Konsekwencja logiczna

Transkrypt

1 Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami a Ψ nazywamy teza (wnioskiem, konsekwencja). Powyższa definicja oznacza, że jeżeli Ψ wynika logicznie z założeń, to nie jest możliwe wartościowanie, w którym wszystkie założenia sa prawdziwa a teza jest fałszywa. Definicja ta formalizuje poprawne wnioskowanie logiczne.

2 Konsekwencja logiczna Można pokazać, że formuła (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest równoważna formule: Φ 1 (Φ 2 (Φ 3 (Φ n Ψ)... )) (Dowód na ćwiczeniach)

3 Konsekwencja logiczna Jeżeli Azor jest psem, to Azor jest zwierzęciem. Azor nie jest psem. Zatem Azor nie jest zwierzęciem p - Azor jest psem q - Azor jest zwierzęciem ((p q) p) q Założeniami sa: p q i p. Teza jest q. Rozumowanie nie jest poprawne ponieważ zdania Azor nie jest psem (p = 0) i Azor jest zwierzęciem (q = 1) spełniaja założenia. Natomiast teza q = 0 jest fałszywa.

4 Konsekwencja logiczna Jeżeli Azor jest psem, to Azor jest zwierzęciem. Azor nie jest zwierzęciem. Zatem Azor nie jest psem p - Azor jest psem. q - Azor jest zwierzęciem. ((p q) q) p Założeniami sa: p q i q. Teza jest p. Rozumowanie jest poprawne ponieważ powyższa formuła jest tautologia. Zatem teza Azor nie jest psem wynika logicznie z podanych założeń.

5 Sprzeczne założenia Założenia Φ 1,..., Φ n sa sprzeczne jeżeli formuła Φ 1 Φ 2 Φ n jest zawsze fałszywa. Za sprzecznych założeń wynika logicznie dowolna teza Φ. Pada deszcz i nie pada deszcz. Zatem Ziemia jest płaska (p p) q

6 Pierwotne reguły wnioskowania Reguła odrywania, RO (Modus Ponens): Φ Ψ Φ Ψ Jeżeli pada śnieg to jest zimno Pada śnieg Jest zimno ((Φ Ψ) Φ) Ψ

7 Pierwotne reguły wnioskowania Reguła opuszczania koniunkcji, OK: Φ Ψ Φ Ψ Pada śnieg i jest zimno Pada śnieg Jest zimno (Φ Ψ) Φ (Φ Ψ) Ψ

8 Pierwotne reguły wnioskowania Reguła dołaczania koniunkcji, DK: Φ Ψ Φ Ψ Pada śnieg Jest zimno Pada śnieg i jest zimno (Φ Ψ) (Φ Ψ)

9 Pierwotne reguły wnioskowania Reguła opuszczania alternatywy, OA: Φ Ψ Φ Ψ Pada śnieg lub jest zimno Nie pada śnieg Jest zimno ((Φ Ψ) Φ) Ψ

10 Pierwotne reguły wnioskowania Reguła dołaczania alternatywy, DA: Φ Φ Ψ Pada śnieg Pada śnieg lub jest zimno Φ (Φ Ψ)

11 Pierwotne reguły wnioskowania Reguła dołaczania równoważności, DR: Φ Ψ Ψ Φ Φ Ψ Jeżeli pada śnieg to jest zimno Jeżeli jest zimno to pada śnieg Pada śnieg wtedy i tylko wtedy gdy jest zimno ((Φ Ψ) (Ψ Φ)) (Φ Ψ)

12 Pierwotne reguły wnioskowania Reguła opuszczania równoważności, OR: Φ Ψ Φ Ψ Ψ Φ Pada śnieg wtedy i tylko wtedy gdy jest zimno Jeżeli pada śnieg to jest zimno Jeżeli jest zimno to pada śnieg (Φ Ψ) ((Φ Ψ) (Ψ Φ))

13 Dodatkowe reguły wnioskowania Prawa de Morgana: (Φ Ψ) Φ Ψ Φ Ψ (Φ Ψ) Prawo kontrapozycji: Φ Ψ Ψ Φ

14 - zbiorczo RO: Φ Ψ Φ Ψ OA: Φ Ψ Φ Ψ DM1: (Φ Ψ) Φ Ψ DK: Φ Ψ Φ Ψ DR: Φ Ψ Ψ Φ Φ Ψ DM2: Φ Ψ (Φ Ψ) OK: Φ Ψ Φ Ψ OR: Φ Ψ Φ Ψ Ψ Φ KP: Φ Ψ Ψ Φ DA: Φ Φ Ψ

15 Dowód założeniowy wprost W poczatkowych wierszach dowodu wypisujemy założenia. Kolejne wiersze generujemy z wierszy poprzednich, korzystajac ze znanych reguł wnioskowania. Dowód kończymy jeżeli jednym z uzyskanych wierszy jest teza.

16 Dowód założeniowy wprost Jeżeli się nauczę to zdam. Jeżeli zdam to będę szczęśliwy. Zatem jeżeli się nauczę to będę szczęśliwy. p - nauczę się q - zdam r - będę szczęśliwy ((p q) (q r)) (p r)

17 Dowód założeniowy wprost 1: (p q) (q r) Założenie 2: p Założenie 3: p q OK 1 4: q r OK 2 5: q RO 2,3 6: r RO 4,5

18 Dowód założeniowy wprost Jeżeli się nauczę lub będę ściagał to zdam egzamin lub zostanę złapany na ściaganiu. Jeżeli się nauczę to nie zostanę złapany na ściaganiu. Nauczę się. Zatem zdam egzamin. p - Nauczę się q - Będę ściagał r - Zdam egzamin s - Zostanę złapany na ściaganiu (((p q) (r s)) (p s) p) r

19 Dowód założeniowy wprost 1: (p q) (r s) Założenie 2: p s Założenie 3: p Założenie 4: s RO 2,3 5: p q DA 3 6: r s RO 1,5 7: r OA 4,6

20 Dowód założeniowy nie wprost W poczatkowych wierszach dowodu wypisujemy założenia oraz zanegowana tezę. Kolejne wiersze generujemy z wierszy poprzednich, korzystajac z reguł wnioskowania. Dowód kończymy jeżeli otrzymamy dwa sprzeczne wiersze postaci Φ i Φ.

21 Dowód założeniowy niewprost Jeżeli będę sie nudził i będzie padał deszcz to pójdę do kina. Zatem, jeżeli będę sie nudził i nie pójdę do kina, to nie będzie padał deszcz p - Będę się nudził q - Będzie padał deszcz r - Pójdę do kina ((p q) r) ((p r) q)

22 Dowód założeniowy nie wprost 1: (p q) r Założenie 2: p r Założenie 3: q Z dow. nie wprost 4: p OK 2 5: r OK 2 6: p q DK 3,4 7: r RO 1,6 8: Sprzeczność 5,7

23 Dowód założeniowy nie wprost Jeżeli Bóg nie chce chronić przed złem, to Bóg nie jest dobry. Jeżeli Bóg nie jest w stanie chronić przed złem, to Bóg nie jest wszechmocny. Bóg nie chce chronić przed przed złem lub nie jest w stanie chronić przed złem. Zatem Bóg nie jest dobry lub nie jest wszechmocny. p - Bóg nie chce chronić przed złem q - Bóg nie jest dobry r - Bóg nie jest w stanie chronić przed złem s - Bóg nie jest wszechmocny ((p q) (r s) (p r)) (q s)

24 Dowód założeniowy nie wprost 1: p q Założenie 2: r s Założenie 3: p r Założenie 4: (q s) Z dow. nie wprost 5: q DM1 4 6: s DM1 4 7: q p KP 1 8: s r KP 2 9: p RO 5,7 10: r RO 6,8 11: p r DK 9,10 12: (p r) DM : Sprzeczność 3,12

25 Wielokrotne założenia Jeżeli się nauczę to zdam i będę szczęśliwy. Jeżeli się nie nauczę to będę w stresie i będę liczył na szczęście. Nie będę liczył na szczęście. Zatem zdam. p - Nauczę się q - Zdam r - Będę szczęśliwy s - Będę w stresie t - Będę liczył na szczęście ((p (q r)) ( p (s t)) t) q

26 Dowód założeniowy nie wprost 1: p (q r) Założenie 2: p (s t) Założenie 3: t Założenie 4: q Z dow. nie wprost 4.1: p Dodatkowe założenie 4.2: q r RO 1, : q OK : Sprzeczność 4.3, 4 5.1: p Dodatkowe założenie 5.2: s t RO 2, : t OK : Sprzeczność 3, 5.3

27 Niepoprawne rozumowania Jeżeli w dowodzie założeniowym nie wprost nie można dojść do sprzeczności, to rozumowanie jest niepoprawne. Z wierszy dowodu można wówczas odczytać kontrprzykład.

28 Niepoprawne rozumowania Jeżeli Azor jest psem, to Azor jest zwierzęciem. Azor nie jest psem. Zatem Azor nie jest zwierzęciem 1: p q Założenie 2: p Założenie 3: q Z dow. nie wprost ((p q) p) q Kontrprzykład: p = 0 (Azor nie jest psem), q = 1 (Azor jest zwierzęciem)

29 Niepoprawne rozumowania Jeżeli uznajesz prawa moralne i nie postępujesz według nich, to jesteś niekonsekwentny. Jeżeli jesteś niekonsekwentny, to postępujesz źle. Zatem, jeżeli uznajesz prawa moralne i postępujesz według nich, to nie postępujesz źle. p - Uznajesz prawa moralne. q - Postępujesz według nich. r - Jesteś niekonsekwentny. t - Postępujesz źle. ((p q) r) (r t)) ((p q) t)

30 Dowód założeniowy nie wprost 1: (p q) r Założenie 2: r t Założenie 3: p q Założenie 4: t Z dow. nie wprost 5: p OK 3 6: q OK 3 Kontrprzykład: t = 1 (Postępujesz źle), p = 1 (Uznajesz prawa moralne), q = 1 (Postępujesz według nich), r dowolne.

31 Reguła rezolucji Poprawne rozumowanie logiczne Reguła rezolucji jest następujac a reguła wnioskowania: l 1 l 2 p l n k 1 k 2 p k m l 1 l 2 l n k 1 k 2 k m gdzie k i, l i sa zmiennymi zdaniowymi lub negacjami zmiennych zdaniowych. We wniosku usuwamy powtarzajace się składniki. Przykład: p r q s p t q p r s t

32 Algorytm rezolucji Poprawne rozumowanie logiczne Chcemy pokazać, że Ψ jest konsekwencja logiczna Φ 1,..., Φ n. 1 Sprowadzamy formuły Φ 1 Φ 2 Φ n i Ψ do postaci normalnej koniunkcyjnej. 2 Wypisujemy wszystkie otrzymane klauzule w kolejnych wierszach. Stosujemy systematycznie regułę rezolucji do kolejnych wierszy (w tym również do nowo utworzonych). Dowód kończymy jeżeli otrzymamy dwa wiersze sprzeczne (teza udowodniona) albo nie można utworzyć żadnej nowej klauzuli (teza nie wynika z przesłanek).

33 Algorytm rezolucji Poprawne rozumowanie logiczne Pokaż, że p s wynika logicznie z założeń p q, r s, p r. 1 (p q) (r s) (p r) ( p q) ( r s) (p r), (p s) p s. 2 1: p q 2: r s 3: p r 4: p 5: s 6: q r 1,3 7: p s 2,3 8: r 2,5 9: r 3,4 8,9

34 Algorytm rezolucji Poprawne rozumowanie logiczne Za pomoca algorytmu rezolucji można pokazać, że układ założeń jest sprzeczny. Na przykład założenia sa sprzeczne ponieważ: p q, p q, q r, r 1: p q 2: p q 3: q r 4: r 5: q 1,2 6: q 3,4 5,6