Zasady krytycznego myślenia (1)

Transkrypt

1 Zasady krytycznego myślenia (1) Andrzej Kisielewicz Wydział Matematyki i Informatyki 2017

2 Przedmiot wykładu krytyczne myślenie vs logika praktyczna (vs logika formalna) myślenie jasne, bezstronne, oparte na rozumie i krytycznej analizie faktów nauka o sposobach jasnego i ścisłego formułowania myśli oraz o regułach poprawnego rozumowania i uzasadniania twierdzeń znaczenie krytycznego myślenia i logiki w praktyce

3 Rys historyczny Starożytność logika retoryka erystyka prawda przekonać wygrać Arystoteles, wnioskowania pewne: sylogistyka, formy Każdy człowiek jest śmiertelny Sokrates jest człowiekiem Sokrates jest śmiertelny M a P S a M S a P x(m(x) P(x)) M(s) P(s) rachunek zdań

4 Rys historyczny Średniowiecze XIX-XX (złoty wiek logiki) G. Boole: The Laws of Thought kryzys w matematyce, dążenie do większej ścisłości i precyzji podstawy matematyki G. Frege, D. Hilbert, B. Russel J. Łukasiewicz, K. Gödel, A. Church, A. Tarski, A. Turing olbrzymia dziedzina: logika klasyczna, logiki wielowartościowe, metamatematyka, logiki nieklasyczne, teoria modeli, teoria rekursji, teoria obliczeń, informatyka,... największe osiągnięcia: pełna formalizacja matematyki twierdzenia Gödla podstawy technologii komputerowej

5 Pełna formalizacja matematyki całkowicie ścisły język ściśle określone reguły wnioskowania Każde zdanie matematyczne można wyrazić w języku logiki pierwszego rzędu (symbole logiczne, kwantyfikatory, okreslone symbole relacyjne i funkcyjne) Przykład Istnieje nieskończenie wiele par liczb pierwszych bliźniaczych. N p((p > N) d( n(p = d n) (d = 1 d = p)) d n(p+(1+1) = d n) (d = 1 d = p+(1+1)).

6 Aksjomatyzacja logiki pierwszego rzędu (klasycznej) A1. (A A) A A2. A (A B) A3. (A B) (B A) A4. (A B) ((C A) (C B)) A5. (A B) ( xa B), gdzie B jest formułą, w której nie występuje zmienna x A6. A[x/t] xa, gdzie A[x/t] jest formułą otrzymaną z A przez zastąpienie wszystkich wolnych wystąpień zmiennej x przez term t A7. t = t, gdzie t jest termem A8. (x = y) (A A[x\y]), gdzie A[x\y] jest formułą otrzymaną z A przez zastąpienie jednego z wolnych wystąpień zmiennej x przez zmienną y (Reguła Odrywania) A, A B. B UWAGA: Jeden z wielu możliwych sposobów!

7 Arytmetyka elementarna N1. x N2. (x + 1 = y + 1) x = y N3. x + 0 = x N4. x + (y + 1) = (x + y) + 1 N5. x 0 = 0 N6. x (y + 1) = (x y) + x N7. (x < 0) N8. (x < y + 1) (x < y x = y) N9. (A(0) x(a(x) A(x + 1))) xa(x) plus logiczne aksjomaty i reguły wnioskowania wszystkie znane twierdzenia elementarnej arytmetyki!

8 Teoria zbiorów S1. (aksjomat zbioru potęgowego) x y z(z y u(u z u x)) S2. (aksjomaty podzbiorów) x y z(z y (z x A(z)) S3. (aksjomat nieskończoności) x( x z(z x z {z} x)) S4. (aksjomaty zastępowania) (B(u, v) B(u, w) v = w) ( x y v(v y u(u x B(u, v)))) S5. (aksjomat wyboru) y( x z(x y z y (x = y) ( t(t x t y))) s x(x y t(t x t s v(v x v t v = t)))) plus logiczne aksjomaty i reguły wnioskowania wszystkie znane twierdzenia matematyki!

9 Twierdzenia Gödla Twierdzenie (o pełności) Dla danej teorii T zdanie φ ma dowód w T wtedy i tylko wtedy gdy jest spełnione w każdym modelu T. Twierdzenie (o niezupełności) Jeśli T jest dostatecznie bogatą teorią (zawiera odpowiedni fragment arytmetyki), to w T istnieje zdanie φ takie że ani φ ani φ nie maja dowodu w T. Twierdzenie (o nieudowadnialności niesprzeczności)... w szczególności, w takiej teorii, nie da się udowodnić zdania ψ mówiącego, że teoria T jest niesprzeczna.

10 Największe osiągnięcia logiki pełna formalizacja matematyki twierdzenia Gödla podstawy technologii komputerowej więcej: A. Kisielewicz, Sztuczna inteligencja i logika, WNT 2014.

11 Praktyczne rozumowania zastosowania do praktyki codziennych rozumowań wątpliwe próby upraktycznienia logiki logika praktyczna logika nieformalna 1970 retoryka, teoria argumentacji ctitical thinking Teza wyjściowa Logika formalna jest teoretycznym modelem rozumowań matematycznych ograniczonym tylko do jednego aspektu tych rozumowań co da się udowodnić, a co nie. Jako taka do zastosowań w praktyce rozumowań zasadniczo nie nadaje się. formalny model rozumowań matematycznych vs formalny model obliczeń Turinga