1. Klasyczny Rachunek Zdań

Transkrypt

1 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 1 1. Klasyczny Rachunek Zdań Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest prawdziwe lub fałszywe. Prawdę i fałsz nazywamy wartościami logicznymi. Prawdę oznaczamy symbolem 1, a fałsz symbolem 0. Zmienne zdaniowe p, q, r, s (także z indeksami) reprezentują dowolne zdania. Spójniki logiczne (funktory KRZ) służą do konstrukcji zdań logicznie złożonych. Wyróżniamy pięć podstawowych spójników logicznych.

2 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 2 Spójnik negacji to wyrażenie "nieprawda, że" użyte w kontekście "nieprawda, że p". Symbol:, w kontekście: p. Zdanie postaci p nazywamy negacją zdania p. Spójnik koniunkcji to wyraz "i" użyty w kontekście "p i q". Symbol:, w kontekście: p q. Zdanie postaci p q nazywamy koniunkcją zdań p i q. Spójnik alternatywy to wyraz "lub" użyty w kontekście "p lub q". Symbol:, w kontekście: p q. Zdanie postaci p q nazywamy alternatywą zdań p i q. Spójnik implikacji to wyrażenie "jeżeli..., to" użyte w kontekście "jeżeli p, to q". Symbol, w kontekście: p q. Zdanie postaci p q nazywamy implikacją o poprzedniku p i następniku q. Spójnik równoważności to wyrażenie "wtedy i tylko wtedy, gdy" użyte w kontekście "p wtedy i tylko wtedy, gdy q. Symbol:, w kontekście: p q. Zdanie postaci p q nazywamy równoważnością zdań p i q.

3 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 3 Inne oznaczenia spójników logicznych: negacja, koniunkcja &,, alternatywa +, implikacja, równoważność,. Zdanie p nazywamy argumentem spójnika negacji w zdaniu p. Spójnik negacji jest jednoargumentowy. Zdania p i q nazywamy argumentami spójnika koniunkcji w zdaniu p q. Spójnik koniunkcji jest dwuargumentowy. Spójniki alternatywy, implikacji i równoważności są też dwuargumentowe. Spójniki logiczne są ekstensjonalne: wartość logiczna zdania złożonego za pomocą danego spójnika jest jednoznacznie wyznaczona przez ten spójnik i wartości logiczne argumentów. Negacja zdania prawdziwego jest zdaniem fałszywym. Negacja zdania fałszywego jest zdaniem prawdziwym.

4 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 4 Koniunkcja dwóch zdań jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba argumenty są prawdziwe. Alternatywa dwóch zdań jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy przynajmniej jeden argument jest prawdziwy. Zdanie o postaci implikacji (zdanie warunkowe) jest fałszywe wtedy i tylko wtedy, gdy poprzednik jest prawdziwy, a następnik jest fałszywy. Równoważność dwóch zdań jest prawdziwa wtedy i tylko wtedy, gdy oba argumenty mają tę samą wartość logiczną. 1 = 0, 0 = = = = = = = = = = = = = = = = = 1

5 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 5 Tablice prawdziwościowe spójników logicznych p p p q p q p q p q p q

6 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 6 W powyższych wzorach symbole spójników oznaczają działania na zbiorze {0, 1}, odpowiadające poszczególnym spójnikom. Czasem działanie odpowiadające oznaczamy i podobnie dla pozostałych spójników. Formuły KRZ to wyrażenia poprawnie zbudowane ze zmiennych zdaniowych za pomocą spójników logicznych. W formułach zawierających kilka spójników stosujemy nawiasy, żeby jednoznacznie określić argumenty każdego spójnika. PRZYKłAD. Wyrażenie p q r nie jest poprawnie zbudowaną formułą. Wprowadzając nawiasy, otrzynujemy dwie istotnie różne formuły: (p q) r oraz p (q r). Niektóre nawiasy możemy pominąć, przyjmując priorytety (siłę wiązania) spójników. Najsilniejszy jest spójnik negacji, słabsze są spójniki koniunkcji i alternatywy (równosilne), a najsłabsze spójniki implikacji i równoważności (równosilne). p q p q przedstawia formułę (p q) (( p) q).

7 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 7 DEFINICJA 1. Niech V będzie pewnym zbiorem zmiennych zdaniowych. Wartościowaniem zbioru V nazywamy dowolną funkcję w : V {0, 1}. Mniej formalnie: wartościowanie jest to przyporządkowanie wartości logicznych pewnym zmiennym zdaniowym. Każde wartościowanie w zbioru V jednoznacznie określa wartość logiczną dowolnej formuły KRZ, której wszystkie zmienne zdaniowe należą do V. Literami A, B, C,... oznaczamy dowolne formuły KRZ. Wartość logiczną formuły A dla wartościowania w oznaczamy przez w(a). Tę wartość można wyznaczyć w oparciu o następujące warunki rekurencyjne: w( A) = w(a), w(a B) = w(a) w(b), w(a B) = w(a) w(b), w(a B) = w(a) w(b), w(a B) = w(a) w(b)

8 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 8 PRZYKłAD. A = p q p q, w(p) = 1, w(q) = 0. Obliczamy: w(a) = w(p q) w(p q) = (w(p) w(q)) (w(p) w(q) = = (1 0) (1 0) = 1 0 = 0 W praktyce zaczynamy od drugiego wiersza i pomijamy " ". W ten sposób możemy wyznaczyć wartość logiczną dowolnego zdania logicznie złożonego, jeżeli znane są wartości logiczne wszystkich składowych zdań logicznie prostych. PRZYKłAD. Zdanie: jeżeli nieprawda, że Poznań leży nad Wisłą, to jeżeli Poznań leży nad Wartą, to przez Poznań przepływa rzeka. p - Poznań leży nad Wisłą, q - Poznań leży nad Wartą, r - przez Poznań przepływa rzeka. Logiczny schemat zdania: A = p (q r). Wartościowanie: w(p) = 0, w(q) = w(r) = 1. Mamy w(a) = 0 (1 1) = 1 1 = 1. Zatem zdanie jest prawdziwe.

9 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 9 Tablica prawdziwościowa formuły: A = p q p r. Oznaczmy: B = p q, C = p r. p q r q p B C A

10 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 10 DEFINICJA 2. Tautologią KRZ nazywamy formułę KRZ, która przyjmuje wartość logiczną 1 dla każdego wartosciowania zmiennych występujących w tej formule. Tautologie KRZ są logicznymi schematami zdań logicznie prawdziwych, tzn. prawdziwych na mocy samej logiki, niezależnie od wartości logicznych składowych zdań prostych. PRZYKłAD. Zdanie "Poznań leży nad Wartą" jest prawdziwe, ale nie jest logicznie prawdziwe. Jego schemat logiczny p nie jest tautologią. Zdanie "jeżeli Poznań leży nad Wartą, to Poznań leży nad Wartą" jest logicznie prawdziwe. Jego schemat logiczny p p jest tautologią. DEFINICJA 3. Mówimy, że formuła A jest logicznie równoważna formule B (w KRZ), jeżeli dla każdego wartościowania w (zmiennych występujących w tych formułach) w(a) = w(b). FAKT 1. A jest logicznie równoważne B wtw, gdy formuła A B jest tautologią.

11 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 11 prawa łączności koniunkcji, alternatywy i równoważności: (p q) r p (q r), (p q) r p (q r), [(p q) r] [p (q r)] prawa przemienności koniunkcji, alternatywy i równoważności: p q q p, p q q p, (p q) (q p) prawa idempotentności koniunkcji i alternatywy: p p p, p p p prawa rozdzielności koniunkcji względem alternatywy i alternatywy względem koniunkcji: p (q r) (p q) (p r), p (q r) (p q) (p r) prawa De Morgana: (p q) p q, (p q) p q

12 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 12 prawo podwójnej negacji: p p prawo transpozycji: (p q) ( q p) prawo eksportacji-importacji: [p q r] [p (q r)] prawo wyłączonego środka: p p prawo sprzeczności: (p p). prawa definiowania jednych spójników przez inne: (p q) (p q) (q p) (p q) p q p q ( p q) p q ( p q) prawa z ustalonym argumentem: p 1 p, p 0 0, p 1 1, p 0 p (1 p) p, (0 p) 1, (p 1) 1, (p 0) p

13 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 13 DEFINICJA 4. Mówimy, że wartościowanie w spełnia formułę A, jeżeli w(a) = 1. Formułę nazywamy spełnialną, jeżeli istnieje wartościowanie, które spełnia tę formułę. Zbiór formuł nazywamy spełnialnym, jeżeli istnieje wartościowanie, które spełnia wszystkie formuły z tego zbioru (tzn. spełnia ten zbiór). FAKT 2. Formuła A jest spełnialna wtw, gdy formuła A nie jest tautologią. Formuła A jest tautologią wtw, gdy formuła A nie jest spełnialna. DEFINICJA 5. Mówimy, że formuła A logicznie wynika ze zbioru formuł S (w KRZ), jeżeli każde wartościowanie spełniające zbiór S spełnia formułę A. FAKT 3. Formuła A logicznie wynika ze zbioru formuł S wtw, gdy zbiór S { A} nie jest spełnialny. FAKT 4. Formuła A logicznie wynika ze zbioru {A 1,..., A n } wtw, gdy formuła A 1 A n A jest tautologią.

14 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 14 prawo odrywania: (p q) p q prawo odrzucania: (p q) q p prawo sylogizmu hipotetycznego: (p q) (q r) (p r) prawa symplifikacji: p q p, p q q prawa addycji: p p q, q p q Logiczne wynikanie zapisujemy też w postaci schematów wnioskowania: A 1 ;... ; A n, A gdzie formuły A 1,..., A n nazywamy przesłankami, a formułę A wnioskiem. Schemat wnioskowania nazywamy logiczną regułą wnioskowania KRZ, jeżeli wniosek logicznie wynika z przesłanek (tzn. ze zbioru przesłanek).

15 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 15 reguła odrywania (modus ponens) reguła sylogizmu hipotetycznego: (MP) p q; p q (SYL) p q; q r p r reguła odrzucania: p q; q p reguła wprowadzania równoważności: p q; q p p q

16 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 16 Tautologie i logiczne reguły wnioskowania KRZ są zamknięte ze względu na podstawianie dowolnych formuł za zmienne zdaniowe. σ = [p 1 := A 1,..., p n := A n ] oznacza operację równoczesnego podstawiania formuły A i za zmienną p i dla i = 1,..., n. Taką operację nazywamy podstawieniem. Aσ oznacza wynik podstawienia σ w formule A. PRZYKłAD. (p p q)[p := q, q := q r] = q q (q r). UWAGA: Wykonując podstawienie Aσ, formułę A i podstawiamy za każde wystąpienie zmiennej p i w formule A, lecz nie za te wystąpienia, które pojawiają się w wyniku podstawiania (występują w formułach A j ). Dlatego A[p := B, q := C] jest na ogół różne od A[p := B][q := C]. FAKT 5. Jeżeli A jest tautologią KRZ, to Aσ jest tautologią KRZ dla każdego podstawienia σ. Jeżeli A logicznie wynika ze zbioru {B 1,..., B m }, to Aσ logicznie wynika ze zbioru {B 1 σ,..., B m σ} dla każdego podstawienia σ.

17 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki Postacie normalne formuł KRZ Formuły p i p, gdzie p jest dowolną zmienną zdaniową, nazywamy literałami; p jest literałem pozytywnym, a p negatywnym. Literały p, p są przeciwne (jeden względem drugiego). Klauzula (alternatywa elementarna) jest to alternatywa skończenie wielu literałów, np. p q r, q. Koniunkcja elementarna jest to koniunkcja skończenie wielu literałów, np. p q r, q. Formuła w koniunkcyjnej postaci normalnej (kpn) jest to koniunkcja skończenie wielu klauzul, np. (p q r) ( p r). Formuła w alternatywnej postaci normalnej (apn) jest to alternatywa skończenie wielu koniunkcji elementarnych, np. (p q r) ( p r). TWIERDZENIE 1. Każda formuła KRZ jest logicznie równoważna pewnej formule w kpn i pewnej formule w apn.

18 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 18 PRZYKłAD. A = p q q r. p q r p q r q r A apn kpn p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r p q r apn: (p q r) (p q r) (p q r) ( p q r) ( p q r) ( p q r) kpn: ( p q r) (p q r)

19 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 19 Przypadki szczególne: (1) w(a) = 0 dla każdego wartościowania w. Wtedy A jest logicznie równoważne formule p p, która jest w apn. (2) w(a) = 1 dla każdego wartościowania w. Wtedy A jest logicznie równoważne formule p p, która jest w kpn. Sprowadzanie do apn i kpn metodą przekształceń równoważnościowych. Podformuły danej formuły zastępujemy równoważnymi formułami, stosując następujące prawa (zastępujemy lewą stronę prawą stroną). A A (A B) (A B) (B A), (A B) A B (A B) A B, (A B) A B A (B C) (A B) (A C), (B C) A (B A) (C A) A (B C) (A B) (A C), (B C) A (B A) (C A)

20 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 20 PRZYKłAD. Sprowadzić formułę A = p q q r do kpn. [p q q r] [q r p q] [ (p q) (q r)] [ (q r) (p q)] [( p q) (q r)] [ q r p q] [( p q) q] [( p q) r] [ q r p q] ( p q) ( q q) ( p r) ( q r) ( q r p q) Sprowadzamy A do apn. Powtarzamy trzy pierwsze kroki; otrzymujemy formułę w negacyjnej postaci normalnej (występują tylko,,, przy czym negacje tylko przy zmiennych). {[( p q) (q r)] q} {[( p q) (q r)] r} {[( p q) (q r)] p} {[( p q) (q r)] q} ( p q q) (q r q) ( p q r) (q r r) ( p q p) (q r p) ( p q q) (q r q)

21 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 21 TWIERDZENIE 2. Formuła w kpn jest tautologią KRZ wtw, gdy w każdej składowej klauzuli występuje para przeciwnych literałów. Dowód. Twierdzenie wynika z dwóch faktów. (1) Formuła A 1 A 2 A n jest tautologią wtw, gdy każda formuła A i jest tautologią. (2) Klauzula jest tautologią wtw, gdy występuje w niej para przeciwnych literałów. (1) jest oczywiste. W (2) oczywista jest implikacja ( ). Implikację ( ) dowodzimy nie wprost. Załóżmy, że w klauzuli nie występuje para przeciwnych literałów. Określamy wartościowanie w zmiennych tej klauzuli: w(p) = 0, jeżeli literał p występuje w klauzuli; w(p) = 1, jeżeli literał p występuje w klauzuli. Oczywiście w(l) = 0 dla każdego literału l tej klauzuli, a więc wartościowanie w nie spełnia tej klauzuli. Zatem dana klauzula nie jest tautologią. Q.E.D.

22 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 22 TWIERDZENIE 3. Formuła w apn nie jest spełnialna wtw, gdy w każdej składowej koniunkcji elementarnej występuje para przeciwnych literałów. PRZYKłAD. A = p (q r) (p q) r. Sprowadzamy A do kpn. [p (q r)] [(p q) r] [ p (q r)] [(p r) (q r)] [ p ( q r)] [(p r) (q r)] [( p q) ( p r)] [(p r) (q r)] ( p q p r) ( p q q r) ( p r p r) ( p r q r) Formuła A jest tautologią. Sprowadzamy A do apn. p ( q r) (p q) r Formuła A jest spełnialna. ZADANIE 1. Sprowadzić A do apn i stwierdzić niespełnialność.

23 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki Klasyczny Rachunek Predykatów KRP jest działem logiki formalnej, wzbogacającym KRZ o nowe stałe logiczne (kwantyfikatory, równość) i oferującym dokładniejszą analizę struktury logicznej zdań. Inne nazwy: klasyczny rachunek logiczny, logika pierwszego rzędu, logika elementarna. W matematyce przez strukturę relacyjną rozumie się zbiór z wyróżnionymi relacjami, operacjami (działaniami) i elementami. Np. zbiór liczb całkowitych Z z relacjami równości = i mniejszości <, działaniami dodawania + i mnożenia oraz elementami 0 i 1 jest strukturą relacyjną. Inną strukturą relacyjną jest zbiór liczb rzeczywistych z analogicznymi relacjami, operacjami i elementami wyróżnionymi. Języki formalne KRP (tzw. języki elementarne), są dostosowane do opisu struktur relacyjnych: różne języki odpowiadają różnym typom struktur relacyjnych. Typ struktury relacyjnej określa liczbę relacji, operacji i elementów wyróżnionych oraz liczbę ich argumentów.

24 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki SYMBOLE JĘZYKA ELEMENTARNEGO. A. Symbole logiczne (wspólne dla wszystkich języków): - stałe logiczne:,,,,,, ; stała to kwantyfikator ogólny (generalny, uniwersalny, duży), stała to kwantyfikator szczegółowy (egzystencjalny, istnienia, mały); - zmienne indywiduowe, dla których rezerwujemy litery x, y, z (także z indeksami); dany jest nieskończony ciąg tych zmiennych; - symbole pomocnicze: nawiasy i przecinek. B. Symbole pozalogiczne (różne w różnych językach): - symbole relacyjne (predykatowe); notacja ogólna: P i, Q j, R k ; w konkretnych językach np. =, <, ; - symbole funkcyjne; notacja ogólna: f i, g j, h k ; w konkretnych językach np. +, ; - stałe indywiduowe; notacja ogólna: a, b, c; w konkretnych językach np. 0, 5, π,.

25 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 25 Górny indeks symbolu relacyjnego lub funkcyjnego oznacza liczbę argumentów (arność) danego symbolu. Te indeksy podajemy zazwyczaj tylko w deklaracji języka. Język elementarny jest jednoznacznie określony przez swoje symbole pozalogiczne. Możemy formalnie określić język elementarny jako układ L = (R L, F L, C L ) taki, że R L, F L, C L są zbiorami rozłącznymi, przy czym R L jest zbiorem niepustym. R L jest zbiorem symboli relacyjnych, F L zbiorem symboli funkcyjnych, a C L zbiorem stałych indywiduowych języka L. Na przykład, L = ({= 2, < 2 }, {+ 2, 2}, {0, 1}) jest językiem elementarnym, stosownym do opisu struktur relacyjnych liczb całkowitych i liczb rzeczywistych, wspomnianych powyżej. W notacji ogólnej można zadeklarować taki sam język jako L = ({P 2, Q 2 }, { f 2, g 2 }, {a, b}). Deklaracja języka elementarnego nie różni się istotnie od deklaracji typu struktury relacyjnej.

26 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki TERMY I FORMUłY. Wyrażeniem języka L nazywamy dowolny skończony ciąg symboli języka L. Zakładamy, że żaden symbol języka nie jest wyrażeniem tego języka. Wyrażenia przedstawiamy jako napisy; np. ab przedstawia ciąg dwóch symboli a i b (w notacji matematycznej zastosowano by zapis (a, b)). Wyróżniamy dwa rodzaje wyrażeń sensownych: termy i formuły. Termy są wyrażeniami nazwowymi, formuły wyrażeniami zdaniowymi. Rolą termów jest oznaczanie elementów struktury relacyjnej. Formuły wyrażają własności elementów struktury relacyjnej lub całej struktury; formuły są prawdziwe lub fałszywe. DEFINICJA 1. Termy dzielą się na proste i złożone. Termy proste są to zmienne indywiduowe i stałe indywiduowe. Termy złożone są to wyrażenia f (t 1,..., t n ) takie, że f jest n argumentowym symbolem funkcyjnym, a t 1,..., t n są termami.

27 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 27 PRZYKłAD. Niech F L = { f 1, g 2 }, C L = {a}. Termami prostymi są np. x, y, z, a. Termy złożone to np. f (a), g(a, a), f (g(a, a)), f (x), g(x, y), g( f (x), a) itp. Definicja 1 jest definicją rekurencyjną. Najpierw określa termy proste (krok początkowy). Następnie podaje zasadę konstrukcji termów złożonych z termów o mniejszej złożoności; złożoność f (t 1,..., t n ) jest większa od złożoności każdego z termów t 1,..., t n. Złożoność termu określamy ściśle jako liczbę wszystkich wystąpień symboli funkcyjnych w tym termie. Termy proste mają złożoność 0, termy f (x), g(a, y) złożoność 1, term g( f (x), y) złożoność 2 itd. W Definicji 1 i przykładzie termy zapisywano w notacji prefiksowej: symbol funkcyjny (operator) przed krotką argumentów. Standardowe operatory dwuargumentowe zwykle piszemy między argumentami (notacja infiksowa), np. x + y zamiast +(x, y). W logice stosujemy notację prefiksową w rozważaniach ogólnych; w przykładach stosujemy notację infiksową dla standardowych operatorów.

28 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 28 DEFINICJA 2. Formuły dzielą się na atomowe i złożone. Formuły atomowe to wyrażenia P(t 1,..., t n ) takie, że P jest n argumentowym symbolem relacyjnym, a t 1,..., t n są termami. Formuły złożone są to wyrażenia ( A), (A B), (A B), (A B), (A B), ( xa), ( xa) takie, że A, B są formułami, a x jest zmienną indywiduową. Powyższa definicja jest też definicją rekurencyjną. Złożoność formuły określamy jako liczbę wszystkich wystąpień stałych logicznych w tej formule. Krok początkowy określa formuły atomowe; mają one złożoność 0. Krok indukcyjny podaje zasady konstrukcji formuł złożonych z formuł o mniejszej złożoności. PRZYKłAD. Niech R L = {P 1, Q 2 }, F L = { f 1 }, C L = {a}. Wtedy np. P(x), Q(a, y), P( f (x)), Q( f (x), f (y)) są formułami atomowymi (atomami). Formułami złożonymi są np. ( P(x)), ( x( P(x))), ( x(p(x) ( yq(x, y)))). W praktyce opuszczamy nawiasy: (1) zewnętrzne, (2) jak w KRZ, dodatkowo przyjmując, że x i x mają tę samą siłę, co. Piszemy: P(x), x P(x), x(p(x) yq(x, y)).

29 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 29 Formułę xa czytamy: dla każdego x A. Formułę xa czytamy: istnieje x takie, że A. Znaczenie kwantyfikatorów jest intuicyjnie jasne, lecz nie można go zdefiniować za pomocą innych, bardziej podstawowych pojęć. Jeżeli opisujemy ustaloną, skończoną strukturę relacyjną, której wszystkie elementy są oznaczone stałymi indywiduowymi a 1,..., a n, to xa(x) jest równoważne koniunkcji A(a 1 ) A(a n ), a xa(x) jest równoważne alternatywie A(a 1 ) A(a n ). Tu A(x) reprezentuje dowolną formułę, a A(a i ) reprezentuje wynik podstawienia a i za x w A(x) (podstawianie w formułach KRP omawiamy dokładnie w podrozdziale 3.4). W przypadku struktur nieskończonych otrzymalibyśmy koniunkcje i alternatywy nieskończenie wielu formuł, niedopuszczalne w KRP. Są dopuszczalne w logikach infinitarnych, znacznie bardziej skomplikowanych od KRP.

30 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 30 Kwantyfikatory wiążą zmienne. W formule xp(x, y) zmienna y jest wolna, a zmienna x jest związana; dokładniej, oba wystąpienia zmiennej x są związane. Pojęcie podformuły danej formuły można określić rekurencyjnie: (1) jedyną podformułą formuły atomowej A jest A, (2) podformułami formuły A ( xa, xa) są ta formuła i wszystkie podformuły formuły A, (3) podformułami formuły A B (A B, A B, A B) są ta formuła oraz wszystkie podformuły formuł A, B. DEFINICJA 3. Wystąpienie zmiennej x w formule A jest związane, jeżeli występuje w pewnej podformule B formuły A takiej, że B jest postaci xc lub xc; pozostałe wystąpienia x w A są wolne. Zmienną nazywamy wolną w formule A, jeżeli w A występuje przynajmniej jedno wolne wystąpienie tej zmiennej. DEFINICJA 4. Formuły nie zawierające zmiennych wolnych nazywamy zdaniami (albo: formułami domkniętymi). Termy i atomy nie zawierające zmiennych nazywamy ustalonymi.

31 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki INTERPRETACJE JĘZYKA ELEMENTARNEGO. DEFINICJA 5. Interpretacją języka L nazywamy parę M = (D M, ( ) M ) taką, że D M jest niepustym zbiorem (zwanym dziedziną lub uniwersum interpretacji), a ( ) M jest funkcją, określoną na zbiorze symboli pozalogicznych języka L i spełniającą następujące warunki: (1) jeżeli P n R L, to P M jest n argumentową relacją na zbiorze D M, (2) jeżeli f n F L, to f M jest n argumentową operacją na zbiorze D M, (3) jeżeli a C L, to a M D M. Zbiór D M z wyróżnionymi relacjami P M, operacjami f M i elementami a M dla wszystkich symboli pozalogicznych P, f, a języka L tworzy strukturę relacyjną. Powyższa definicja precyzuje pojęcie interpretacji języka elementarnego w danej strukturze relacyjnej.

32 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 32 DEFINICJA 6. Niech V będzie pewnym zbiorem zmiennych indywiduowych. Wartościowaniem zbioru V w interpretacji M nazywamy dowolną funkcję w : V D M. PRZYKłAD. Wartość termu x + y i wartość logiczna formuły x < y w strukturze liczb całkowitych zależą od wartości zmiennych x, y, a więc od konkretnego wartościowania zbioru {x, y} w tej strukturze (interpretacji). Przy danym wartościowaniu w zbioru V w interpretacji M, każdy term t języka L, którego wszystkie zmienne należą do V, jednoznacznie określa pewien element t M [w] D M, zwany wartością tego termu przy tym wartościowaniu w tej interpretacji. Definicja rekurencyjna t M [w] wygląda następująco. (wt1) x M [w] = w(x) dla x V, (wt2) a M [w] = a M dla a C L, (wt3) ( f (t 1,..., t n )) M [w] = f M ((t 1 ) M [w],..., (t n ) M [w]).

33 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 33 Podobnie, dane wartościowanie w zbioru V w interpretacji M jednoznacznie określa wartość logiczną każdej formuły A języka L, której wszystkie zmienne wolne należą do V; tę wartość oznaczamy A M [w]. Poniżej podajemy rekurencyjną definicję A M [w]. (WL1) (P(t 1,..., t n )) M [w] = 1 wtw, gdy P M ((t 1 ) M [w],..., (t n ) M [w]), tzn. relacja P M zachodzi dla krotki elementów ((t 1 ) M [w],..., (t n ) M [w]), (WL2) ( A) M [w] = (A M [w]), (WL3) (A B) M [w] = (A M [w]) (B M [w]) dla =,,,, (WL4) ( xa) M [w] = 1 wtw, gdy A M [v] = 1 dla każdego wartościowania v zbioru V {x}, które pokrywa się z w dla wszystkich zmiennych z V, różnych od x, (WL5) ( xa) M [w] = 1 wtw, gdy A M [v] = 1 dla pewnego wartościowania v zbioru V {x}, które pokrywa się z w dla wszystkich zmiennych z V, różnych od x.

34 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 34 DEFINICJA 7. Mówimy, że wartościowanie w spełnia formułę A w interpretacji M (piszemy M = A[w]), jeżeli A M [w] = 1. M = A[w] A M [w] = 1 Rekurencyjna definicja spełniania w stylu Tarskiego: (SAT1) M = P(t 1,..., t n )[w] P M ((t 1 ) M [w],... (t n ) M [w]), (SAT2) M = ( A)[w] M = A[w], (SAT3) M = (A B)[w] M = A[w] i M = B[w], Podobnie dla,,. (SAT4) M = ( xa)[w] M = A[v] dla każdego wartościowania v, spełniającego warunek z (WL4), (SAT5) M = ( xa)[w] M = A[v] dla pewnego wartościowania v, spełniającego warunek z (WL5).

35 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 35 Niech w będzie wartościowaniem zbioru V w M, x dowolną zmienną indywiduową oraz d D M. Poprawione wartościowanie w x/d zbioru V {x} określamy następująco: w x/d (x) = d, w x/d (y) = w(y) dla wszystkich y V {x}. Warunki (SAT4), (SAT5) można wyrazić następująco: (SAT4) M = ( xa)[w] dla każdego d D M M = A[w x/d ], (SAT5) M = ( xa)[w] istnieje d D M takie, że M = A[w x/d ]. Symbolicznie: (SAT4) M = ( xa)[w] ( d D M )M = A[w x/d ], (SAT5) M = ( xa)[w] ( d D M )M = A[w x/d ]. Znaczenie kwantyfikatorów ograniczonych: ( d X)W d(d X W) ( d X)W d(d X W)

36 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 36 PRZYKłAD. Niech M będzie interpretacją dla języka ({=, <}, {+, }, {0, 1}) taką, że D M = Z, a symbole =, <, +,, 0, 1 mają zwykłe znaczenie. Rozważmy term t x (y + 1) i wartościowanie w(x) = 2, w(y) = 3. Od tej pory oznacza stosunek równości wyrażeń. t M [w] = w(x) M (w(y) + M 1 M ) = 2 (3 + 1) = 2 4 = 8 M = ( xx < y)[w] ( d Z)M = (x < y)[w x/d ] ( d Z)d < M w(y) ( d Z)d < 3 Ponieważ zdanie ( d Z)d < 3 jest prawdziwe, więc wartościowanie w spełnia formułę xx < y w interpretacji M. Żadne wartościowanie nie spełnia formuły xx < y w interpretacji M.

37 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 37 DEFINICJA 8. Mówimy, że formuła A jest prawdziwa w interpretacji M (piszemy M = A), jeżeli formuła A jest spełniona w M przez każde wartościowanie zbioru wszystkich zmiennych wolnych tej formuły. Ten zbiór oznaczamy przez V(A). M = A ( w na V(A))M = A[w] UWAGA. Zdania nie mają zmiennych wolnych; jeżeli A jest zdaniem, to V(A) =. Jedynym wartościowaniem w : D M jest wartościowanie puste; oznaczamy je też przez. Dla dowolnego zdania A mamy: M = A M = A[ ]. FAKT 1. Dla dowolnego zdania A i dowolnej interpretacji M danego języka: (a) M = A M = A, (b) M = A lub M = A. (b) nazywamy semantyczną zasadą wyłączonego środka.

38 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 38 DEFINICJA 9. Interpretację M nazywamy modelem zbioru formuł S (piszemy M = S ), jeżeli każda formuła ze zbioru S jest prawdziwa w M. M = S ( A S )M = A UWAGA. Każda interpretacja jest modelem pustego zbioru formuł. M = ( A )M = A ( A)(A M = A). DEFINICJA 10. Formułę języka L nazywamy prawem (albo: tautologią) KRP, jeżeli ta formuła jest prawdziwa w każdej interpretacji języka L. DEFINICJA 11. Mówimy, że formuła A logicznie wynika ze zbioru formuł S w KRP (piszemy S = KRP A), jeżeli formuła A jest prawdziwa w każdym modelu zbioru S. S = KRP A ( M)(M = S M = A)

39 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 39 PRZYKłAD. Następujące formuły są prawami KRP. (1) xp(x) P(a) (prawo podstawiania) (2) P(a) xp(x) (drugie prawo podstawiania) (3) x(p(x) Q(x)) xp(x) xq(x) (prawo rozdzielności względem ) (4) x(p(x) Q(x)) xp(x) xq(x) (prawo rozdzielności względem ) Prawdziwość tych praw w każdej interpretacji danego języka jest oczywista na podstawie znaczenia kwantyfikatorów i spójników logicznych. Istnieją różne systemy dowodzenia praw KRP; niektóre z nich poznamy w dalszym ciągu. FAKT 2. Niech A 1,..., A n, B będą zdaniami. Wtedy B logicznie wynika w KRP ze zbioru {A 1,..., A n } wtw, gdy formuła A 1 A n B jest prawem KRP.

40 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 40 PRZYKłAD. Ponieważ (1) i (2) są prawami KRP, więc zdanie P(a) logicznie wynika ze zdania xp(x) (tzn. ze zbioru { xp(x)}), a zdanie xp(x) logicznie wynika ze zdania P(a). DEFINICJA 12. Mówimy, że formuła A jest logicznie równoważna formule B w KRP, jeżeli formuła A B jest prawem KRP. PRZYKłAD. Ponieważ (3) i (4) są prawami KRP, więc formuła po lewej stronie danego prawa jest logicznie równoważna formule po prawej stronie tego prawa. LEMAT 1 (o wartościowaniach). Niech w, v będą wartościowaniami w interpretacji M. (a) Jeżeli w, v są określone i równe dla każdej zmiennej występującej w termie t, to t M [w] = t M [v]. (b) Jeżeli w, v są określone i równe dla każdej zmiennej wolnej w formule A, to: M = A[w] M = A[v]. Dowód przebiega przez indukcję po złożoności termu t i formuły A. Szczegóły tego dowodu pomijamy.

41 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 41 WNIOSEK. Niech A będzie zdaniem, a w dowolnym wartościowaniem w M. Wtedy: M = A M = A[w]. Dowód. Mamy: M = A M = A[ ] M = A[w], skoro wartościowania w, są określone i równe dla wszystkich zmiennych wolnych w A (zbiór tych zmiennych jest pusty). Q.E.D. FAKT 3. Dla dowolnej formuły A, dowolnej zmiennej x i dowolnej interpretacji M danego języka: M = A wtw, gdy M = xa. Dowód. M = A jest prawdziwe wtw, gdy M = A[w] dla każdego wartościowania w zbioru V(A) w M. M = xa jest prawdziwe wtw, gdy M = A[w x/d ] dla każdego wartościowania w zbioru V( xa) i każdego elementu d D M. Jeżeli x V(A), to ten drugi warunek jest równoważny pierwszemu. Jeżeli x V(A), to V(A) = V( xa) oraz: M = A[w] M = A[w x/d ], na mocy Lematu 1; zatem oba warunki są równoważne. Q.E.D.

42 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 42 FAKT 4. Dla dowolnych formuł A, B i interpretacji M, jeżeli M = A B i M = A, to M = B. Dowód. Zakładamy, że M = A B i M = A. Niech V będzie zbiorem wszystkich zmiennych wolnych w A lub B. Niech w będzie wartościowaniem zbioru V w M. Na mocy Lematu 1, z założenia otrzymujemy M = (A B)[w] i M = A[w], a stąd M = B[w] na mocy (SAT3). Zatem M = B[w] dla każdego wartościowania w zbioru V, a więc także dla każdego wartościowania w zbioru V(B) (każde wartościowanie zbioru V(B) można rozszerzyć do wartosciowania zbioru V). Wykazaliśmy M = B. Q.E.D. Fakty 3 i 4 uzasadniają dwie podstawowe logiczne reguły wnioskowania KRP: regułę odrywania (MP) i regułę generalizacji (GEN). (MP) A B; A B, (GEN) A xa.

43 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki PODSTAWIANIE W TERMACH I FORMUłACH. TER L oznacza zbiór wszystkich termów języka L. Podstawieniem nazywamy dowolną funkcję σ : V TER L taką, że V jest skończonym zbiorem zmiennych indywiduowych. Podstawienie σ reprezentujemy jako listę przypisań: σ = [x 1 := t 1,..., x n := t n ], gdzie t i = σ(x i ) dla i = 1,..., n. Wtedy V = {x 1,..., x n }. Przyjmujemy, że te zmienne są różne. Symbolem ɛ oznaczamy podstawienie puste []. Dla każdego termu t i podstawienia σ powyższej postaci określamy term tσ, powstający z t w wyniku równoczesnego podstawienia termu t i za każde wystąpienie zmiennej x i dla i = 1,... n. Dla każdej formuły A i podstawienia σ powyższej postaci określamy formułę Aσ, powstającą z A w wyniku równoczesnego podstawienia t i za każde wolne wystąpienie zmiennej x i dla i = 1,..., n.

44 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 44 PRZYKłAD. ((x + y) x)[x := y, y := z + 1] (y + (z + 1)) y. ( xx = y)[x := y, y := z + 1] xx = z + 1. Rekurencyjna definicja tσ i Aσ dla σ = [x 1 := t 1,..., x n := t n ]. x i σ t i, yσ y dla y {x 1,..., x n }, aσ a dla a C L, f (s 1,..., s m )σ f (s 1 σ,..., s m σ), P(s 1,..., s m )σ P(s 1 σ,..., s m σ), ( A)σ Aσ (przyjmujemy, że σ wiąże najsilniej), (A B)σ Aσ Bσ, ( xa)σ xaσ, ( xa)σ xaσ, jeżeli x {x 1,..., x n }, ( x i A)σ x i Aσ, ( x i A)σ x i Aσ, gdzie σ powstaje z σ przez usunięcie przypisania x i := t i.

45 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 45 Dla dowolnych podstawień σ, η określamy złożenie ση jako podstawienie, polegające na kolejnym wykonaniu podstawień σ i η. Niech σ = [x 1 := t 1,..., x n := t n ], η = [y 1 := s 1,..., y m := s m ], przy czym nie wykluczamy x i y j dla pewnych i, j. Wtedy: ση = [x 1 := t 1 η,..., x n := t n η, y i1 := s i1,..., y ik := s ik ], gdzie y i1,..., y ik są tymi wszystkimi zmiennymi ze zbioru {y 1,..., y m }, które nie należą do zbioru {x 1,..., x n }. Przyjmujemy, że σ = η, jeżeli xσ = xη dla każdej zmiennej x. Wtedy mamy tσ = tη oraz Aσ = Aη dla wszystkich termów t i formuł A. Zachodzą następujące równości: t(ση) = (tσ)η, A(ση) = (Aσ)η, tɛ = t, Aɛ = A, (ση)θ = σ(ηθ) (prawo łączności złożenia podstawień), ɛσ = σ = σɛ (ɛ jest elementem neutralnym dla złożenia podstawień).

46 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 46 DEFINICJA 13. Mówimy, że term t jest podstawialny za zmienną x w formule A, jeżeli żadne wolne wystąpienie x w A nie występuje w podformule postaci yb, ani yb takiej, że y występuje w t. PRZYKłAD. Niech A y x < y. Wtedy t jest podstawialne za x w A wtw, gdy y nie występuje w t. Na przykład, termy z, z + x, 0 są podstawialne za x w A, lecz termy y, y + 1 nie są podstawialne za x w A. Zauważmy, że formuła A jest prawdziwa w strukturze liczb całkowitych. Jeżeli t jest podstawialne za x w A, to formuła A[x := t] jest też prawdziwa w tej strukturze, np. y z < y, y z + x < y, y 0 < y. Jeżeli t nie jest podstawialne za x w A, to A[x := t] może nie być formułą prawdziwą w tej strukturze, np. y y < y, y y + 1 < y. Jeżeli t nie jest podstawialne za x w A, to mówimy, że nastąpiła kolizja zmiennych przy podstawianiu A[x := t]. Każdy term ustalony jest podstawialny za dowolną zmienną w dowolnej formule. Każdy term jest podstawialny za dowolną zmienną w dowolnej formule, nie zawierającej kwantyfikatorów.

47 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 47 LEMAT 2 (o podstawianiu). Dla dowolnych termów s, t, formuł A, zmiennych x i interpretacji M języka L prawdziwe są następujące stwierdzenia. (a) Niech w będzie wartościowaniem w M, określonym dla wszystkich zmiennych występujących w termach s, t. Wtedy: (s[x := t]) M [w] = s M [w x/t M [w] ]. (b) Niech w będzie wartościowaniem w M, określonym dla wszystkich zmiennych występujących w termie t i wszystkich zmiennych wolnych w formule A. Jeżeli term t jest podstawialny za x w A, to: M = (A[x := t])[w] M = A[w x/t M [w] ]. Dowód. Dowodzimy (a) przez indukcję względem złożoności termu s. Oznaczmy v = w x/t M [w]. 1. s x (x[x := t]) M [w] = t M [w] = x M [v].

48 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki s y dla y x. (y[x := t]) M [w] = y M [w] = y M [v]. 3. s a dla a C L. (a[x := t]) M [w] = a M [w] = a M = a M [v]. 4. s f (t 1,..., t n ). Założenie indukcyjne: (a) zachodzi dla wszystkich termów s o złożoności mniejszej od złożoności termu s. W konsekwencji (a) zachodzi dla każdego termu t i w roli termu s. ( f (t 1,..., t n )[x := t]) M [w] = ( f (t 1 [x := t],..., t n [x := t])) M [w] = f M ((t 1 [x := t]) M [w],..., (t n [x := t]) M [w]) = ZI f M (t M 1 [v],..., tm n [v]) = ( f (t 1,..., t n )) M [v]. Dowodzimy (b) przez indukcję względem złożoności formuły A. Znów v = w x/t M [w]. Zakładamy, że term t jest podstawialny za x w A.

49 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki A P(t 1,..., t n ). M = (P(t 1,..., t n )[x := t])[w] M = P(t 1 [x := t],..., t n [x := t])[w] P M ((t 1 [x := t]) M [w],..., (t n [x := t]) M [w]) (a) P M (t M 1 [v],..., tm n [v]) M = P(t 1,..., t n )[v]. 2. A B. Oczywiście t jest podstawialne za x w B. Na mocy ZI, (b) zachodzi dla B w roli A. M = (( B)[x := t])[w] M = ( B[x := t])[w] M = (B[x := t])[w] ZI M = B[v] M = ( B)[v]. 3. A B C. Oczywiście t jest podstawialne za x w formule B i w formule C. Na mocy ZI, (b) zachodzi dla formuł B i C. M = ((B C)[x := t])[w] M = (B[x := t] C[x := t])[w] M = (B[x := t])[w] i M = (C[x := t])[w] ZI M = B[v] i M = C[v] M = (B C)[v].

50 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 50 Podobnie rozumujemy w przypadkach A B C, B C, B C. 4. A yb. Rozważamy dwa podprzypadki x nie jest wolne w A. Wtedy A[x := t] A oraz wartościowania w, v są określone i równe dla zmiennych wolnych w A. M = (A[x := t])[w] M = A[w] M = A[v] (na mocy Lematu 1) x jest wolne w A. Wtedy y x. Skoro t jest podstawialne za x w A, zmienna y nie występuje w t. Oczywiście t jest podstawialne za x w B. Na mocy ZI, (b) zachodzi dla B w roli A i dowolnego wartościowania w, określonego na odpowiednich zmiennych. M = (( yb)[x := t])[w] M = ( yb[x := t])[w] ( d D M )M = (B[x := t])[w y/d ] ZI ( d D M )M = B[w y/d x/t M [w y/d ] ] ( d D M )M = B[w x/t M [w] y/d ] M = ( yb)[w x/t M [w] ].

51 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 51 t M [w y/d ] = t M [w] (na mocy Lematu 1, skoro y nie występuje w t) oraz: w y/d x/t M [w] = w x/t M [w] y/d, skoro x y. W przypadku A yb rozumujemy podobnie. Q.E.D. WNIOSEK. Następujące formuły są prawami KRP: xa A[x := t], A[x := t] xa, dla dowolnych formuł A, zmiennych x i termów t pod warunkiem, że t jest podstawialne za x w A. Dowód. Cel: M = ( xa A[x := t])[w] dla dowolnej interpretacji M i wartościowania w w M określonego dla zmiennych wolnych tej formuły i zmiennych występujących w t. Zakładamy M = ( xa)[w]. Stąd dla każdego d D M mamy M = A[w x/d ]. W szczególności dla d = t M [w] mamy M = A[w x/t M [w] ]. Na mocy Lematu 2, M = (A[x := t])[w]. Wykazaliśmy: M = ( xa)[w] M = (A[x := t])[w], skąd wynika nasz cel. Drugie prawo uzasadniamy podobnie.

52 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki Aksjomatyczny system KRP. Przedstawimy KRP jako formalny system dedukcyjny. Ustalamy język elementarny L. Aksjomaty logiczne: (L0) wszystkie formuły języka L powstające z tautologii KRZ w wyniku podstawiania dowolnych formuł języka L za zmienne zdaniowe; (L1) xa A[x := t], (L1 ) A[x := t] xa (dla dowolnych formuł A, zmiennych x i termów t, podstawialnych za x w A); dla dowolnych formuł A, B i zmiennych x: (L2) x(a B) (A xb) (warunek: x V(A)); (L2 ) x(a B) ( xa B) (warunek: x V(B)). Podstawowe reguły dowodzenia: (MP) i (GEN).

53 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 53 (L1), (L1 ) nazywamy prawami podstawiania. (L2), (L2 ) nazywamy prawami dołączania kwantyfikatora (ogólnego i szczegółowego). Wszystkie aksjomaty logiczne są prawami KRP. Wykazaliśmy to dla (L1) w sekcji 3.4; pozostałe na ćwiczeniach. DEFINICJA 1. Dowodem formuły A w systemie KRP nazywamy skończony ciąg formuł (A 1,..., A n ) taki, że A n A oraz dla każdego i = 1,..., n prawdziwy jest jeden z warunków: (d1) A i jest aksjomatem systemu, (d2) istnieją j, k < i takie, że A j A k A i (tzn. A i jest wnioskiem z A j, A k na mocy (MP)), (d3) istnieją j < k i zmienna x takie, że A i xa j (tzn. A i jest wnioskiem z A j na mocy (GEN)). Dowód: skończony ciąg formuł, w którym każda formuła jest aksjomatem lub wnioskiem z poprzednich formuł na mocy reguł dowodzenia.

54 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 54 DEFINICJA 2. Formuły mające dowód w systemie KRP nazywamy tezami systemu KRP. FAKT 1. Każda teza systemu KRP jest prawem KRP. Jest to oczywista konsekwencja faktu, że wszystkie aksjomaty logiczne są prawami KRP, a reguły dowodzenia zachowują tę własność, tzn. jeżeli przesłanki są prawami KRP, to wniosek jest prawem KRP. (TL1) xa A, (TL1 ) xa A (warunek: x V(A)). 1. xa A (L1) (dla t x) 2. A A (L0) 3. x(a A) GEN 1 4. x(a A) (A xa) (L2) 5. A xa MP 3,2 6. ( xa A) [(A xa) ( xa A)] (L0) 7. (A xa) ( xa A) MP 6,1 8. xa A MP 7,5

55 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 55 W dalszym ciągu będziemy redagować dowody skrócone, wykorzystujące wyprowadzalne reguły dowodzenia. DEFINICJA 3. Niech S będzie dowolnym zbiorem formuł języka L. Dowodem formuły A ze zbioru założeń S w systemie KRP nazywamy skończony ciąg formuł (A 1,..., A n ) taki, że A n A oraz dla każdego i = 1,..., n spełniony jest jeden z warunków (d1), (d2), (d3) lub warunek; (d1 ) A i S. DEFINICJA 4. Mówimy, że formuła A jest konsekwencją zbioru formuł S w systemie KRP (piszemy S KRP A), jeżeli istnieje dowód formuły A ze zbioru założeń S w systemie KRP. Relację KRP nazywamy relacją konsekwencji systemu KRP. DEFINICJA 5. Schemat wnioskowania A 1;...;A n nazywamy A wyprowadzalną regułą dowodzenia systemu KRP, jeżeli {A 1,..., A n } KRP A. Tu A 1,..., A n, A są formułami języka L.

56 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 56 FAKT 2. Relacja KRP spełnia następujące warunki, zwane warunkami konsekwencji. (C1) Jeżeli A S, to S A (warunek identyczności). (C2) Jeżeli S A i S S, to S A (warunek monotoniczności). (C3) Jeżeli S A dla każdego A S oraz S B, to S B (warunek przechodniości). (C4) Jeżeli S A, to istnieje skończony zbiór S S taki, że S A (warunek finitystyczności). Dowód. (C1) wynika stąd, że jeśli A S, to ciąg jednowyrazowy (A) jest dowodem formuły A ze zbioru założeń S. (C2) wynika stąd, że w Definicji 3 nie wymagamy, żeby wszystkie formuły ze zbioru S były wykorzystane w dowodzie. Zatem, jeżeli S S, to każdy dowód ze zbioru założeń S jest też dowodem ze zbioru założeń S.

57 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 57 (C3) wynika z faktu, że dowody można składać: jeżeli (A 1,..., A n ) i (B 1,..., B m ) są dowodami ze zbioru założeń S, to ciąg (A 1,..., A n, B 1,..., B m ) jest też dowodem ze zbioru założeń S, tzn. każdy wyraz tego ciągu spełnia jeden z warunków (d1), (d1 ), (d2), (d3). Załóżmy, że S KRP A dla każdego A S oraz S KRP B. Wtedy istnieje dowód d formuły B ze zbioru założeń S. Niech B 1,..., B k będą wszystkimi założeniami z S wykorzystanymi w d. Istnieją dowody d 1,..., d k odpowiednio formuł B 1,..., B k ze zbioru założeń S. Tworzymy ciąg d 1 d k d, tzn. konkatenację ciągów d 1,..., d k, d w tej kolejności. Ten ciąg jest dowodem formuły B (ostatniej formuły w ciągu d) ze zbioru założeń S, ponieważ formuły B 1,..., B k, grające rolę założeń w dowodzie d, są teraz traktowane jako konsekwencje zbioru założeń S (B i jest ostatnią formułą w ciągu d i dla i = 1,..., k). Zatem S KRP B.

58 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 58 (C4) wynika stąd, że dowody są ciągami skończonymi. Jeżeli S KRP A, to istnieje dowód d formuły A ze zbioru założeń S. Ciąg d jest zarazem dowodem formuły A ze zbioru założeń S, gdzie S jest zbiorem tych wszystkich założeń z S, które są wykorzystane w d. Q.E.D. OZNACZENIA. Piszemy: A 1,..., A n KRP A zamiast {A 1,... A n } KRP A, KRP A zamiast KRP A (sens: A jest tezą systemu KRP), S, A KRP B zamiast S {A} KRP B. FAKT 3. Jeżeli schemat A 1;...;A n powstaje z pewnej logicznej reguły A wnioskowania KRZ w wyniku podstawienia formuł języka L za zmienne zdaniowe, to ten schemat jest wyprowadzalną regułą dowodzenia systemu KRP.

59 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 59 Dowód. Najpierw rozważymy szczególny przypadek schematu: (SYL) A B; B C A C który powstaje z reguły sylogizmy hipotetycznego wyniku podstawienia A za p, B za q i C za r., p q; q r p r Wykażemy A B, B C KRP A C. Istotną rolę odgrywa fakt, że formuła (p q) [(q r) (p r)] jest tautologią KRZ; na mocy prawa eksportacji-importacji jest ona logicznie równoważna formule (p q) (q r) (p r). Wobec tego (A B) [(B C) (A C)] jest aksjomatem (L0). 1. A B założenie 2. B C założenie 3. (A B) [(B C) (A C)] (L0) 4. (B C) (A C) MP 3,1 5. A C MP 4,2 w

60 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 60 W ogólnym przypadku postępujemy podobnie. Niech: A 1 ;... ; A n A powstaje z logicznej reguły wnioskowania KRZ B 1;...;B n w wyniku B podstawienia pewnych formuł języka L za wszystkie zmienne zdaniowe występujące w tej logicznej regule wnioskowania. Formuła: B 1 (B 2 (B n B)...) jest tautologią KRZ (jest logicznie równoważna formule B 1 B 2 B n B), a więc formuła: A 1 (A 2 (A n A)...) jest aksjomatem (L0). Wykażemy A 1,..., A n KRP A. Formalny dowód zaczyna się od założeń A 1,..., A n. Następnie wprowadza powyższy aksjomat (L0) i stosuje n razy regułę MP. Q.E.D.

61 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 61 Na mocy warunku (C3), jeżeli S KRP A i dla każdego i = 1,..., n oraz A 1,..., A n KRP B, to S KRP B. Zatem każdą wyprowadzalną regułę dowodzenia, którą już udowodniliśmy, możemy stosować w dowodach formalnych (jako skrót), co nie zwiększa siły dedukcyjnej systemu. Poza regułą (SYL) będziemy często stosować następujące logiczne reguły wnioskowania KRZ. reguły monotoniczności p 1 q 1 ; p 2 q 2, p 1 p 2 q 1 q 2 p 1 q 1 ; p 2 q 2 p 1 p 2 q 1 q 2 reguła mnożenia następników i reguła dodawania poprzedników p q; p r p r; q r, p q r p q r reguły transpozycji p q q p, q p p q, p q q p, p q q p

62 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 62 reguły eksportacji, importacji i komutacji p q r p (q r), p (q r) p q r, p (q r) q (p r) Korzystamy też z wyprowadzalnych reguł dla kwantyfikatorów. reguły dołączania kwantyfikatora ogólnego i szczegółowego (D ) A B A xb (jeśli x V(A)) (D ) A B xa B Wykażemy A B KRP A xb, jeżeli x V(A). 1. A B założenie 2. x(a B) GEN 1 3. x(a B) (A xb) (L2) 4. A xb MP 3,2 (jeśli x V(B)) Dowód A B KRP xa B, jeśli x V(B), jest podobny; korzystamy z (L2 ) zamiast (L2).

63 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 63 reguły dwustronnego dołączania kwantyfikatora (DD ) A B xa xb (DD ) Wykażemy A B KRP xa xb. 1. A B założenie 2. xa A (L1) 3. xa B SYL 2,1 4. xa xb D 3 Wykażemy A B KRP xa xb. 1. A B założenie 2. B xb (L1 ) (przy t x) 3. A xb SYL 1,2 4. xa xb D 3 A B xa xb

64 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 64 prawa dwustronnego dołączania kwantyfikatora (TL2) x(a B) ( xa xb) (TL2 ) x(a B) ( xa xb) Podamy dowód (TL2). 1. x(a B) (A B) (L1) 2. A ( x(a B) B) RZ 1 (reguła komutacji) 3. xa A (L1) 4. xa ( x(a B) B) SYL 3,2 5. x(a B) ( xa B) RZ 4 (reguła komutacji) 6. x(a B) xa B RZ 5 (reguła importacji) 7. x(a B) xa xb D 6 8. x(a B) ( xa xb) RZ 7 (reguła eksportacji)

65 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 65 pełne prawa rozdzielności kwantyfikatorów (TL3) x(a B) xa xb (TL3 ) x(a B) xa xb Podamy dowód (TL3) 1. A B A RZ (tzn. (L0)) 2. x(a B) xa DD 1 3. A B B RZ 4. x(a B) xb DD 3 5. x(a B) xa xb RZ 2,4 (reguła mnożenia następników) 6. xa A (L1) 7. xb B (L1) 8. xa xb A B RZ 6,7 (reguła monotoniczności) 9. xa xb x(a B) D x(a B) xa xb RZ 5,9 (reguła wprowadzania równoważności)

66 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 66 niepełne prawa rozdzielności kwantyfikatorów (TL4) xa xb x(a B) (TL4 ) x(a B) xa xb Odwrotne implikacje na ogół nie są prawami KRP. Rozważmy interpretację M taką, że D M = {a, b}, gdzie a b, P M (a) i Q M (b) są prawdziwe, lecz nie na odwrót. Wtedy zdanie x(p(x) Q(x)) jest prawdziwe w M, lecz zdanie xp(x) xq(x) nie jest prawdziwe w M, ponieważ oba argumenty alternatywy są fałszywe w M. Zatem zdanie x(p(x) Q(x)) xp(x) xq(x) jest fałszywe w M. Podobnie można wykazać, że implikacja odwrotna do (TL4 ) na ogół nie jest prawem KRP. pełne prawa przestawiania kwantyfikatorów (TL5) x ya y xa (TL5 ) x ya y xa

67 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 67 niepełne prawo przestawiania kwantyfikatorów (TL6) x ya y xa Odwrotna implikacja na ogół nie jest prawem KRP. Niech M będzie interpretacją taką, że D M = {a, b} oraz P M (a, b) i P M (b, a) są prawdziwe, natomiast P M (a, a) i P M (b, b) są fałszywe. Wtedy zdanie y xp(x, y) jest prawdziwe, lecz zdanie x yp(x, y) jest fałszywe w M. Zatem zdanie y xp(x, y) x yp(x, y) jest fałszywe w M. prawa De Morgana dla kwantyfikatorów (TL7) xa x A, (TL7 ) xa x A prawa zamiany zmiennej związanej (TL8) xa ya[x := y], (TL8 ) xa ya[x := y], jeśli spełnione są warunki: (w1) x y, (w2) y V(A), (w3) y jest podstawialne za x w A. Te warunki są spełnione, jeżeli y nie występuje w xa (jest tzw. nową zmienną).

68 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 68 prawa wyłączania kwantyfikatora przed nawias (TL9) xa B x(a B) dla {, }, jeśli x V(B). (TL9 ) xa B x(a B) przy tych samych zastrzeżeniach. Wersja przestawiona: B xa x(b A), B xa x(b A), jeśli x V(B). prawa ekstensjonalności dla kwantyfikatorów (TL10) x(a B) ( xa xb) (TL10 ) x(a B) ( xa xb) Dla porównania przytaczamy prawa ekstensjonalności w KRZ. (p q) ( p q) (p 1 q 1 ) (p 2 q 2 ) ((p 1 p 2 ) (q 1 q 2 )) dla {,,, }. (p 1 q 1 ) [(p 2 q 2 ) ((p 1 p 2 ) (q 1 q 2 ))]

69 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki Twierdzenia o systemie KRP. Tak zwana metoda wprost dowodzenia twierdzeń warunkowych A B polega na tym, że zakładamy A i dowodzimy B. Taki dowód nazywamy dowodem założeniowym implikacji A B. Wykażemy, że dowody założeniowe są dopuszczalne w systemie KRP, tzn. nie zwiększają siły dedukcyjnej systemu. Niech V będzie zbiorem zmiennych indywiduowych. S V KRP A wyraża następującą własność: istnieje dowód formuły A ze zbioru założeń S w systemie KRP taki, że reguła GEN jest w tym dowodzie stosowana tylko do zmiennych należących do V. TWIERDZENIE 1 (o dedukcji). (a) Jeżeli S, A V KRP S V KRP A B. B, przy czym zbiory V i V(A) są rozłączne, to (b) Jeżeli S KRP A B, to S, A KRP B.

70 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 70 Dowód. (b) ma prosty dowód. Załóżmy S A B. Na mocy (C2), S, A A B. Na mocy (C1), S, A A. Mamy A B, A B, ponieważ (MP) jest regułą dowodzenia. Zatem S, A B na mocy (C3). Dla dowodu (a) załóżmy, że S, A V B oraz zbiory V i V(A) są rozłączne. Wtedy istnieje dowód (A 1,..., A n ) formuły B ze zbioru założeń S {A} taki, że reguła GEN jest w tym dowodzie stosowana tylko do zmiennych należących do V. Oczywiście A n B. Przez indukcję względem n dowodzimy S V A B. Dla n = 1 formuła B (równa A 1 ) jest aksjomatem logicznym lub założeniem ze zbioru S {A}. Rozważymy kolejno te możliwości. 1. B jest aksjomatem logicznym. Korzystamy z tautologii p (q p) (prawo poprzednika). B (A B) jest aksjomatem (L0). Stosując (MP) do tej ostatniej formuły i B, otrzymujemy A B. Na mocy (C2), S A B. Ponieważ reguła GEN nie jest stosowana, więc S V A B.

71 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki B S. Rozumując podobnie, otrzymujemy S A B i S V A B. 3. B A. Wtedy A B A A, więc A B jest aksjomatem (L0). Mamy A B, stąd S A B i ostatecznie S V A B. ZI: S V A A m jest prawdziwe dla wszystkich dowodów (A 1,..., A m ) długości m mniejszej od n. TI: S V A B dla dowodów (A 1,..., A n ) długości n. Zgodnie z Definicją 4.3, formuła B (równa A n ) jest aksjomatem logicznym, założeniem ze zbioru S {A} lub wnioskiem z poprzednich formuł (w tym dowodzie) na mocy (MP) lub (GEN). W dwóch pierwszych przypadkach rozumujemy jak dla n = istnieją j, k < n takie, że A j A k B. Mamy S, A V A j i S, A V A k, przy czym dowody formuł A j i A k mają długość mniejszą od n. Na mocy ZI, S V A A j, czyli S V A (A k B), a także S V A A k. Te dwa dowody można złożyć i dopisać:

72 Logiczne Podstawy Informatyki Elementy logiki 72 [A (A k B)] [(A A k ) (A B)] (L0) (prawo Fregego: [p (q r)] [(p q) (p r)]) (A A k ) (A B) MP do powyższego i A (A k B) A B MP do powyższego i A A k. Zatem S V A B. 5. istnieją j < n i zmienna x takie, że B = xa j. Ponieważ x V, więc x V(A). Na mocy ZI, S V A A j. Ten dowód uzupełniamy: x(a A j ) GEN do ostatniej formuły tamtego dowodu x(a A j ) (A B) (L2) A B MP do powyższych formuł Zatem S V A B. Q.E.D. WNIOSEK. Jeżeli A jest zdaniem, to dla wszelkich zbiorów formuł S i formuł B: S, A KRP B S KRP A B.