Andrzej Komisarski. O pewnych deskryptywnych własnościach relacji izomorfizmu między ośrodkowymi przestrzeniami Banacha. Praca magisterska Maj 1999

Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Andrzej Komisarski O pewnych deskryptywnych własnościach relacji izomorfizmu między ośrodkowymi przestrzeniami Banacha Praca magisterska Maj 1999 Promotor: prof. dr hab. Roman Pol

2

Spis treści 1 Wprowadzenie i główny wynik 5 2 Przestrzenie borelowskie, zbiory analityczne i przestrzenie Effrosa 7 2.1 Przestrzenie borelowskie i zbiory analityczne........................ 7 2.2 Przestrzenie Effrosa F(E), V(E) i H(E).......................... 8 2.3 Relacja izomorfizmu na V(E)................................ 11 3 Indeks Cantora-Bendixsona i indeksy parametryzowalne 13 3.1 Liczby porządkowe...................................... 13 3.2 Hiperprzestrzenie oraz pochodna i indeks Cantora-Bendixsona.............. 14 3.3 Indeksy parametryzowalne.................................. 15 4 Przygotowanie do dowodu: przekształcenie Φ 17 5 Dowód głównego wyniku 21 6 Wnioski i komentarz do Twierdzenia 1.1 25 7 Inny wariant dowodu Twierdzenia 1.1 27 3

4 SPIS TREŚCI

Rozdział 1 Wprowadzenie i główny wynik Deskryptywna teoria mnogości zajmuje się, mówiąc w dużym uproszczeniu, badaniem złożoności struktury podzbiorów i przekształceń ośrodkowych, metryzowalnych przestrzeni topologicznych. Rozwija w tym celu pojęcia zbiorów i funkcji borelowskich, zbiorów analitycznych, koanalitycznych oraz, bardziej skomplikowanych, zbiorów rzutowych wyższych klas, ustala ich regularne własności i wzajemne powiązania. W wielu przypadkach topologia rozpatrywanych przestrzeni nie jest istotna, a znaczenie ma jedynie generowane przez nią σ-ciało zbiorów borelowskich. Prowadzi to do pojęcia przestrzeni borelowskich, będących podstawowymi obiektami w naszej pracy. Na szczególną uwagę zasługują te wątki teorii deskryptywnej, w których analizuje się z punktu widzenia tej teorii obiekty pojawiające się w naturalny sposób w innych gałęziach matematyki. Przedmiotem niniejszej pracy są pewne deskryptywne własności relacji liniowego homeomorfizmu między ośrodkowymi przestrzeniami Banacha, badanie których zapoczątkował B. Bossard [Bo]. Dla dowolnej ośrodkowej przestrzeni Banacha E, oznaczmy przez V(E) rodzinę domkniętych podprzestrzeni liniowych przestrzeni E, wyposażoną w strukturę borelowską Effrosa. Struktura Effrosa na V(E) to σ-ciało generowane przez zbiory {F V(E) : F U }, gdzie U jest otwartym podzbiorem E. Podzbiór produktu V(E) V(E) nazywamy analitycznym, jeśli jest rzutem borelowskiego podzbioru produktu V(E) V(E) [0, 1]. Podobnie, podzbiór przestrzeni V(E) jest analityczny, gdy jest rzutem zbioru borelowskiego w produkcie V(E) [0, 1]. Pojęcia te są bardziej szczegółowo omówione w części 2.1 pracy. Bossard [Bo] badał deskryptywne własności relacji izomorfizmu między przestrzeniami Banacha, będącymi elementami przestrzeni V(E) i dowiódł, że relacja ta jest analitycznym podzbiorem produktu V(E) V(E). Ponadto, jeśli E = C(2 N ) jest przestrzenią funkcji ciągłych na zbiorze Cantora, wówczas 5

6 ROZDZIAŁ 1. WPROWADZENIE I GŁÓWNY WYNIK nie istnieje analityczny selektor dla rodziny klas abstrakcji tej relacji ([Bo], Theorem 2). Celem pracy jest dowód następującego wzmocnienia twierdzenia Bossarda o selektorach. Twierdzenie 1.1. Niech E będzie dowolną ośrodkową przestrzenią Banacha i niech A V(E) będzie zbiorem analitycznym takim, że dla każdej przestrzeni Banacha L o przestrzeni sprzężonej l 1,istnieje izomorficzna kopia L w A. Wówczas A zawiera nieprzeliczalnie wiele parami izomorficznych elementów, mających jako przestrzeń sprzężoną l 1. Układ pracy jest następujący. W Rozdziałach 2 i 3 przedstawiam pojęcia oraz podstawowe fakty używane w dalszej części pracy. W Rozdziale 4 wprowadzone zostanie przekształcenie Φ, wiążące przestrzeń borelowską Effrosa V(C(2 N )) z hiperprzestrzenią kostki Hilberta. Przekształcenie to wykorzystane będzie w dowodzie Twierdzenia 1.1, który stanowi treść Rozdziału 5. W Rozdziale 6 wyjaśniam związki Twierdzenia 1.1 z pewnymi klasycznymi zagadnieniami dotyczącymi konstytuent Łuzina. W ostatnim rozdziale naszkicuję inne ujęcie dowodu Twierdzenia 1.1, nie odwołujące się do przekształcenia Φ z Rozdziału 4.

Rozdział 2 Przestrzenie borelowskie, zbiory analityczne i przestrzenie Effrosa Występująca w pracy terminologia dotycząca deskryptywnej teorii mnogości pochodzi z książek A. S. Kechrisa [Ke] i K. Kuratowskiego [Ku1]. Materiał związany z przestrzeniami Banacha i liczbami porządkowymi (zwłaszcza w ich topologicznym ujęciu) jest szerzej opisany w książce Z. Semadeniego [Se]. Pozostałe fakty odnoszące się do liczb porządkowych można znaleźć w książce K. Kuratowskiego ia.mostowskiego[k-m]. 2.1 Przestrzenie borelowskie i zbiory analityczne Przestrzeń borelowska (lub mierzalna) to para (A, S), gdziea jest dowolnym zbiorem, a S jestσ-ciałem, którego elementami są podzbiory A. ElementyS nazywać będziemy zbiorami borelowskimi. Jeśli σ-ciało S podzbiorów A jest ustalone, zwykle będziemy mówić o przestrzeni mierzalnej A, zamiast oparze(a, S). Każda przestrzeń topologiczna ma naturalną strukturę borelowską σ-ciało generowane przez zbiory otwarte. Przestrzeń borelowska (A, S) jest standardowa gdy istnieje ośrodkowa, metryzowalna w sposób zupełny topologia na A taka, że rodzina zbiorów borelowskich tej topologii pokrywa się z rodziną S. Będziemy zatem traktować każdą przestrzeń topologiczną jako przestrzeń borelowską, a każdą ośrodkową zupełną przestrzeń metryczną jako standardową przestrzeń borelowską. Podprzestrzenią przestrzeni borelowskiej (A, S) nazywamy każdą przestrzeń borelowską (C, S C ) taką, że C A oraz S C = {C S : S S}.RodzinęS C nazywamy indukowaną strukturą borelowską na C. Każdy borelowski podzbiór standardowej przestrzeni borelowskiej wyposażony w indukowaną 7

8ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE BORELOWSKIE, ZBIORY ANALITYCZNE I PRZESTRZENIE EFFROSA strukturę borelowską jest standardową przestrzenią borelowską. Produktem przestrzeni borelowskich (A, S) i (B,T ) jest przestrzeń borelowska (A B,S T), gdzie rodzina S T jest σ-ciałem podzbiorów iloczynu kartezjańskiego A B, generowanym przez zbiory postaci S T,gdzieS SiT T. Produkt standardowych przestrzeni borelowskich jest standardową przestrzenią borelowską. Uwaga. W klasie przestrzeni topologicznych pojęcie podprzestrzeni borelowskiej jest zgodne z pojęciem podprzestrzeni topologicznej. Dokładniej, jeśli A jest przestrzenią topologiczną oraz C A jest jej dowolnym podzbiorem, wówczas struktury borelowskie na zbiorze C, rozpatrywanym jako podprzestrzeń borelowska lub jako podprzestrzeń topologiczna A, są identyczne. W przypadku produktu (A B,S T), struktura borelowska S T jest generowana przez topologię produktową, jeśli przestrzenie A i B mają przeliczalne bazy (choć w ogólnej sytuacji tak być nie musi). Dla dowolnych dwu przestrzeni borelowskich (A, S) i (B,T ) przekształcenie f : A B jest borelowskie, gdy f 1 (T ) S dla T T. Zbiór K B jest suslinowski w przestrzeni borelowskiej (B,T ), gdy jest rzutem zbioru borelowskiego w produkcie (B [0, 1], T B), gdzie[0, 1] jest odcinkiem jednostkowym, a B rodziną zbiorów borelowskich topologii odcinka. Każdy zbiór borelowski jest suslinowski. Zbiory suslinowskie w standardowych przestrzeniach borelowskich nazywa się zbiorami analitycznymi. Zbiory analityczne są jednymi z najważniejszych obiektów rozpatrywanych w deskryptywnej teorii mnogości. Przypomnę kilka związanych z nimi podstawowych faktów. Dla dowolnej standardowej przestrzeni borelowskiej (A, S) rodzina zbiorów analitycznych w A zawiera zbiór pusty i całą przestrzeń A oraz jest zamknięta za względu na przeliczalne sumy i przecięcia. Nie jest jednak zamknięta ze względu na dopełnienia. Zbiory analityczne, których dopełnienia są także analityczne są zbiorami borelowskimi (Twierdzenie Suslina). Dla dowolnego przekształcenia borelowskiego między dwiema standardowymi przestrzeniami borelowskimi zarówno obrazy, jak i przeciwobrazy zbiorów analitycznych są analityczne. Więcej informacji na temat zbiorów analitycznych i przestrzeni borelowskich oraz dowody przytoczonych tu faktów można znaleźć w książce A. Kechrisa [Ke]. 2.2 Przestrzenie Effrosa F(E), V(E) i H(E) Ważnym pojęciem, które pozwala rozpatrywać rodziny ośrodkowych przestrzeni Banacha i relacje między nimi z punktu widzenia deskryptywnej teorii mnogości jest struktura borelowska Effrosa, wprowa-

2.2. PRZESTRZENIE EFFROSA F(E), V(E) I H(E) 9 dzona w pracy Effrosa [Eff]. Poniżej wyjaśniam najważniejsze dla nas fakty związane z tym pojęciem. Dla dowolnej przestrzeni topologicznej E symbolem F(E) będę oznaczać przestrzeń borelowską niepustych, domkniętych podzbiorów E, wyposażoną w σ-ciało generowane przez zbiory postaci B U = {F F(E) :F U }, (2.1) gdzie U jest zbiorem otwartym w E. OkreślonetaknaF(E) σ-ciało nazywamy strukturą borelowską Effrosa, a przestrzeń F(E) przestrzenią borelowską Effrosa. Uwaga. Gdy topologia przestrzeni E ma bazę przeliczalną, wówczas we wzorze (2.1) wystarczy ograniczyć się do U należących do dowolnej bazy topologii przestrzeni E. Jeśli dodatkowo przestrzeń E jest metryzowalna w sposób zupełny, przestrzeń Effrosa F(E) jest standardową przestrzenią borelowską, zob. [Ke], Theorem 12.6. Dla dowolnej ośrodkowej przestrzeni Banacha E niech V(E) F(E) będzie zbiorem, którego elementami są domknięte podprzestrzenie liniowe przestrzeni E. Udowodnię teraz następujący fakt: Twierdzenie 2.2.1. Zbiór V(E) jest borelowski w F(E), zatem przestrzeń V(E) wyposażona w indukowaną strukturę borelowską jest standardową przestrzenią borelowską. Dowód. Przestrzeń E jest przestrzenią metryczną ośrodkową, więc jej topologia ma przeliczalną bazę B. NiechponadtoC będzie przeliczalną bazą prostej rzeczywistej R. ZbiórF F(E) nie jest podprzestrzenią liniową E gdy jest pusty, lub gdy istnieją f,g F takie, że f + g F, lub też gdy istnieją f F i t R, dla których tf F. Jeśli f,g F i f + g F, wówczas, ponieważ F E jest domknięte, istnieje W B, dla którego f + g W oraz W F =. Z ciągłości dodawania w przestrzeni Banacha E wynika istnienie U, V B takich, że f U, g V (zatem U F i V F ) orazu + V W,gdzie U + V = {u + v : u U, v V }. Na odwrót, jeśli istnieją zbiory U, V, W B spełniające warunki U F, V F, W F = i U + V W, wówczas zbiór F nie jest zamknięty ze względu na dodawanie. Analogicznie brak zamkniętości zbioru F ze względu na mnożenie przez skalar jest równoważny istnieniu zbiorów U, W B oraz V C takich, że U F, V, W F = i VU W,gdzie VU = {ru : r V,u U}. Zbiór elementów F(E) nie będących podprzestrzeniami liniowymi E może być zatem zapisany w postaci F(E) \V(E) ={ } {F : F U } {F : F V } {F : F W = } (U,V,W ) (U,V,W ) {F : F U } {F : F W = },

10ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE BORELOWSKIE, ZBIORY ANALITYCZNE I PRZESTRZENIE EFFROSA gdzie pierwsza suma przebiega po trójkach (U, V, W ) B B B takich, że U + V W,adruga po trójkach (U, V, W ) B C B takich, że VU W oraz V. Obie te sumy są przeliczalne, składniki są borelowskie, więc F(E) \V(E) jest zbiorem borelowskim. Ostatecznie, zbiór V(E) jest borelowski w standardowej przestrzeni borelewskiej F(E). Po wyposażeniu go w indukowaną strukturę podprzestrzeni staje się więc standardową przestrzenią borelowską. Niech C(2 N ) będzie przestrzenią Banacha funkcji ciągłych na zbiorze Cantora. Przestrzeń ta jest uniwersalna w klasie ośrodkowych przestrzeni Banacha, tzn. C(2 N ) jest ośrodkowa i dla każdej ośrodkowej przestrzeni Banacha E istnieje domknięta podprzestrzeń liniowa C(2 N ) izomorficzna z E. Pozwala to, dla dowolnej ośrodkowej przestrzeni Banacha E, taktować przestrzeń V(E) jako zbiór borelowski w V(C(2 N )), identyfikując E z pewną kopią E w C(2 N ). Niech C(X) oznacza algebrę funkcji ciągłych o wartościach rzeczywistych, określonych na zwartej przestrzeni topologicznej X, wyposażoną w normę supremum. Algebra C(X) ma jedynkę funkcję 1 X tożsamościowo równą 1. PodalgebręalgebryC(X) będę nazywał podalgebrą z jedynką, jeśli zawiera funkcję 1 X. Jeśli E = C(X), symbolemh(e) oznaczać będziemy podzbiór V(E) złożony z domkniętych podalgebr z jedynką w C(X). Twierdzenie 2.2.2. Dla E = C(X), H(E) jest zbiorem borelowskim w V(E), a więc jest standardową przestrzenią borelowską, z indukowaną strukturą borelowską. Dowód. Niech B będzie przeliczalną bazą topologii przestrzeni E. ZbiórF V(E) nie jest podalgebrą z jedynką algebry E, gdy nie jest zamknięty ze względu na mnożenie lub nie zawiera 1 X. Podobnie jak w dowodzie Twierdzenia 2.2.1, brak zamkniętości zbioru F ze względu na mnożenie jest równoważne istnieniu U, V, W B takich, że U F, V F, W F = oraz UV W. Zbiór F nie zawiera funkcji 1 X wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje takie U B, żeu F = i 1 X U. Zbiór V(E) \H(E) może być więc zapisany w postaci V(E) \H(E) = {F : F U } {F : F V } {F : F W = } (U,V,W ) {F : F U = }, U gdzie pierwsza suma przebiega po trójkach (U, V, W ) B B B takich, że UV W, a druga po zbiorach U B zawierających 1 X. Dowodzi to borelowskości H(E) w V(E), a więc i standardowości H(E).

2.3. RELACJA IZOMORFIZMU NA V(E) 11 Ponieważ w dalszej części pracy będę rozważał głównie algebrę E = C(2 N ), wygodnie jest więc ustalić następujące oznaczenia F = F(C(2 N )), V = V(C(2 N )) oraz H = H(C(2 N )). 2.3 Relacja izomorfizmu na V(E) Dwie przestrzenie Banacha nazywamy izomorficznymi, gdy są liniowo homeomorficzne. Niech R E będzie relacją izomorfizmu na V(E), to znaczy para przestrzeni Banacha (L, M) V(E) V(E) jest wrelacjir E wtedy i tylko wtedy, gdy przestrzenie L i M są izomorficzne. Deskryptywną charakteryzację relacji R E jako podzbioru produktu V(E) V(E) podaje następujące, pochodzące od Bossarda twierdzenie ([Bo] Theorem 2). Twierdzenie 2.3.1. (Bossard) Dla dowolnej ośrodkowej przestrzeni Banacha E relacja izomorfizmu R E określona na przestrzeni Effrosa V(E) jest analitycznym podzbiorem produktu V(E) V(E). Ponieważ w pracy Bossarda [Bo] nie ma uzasadnienia tego faktu, podaję poniżej szkic dowodu. Niech S V(E) V(E) V(E E) będzie zbiorem trójek (L, M, N), dla których N jest zanurzonym w E E wykresem pewnego izomorfizmu między przestrzeniami L i M. Ponieważ R E jest rzutem zbioru S na pierwsze dwie współrzędne, więc wystarczy pokazać, że S jest borelowskim podzbiorem produktu V(E) V(E) V(E E). Zauważmy w tym celu, że trójka (L, M, N) jest elementem zbioru S gdy spełnia następujące warunki: i) dla każdego zbioru otwartego V E przecinającego podprzestrzeń M istnieje otwarte U E takie, że U L, N (U Int(E \ V )) = oraz N (U V ), ii) dla każdego zbioru otwartego U E przecinającego podprzestrzeń L istnieje otwarte V E takie, że V M, N (Int(E \ U) V )= oraz N (U V ), iii) dla dowolnego zbioru otwartego V E takiego, że V M = przecięcie N (E V ) jest zbiorem pustym, iv) dla dowolnego zbioru otwartego U E takiego, że U L = przecięcie N (U E) jest zbiorem pustym,

12ROZDZIAŁ 2. PRZESTRZENIE BORELOWSKIE, ZBIORY ANALITYCZNE I PRZESTRZENIE EFFROSA przy czym wystarczy ograniczyć się do zbiorów U i V będących elementami dowolnej przeliczalnej bazy topologii przestrzeni E. Istotną rolę w sprawdzeniu, że wymienione warunki charakteryzują zbiór S odgrywa zupełność przestrzeni E oraz liniowość N. Zbiór S można zatem opisać używając jedynie przeliczalnych sum i przecięć zbiorów borelowskich. Dowodzi to tezy twierdzenia.

Rozdział 3 Indeks Cantora-Bendixsona i indeksy parametryzowalne 3.1 Liczby porządkowe Liczbę porządkową będę utożsamiać z uporządkowanym zbiorem wszystkich liczb porządkowych mniejszych od niej, tzn. ξ = {α : α < ξ}. Najmniejszą nieskończoną liczbę porządkową, typ porządkowy zbioru liczb naturalnych, będę oznaczać symbolem ω, a najmniejszą liczbę nieprzeliczalną, a więc zbiór wszystkich liczb porządkowych przeliczalnych symbolem ω 1. Każda liczba porządkowa ξ może być traktowana jako przestrzeń topologiczna. Jej elementami są liczby porządkowe mniejsze od ξ natomiast topologia jest określona przez bazę składającą się z przedziałów postaci (α, β) i [0,β), gdzieα<β ξ. Jest to tak zwana topologia porządkowa. Przestrzeń postaci ξ +1,gdzieξ < ω 1 jest przeliczalną przestrzenią zwartą. Z kolei każda przeliczalna przestrzeń zwarta jest homeomorficzna z przestrzenią postaci ω ξ n +1,gdzieξ < ω 1 i n<ω. Indeks Cantora-Bendixsona (patrz część 3.2) takiej przestrzeni jest równy ξ, ajejξ-ta pochodna jest zbiorem składającym się z n punktów. Dowód tego faktu znaleźć można w książce Semadeniego [Se]. Następujące twierdzenie Bessagi i Pełczyńskiego, pochodzące z pracy [B-P], będzie odgrywało istotną rolę w dowodzie Twierdzenia 1.1. Twierdzenie 3.1.1. (Bessaga, Pełczyński) Dla dowolnych przeliczalnych, nieskończonych liczb porządkowych ξ i ζ przestrzenie Banacha C(ξ +1) i C(ζ +1) są izomorficzne wtedy i tylko wtedy, gdy ξ<ζ ω oraz ζ<ξ ω. Potrzebny nam będzie także następujący prosty fakt, opisujący przestrzenie sprzężone (C(ξ +1)) 13

14 ROZDZIAŁ 3. INDEKS CANTORA-BENDIXSONA I INDEKSY PARAMETRYZOWALNE dla ξ przeliczalnych. Twierdzenie 3.1.2. Dla dowolnej przeliczalnej liczby porządkowej ξ ω przestrzeń (C(ξ +1)) jest izomorficzna z l 1. Szkic dowodu. Przestrzeń ξ+1 jest zwarta, więc w myśl twierdzenia Riesza (C(ξ+1)) jest izomorficzna z przestrzenią ograniczonych, przeliczalnie addytywnych, regularnych miar rzeczywistych na ξ +1. Ponieważ ξ +1 jest przeliczalna, więc wszystkie jej podzbiory są borelowskie, a miary przeliczalnie addytywne są regularne i atomowe, tzn. wyznaczone przez wartości na zbiorach jednoelementowych. Zatem każdą taką miarę można utożsamić z funkcją o wartościach rzeczywistych określoną na ξ +1, dla której suma modułów jej wartości jest skończona. Obserwacje te pozwalają utożsamiać przestrzeń (C(ξ +1)) z l 1. Zbiór A ω 1 nazywamy c.u.b. zbiorem gdy jest nieprzeliczalny oraz domknięty w ω 1,rozpatrywanej z topologią porządkową. Przecięcie dowolnych dwóch c.u.b. podzbiorów ω 1 (a nawet dowolnej przeliczalnej rodziny c.u.b. zbiorów) jest c.u.b. zbiorem. Niech Λ ω 1 będzie zbiorem przeliczalnych liczb porządkowych ξ takich, że ξ = ω ξ. Oczywiście zbiór Λ jest domknięty w ω 1. Ponadto dla dowolnej przeliczalnej liczby porządkowej ξ liczba lim(ξ,ω ξ,ω ωξ,...) ξ jest elementem zbioru Λ, który jest wobec tego nieograniczony w ω 1.Takwięc Λ jest c.u.b. zbiorem. Jeżeli λ Λ, ξ<λin<ω,to(ω ξ n) ω (ω ξ+1 ) ω = ω (ξ+1)ω ω ωξ+1ω = ω ωξ+2 ω ωλ = ω λ i z Twierdzenia 3.1.1 otrzymujemy następujący Wniosek 3.1.3. Dla dowolnych λ Λ, ξ<λi n<ωprzestrzenie Banacha C(ω λ +1) i C(ω ξ n +1) nie są izomorficzne. 3.2 Hiperprzestrzenie oraz pochodna i indeks Cantora-Bendixsona Dla dowolnej ośrodkowej przestrzeni metrycznej X jej hiperprzestrzenią K(X) nazywamy przestrzeń zwartych podzbiorów X z metryką Hausdorffa, zob. [Ke], 4.F. Jeśli X jest przestrzenią ośrodkową, zupełną, wówczas K(X) teżmatąwłasność. GdyX jest przestrzenią zwartą, struktura borelowska hiperprzestrzeni K(X) jest identyczna ze strukturą Effrosa opisaną w części 2.2. W dalszej części pracy szczególną rolę będzie odgrywać hiperprzestrzeń K([ 1, 1] N ) kostki Hilberta, dla oznaczenia której rezerwuję literę K.

3.3. INDEKSY PARAMETRYZOWALNE 15 Dla dowolnego K K(X) pochodną Cantora-Bendixsona zbioru K nazywamy zbiór K K(X) wszystkich punktów skupienia zbioru K. PonieważK jest domknięte w X, więck K. Ogólniej, jeśli ξ jest liczbą porządkową, dla dowolnego K K(X) definiujemy indukcyjnie ξ-tą pochodną Cantora- Bendixsona D ξ CB (K) w następujący sposób: D0 CB (K) =K, Dξ CB (K) =(Dζ CB (K)) gdy ξ = ζ +1 oraz D ξ CB (K) = ζ<ξ Dζ CB (K) gdy ξ jest liczbą graniczną. Pozaskończony ciąg {D ξ CB (K)} ξ zwartych podzbiorów przestrzeni X jest zstępujący, więc od pewnego miejsca stabilizuje się, tzn. D ξ CB (K) =Dξ+1 CB (K) =..., dla pewnej liczby porządkowej ξ. Liczbaξ jest wówczas przeliczalna, a zbiór D ξ CB (K) jest albo pusty, albo w sobie gęsty, czyli każdy jego element jest jego punktem skupienia. Indeksem Cantora-Bendixsona na hiperprzestrzeni K(X) nazywamy przekształcenie δ CB : K(X) ω 1 { } takie, że δ CB (K) jest najmniejszą liczbą porządkową ξ spełniającą warunek D ξ+1 CB (K) =, jeślitakieξ istnieje, lub δ CB(K) =, jeślid ξ CB (K) dla każdej liczby porządkowej ξ. oraz W dalszym ciągu przydatne będą następujące oznaczenia: K < (X) ={K K(X) :δ CB (K) < } K < = K < ([ 1, 1] N ). Lemat 3.2.1. K < jest rodziną zwartych, przeliczalnych podzbiorów kostki Hilberta [ 1, 1] N. Dowód. Niech B będzie przeliczalną bazą topologii kostki [ 1, 1] N. Gdy K Kjest zbiorem przeliczalnym, wówczas jest on homeomorficzny z pewną liczbą porządkową postaci ω ξ n +1,gdzieξ<ω 1, n<ωiwtedyδ CB (K) =ξ (patrz część 3.1). Zatem K K <. Niech teraz K Kbędzie nieprzeliczalne. Oznaczmy przez B K rodzinę tych elementów bazy B, których przecięcie ze zbiorem K jest przeliczalne. Wówczas K \ U B K U K jest nieprzeliczalnym, domkniętym, w sobie gęstym podzbiorem K. Zatemδ CB (K) = i K K < 3.3 Indeksy parametryzowalne Przytoczę teraz pewne fakty i pojęcia pochodzące z prac [Ch-P] i [CGP], które będą potrzebne w dalszej części pracy, stanowiąc podstawowe narzędzie wykorzystywane w dowodzie Twierdzenia 1.1. Niech E będzie ośrodkową przestrzenią metryczną. Funkcję δ : E ω 1 nazywać będę indeksem parametryzowalnym, jeśli istnieje zupełna metryczna przestrzeń M, ciągłasurjekcjaπ : M E (parametryzacja indeksu δ) orazrodzina{p ξ } ξ ω1 podzbiorów M, spełniające następujące warunki:

16 ROZDZIAŁ 3. INDEKS CANTORA-BENDIXSONA I INDEKSY PARAMETRYZOWALNE i) P ξ są parami rozłączne i M = ζ ω 1 P ζ, ii) ζ ξ P ζ jest podzbiorem ośrodkowym i domkniętym w M, dlaξ ω 1, iii) ζ ξ P ζ = ζ<ξ P ζ, dla każdej granicznej liczby porządkowej ξ ω 1, iv) (δ π) 1 ({ξ}) =P ξ i ζ<ξ (δ π) 1 ({ξ}) = ζ<ξ P ξ,dlaξ z pewnego c.u.b. zbioru w ω 1. Ważnym przykładem indeksu parametryzowalnego jest opisany w części 3.2 indeks Cantora-Bendixsona δ CB : K < (X) ω 1,gdzieX jest przestrzenią zwartą. W pracy [Ch-P] J. Chaber i R. Pol dowiedli następujące twierdzenie dotyczące indeksów parametryzowalnych. Twierdzenie 3.3.1. Niech δ : E ω 1 będzie indeksem parametryzowalnym określonym na ośrodkowej przestrzeni metrycznej E iniecha będzie zbiorem suslinowskim w E. Ponadto, niech Z A przecina δ 1 ({ξ}) dla każdego ξ z pewnego c.u.b. podzbioru ω 1. Wówczas istnieje c.u.b. zbiór Θ ω 1 taki, że dla każdego ξ Θ, każdy zbiór typu F σ zawierający A δ 1 ({ξ}) przecina zbiory Z α<ξ δ 1 ({α}) oraz Z α>ξ δ 1 ({α}).

Rozdział 4 Przygotowanie do dowodu: przekształcenie Φ W tym rozdziale określę przekształcenie borelowskie Φ:H Ktakie, że dla każdego H H, algebryh i C(Φ(H)) są izomorficzne. Istotnym elementem tej konstrukcji jest następujący wniosek z twierdzenia Kuratowskiego i Rylla-Nardzewskiego o selekcjach borelowskich (zob. [Ke], Theorem 12.13). Twierdzenie 4.1. Niech E będzie ośrodkową przestrzenią Banacha. Istnieje wówczas ciąg funkcji borelowskich e n : F(E) E takich, że dla każdego niepustego F F(E) zbiór {e n (F ):n N} jest gęsty w F. Twierdzenie to pozwala określić funkcje borelowskie d n : H C(2 N ) takie, że dla każdej algebry H Hzbiór {d n (H) :n N} jest gęstym podzbiorem kuli jednostkowej w H. Niech bowiem k : H Fbędzie przekształceniem przyporządkowującym elementom H ich kule jednostkowe i niech e n : F C(2 N ) będą funkcjami otrzymanymi przez zastosowanie Twierdzenia 4.1 do przestrzeni E = C(2 N ). Wówczas przekształcenia d n można określić formułą d n = e n k. Przekształcenia te są borelowskie, gdyż zarówno e n jak i k są borelowskie. Dla uproszczenia zapisu przyjmijmy d H n = d n(h). Określam teraz przekształcenie Φ:H Kwzorem Φ(H) ={(d H 1 (x),dh 2 (x),...) [ 1, 1]N : x 2 N }, (4.1) przy czym inkluzja Φ(H) [ 1, 1] N jest konsekwencją nierówności d H i 1, a niepustość i zwartość Φ(H) wynika z tego, że jest to obraz niepustego, zwartego zbioru 2 N przy przekształceniu ciągłym x (d H 1 (x),dh 2 (x),...). 17

18 ROZDZIAŁ 4. PRZYGOTOWANIE DO DOWODU: PRZEKSZTAŁCENIE Φ Dowód własności przekształcenia Φ, które będą nam potrzebne, rozbiję na kilka lematów. Dla dowolnej algebry H Hokreślmy relację równoważności H 2 N 2 N,przyjmując x 1 H x 2 h H h(x 1 )=h(x 2 ) dla x 1,x 2 2 N. (4.2) Lemat 4.2. Niech H H. Wówczas przestrzeń Φ(H) jest homeomorficzna z przestrzenią ilorazową 2 N / H. Dowód. Określam przekształcenie f :2 N / H Φ(H) wzorem f([x]) = (d H 1 (x),dh 2 (x),...). Z definicji relacji H izbioruφ(h) wynika, że f jest dobrze określoną surjekcją. Jeśli f([x 1 ]) = f([x 2 ]), to d H i (x 1)=d H i (x 2) dla i N oraz, z gęstości {d H i : i N} w kuli jednostkowej w H, h(x 1 )=h(x 2 ) dla h H, czyli [x 1 ]=[x 2 ].Zatemf jest także przekształceniem różnowartościowym. Przestrzeń 2 N / H jest zwarta, a Φ(H) jest przestrzenią Hausdorffa, więc aby dowieść, że f jest homeomorfizmem wystarczy pokazać, że jest funkcją ciągłą. Rozpatrzmy podzbiory przestrzeni Φ(H) postaci A U,k =Φ(H) ([ 1, 1] k 1 U [ 1, 1] N ),gdzieu jest otwarty w [ 1, 1] oraz k N. Φ(H) jest podprzestrzenią kostki Hilberta [ 1, 1] N,więczbioryA U,k tworzą podbazę topologii Φ(H). Zbiory B U,k = {x 2 N : d H k (x) U} są otwarte w 2N, gdyż d H k : 2 N [ 1, 1] są funkcjami ciągłymi oraz nasycone ze względu na relację H (to znaczy x 1 B U,k, x 1 H x 2 pociąga x 2 B U,k ), więc przeciwobrazy f 1 (A U,k )={[x] 2 N / H : x B U,k } są otwarte w 2 N / H. To kończy dowód lematu. Lemat 4.3. Dla dowolnego H Halgebra C(2 N / H ) jest izometrycznie izomorficzna z algebrą H. Dowód. Określam żądany izomorfizm ψ : H C(2 N / H ) przyjmując dla h H i [x] 2 N / H ψ(h)([x]) = h(x). Z definicji (4.2) relacji H, określenie to nie zależy od wyboru x. Aby dla ustalonego h dowieść ciągłości odwzorowania ψ(h) :2 N / H R, rozważmy dowolny zbiór otwarty U R. Zbiór {x 2 N : ψ(h)([x]) U} = {x 2 N : h(x) U} jest otwarty w 2 N i nasycony ze względu na relację H, zatem zbiór (ψ(h)) 1 (U) ={[x] 2 N / H : ψ(h)([x]) U} jest otwarty. Tak więc przekształcenie ψ(h) jest ciągłe i ψ jest dobrze określone. Oczywiście, ψ jest zachowującym normę homomorfizmem algebr (obie algebry są wyposażone w normę supremum). Zauważmy ponadto, że ψ(h) jest domkniętą podalgebrą C(2 N / H ) zawierającą wszystkie funkcje stałe i rozdzielającą elementy 2 N / H. Z twierdzenia Stone a-weierstrassa ψ(h) =C(2 N / H ), czyli ψ jest także surjekcją.

19 Podsumowując, ψ jest zachowującym normę izomorfizmem algebr, a więc algebry H i C(2 N / H ) są izometrycznie izomorficzne. Z Lematów 4.2 i 4.3 otrzymujemy natychmiast Wniosek 4.4. Dla dowolnego H H, algebry C(Φ(H)) i H są izometrycznie izomorficzne. Lemat 4.5. Niech h :2 N X będzie ciągłym przekształceniem zbioru Cantora na przestrzeń topologiczną Hausdorffa X. Wówczas, dla algebry Banacha H h = {f h : f C(X)}, przestrzeniex i 2 N / Hh są homeomorficzne. Dowód. Zauważmy, że relacja Hh utożsamia te punkty zbioru Cantora, na których funkcja h przyjmuje tą samą wartość. Istotnie, jeżeli x 1,x 2 2 N oraz h(x 1 )=h(x 2 ), wówczas oczywiście f h(x 1 )=f h(x 2 ) dla każdego f C(X) i x 1 Hh x 2. Jeśli z kolei h(x 1 ) h(x 2 ), wtedy z normalności przestrzeni zwartej X istnieje funkcja f C(X) taka, że f(h(x 1 )) f(h(x 2 )) ipara(x 1,x 2 ) nie jest w relacji Hh. Ponieważ zbiór Cantora 2 N jest przestrzenią zwartą, a funkcja h jest surjekcją, więc przestrzenie X i 2 N / Hh są homeomorficzne. Lemat 4.6. Przekształcenie Φ:H Kokreślone formułą (4.1) jest borelowskie. Dowód. Niech M 2 N będzie przeliczalnym, gęstym podzbiorem zbioru Cantora. Strukturą borelowską hiperprzestrzeni K([ 1, 1] N ) kostki Hilberta jest struktura Effrosa generowana przez zbiory B U1,...,U k = {K K([ 1, 1] N ):K (U 1 U k [ 1, 1] N ) }, gdzieu 1,...,U k [ 1, 1] otwarte, k N (patrz części 2.2 i 3.2). Algebra H Hjest elementem przeciwobrazu Φ 1 (B U1,...,U k ) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje x 2 N takie, że d H 1 (x) U 1,d H 2 (x) U 2,...,d H k (x) U k. Ponieważ funkcje d H i są ciągłe, a zbiór M jest gęsty w 2 N, więc istnienie x 2 N takiego, że d H 1 (x) U 1,d H 2 (x) U 2,...,d H k (x) U k jest równoważne istnieniu x M mającego tą własność. Zatem Φ 1 (B U1,...,U k )= x M {H H: dh 1 (x) U 1,d H 2 (x) U 2,...,d H k (x) U k} = k x M i=1 {H H: dh i (x) U i} Dla ustalonego x 2 N zbiory U i,x = {H H: d H i (x) U i} są borelowskie, ponieważ są przeciwobrazami zbiorów otwartych U i przy przekształceniu, będącym złożeniem funkcji borelowskiej H d H i i ciągłej ewaluacji f f(x). Ostatecznie, zbiór Φ 1 (B U1,...,U k ) jest borelowski jako przeliczalna suma skończonych przecięć zbiorów borelowskich U i,x. To kończy dowód lematu.

20 ROZDZIAŁ 4. PRZYGOTOWANIE DO DOWODU: PRZEKSZTAŁCENIE Φ

Rozdział 5 Dowód głównego wyniku Zauważmy, że dla dowodu Twierdzenia 1.1 wystarczy ograniczyć się do przypadku E = C(2 N ). Jeśli bowiem E jest dowolną ośrodkową przestrzenią Banacha, wówczas, dzięki uniwersalności C(2 N ),można traktować E jako domkniętą podprzestrzeń C(2 N ).ZbiórV(E) jest wówczas borelowski w przestrzeni V(C(2 N )), azatemzbióra jest w niej analityczny (zob. część 2.2) i spełnia założenia Twierdzenia 1.1 dla E = C(2 N ). Na mocy Twierdzenia 2.2.1 przestrzeń V jest standardową przestrzenią borelowską, czyli jej struktura borelowska jest σ-algebrą generowaną przez pewną ośrodkową, metryzowalną w sposób zupełny topologię. W dalszym ciągu będę traktował V jako ośrodkową, zupełną przestrzeń metryczną. Niech R = R C(2 N ) V Vbędzie relacją izomorfizmu między należącymi do V przestrzeniami Banacha. Ponieważ, na mocy Twierdzenia 2.3.1 R jest zbiorem analitycznym w V V, więczbiór R (V H) jest analityczny w V H. Przyjmijmy R =(Id V Φ)(R (V H)), gdzie Φ jest przekształceniem określonym wzorem (4.1), a Id V jest identycznością na V. R jest zbiorem analitycznym w V Kjako obraz zbioru analitycznego w standaedowej przestrzeni borelowskiej V H przy przekształceniu borelowskim (Id V Φ) : V H V K. Z określenia zbioru R oraz Wniosku 4.4 wynika, że jego elementami są dokładnie te pary (L, K) V K, dla których L jest izomorficzne z C(K) oraz istnieje algebra H Htaka, że Φ(H) =K. Na przestrzeni V Kokreślam indeks δ : V K ω 1 { }wzorem δ(l, K) =δ CB (K), (5.1) gdzie δ CB jest indeksem Cantora-Bendixsona na K, opisanym w części 3.2. Indeks δ V K< : V K < ω 1 21

22 ROZDZIAŁ 5. DOWÓD GŁÓWNEGO WYNIKU jest parametryzowalny (zob. część 3.3). Jeśli bowiem π : M K < jest parametryzacją indeksu δ CB, to Id V π : V M V K < jest parametryzacją indeksu δ V K<. Dowód Twierdzenia 1.1 (przypadek E = C(2 N )). Niech A będzie zbiorem analitycznym w V, zawierającym izomorficzne kopie wszystkich przestrzeni Banacha, których przestrzeń sprzężona jest izomorficzna z l 1 iniech  = R (A K). Zbiór  jest analityczny w V K. Ponieważ, jak zauważyliśmy w Twierdzeniu 3.1.2, dla dowolnej przeliczalnej liczby porządkowej ξ>0, przestrzenie C(ω ξ +1)mają przestrzeń sprzężoną l 1,więczbiórA zawiera element L ξ izomorficzny z C(ω ξ +1). Ponadto istnieje algebra H ξ Htaka, że Φ(H ξ ) jest homeomorficzne z ω ξ +1. Istotnie, możemy określić H ξ jako {f h : f C(ω ξ +1)}, gdzieh :2 N ω ξ +1jest ciągłą surjekcją. Homeomorficzność Φ(H ξ ) i ω ξ +1 wynika z Lematów 4.2 i 4.5. Mamy więc (L ξ, Φ(H ξ ))  oraz δ(l ξ, Φ(H ξ )) = ξ. Zatem dla każdej nieskończonej liczby porządkowej ξ ω 1 przecięcie  δ 1 ({ξ}) jest niepuste i spełnione są założenia Twierdzenia 3.3.1 dla E = V K <, indeksu δ V K< oraz A = Z =  (V K < ). Teza Twierdzenia 3.3.1 mówi, że istnieje c.u.b. zbiór Θ ω 1 taki, że dla wszystkich ξ Θ każdy zbiór typu F σ zawierający  δ 1 ({ξ}) przecina  ζ<ξ δ 1 ({ζ}). Niech Λ będzie zbiorem określonym w 3.1. Pokażę, że jeżeli 0 <ξ Λ Θ, tozbióra zawiera nieprzeliczalnie wiele izomorficznych kopii C(ω ξ +1). To zakończy dowód twierdzenia, gdyż zbiór Λ Θ jest niepusty jako c.u.b. zbiór. Załóżmy przeciwnie, że istnieje 0 <ξ Λ Θ takie, że zbiór I ξ = {L A: L jest izomorficzne z C(ω ξ +1)} jest przeliczalny. Zauważmy, że  δ 1 ({ξ}) I ξ K <. Niech bowiem (L, K)  δ 1 ({ξ}). Wówczas δ CB (K) =ξ i przestrzenie L i C(K) są izomorficzne. Oznacza to, że zbiór K jest homeomorficzny z ω ξ n+1 dla pewnego n<ωizgodnie z Twierdzeniem 3.1.1 przestrzenie L i C(K) są izomorficzne z C(ω ξ +1), czyli (L, K) I ξ K < Ponieważ zbiór I ξ K < V K < jest typu F σ izawieraâ δ 1 ({ξ}), więc musi istnieć ζ<ξ spełniające warunek (I ξ K < )  δ 1 ({ζ}). Ostatnie stwierdzenie oznacza, że istnieje L I ξ

23 izomorficzne z C(ω ζ n+1) dla pewnego n<ω.wtakimraziec(ω ξ +1) jest izomorficzne z C(ω ζ n+1), a to przeczy Wnioskowi 3.1.3. Otrzymana sprzeczność kończy dowód naszego twierdzenia.

24 ROZDZIAŁ 5. DOWÓD GŁÓWNEGO WYNIKU

Rozdział 6 Wnioski i komentarz do Twierdzenia 1.1 Selektorem dla rodziny {P i } i I parami rozłącznych podzbiorów dowolnego zbioru A nazywamy zbiór B A taki, że B i I P i oraz przecięcia B P i są jednoelementowe dla i I. Wniosek 6.1. Niech E będzie ośrodkową przestrzenią Banacha, zawierającą jako liniowe podprzestrzenie domknięte izomorficzne kopie wszystkich ośrodkowych przestrzeni Banacha, których przestrzenie sprzężone są izomorficzne z l 1. Niech ponadto L V(E) będzie rodziną wszystkich takich podprzestrzeni. Wówczas nie istnieje zbiór suslinowski w L, będący selektorem dla rodziny klas abstrakcji relacji izomorfizmu między elementami L. Dowód. Załóżmy, dążąc do sprzeczności, że S L jest suslinowskim selektorem, o którym mowa w sformułowaniu wniosku. Wówczas, z definicji zbioru suslinowskiego i podprzestrzeni borelowskiej podanych w części 2.1, wynika istnienie zbioru analitycznego A V(E) takiego, że A L = S. Zbiór A zawiera wówczas dokładnie po jednej izomorficznej kopii każdej przestrzeni Banacha, mającej przestrzeń sprzężoną izomorficzną z l 1. Przeczy to Twierdzeniu 1.1, kończąc dowód wniosku. Twierdzenie 1.1 i Wniosek 6.1 są związane z pewnymi rezultatami dotyczącymi konstytuent Łuzina oraz relacji homeomorfizmu między elementami hiperprzestrzeni zwartej przestrzeni metrycznej. Niech 2 Q będzie zbiorem Cantora wszystkich podzbiorów zbioru liczb wymiernych Q (każdy podzbiór utożsamiamy z jego funkcją charakterystyczną). Elementy 2 Q, traktowane jako podzbiory Q, są zbiorami uporządkowanymi. Rozważmy na 2 Q relację równoważności taką, że dwa elementy 2 Q są w relacji wtedy i tylko wtedy gdy mają ten sam typ porządkowy. Klasa abstrakcji dobrze uporządkowanego zbioru typu porządkowego α nosi nazwę α-tej konstytuenty Łuzina (patrz [Ku1], [Ke]). W pracy [Ka], V. G. Kanovei pokazał, odpowiadając na pytanie Łuzina, że żaden analityczny podzbiór 2 Q nie może przecinać każdej konstytuenty Łuzina w dokładnie jednym punkcie. Inny, prostszy 25

26 ROZDZIAŁ 6. WNIOSKI I KOMENTARZ DO TWIERDZENIA?? dowód tego faktu znajduje się w pracy [CGP]. Polega on na pokazaniu, że każdy zbiór analityczny w 2 Q przecinający każdą konstytuentę Łuzina musi mieć z którąś z nich nieprzeliczalną część wspólną. Analogiczne wyniki dotyczące pochodnej Cantora-Bendixsona są rozważane w pracy [Ch-P]. Dla dowolnej przestrzeni metrycznej zwartej X zawierającej zbiór Cantora rozważamy hiperprzestrzeń K(X) i relację homeomorfizmu między jej elementami. Z faktów opisanych w pracy wynika, że nie istnieje zbiór analityczny w K(X) przecinający każdą z klas abstrakcji tej relacji w dokładnie jednym punkcie. Co więcej, każdy zbiór analityczny przecinający wszystkie klasy abstrakcji zbiorów przeliczalnych ma nieprzeliczalne przecięcie z którąś z nich. Oba te fakty można udowodnić opierając się na Twierdzeniu 3.3.1 zastosowanym do naturalnych indeksów określonych na rozpatrywanych przestrzeniach: w pierwszym przypadku rozważa się indeks przyporządkowujący α-tej konstytuencie Łuzina liczbę porządkową α, natomiast w drugim indeks Cantora-Bendixsona. Niniejsza praca pokazuje, że podobne własności wykazuje relacja izomorfizmu między przestrzeniami Banacha mającymi ośrodkową przestrzeń sprzężoną.

Rozdział 7 Inny wariant dowodu Twierdzenia 1.1 Przedstawię teraz pewną modyfikację dowodu Twierdzenia 1.1, nie korzystającą z przekształcenia Φ opisanego w Rozdziale 4. Podobnie jednak jak poprzedni dowód, wykorzystuje ona pewne fakty z pracy [Ch-P], opisane w części 3.3. Idea modyfikacji oparta jest na następującej obserwacji. Przekształcenie Φ służy do zdefiniowania, a następnie uzasadnienia analityczności zbioru R, rozpatrywanego w Rozdziale 5. Pokażę, że omijając użycie przekształcenia Φ, zbiór R można zastąpić większym zbiorem złożonym z par (L, K) V K([ 1, 1] N ) takich, że przestrzenie L i C(K) są izomorficzne, przy czym z kolei wygodniej będzie posłużyć się hiperprzestrzenią zbioru Cantora 2 N, niż hiperprzestrzenią kostki Hilberta [ 1, 1] N. Możliwość takiej modyfikacji wynika z następujących lematów. Będziemy rozpatrywać zbiór Cantora z ustaloną metryką. Oznaczmy przez C(2 N, 2 N ) przestrzeń funkcji ciągłych zbioru Cantora w siebie, wyposażoną w metrykę supremum. Przestrzeń ta jest ośrodkową przestrzenią zupełną. Lemat 7.1. Każdemu niepustemu, domkniętemu podzbiorowi K zbioru Cantora 2 N można przyporządkować funkcję ciągłą f K :2 N K, spełniającą równość f K (x) =x dla x K, w taki sposób, że przyporządkowanie to, traktowane jako funkcja z K(2 N ) \ { } w C(2 N, 2 N ), jest borelowskie. Nie będę dowodził tego lematu, gdyż wymagałoby to dokładnego przyjrzenia się strukturze zbioru Cantora co, ze względu na uzupełniający charakter tego rozdziału, jest niecelowe. Ograniczę się jedynie do uwagi, że jako funkcje f K można wykorzystać retrakcje zbioru Cantora na zbiory K, opisane w książce [Ku2] Rozdział XVI 9. Lemat 7.2. Dla dowolnej funkcji h C(2 N, 2 N ) niech K h oznacza zbiór jej wartości. Wówczas przekształcenie T : C(2 N, 2 N ) V określone formułą T (h) ={f h : f C(K h )} jest borelowskie. 27

28 ROZDZIAŁ 7. INNY WARIANT DOWODU TWIERDZENIA?? Istotnie, rodzina zbiorów borelowskich w V jest σ-ciałem generowanym przez zbiory postaci {L V: L U }, gdzieu jest otwarte w C(2 N ) (patrz część 2.2). Łatwo sprawdzić, że przeciwobrazy takich zbiorów przy przekształceniu T są otwartymi podzbiorami przestrzeni C(2 N, 2 N ). Lematy 7.1, 7.2, 4.3 oraz 4.5 pozwalają nam rozważać funkcję borelowską ϕ : K(2 N ) \ { } V, (7.1) przyporządkowującą każdemu niepustemu zwartemu podzbiorowi K kostki Hilberta domkniętą podprzestrzeń liniową przestrzeni C(2 N ) izomorficzną z C(K). Funkcja ta przejmuje rolę przekształcenia Φ, określonego w Rozdziale 4, pozwala bowiem związać w regularny sposób elementy hiperprzestrzeni K(2 N ) z elementami przestrzeni V. Zakończę ten rozdział dowodem faktu, który pozwala na powtórzenie argumentów użytych w zamieszczonym w Rozdziale 5 dowodzie bez żadnych istotnych zmian. Lemat 7.3. Zbiór R = {(L, K) V K(2 N ):L jest izomorficzne z C(K)} (7.2) jest analityczny w V K(2 N ). Dowód. Rozważmy zbiór S K(2 N ) V V trójek (K, H, L) spełniających warunki: i) K, ii) H = ϕ(k), gdzieϕ : K(2 N ) \ { } V jest opisane w (7.1), iii) H jest izomorficzne z L. Tak określony zbiór S jest analityczny w K(2 N ) V V jako przecięcie dwóch zbiorów analitycznych: S 1 = {(K, H, L) K(2 N ) V V : H = ϕ(k)} oraz S 2 = {(K, H, L) K(2 N ) V V : H jest izomorficzne z L}. Analityczność zbioru S 1 wynika z borelowskości przekształcenia ϕ, natomiast analityczność S 2 ztwierdzenia 2.3.1. Niech π : K(2 N ) V V V K(2 N ) będzie rzutem na ostatnią i pierwszą współrzędną, to znaczy π(k, H, L) =(L, K). Wówczas przekształcenie π jest borelowskie oraz R = π(s). Dowodzi to analityczności zbioru R.

Bibliografia [B-P] [Bo] C. Bessaga, A. Pełczyński Spaces of continuous functions (IV) (On isomorphical classification of spaces of continuous functions), Studia Mathematica, 19(1960), 53 62. B. Bossard, Codages des espaces de Banach séparables. Familles analytiques ou coanalytiques d espaces de Banach, C. R. Acad. Sci. Paris, t.316, Série I (1993), 1005 1010. [CGP] J. Chaber, G. Gruenhage, R. Pol, On a perfect set theorem of A. H. Stone and N. N. Lusin s constituents, Fundamenta Mathematicae 148(1995), 309 318. [Ch-P] J. Chaber, R. Pol, On the Cantor-Bendixson derivative, resolvable ranks and perfect set theoremsofa.h.stone, Israel Journal of Mathematics 20(1999), 1 21. [Eff] [Ka] E. G. Effros, Convergence of closed subsets in a topological space, Proceedings of the American Mathematical Society 16(1965), 929 931. V. G. Kanovei, On uncountable sequences of sets determined by sieve operations, Doklady Akademii Nauk SSSR 257(1981), 808 812. [Ke] A. S. Kechris, Classical descriptive set theory, Springer Verlag, New York, 1995. [Ku1] K. Kuratowski, Topology, Vol. I, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1966. [Ku2] [K-M] [Se] K. Kuratowski, Wstęp do teorii mnogości i topologii, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1972. K. Kuratowski, A. Mostowski Teoria mnogości, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1978. Z. Semadeni, Banach spaces of continuous functions, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa, 1971. 29