poprzez reasekurację proporcjonalną w modelu Jan Matuszewski Uniwersytet Warszawski

Minimalizacja prawdopodobieństwa ruiny poprzez reasekurację proporcjonalną w modelu Sparre Andersena Jan Matuszewski Uniwersytet Warszawski

Prezentacja powstała w oparciu o wyniki uzyskane w pracy magisterskiej pisanej na Wydziale Matematyki, Informatyki i Mechaniki pod opieką prof. Wojciecha Niemiro

Plan prezentacji 1. Problem minimalizacji prawdopodobieństwa ruiny w literaturze 2. Model Sparre Andersena 3. Sformułowanie problemu 4. Optymalne sterowanie procesem nadwyŝki 5. Główny rezultat 6. Przykład: Model klasyczny z wykładniczymi szkodami 7. Podsumowanie i spis literatury

Problem minimalizacji prawdopodobieństwa ruiny Z zagadnieniem minimalizacji prawdopodobieństwa ruiny mamy do czynienia, gdy dopuszczamy moŝliwość ingerowania ubezpieczyciela w proces nadwyŝki. W literaturze najczęściej ciej rozpatruje się dwa typy ingerencji (sterowania): reasekurację, inwestycje części rezerw w ryzykowny instrument finansowy. Sterowanie ubezpieczyciela ma charakter dynamiczny, to znaczy, Ŝe dokonywane jest wielokrotnie i zaleŝy od stanu nadwyŝki

Problem minimalizacji prawdopodobieństwa ruiny Zagadnienie to polega na znalezieniu, o ile to moŝliwe, strategii reasekuracyjnej lub inwestycyjnej, która minimalizuje prawdopodobieństwo ruiny w takim modelu. Są dwa podejścia do tego zagadnienia: model ze sterowaniem w czasie ciągłym, w którym ubezpieczyciel podejmuje decyzje w kaŝdej chwili model ze sterowaniem w czasie dyskretnym, gdzie ubezpieczyciel podejmuje decyzje co pewien okres czasu o dodatniej, być moŝe losowej długości t R +

Problem minimalizacji prawdopodobieństwa ruiny Modele ze sterowaniem w czasie ciągłym pozwalają na osiąganie lepszych rezultatów, np. moŝliwe jest wyznaczenie w sposób analityczny optymalnej strategii jako funkcji nadwyŝki. W modelach ze sterowaniem w czasie dyskretnym nie uzyskano dotychczas tak dokładnych wyników. Modele dyskretne mają jednak tą zaletę, Ŝe są bardziej realistyczne. Niniejsza prezentacja dotyczy właśnie modelu ze sterowaniem w czasie dyskretnym, czyli pewnego uogólnienia modelu Sparre Andersena

1. Problem minimalizacji prawdopodobieństwa ruiny w literaturze 2. Model Sparre Andersena 3. Sformułowanie problemu 4. Optymalne sterowanie procesem nadwyŝki 5. Główny rezultat 6. Przykład: Model klasyczny z wykładniczymi szkodami 7. Podsumowanie i spis literatury

Model Sparre Andersena Długości poszczególnych okresów dane są przez ciąg dodatnich zmiennych losowych iid, n 1 o dystrybuancie G(. ) { } Szkody na koniec poszczególnych okresów dane są przez ciąg nieujemnych zmiennych losowych iid, n 1 o dystrybuancie F(. ) { } Z n Y n 1 n zmienne Y n i Z n są niezaleŝne

Model Sparre Andersena Model Sparre Andersena jest pewnym uogólnieniem, które obejmuje inne znane modele teorii ruiny: Jeśli przyjmiemy, Ŝe Z n są deterministyczne, to otrzymamy dyskretny model teorii ruiny Jeśli przyjmiemy, Ŝe Z n ~ Exp(λ), to otrzymamy klasyczny model z poissonowskim procesem pojawiania się szkód

Sformułowanie problemu Oznaczenia: Y typowa szkoda, E(Y)=μ Z typowa długość okresu, E(Z)= X n stan nadwyŝki na początku okresu n+1-go Na początku okresu n+1-go ubezpieczyciel decyduje się na pewien poziom reasekuracji proporcjonalnej d n. To znaczy, Ŝe szkody w n+1-szym okresie pokryje on w wysokości d n Y n+1. Wartość (1-d n )Y n+1 pokrywa reasekurator. Typowe d n oznaczać będę przez d Wybrany poziom reasekuracji zaleŝy od stanu nadwyŝki, czyli d n = φ n (X n ). 1 λ

Sformułowanie problemu Przy braku reasekuracji ubezpieczyciel kalkuluje składkę zgodnie z narzutem bezpieczeństwa η c=c(1)=(1+ η)μλ. Reasekurator, przy poziomie reasekuracji d pobiera składkę: c r (d)=(1+θ)(1-d)µλ, gdzieθ>η. Zatem składka netto pobierana przez ubezpieczyciela wynosi: c(d)=c-c r (d). Aby zapewnić nieujemność składki c(d) trzeba załoŝyć, Ŝe θ η d, 1 1+ θ

X Sformułowanie problemu Proces nadwyŝki ubezpieczyciela ewoluuje zgodnie z równaniem: ϕ ϕ, X0 x, X 0 n+ 1 = Xn + c( n( Xn)) Zn+ 1 n( Xn) Yn + 1 X =, < 0 n +1 X n = n Wprowadzenie stanu pochłaniającego jest uzasadnione, gdyŝ analizujemy proces nadwyŝki jedynie do momentu ruiny. Jest równieŝ wygodne z punktu widzenia dalszej analizy Konstrukcję taką moŝna znaleźć w pracy Schäla (2004)

Sformułowanie problemu Definicja. Sterowaniem nazwiemy mierzalną funkcję θ η ϕ: [,1] 1+ θ, a strategią ciąg sterowań Proces nadwyŝki przy strategii π i nadwyŝce x,π początkowej x oznaczam przez X n. Prawdopodobieństwo ruiny przy strategii π : Ψ π ( x) = [ n < : X x n, π (,0)] {, 0} π = n Prawdopodobieństwo ruiny w skończonym horyzoncie: π, Ψ ( ) = [ x π x : X (,0)] m n m n ϕ n

Optymalne sterowanie procesem nadwyŝki Badane zagadnienie, tak jak zostało sformułowane, jest jednym z typowych zagadnienień rozwaŝanych w bardziej ogólnej teorii optymalnego sterowania w czasie dyskretnym Sformułowanie zagadnienia w ten sposób oraz udowodnienie, Ŝe moŝna do niego stosować ogólne twierdzenia z teorii optymalnego sterowania zawdzięczamy pracy Schäla (2004) * π Interesuje nas wyznaczenie Ψ ( x) = inf Ψ ( x) π

Optymalne sterowanie procesem nadwyŝki Definicja. Dla kaŝdej funkcji mierzalnej i ograniczonej z dołu takiej, Ŝe określamy v: v( ) = 0

Optymalne sterowanie procesem nadwyŝki x (,0) PoniewaŜ z załoŝenia stan moŝemy odwiedzić co najwyŝej raz zachodzą równości: Ψ Ψ m π, ( ) [ x π m x = g( X n n= 0 π ( x) = lim Ψ ( x) m π m )]

Optymalne sterowanie procesem nadwyŝki Twierdzenie (Verification Theorem) Niech będzie mierzalną funkcją oraz niech φ będzie sterowaniem takim, Ŝe. Wtedy: v :, [ 0 ) π v( x) = inf Ψ ( x) v T v = = ϕ dla kaŝdego x oraz φ definiuje π optymalną stacjonarną strategię, o ile zachodzi: lim [ v( X n x n, π ) g( X dla wszystkich strategii π i dla wszystkich x n, π )] = 0 x 0 Bv

Optymalne sterowanie procesem nadwyŝki Lemat (Schäl) Niech będzie mierzalną funkcją. Zachodzą wówczas: Jeśli dla pewnego sterowania φ zachodzi to v : ϕ Ψ, [ 0 ) T v v ϕ Bv v Jeśli, to, o ile zachodzi: lim [ v( X n x n, π ) Ψ * v, π g( X )] = 0 Lemat ten pokazuje, jak moŝna szukać dolnego i górnego oszacowania na minimalne p-wo ruiny x n T ϕ v v

Główny rezultat JeŜeli zachodzą jednocześnie następujące warunki: d zbiór jest niepusty i prawostronnie otwarty, { r ( dy c( d ) Z ) r > 0 : Ee < } [ [ dy c(d)z] < 0 [ dy > c ( d ) Z ] > 0.,., to dla kaŝdego d istnieje jednoznaczne, dodatnie rozwiązanie równania ( dy c( d ) Z ) R e zwane współczynnikiem dopasowania. = 1

Główny rezultat Dla kaŝdego d mamy jednoznacznie wyznaczony współczynnik dopasowania, więc moŝemy traktować go jako funkcję d i przyjąć oznaczenie R(d). Definicja. Maksymalnym współczynnikiem dopasowania nazywamy liczbę spełniającą zaleŝność d * R * = max R( d) d Przez oznaczamy argument maksymalizujący R(d).

Główny rezultat x 0 Twierdzenie 1 Dla prawdziwe jest następujące górne oszacowanie na minimalne prawdopodobieństwo ruiny: Ψ * R x ( x ) C + e *, C [ * * R d ( Y y) e Y > y ] 1 + = inf [ y 0 gdzie.

Główny rezultat Aby udowodnić dolne dodatnie, dolne oszacowanie wprowadzę pewne ograniczenie na zmienną Y. Definicja (Gaier, Grandits, Schachermeyer) Zmienna losowa Y jest UEMTD dla r (z ang. uniform exponential moment in tail distribution for r), jeŝeli c = sup y 0 [ r( Y y) e Y > y ] < Niestety, jest to dość restrykcyjne załoŝenie.

Główny rezultat 0 Twierdzenie 2 JeŜeli, a ponadto Y jest UEMTD dla R *, to prawdziwe jest następujące dolne oszacowanie na minimalne prawdopodobieństwo ruiny: x C e R * x Ψ * ( x), C [ * R ( Y y) e Y > y ] 1 = sup [ y 0 gdzie.

Główny rezultat x 0 Wniosek JeŜeli i Y jest UEMTD dla R *, to zachodzą nierówności: 0 < C liminf x * Ψ * ( x ) e R x, lim sup x Ψ * ( x) e INTERPRETACJA: jeŝeli szkody mają cienkie ogony, to, przy nadwyŝce początkowej dąŝącej do nieskończoności, minimalne p-wo ruiny maleje nie szybciej niŝ eksponencjalnie. R * x C +.

Model klasyczny z wykładniczymi szkodami ZałoŜenia: 1 Y ~ Exp( ), Z ~ Exp( λ), µ θ > η Twierdzenie (Schäl) W takim modelu, gdzie sterowanie ogranicza się do reasekuracji proporcjonalnej, optymalną strategią jest brak reasekuracji (d=1), jeśli zachodzi 1+θ > (1+η) 2. Dowód polega na zastosowaniu Verification Theorem. W tym szczególnym przypadku dostajemy explicite wzór na minimalne prawdopodobieństwo ruiny.

Model klasyczny z Model klasyczny z wykładniczymi szkodami wykładniczymi szkodami Dla 1+η<1+θ<(1+η )2 maksymalny współczynnik dopasowania osiągany jest dla 1 1 1 1 ) ( * < + + + = θ θ θ η θ d i wynosi Ponadto, jeśli dodatkowo 1+θ>1+2η to zachodzi: 1+θ θ. ) ( 1) 1 ( 2 * η θ µ θ + = R x R x R e d R x e R * * ) (1 ) ( ) (1 * * * * Ψ µ µ

Model klasyczny z wykładniczymi szkodami η=0.2, θ=0.41 nadwyŝka początkowa klasyczne p-wo ruiny ogr. dolne na min p-wo ruiny ogr. górne na min. p-wo ruiny 0 0.83333 0.83222 0.84485 10 0.15739 0.15545 0.15781 20 0.02972 0.02904 0.02947 30 0.00561 0.00542 0.00550 40 0.00106 0.00101 0.00102 50 0.00020 0.00018 0.00019 100 4.8147e-08 4.3032e-08 4.3685e-08 500 5.3655e-37 3.0762e-37 3.1229e-37 1000 3.4546e-73 1.1371e-73 1.1544e-73

Model klasyczny z wykładniczymi szkodami klasyczne p-wo ruiny ograniczenie górne η = 0.2, θ = 0.25

Podsumowanie Uzyskane oszacowanie górne poprawia klasyczne oszacowanie górne dzięki maksymalizacji współczynnika dopasowania MoŜna próbować uzyskać inne oszacowania, w szczególności nietrywialne dolne oszacowanie korzystając z lematu Schäla, które nie wymagałoby załoŝenia UEMTD Kolejny problem do rozwaŝenia, to pokazanie, Ŝe lim Ψ * ( x) e granica istnieje. x R * x Ponadto, wydaje mi się, Ŝe bez większych komplikacji moŝna wprowadzić dodatkowe sterowanie (np. inwestycja w ryzykowny instrument) i otrzymać podobne wyniki

Literatura [1] Asmussen S., Ruin probabilities, World Scientific, Singapore, 2000. [2] Bertsekas D., Shreve S.E.,Stochastic optimal control: the discrete-time case, Academic Press, New York, 1978. [3] Gaier J., Grandits P., Schachermeyer W., Asymptotic ruin probabilities and optimal investment, Annals of Applied Probability 13, 1054-1076, 2003. [4] Gajek L., On the deficit distribution when ruin occurs discrete-time model, Insurance: Mathematics and Economics 36, 13-24, 2005.

Literatura [5] Groniowska A., Niemiro W., Controlled risk processes in discrete time: Lower and upper approximations to the optimal probability of ruin, Insurance: Mathematics and Economics 36, 433-440, 2005. [6] Schäl M., On discrete-time dynamic programming in insurance: exponential utility and minimizing the ruin probability, Scandinavian Actuarial Journal 3, 189-210, 2004. [7] Schäl M., Control of ruin probabilities by discretetime investments, Math. Meth. Oper. Res., 62, 141-158, 2005. [8] Schmidli H., On minimizing the ruin probability by investment and reinsurance, Annals of Applied Probability 12, 890-907, 2002.

DZIĘKUJĘ ZA UWAGĘ!