q r jest niepoprawny.
Semantyka rachunku zda«interpretacja zdaniowa (inaczej: warto±ciowanie zdaniowe) to funkcja ϱ, która ka»dej zmiennej zdaniowej p przypisuje warto± logiczn ϱ(p) {0, 1}. Warto± formuªy przy interpretacji ϱ: [[ ]] ϱ = 0 oraz [[ ]] ϱ = 1; [[p]] ϱ = ϱ(p), gdy p jest symbolem zdaniowym; [[ α]] ϱ = 1 [[α]] ϱ ; [[α β]] ϱ = max{[[α]] ϱ, [[β]] ϱ }; [[α β]] ϱ = min{[[α]] ϱ, [[β]] ϱ }; [[α β]] ϱ = 0, gdy [[α]] ϱ = 1 i [[β]] ϱ = 0; [[α β]] ϱ = 1, w przeciwnym przypadku. Przykªad Formuªa ((p q) r) (p r) ma warto± jeden przy interpretacji ϱ, gdy ϱ(p) = ϱ(r) = 1 i ϱ(q) = 0. Ta sama formuªa ma warto± zero przy interpretacji µ, gdy µ(q) = µ(r) = 0 i µ(p) = 1. Speªnialno± i prawdziwo± Dlaczego tautologie s wa»ne Je±li [[ϕ]] ϱ = 1 to piszemy te» ϱ = ϕ i mówimy,»e formuªa ϕ jest speªniona przez interpretacj ϱ. Formuªa ϕ jest speªnialna, gdy ϱ = ϕ zachodzi dla pewnej interpretacji ϱ. Fakt: Je±li w tautologii ϕ podstawimy dowolne formuªy w miejsce zmiennych zdaniowych, 1 to otrzymamy tautologi. Przykªad: Wiadomo,»e formuªa (p q) p q jest tautologi. Zatem ((p r) r) (p r) r te» jest tautologi. Formuªa speªniona przy ka»dej interpretacji jest prawdziwa (jest tautologi ). Piszemy = ϕ. To samo dotyczy dowolnych stwierdze«, którym mo»na sensownie nadawa warto± logiczn. Zatem tautologia to ogólnie poprawny schemat wnioskowania. 1 W miejsce tej samej zmiennej p podstawiamy t sam formuª.
Przykªady tautologii Przykªady tautologii p (q p); (p (q r)) ((p q) (p r)); ((p q) p) p; p, p,. p (p q), q (p q), (p r) ((q r) (p q r)); (p q) p, (p q) q, (r p) ((r q) (r p q)); p p, p p, p. Przykªady tautologii Wnioskowanie z przesªanek p p, p p; (p q) ( q p), (p q) ( p q), (p q) ( p q); ( q p) (p q); (p q) ( p q); Mówimy,»e formuªa ϕ jest konsekwencj zbioru zaªo»e«γ i piszemy Γ = ϕ, gdy dla dowolnej interpretacji zdaniowej ϱ, je»eli [[γ]] ϱ = 1 dla ka»dego γ Γ, to tak»e [[ϕ]] ϱ = 1. Przykªad: {ϕ ψ, ψ ϑ} = {ϕ ϑ}. ((p q) r) (p (q r)); Zwi zek Γ = ϕ to ogólnie poprawny schemat wnioskowania.
Normalizacja formuª Literaª to symbol zdaniowy lub negacja symbolu zdaniowego. Formuªa zdaniowa ϕ jest w koniunkcyjnej postaci normalnej, gdy ϕ jest koniunkcj alternatyw literaªów, tj. wygl da tak: (p 1 1 p k 1 1 ) (p1 r p k r r ), gdzie wszystkie p i j s literaªami. Uwaga: (1) Pusta koniunkcja (r = 0) to staªa. (2) Pusta alternatywa (k i = 0) to staªa. Normalizacja formuª Twierdzenie: Dla ka»dej formuªy zdaniowej istnieje równowa»na jej formuªa w koniunkcyjnej postaci normalnej. Szkic dowodu: Eliminujemy implikacje, stosuj c zasad : (α β) ( α β). Przesuwamy w dóª negacje z pomoc praw De Morgana: (α β) ( α β) Eliminujemy nadmiar staªych logicznych: (α β) ( α β) α, α α, α, α α. Przesuwamy w dóª alternatywy, stosuj c równowa»no± : α (β γ) (α β) (α γ). J zyk logiki pierwszego rz du (uproszczony) Rachunek predykatów (pierwszego rz du) Zmienne indywiduowe, np. x, y,... Symbole relacyjne, np. r,, itp. Mog by symbole funkcyjne, staªe, i wyra»enia algebraiczne z nich utworzone (termy ).
Formuªy pierwszego rz du Semantyka formuª Formuªy atomowe: r(x 1,..., x n ) (ogólniej: r(t 1,..., t n )) Staªe logiczne,. Je±li ϕ, ψ s formuªami, to (ϕ ψ), (ϕ ψ), (ϕ ψ), ϕ s formuªami. Je±li ϕ jest formuª, a x zmienn indywiduow to ( xϕ), ( xϕ) s formuªami. Struktura relacyjna (tak»e: model, interpretacja) to zbiór wraz z odpowiednimi relacjami: A = A, r A 1,..., r A n Warto±ciowanie w strukturze A to funkcja v : V A. Znaczenie formuªy ϕ przy warto±ciowaniu v to jej warto± logiczna [[ϕ]] v {0, 1}. Semantyka formuª Znaczenie formuª zªo»onych Znaczenie formuªy ϕ przy warto±ciowaniu v to jej warto± logiczna [[ϕ]] v {0, 1}. Znaczenie formuªy atomowej: [[ ]] v = 0; [[ ]] v = 1; [[r(x 1,..., x n )]] v = 1, gdy v(x 1 ),..., v(x n ) r A ; [[r(x 1,..., x n )]] v = 0, w przeciwnym przypadku. [[ α]] v = 1 [[α]] v ; [[α β]] v = max{[[α]] v, [[β]] v }; [[α β]] v = min{[[α]] v, [[β]] v }; [[α β]] v = 0, gdy [[α]] v = 1 i [[β]] v = 0; [[α β]] v = 1, w przeciwnym przypadku.
Znaczenie formuª z kwantykatorami Przykªad Znaczeniem formuªy z(x < z z < y) w strukturze Q, <, Poni»ej, v[x a](x) = a oraz v[x a](y) = v(y). [[ xϕ]] v = min{[[ϕ]] v[x a] a A }; [[ xϕ]] v = max{[[ϕ]] v[x a] a A }, przy warto±ciowaniu v(x) = 1, v(y) = 2, jest 1, przy warto±ciowaniu v(x) = 3, v(y) = 2 jest 0. Znaczeniem tej samej formuªy w strukturze Z, <, przy warto±ciowaniu v(x) = 1, v(y) = 2, jest 0. przy warto±ciowaniu v(x) = 1, v(y) = 7, jest 1. Speªnialno± i prawdziwo± Przykªad Formuªa jest speªnialna (speªnialna w A) je±li jest speªniona w pewnym modelu (w modelu A) przez pewne warto±ciowanie. Zdanie x(p(x) Q(x)) x P(x) x Q(x) nie jest tautologi, ale jest speªnialne. Formuªa ϕ jest prawdziwa w A (piszemy A = ϕ), je»eli jest speªniona w A przez wszystkie warto±ciowania. Interpretacja pierwsza: zbiór liczb naturalnych, gdzie P(x) oznacza parzysto± a Q(x) nieparzysto± liczby x. Formuªa ϕ jest prawdziwa (jest tautologi ) je»eli jest prawdziwa w ka»dym modelu A. Wtedy piszemy = ϕ. Interpretacja druga: zbiór liczb naturalnych, gdzie P(x) oznacza podzielno± przez 3, a Q(x) podzielno± przez 7.
Tautologie z kwantykatorami Tautologie z kwantykatorami x(a(x) B(x)) ( x A(x) x B(x)); x(a(x) B(x)) ( xa(x) xb(x)); xa(x) x A(x); xa(x) x A(x); x(a(x) B(x)) xa(x) xb(x); x(a(x) B(x)) xa(x) xb(x); Poni»ej, zmienna x nie jest wolna w A x(a B(x)) A xb(x); x(a B(x)) A xb(x). Zadanie: Czy to jest tautologia? ( yp(y) zq(z)) y(p(y) Q(y)) Zªe wiadomo±ci Rozwi zanie: Przesªanka yp(y) zq(z) jest równowa»na ka»dej z formuª: y P(y) z Q(z); y P(y) z Q(z); y( P(y) z Q(z)); y z( P(y) Q(z)); y z(p(y) Q(z)). Jak ustali,»e formuªa jest tautologi? Formuªa zdaniowa z n symbolami zdaniowymi ma 2 n ró»nych interpretacji. Mo»e tylko jedna jest dobra? Sprawdzenie wszystkich stanowczo trwa zbyt dªugo. Nie istnieje»adna algorytmiczna metoda sprawdzania czy dana formuªa pierwszego rz du jest tautologi. Zatem caªo± jest równowa»na oczywistej tautologii: y z(p(y) Q(z)) y(p(y) Q(y)).
W nast pnym odcinku... Jak ustali,»e formuªa jest tautologi? Mo»na j udowodni.