LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI Ćwiczenie LP Projektowanie regulacji metoą linii pierwiastkowych Zaanie: Zaprojektować sposób stabilizowania owróconego wahała (rys.1) la małych ochyleń o położenia pionowego. Sygnałem sterującym ma być przyśpieszenie u= x/t wózka, którego masę można pominąć, a wielkością mierzoną ochylenie wahała o pionu θ. Wymagane ynamiczne wskaźniki jakości regulacji: czas ochozenia o nowego ochylenia zaanego (czas narastania opowiezi skokowej) t n 0.4s, czas ustalania (regulacji) t r s, opuszczalne przeregulowanie M p 15%. Wymagana okłaność statyczna: błą ustalony opowiezi skokowej e u 1%. Poane wymagania ynamiczne otyczące opowiezi skokowej przekłaają się na następujące położenia pary biegunów zespolonych sprzężonych ukłau II rzęu (powinny to być bieguny ominujące ukłau zamkniętego): 4.6 σ = =.3 (la tolerancji 1%) oraz t r ω 1.8 1 ζ t n =3.9, (gzie ζ=0.5 la M p =15%). θ x r y l śroek masy mg f x Rys.1. Schemat ukłau owróconego wahała (cienkiego pręta o masie m i ługości l) Ruch poziomy śroka masy pręta opisuje równanie: m ( x+ lsin θ ) = fx (1) t Poobnie ruch pionowy śroka masy pręta opisuje równanie: m ( l cos θ ) = ry mg, () t - 1 -
gzie r y jest siłą reakcji położa. Równanie momentów ziałających wzglęem śroka masy ma postać: θ x J sin cos sin cos = ryl θ fxl θ= mgl θ ml θ (3) t t Po postawieniu za f x i r y opowienich wyrażeń z (1) i () otrzymujemy: ( ) θ x J + ml = mgl sin θ ml cos θ (4) t t Dla cienkiego pręta o ługości l i masie m moment bezwłaności wzglęem śroka masy J = ml /3. W celu uproszczenia ynamiki jako sygnał wejściowy (sterujący) potraktujemy x przyspieszenie postawy = u( t), Powouje to obniżenie o rzęu moelu, ale ograniczenie t się tylko o opisu ruchu obrotowego wahała. Otrzymujemy nieliniowe równanie ynamiki ruchu obrotowego wahała: θ mgl ml sin θ+ cos θ u = 0 (5) t J J e gzie: J e =J+ml =4ml /3 jest momentem bezwłaności pręta wzglęem końca. Równanie zlinearyzowane w otoczeniu położenia pionowego θ=0 przyjmuje postać: θ a θ= bu, (6) t gzie parametry a = mgl / Je oraz b=ml/j e. Transmitancję o u o θ obiektu zlinearyzowanego można wtey zapisać jako: θ( s) b G( s) = = (7) U ( s) s a Obiekt taki jest niestabilny, co wyraża się obecnością bieguna s=a w prawej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej s. Jeżeli wprowazimy zapis w formie równań stanu ze zmiennymi stanu x 1 =θ, x =θ/t, to równania ynamiki obiektu można przestawić w postaci: x = Ax + Bu, y = Cx + Du (8) t gzie: x=[x 1 x ] T wektor stanu, y=θ - wyjście ukłau (wielkość mierzona i regulowana). Macierze ukłau: 0 1 0 A =, =, = [1 0], = 0 0 B C D (9) a b Uruchomienie ćwiczenia: Program realizacji ćwiczenia LP 1. Uruchomić MATLABa i przejść o foleru LP z wykorzystywanymi w ćwiczeniu plikami.. Uruchomić ostępny eytor (Worpa, Wor, eytor OpenOffice). 3. Z okna komen (Comman Winow) Matlaba uruchomić moel Simulinka lp.ml (rys.): >> lp 4. Skopiować moel Simulinka (menu: Eit->Copy moel) o eytora. e - -
I. Baanie ukłau z regulatorem P Transmitancja ukłau otwartego z moelem owróconego wahała zlinearyzowanym la małych ochyleń o położenia pionowego: Go () s = GR () s Gob() s = kp s b a przełącznik D iealne/d z inercją Rys.. Schemat blokowy Simulinka ukłau stabilizacji owróconego wahała z regulatorem PID Uwaga: W obliczeniach o transmitancji obiektu ołączony jest wzmacniacz o współczynniku wzmocnienia -1 i obliczenia są przeprowazane bez minusa w transmitancji obiektu i regulatora. Wartości k>0 (kp>0) opowiaają ujemnemu sprzężeniu zwrotnemu. 1. W oknie komen (Comman Winow) Matlaba wpisać parametry obiektu zaane przez prowazącego, np. a=3, b=1. Uruchomić skrypt wyznaczania linii pierwiastkowych: lp_p i poać kmin=0, kmax=00. Zarejestrować wykres linii pierwiastkowych (LP). Wartość parametru kp zmienia się liniowo. Ile linii pierwiastkowych jest na wykresie? Co oznacza rzasze lub gęstsze rozmieszczenie punktów na niektórych ocinkach linii pierwiastkowych? W pobliżu jakich punktów LP ma miejsce ten efekt?. Kierując się poleceniami z okna komen wskazać (kliknąć) na wykresie LP punkt na osi rzeczywistej (jeen z wóch biegunów rzeczywistych ukłau zamkniętego; wskazać punkt z zakresu (-3;-1)). - 3 -
3. Dla zaznaczonego punktu zanotować otrzymane w oknie komen wartości zmiennych selecte_point (współrzęne LP najbliżej zaznaczonego punktu) oraz ans (wartość współczynnik wzmocnienia kp la zaznaczonego bieguna). 4. Powtórzyć polecenie lp_p z kmin=0, kmax=00 i wskazać na wykresie LP punkt na osi urojonej (jeen z pary biegunów urojonych sprzężonych ukłau zamkniętego; wskazać punkt z zakresu (1j;5j)). 5. Dla zaznaczonego punktu zanotować otrzymane wartości zmiennych ans oraz selecte_point. 6. Przeprowazić wie symulacje ziałania ukłau zamkniętego (moelu lp.ml) i zarejestrować przebiegi czasowe la regulatora P z wartościami współczynnika wzmocnienia zanotowanymi w pkt. 3 i 5. Zanotowane wartości należy wpisywać w bloku kp w subsystemie REGULATOR. Rozpatrujemy regulator P, więc należy wyzerować współczynniki wzmocnienia gałęzi I i D regulatora wpisując w blokach: 1/Ti=0, T=0. Automatyczne opasowanie skali osi wykresów w oknie oscyloskopu następuje po naciśnięciu przycisku na belce menu okna. Wyniki ostatniej symulacji są zapamiętywane w zmiennej Matlaba - strukturze lp_ata i można je przestawić w oknie wykresu za pomocą polecenia (jest to plik skryptowy): plot_lp Na postawie otrzymanego przebiegu LP i przeprowazonych symulacji opowiezieć na pytanie: czy zastosowanie proporcjonalnego sprzężenia zwrotnego (regulatora P) umożliwia stabilizację ukłau zamkniętego? Czym różni się zachowanie ukłau zamkniętego w przypaku wóch biegunów rzeczywistych i pary biegunów urojonych sprzężonych? II. Baanie ukłau z iealnym regulatorem PD Transmitancja ukłau otwartego z iealnym regulatorem PD: Go () s = GR () s Gob() s = kp ( Ts + 1) s - 4 - b a Należy wyznaczyć położenie zera regulatora PD tak, aby linie pierwiastkowe przechoziły przez punkty (bieguny ukłau zamkniętego) o współrzęnych s 1 = -σ ± jω zapewniające żąane przeregulowanie Mp i czas narastania tn. 7. W oknie komen Matlaba uruchomić skrypt projektowy: lp_p_z i poać wymagane wskaźniki jakości regulacji: tn=0.4, Mp=15. Zanotować otrzymane w oknie komen wartości parametrów regulatora: czasu wyprzezenia T i współczynnika wzmocnienia kp, a także położenie zera transmitancji ukłau otwartego s o =-1/T. 8. Uruchomić skrypt wyznaczania LP: lp_p_i i poać wartość nastawy T wyznaczonej w pkt. 7. Zarejestrować otrzymany wykres linii pierwiastkowych (LP) w funkcji parametru kp (kp=0:0.5:400). 9. Kierując się poleceniami z okna komen wskazać (kliknąć) na wykresie punkt na linii pierwiastkowej w jenym z wymaganych (spełniających specyfikacje ynamiczne) położeń biegunów ukłau zamkniętego oznaczonym symbolami. 10. Zanotować poane w oknie komen położenia biegunów i zer ukłau otwartego z regulatorem (początków i końców LP) oraz wartość kp la punktu LP najbliżej zaznaczonego (przy okłanym wskazaniu powinna być równa obliczonej w pkt. 7) i położenia biegunów ukłau zamkniętego la tej wartości kp (zaznaczone znakami + na wykresie LP). Sprawzić, czy wartość współczynnika wzmocnienia kp punktu wskazanego na wykresie LP zgaza się z wartością wyznaczoną w pkt. 7. 11. Dla wartości parametrów T i kp regulatora otrzymanych w pkt. 7 zasymulować przebiegi czasowe w ukłazie (moel główny lp.ml Simulinka). Otrzymane wartości współczynników wstawić jako kp i T w bloku REGULATORA (parametr bloku 1/Ti=0). Przestawić wyniki na wykresie: plot_lp
Jak oanie zera regulatora PD zmieniło przebieg linii pierwiastkowych. Czy regulacja PD umożliwiła otrzymanie stabilnego ukłau zamkniętego? Czy linie pierwiastkowe przechozą przez położenia pary biegunów zespolonych sprzężonych zapewniających spełnienie przez ukła zamknięty wymagań ynamicznych? Czy otrzymany z symulacji przebieg opowiezi skokowej kąta ochylenia wahała o pionu spełnia wymagania ynamiczne otyczące przeregulowania Mp, czasu regulacji tr i czasu narastania tn? Jaka jest wartość błęu regulacji e u w stanie ustalonym i czy spełnia ona postawione w tym wzglęzie wymaganie? 1. (*) Powtórzyć symulację i zarejestrować wyniki la wukrotnie większej wartości współczynnika wzmocnienia regulatora kp. Skomentować, w jaki sposób zwiększenie kp wpłynęło na przebieg i wskaźniki jakości regulacji i amplituę sygnału sterującego? III. Baanie ukłau z regulatorem PD z inercją Z uwagi na fakt, że iealny człon różniczkujący nie jest realizowalny, w praktyce należy rozważyć ukła różniczkujący z inercją (różniczkujący rzeczywisty). Można la takiego ukłau założyć, że stała czasowa T=T / inercji jest np. =5 10 razy mniejsza o stałej T iealnego regulatora PD. W transmitancji ukłau otwartego: + 1 Ts 1 Ts + b b G s G s G s k k s + 1 s + 1 o() = R () ob() = 1 p + p T = s a T s a pojawia się trzeci biegun w punkcie s 3 = /T. Położenie zera regulatora zmienia się niewiele o czynnik (+1)/. 13. Uruchomić skrypt wyznaczania LP: lp_p_rz Poać wartość nastawy T wyznaczoną w pkt. 7 la iealnego regulatora PD oraz wartość zielnika, np. =5. Zanotować wartość stałej czasowej T=T/ poaną w oknie komen. Zarejestrować pełny wykres LP w funkcji parametru kp. 14. Kierując się poleceniami z okna komen wskazać na wykresie punkt na linii pierwiastkowej w jenym z wymaganych położeń biegunów ukłau zamkniętego. Zarejestrować wykres powiększony o obszaru takiego samego jak w pkt. 8. Ile linii pierwiastkowych jest na wykresie? 15. Zanotować poane w oknie komen położenia biegunów i zer ukłau otwartego z regulatorem (początków i końców LP) oraz wartość kp la punktu LP najbliżej zaznaczonego (powinna być zbliżona o wartości obliczonej w pkt. 7 la iealnego regulatora PD) i położenia biegunów ukłau zamkniętego la tej wartości kp (zaznaczone znakami + na wykresie LP). Porównać (na wykresach w tej samej skali) przebieg LP la regulatora PD z inercją (z pkt. 14) oraz la regulatora z iealnym ziałaniem D (z pkt. 8). Czy LP przechozą przez położenia (lub blisko) pary biegunów spełniających specyfikacje projektowe? Czy są to bieguny ominujące ukłau zamkniętego? Czy wartość parametru kp la zaznaczonego położenia wymaganego zmieniła się znacząco? O jakiej wartości kp (orientacyjnie) linie pierwiastkowe ukłau z regulatorem PD z inercją zaczynają obiegać o linii la regulatora z iealna częścią D? Czy położenie zera regulatora z inercją s o =-/[(+1)T] zmieniło się znacząco? 16. Przeprowazić w moelu lp.ml Simulinka symulację zachowania się ukłau la parametrów T i kp wyznaczonych w pkt. 7 la iealnego regulatora PD (1/Ti=0 jak poprzenio), ale z częścią różniczkującą D z inercją. W subsystemie REGULATOR ustawić przełącznik w położenie pracy D z inercją, a w bloku członu inercyjnego wpisać zanotowaną wartość stałej czasowej T=T/. Zarejestrować wyniki symulacji: plot_lp - 5 -
Czy przebieg regulacji różni się o wyniku otrzymanego w pkt. 11 la iealnego regulatora PD? 17. (*) Powtórzyć obliczenia projektowe i wyznaczanie LP jak w pkt. 13-15 linii la =10. Zarejestrować wyniki. Skomentować różnice wykresu LP i przebiegów czasowych z symulacji w porównaniu z wynikami otrzymanym w pkt. II la iealnego regulatora PD. IV. Baanie ukłau z iealnym regulatorem PID Doanie części całkującej I regulatora ma na celu sprowazenie o zera błęu regulacji w stanie ustalonym. Transmitancja ukłau otwartego z iealnym regulatorem PID: 1 b Go () s = GR () s Gob() s = kp + Ts + 1 Ts i s a Po sprowazeniu transmitancji regulatora o wspólnego mianownika: TT i s + Ts i + 1 b Go () s = GR () s Gob() s = kp Ts i s a Regulator PID mamy trzy parametry, a la poanych specyfikacji można są tylko wa równania projektowe: na część rzeczywistą sigma i urojoną omega położenia pary biegunów zespolonych sprzężonych ukłau zamkniętego zapewniających spełnienie specyfikacji projektowych. Zaanie nie ma jenoznacznego rozwiązania: jeną z nastaw regulatora PID trzeba przyjąć jako parametr wolny. 18. Projektowanie (obór nastaw) regulatora PID polega na numerycznym rozwiązaniu równania charakterystycznego ukłau zamkniętego la Ti zaanego przez prowazącego. Np. la Ti=1 w oknie komen należy wpisać (skopiować) polecenia: isp('dobieramy parametry iealnego reg. PID: Gr(s)= kp*(1/(ti*s) + T*s + 1)') Ti=1.0 T=fzero(@(T) pi_z(t,[a,b,ti]),0) kp=fzero(@(kp) pi_zk(kp,[a,b,ti,t]),0) zanotować wyznaczone wartości parametrów T i kp iealnego regulatora PID. Dla wyznaczonych parametrów ukła zamknięty ma parę biegunów w położeniach wynikających z poanych wymagań oraz trzeci biegun rzeczywisty. 19. Uruchomić skrypt wyznaczania LP: lp_pi_i 0. Poać wartości nastaw: przyjętą wartość Ti i wyznaczoną wartość T. Zarejestrować pełny wykres LP w funkcji parametru kp (kp=0:0.5:400). 1. Kierując się poleceniami z okna komen zaznaczyć na wykresie punkt na linii pierwiastkowej w miejscu oznaczonym symbolem. Zarejestrować wykres powiększony o obszaru takiego samego jak w pkt. 8.. Zanotować poane w oknie komen położenia biegunów i zer ukłau otwartego z regulatorem (początków i końców LP) oraz wartość kp la punktu LP najbliżej zaznaczonego (przy okłanym wskazaniu powinna być równa obliczonej w pkt. 18) i położenia biegunów ukłau zamkniętego la tej wartości kp (zaznaczone znakami + na wykresie LP). Czy wa biegunów spełniające specyfikacje projektowe są biegunami ominującymi ukłau zamkniętego? Gzie położony jest trzeci (rzeczywisty) biegun? Zwrócić uwagę na położenie zer ukłau otwartego (są to zera regulatora PID). 3. Dla otrzymanych wartości współczynników kp, Ti, T zasymulować przebiegi czasowe w ukłazie (okno lp Simulinka). Wartości kp, 1/Ti (owrotność!), T współczynników regulatora wpisać w opowienich blokach o takich nazwach w subsystemie REGULATOR. Przełącznik ma być ustawiony w położeniu pracy z iealnym członem D. Czy w opowiezi skokowej utrzymane są żąane wskaźniki jakości regulacji (zwrócić uwagę na wielkość przeregulowania i błą ustalony)? - 6 -
Jaki jest wpływ trzeciego bieguna ukłau zamkniętego na przebieg opowiezi skokowej (w porównaniu z zaprojektowanymi parametrami opowiezi skokowej ukłau -go rzęu)? 4. (*) Powtórzyć symulację i zarejestrować wyniki la wukrotnie większej wartości współczynnika wzmocnienia regulatora kp. Skomentować, w jaki sposób zwiększenie kp wpłynęło na przebieg i wskaźniki jakości regulacji i amplituę sygnału sterującego? 5. Powtórzyć obliczenia projektowe i wyznaczanie LP jak w o pkt. 18-3 la innej wartości Ti, np. Ti=0.5. Przeanalizować wpływ wartości Ti na przebieg linii pierwiastkowych i jakość regulacji. V. Baanie ukłau z regulatorem PID z inercją Poobnie jak w przypaku regulatora PD analizowanym w pkt. III w części D regulatora oajemy małą stałą czasową T=T/, gzie =5-10. Transmitancja ukłau otwartego: TT + 1 s T + T + s+ 1 G s G s G s k k s + 1 s s+ 1 i i 1 Ts b b o() = R () ob() = p 1 + + p Ts T = i s a T s a 6. Uruchomić skrypt wyznaczania LP: lp_pi_rz i poać wybraną wartość parametru wolnego Ti oraz wartość T wyliczoną w pkt. 18 i zielnika, np. =5. Zanotować wartość stałej czasowej T=T/ poaną w oknie komen. Zarejestrować pełny wykres LP w funkcji parametru kp. 7. Kierując się poleceniami z okna komen wskazać na wykresie punkt na linii pierwiastkowej w jenym z wymaganych położeń biegunów ukłau zamkniętego. Zarejestrować wykres powiększony o obszaru takiego samego jak w pkt. 8. Ile linii pierwiastkowych jest na pełnym wykresie? 8. Zanotować poane w oknie komen położenia biegunów i zer ukłau otwartego z regulatorem (początków i końców LP) oraz wartość kp la punktu LP najbliżej zaznaczonego (powinna być zbliżona o wartości obliczonej w pkt. 18 la iealnego regulatora PID) i położenia biegunów ukłau zamkniętego la tej wartości kp (zaznaczone znakami + na wykresie LP). Porównać (na wykresach w tej samej skali) przebieg LP la regulatora PID z inercją (z pkt. 7) oraz la iealnego regulatora PID (pkt. 1). Czy LP przechozą przez położenia (lub blisko) biegunów spełniających specyfikacje projektowe. Czy wartość parametru kp la zaznaczonego położenia wymaganego zmieniła się znacząco? O jakiej wartości kp (orientacyjnie) linie pierwiastkowe ukłau z regulatorem PID z inercją zaczynają obiegać o linii la iealnego regulatora PID? Czy wa biegunów spełniające specyfikacje projektowe są biegunami ominującymi ukłau zamkniętego? Gzie położone są pozostałe wa (rzeczywiste) bieguny? Który z nich ma wyraźny wpływ na ynamikę skokowej ukłau zamkniętego? Czy położenie zer ukłau otwartego (regulatora PID z inercją) zmieniło się znacząco w porównaniu z położeniem zer ukłau otwartego z iealnym regulatorem PID? 9. Przeprowazić w moelu lp.ml Simulinka symulację zachowania się ukłau la parametrów kp, T i 1/Ti (owotność!) wyznaczonych w pkt. 18 la iealnego regulatora PID, ale z częścią różniczkującą D z inercją. W subsystemie REGULATOR ustawić przełącznik w położenie pracy D z inercją, a w bloku członu inercyjnego wpisać zanotowaną wartość stałej czasowej T=T/. Zarejestrować wyniki symulacji: plot_lp Czy przebieg regulacji różni się o wyniku otrzymanego w pkt. 3 la iealnego regulatora PID? 30. (*) Powtórzyć obliczenia projektowe i wyznaczanie LP jak w pkt. 6-9 linii la =10. Zarejestrować wyniki. Skomentować różnice wykresu LP i przebiegów czasowych z symulacji w porównaniu z wynikami otrzymanym w pkt. IV la iealnego regulatora PID. - 7 -
Czy na postawie uzyskanych wyników można stwierzić, czy regulacja PID wystarcza o zapewnienia wszystkich wymaganych wskaźników jakości (ynamicznych i statycznego otyczącego błęu w stanie ustalonym)? VI. Sprawzenie zakresu poprawności zlinearyzowanej aproksymacji obiektu 31. Dla nastaw zaprojektowanego w pkt. IV iealnego regulatora PID (przełącznik w subsystemie REGULATOR w położeniu D iealny ) przeprowazić symulacje zachowania się ukłau zamkniętego la 4 przypaków zmieniając ustawienia przełącznika wartości zaanej i przełącznika wyboru moelu obiektu na schemacie głównym moelu lp.ml: wartość zaana kąta theta_z=1 (1 raian 60, uży kąt ochylenia), moel obiektu zlinearyzowany, wartość zaana kąta theta_z=1, moel obiektu nieliniowy, wartość zaana kąta theta_z=0.1 (mały kąt ochylenia), moel obiektu zlinearyzowany, wartość zaana kąta theta_z=0.1, moel obiektu nieliniowy, Porównać przebiegi la takiej samej wartości zaanej i różnych moeli obiektu. Czy regulacja zaprojektowana la zlinearyzowanego moelu obiektu jest skuteczna la użego zaanego kąta ochylenia? Dlaczego? Co oznaczają nieliniowe oscylacje kąta w zakresie ±6.8 ra w ukłazie z nieliniowym moelem obiektu la theta_z=1? Rys.3. Schematy blokowe zlinearyzowanego (la małych ochyleń o położenia pionowego) i nieliniowego moelu owróconego wahała w subsystemie MODEL OBIEKTU - 8 -
VII. Baanie ukłaów regulacji z elementem nieliniowym o charakterystyce wzmacniacza z nasyceniem 3. Otworzć moel symulacyjny Simulinka lp_nl1.ml. Przeprowazić symulacje la poanych wartości skokowego sygnału zaanego: x=1, 3, 3.5 i zarejestrować wyniki. Uruchomić skrypt: lp_n1 wyznaczający LP la rozpatrywanego ukłau, ale bez uwzglęnienia nasycenia (la wzmacniacza liniowego). Korzystając z wykresu LP wyjaśnić wyniki symulacji traktując wzmacniacz w obszarze nasycenia jak wzmacniacz o współczynniku wzmocnienia zależnym o amplituy sygnału wejściowego A (rys. 4). Zmiana współczynnika wzmocnienia powouje przesuwanie się punktu pracy ukłau zamkniętego wzłuż linii pierwiastkowych. 33. Otworzyć moel symulacyjny lp_nl.ml. Przeprowazić symulacje la poanych wartości skokowego sygnału zaanego: x=1, 4, 8 i zarejestrować wyniki. Uruchomić skrypt: lp_n wyznaczający LP la rozpatrywanego ukłau ze wzmacniaczem liniowym. Przeprowazić analizę jak w punkcie poprzenim. K(A) zakres liniowy zakres nasycenia A Rys.4. Wzmacniacz z nasyceniem jako ukła o zmiennym wzmocnieniu zależnym o amplituy sygnału wejściowego Opracowanie sprawozania Opracować uzyskane wyniki, opisać i zastrzałkować wykresy linii pierwiastkowych (zgonie ze wzrostem parametru k), zaznaczyć bieguny i zera ukłau otwartego, opisać przebiegi czasowe na wykresach. Opowiezieć na pytania zaznaczone w programie realizacji ćwiczenia symbolem. Przeanalizować wpływ rozaju i parametrów regulatora na jakość regulacji. Skomentować la każego przypaku spełnienie wymagań co o jakości regulacji. Skomentować różnice przebiegów la moelu nieliniowego i zlinearyzowanego i zakres stosowalności zlinearyzowanej aproksymacji moelu obiektu. Częstochowa, 014-9 -