Dyskretny proces ryzyka z uwzględnieniem reasekuracji i losowej stopy procentowej 1

Transkrypt

1 Roczniki Kolegium Analiz Ekonomicznych Zeszyt 3/23 Helena Jasiulewicz Dyskretny proces ryzyka z uwzględnieniem reasekuracji i losowej stopy procentowej Streszczenie W artykule rozważane jest prawdopodoieństwo ruiny w klasycznym dyskretnym procesie ryzyka z włączeniem reasekuracji i losowej stopy inwestycji. Nadwyżka finansowa uezpieczyciela jest inwestowana według stopy opisanej jednorodnym łańcuchem Markowa. Wyprowadzono wzory rekurencyjne na prawdopodoieństwo ruiny w czasie skończonym i nieskończonym. Podano również górne ograniczenie prawdopodoieństwa ruiny za pomocą współczynnika Lunderga. Dla reasekuracji proporcjonalnej i reasekuracji nadwyżki szkody wyznaczono optymalne poziomy retencji, przyjmując za kryterium optymalizacyjne maksymalizację współczynnika dopasowania. Uzyskane wyniki przedstawiono w taelach i na wykresach w zależności od narzutów na ezpieczeństwo uezpieczyciela i reasekuratora oraz poziomu kapitału początkowego.. Wstęp Celem pracy jest zadanie wpływu reasekuracji na finanse firmy uezpieczeniowej w klasycznym dyskretnym procesie ryzyka z uwzględnieniem inwestycji. Nadwyżka finansowa uezpieczyciela jest inwestowana według stochastycznej stopy procentowej opisanej jednorodnym łańcuchem Markowa. Wyprowadzone zostały wzory na prawdopodoieństwo ruiny firmy uezpieczeniowej oraz podano górne oszacowanie prawdopodoieństwa ruiny za pomocą współczynnika Lunderga. Dla najczęściej stosowanych w praktyce rodzajów reasekuracji wyznaczono optymalne poziomy retencji reasekuracji. Zamieszczono wykresy i wyniki liczowe dotyczące optymalnego poziomu reasekuracji w zależności od narzutów na ezpieczeństwo uezpieczyciela i reasekuratora oraz od poziomu kapitału początkowego uezpieczyciela. Budowa pracy jest następująca. W paragrafie 2 podane są stosowane oznaczenia i przyjęte założenia, przy których uzyskano nowe wyniki. Główne wyniki przedstawiono w paragrafie 3. W twierdzeniu sformułowane są równania rekurencyjne na prawdopodoieństwo ruiny firmy uezpieczeniowej w skończonym i nieskończonym horyzoncie czasu. W twierdzeniu 2 podano górne oszacowanie Projekt został sfinansowany ze środków Narodowego Centrum Nauki.

2 2 Helena Jasiulewicz prawdopodoieństwa ruiny za pomocą współczynnika Lunderga. W tym paragrafie podany jest przykład rozkładu, dla którego oszacowanie w twierdzeniu 2 jest istotnie lepsze od podonych oszacowań znanych w literaturze. W paragrafie 4 wyznaczono optymalną reasekurację dla poszczególnych przypadków reasekuracji: proporcjonalnej i nadwyżki szkody. Jako kryterium optymalizacji przyjęto maksimum współczynnika Lunderga. Wiadomo, że im wyższy współczynnik Lunderga, tym mniejsze jest prawdopodoieństwo ruiny. W paragrafie tym podane są przykłady liczowe dotyczące optymalnej reasekuracji, przy różnych narzutach na ezpieczeństwo uezpieczyciela i reasekuratora i różnych kapitałach początkowych. 2. Oznaczenia i założenia W pracy przyjęto następujące oznaczenia i założenia:. Z n całkowita wypłata na końcu okresu jednostkowego (n, n], wypłata w momencie n, Z n i.i.d. o dystryuancie W (z = Pr(Z n z i średniej µ = EZ n. 2. c = ( + θµ składka stała płacona na koniec każdego okresu jednostkowego (n, n], θ >. 3. U n nadwyżka finansowa na koniec okresu (n, n] liczona po wypłacie. U n jest inwestowana na początku okresu (n, n + ] według stopy losowej I n {i, i 2,..., i l }. 4. I, I 2,... jednorodny łańcuch Markowa o l stanach, macierzy przejścia P = = [p st ] l l i rozkładzie początkowym π = (π,..., π l. 5. Uezpieczyciel reasekuruje część ryzyka z każdego roszczenia. Z ce n = h(z n, część zatrzymana przez uezpieczyciela, o dystryuancie Oczywiste założenie o funkcji h: V z = Pr (Z ce n z, V (z = Pr (Z ce n > z. h(x, x. Zn re = Z n Zn ce część ryzyka reasekurowana. 6. Reasekurator wyznacza składkę według zasady wartości oczekiwanej: c re = ( + η E(Z n h(z n,. Zakładamy, że η > θ >, ay uezpieczyciel nie zaraiał ez ponoszenia ryzyka, gdyy zostawił soie zerową wartość roszczeń. 7. Składka zatrzymana przez uezpieczyciela w okresie jednostkowym: c( = c c re = ( + ηeh(z n, (η θµ.

3 Dyskretny proces ryzyka z uwzględnieniem reasekuracji U n proces nadwyżki finansowej uezpieczyciela przy reasekuracji na koniec okresu jednostkowego (n, n] po wpłynięciu składki i wypłacie: U n = U n ( + I n + c( h(z n,. 9. Prawdopodoieństwo ruiny w skończonym czasie: ( n Ψ ( n(u, i s = Pr Ui < U = u, I = i s = = Pr i= (U i < dla pewnego i n U = u, I = i s. Prawdopodoieństwo ruiny w nieskończonym czasie: ( Ψ ( (u, i s = Pr Ui < U = u, I = i s = = Pr i= (U i < dla pewnego i U = u, I = i s. Oczywiście Ψ (u, i s = lim n Ψ n(u, i s. Przykłady reasekuracji najczęściej stosowanych w praktyce uezpieczeniowej:. Reasekuracja proporcjonalna, gdy funkcja h(x, jest postaci h(x, = x, gdzie (, ]. 2. Reasekuracja nadwyżki szkody, gdy funkcja h (x, jest postaci gdzie >. h (x, = { x, x,, x >, 3. Główne wyniki EZ ce n Dla uniknięcia ruiny z prawdopodoieństwem równym, zakłada się, że < c (. Twierdzenie. Prawdopodoieństwo ruiny uezpieczyciela w czasie skończonym wyraża się rekurencyjnie w następujący sposó: l Ψ (u, i s = p sj V (u ( + ij + c (, j=

4 4 Helena Jasiulewicz l { Ψ n+ (u, i s = p sj V (u ( + ij + c ( + j= ˆ u(+ij +c( } + Ψ n (u ( + i j + c ( z, i j dv z. Prawdopodoieństwo ruiny w czasie nieskończonym: l { Ψ (u, i s = p sj V (u ( + ij + c ( + j= ˆ u(+ij +c( } + Ψ (u ( + i j + c ( z, i j dv x, gdzie c( = ( + η Eh (Z n, (η θ µ. Dowód twierdzenia jest podony do dowodu lematu 2. w pracy Cai i Dicksona (24. Dla reasekuracji proporcjonalnej składka zatrzymana jest postaci h (Z n, = Z n, (,, Z re n = ( Z n, c ( = (( + η (η θ µ, gdzie µ = EZ n, zaś dystryuanta zmiennej Z ce n postaci V (z = W ( z, gdzie W (z = Pr (Z n z, V (z = Pr (h (Z n, z, V (z = W Dla reasekuracji nadwyżki szkody, > : h (Z n, = min (Z n, = Z re n = (Z n + = ( z. { Zn gdy Z n, gdy Z n >, {, gdy Zn, Z n gdy Z n >,

5 Dyskretny proces ryzyka z uwzględnieniem reasekuracji... 5 składka zatrzymana jest postaci ˆ c ( = ( + η V (z dz (η θ µ, gdzie V (z = Pr (min (Z n, z = { W z dla z, dla z >, przy czym W (z = Pr (Z n z. Twierdzenie 2. Jeżeli Eh (Z, < c ( i istnieje stała dodatnia R( spełniająca równanie Ee R(h(Z, = e R(c(, ( to oszacowanie z góry prawdopodoieństwa ruiny w nieskończonym czasie jest postaci Ψ (u, i s βe (e R((u+I I = i s, (2 gdzie e R(x V (x β = sup, < β. (3 x c( x er(z dv (z Dowód. Dla każdego x mamy V (x + c ( = er(x V (x + c ( x er(z dv (z + c ( e R(x ˆ x e R(z dv (z + c ( = ˆ = er((x+c( V (x + c ( e R(x e R((y c( dv (y. x+c( er(y dv (y x+c( (4 Niech Zatem gdzie g (t = er((t V (t t e R(y dv (y. ˆ V (x + c ( sup {g (x + c (} e R(x e R((y c( dv (y x x+c( ˆ = βe R(x e R((y c( dv (y, x+c( β = sup g (y. y c( (5

6 6 Helena Jasiulewicz Z równania ( otrzymujemy ˆ V (x + c ( βe R(x e R((y c( dv (y = βe R(x. (6 Natomiast nierówność (3 wynika z faktu, że dla z t zachodzi nierówność exp (R ( z exp (R ( t. Zatem t e R(z dv (z e R(t V (t ˆ e R(t dv (z t e R(t V (t =. Z odwrotności tej nierówności otrzymuje się nierówność (3. Przejdźmy do indukcyjnego dowodu nierówności (2. Z twierdzenia 3 oraz nierówności (6 mamy Ψ (u, i s l j= p sj βe R(u(+ij = βe (e R(u(+I I = i s. Z założenia indukcyjnego Ψ n (u, i s βe (e R(u(+I I = i s i twierdzenia mamy Ponieważ więc ( ˆ l Ψ n+ (u, i s p sj βe R(u(+i j e R((y c( dv (y + i=j u(+i j +c( ˆ u(+ij +c( + βee R((u(+i j z+c((+i I = i s. E (e R((u(+i j z+c((+i I = i s e R((u(+ij z+c(, (7 Ψ n+ (u, i s l i=j = βe ˆ p sj βe R(u(+i j e R((y c( dv (y = (e R(u(+I I = i s. Biorąc granice przy n, otrzymujemy nierówność (2.

7 Dyskretny proces ryzyka z uwzględnieniem reasekuracji... 7 Oszacowanie (7 jest oszacowaniem gruym powodującym, że po prawej stronie nierówności (2 występuje tylko jeden wiersz macierzy przejścia P = [p ij ] łańcucha Markowa I, I 2,..., a mianowicie wiersz o numerze s. Prolem ten występował we wcześniejszych pracach Cai i Dicksona (24 oraz Jasiulewicz (2. Przykład. Dla rozkładu wykładniczego V (z z parametrem λ > R ( współczynnik β <. Ponieważ ˆ a więc ze wzoru (3 otrzymujemy e R(z λe λz dz = λ λ R (, β = λ R ( λ <. Współczynnik β przyjmuje wartość dla rozkładu normalnego V (z. Ay to pokazać, należy skorzystać z dwóch poniższych lematów. Lemat. ˆ ( 2 B σ e rx e x m σ 2 dx = 2π A ( ( ( = e rm+r2 σ 2 /2 B m rσ 2 A m rσ 2 Φ Φ, σ σ gdzie Φ (x jest dystryuantą rozkładu normalnego N(,. Dowód. Korzystając ze wzoru ( x m rσ 2 2 ( x m 2 = rx + rm + r2 σ 2 (8 σ 2 σ 2 i podstawienia t = ( x m rσ 2 /σ, otrzymujemy kolejno 2 σ 2π ˆ B A = σ 2π erm+r2 σ 2 /2 = σ 2π erm+r2 σ 2 /2 e rx e ( x m σ 2 2 dx = ˆ B e ( A ˆ B m rσ 2 σ A m rσ 2 σ x m rσ 2 2 σ 2 dx = e t2 /2 σ dt = ( ( ( = e rm+r2 σ 2 /2 B m rσ 2 A m rσ 2 Φ Φ. σ σ (9

8 8 Helena Jasiulewicz Lemat 2. ( Feller, 966, lemat 2, wzór (.8 x x 3 e x2 /2 < Φ (x < 2π x e x2 /2. 2π Przykład 2. Dla rozkładu normalnego N(, z lematów i 2 wynika, że granica przy x prawej strony wzoru (3 jest równa. Stąd β =. Równanie ( na współczynnik dopasowania R( rzadko daje się rozwiązać analitycznie. Jego przyliżenie jest postaci R ( 2 (c ( Eh (Z, Varh (Z,. ( Przyliżenie ( daje równość, gdy h (Z, ma rozkład normalny. Jeżeli zmienna losowa Z ce = h (Z, jest postaci to h (Z, = ξ n i= Y i, Eh (Z, = (EY i (Eξ n, ( Varh (Z, = (VarY i (Eξ n + EY 2 i (Varξ n, gdzie ξ n zmienna losowa dyskretna o wartościach całkowitych, nieujemnych. Oszacowaniem z góry i z dołu najmniejszego prawdopodoieństwa ruiny przy dynamicznej strategii reasekuracyjnej uezpieczyciela dla dyskretnego procesu ryzyka zajmowali się Groniowska i Niemiro (25. Wyznaczenie prawdopodoieństwa ruiny z równań rekurencyjnych (twierdzenie jest ardzo skomplikowane. W celu otrzymania optymalnego poziomu retencji według kryterium minimum prawdopodoieństwa ruiny skorzystano z faktu, że prawdopodoieństwo ruiny jest tym mniejsze, im większy jest współczynnik dopasowania. Dlatego za optymalny poziom retencji reasekuracji przyjęto taki poziom, dla którego współczynnik dopasowania Lunderga przyjmuje wartość największą. Współczynnik ten jest stosunkowo łatwy do wyznaczenia. 4. Szczególne przypadki reasekuracji I. Rozważmy reasekurację proporcjonalną: Z ce n = h (Z n, = Z n.

9 Dyskretny proces ryzyka z uwzględnieniem reasekuracji... 9 Załóżmy, że Z n ma rozkład N(µ, σ. Zatem Zn ce N (µ, σ. Dla tego rozkładu normalnego też ma rozkład normalny R ( = 2 (c ( µ 2 σ 2 = 2µ σ 2 ( + η (η θ 2 = 2µ σ 2 η η + θ 2. Dla parametrów µ = i σ = 2 wykresy funkcji R ( przedstawione są na rysunku. Rysunek. Wykres R( dla η =.3, θ =.2 (linia cienka, η =.5, θ =. (linia grua, η =.4, θ =.2 (linia przerywana R( dla Ponieważ oraz druga pochodna w jest równa dr ( d = (4µθ + (2 4 ηµ 3 σ 2 = = 2 (η θ η d 2 R ( 4µ (3θ + η 3η d 2 = 4 σ 2 d 2 R ( d 2 = 4η4 µ (θ η σ 2 (2η 2θ 4 <, to współczynnik dopasowania R ( przyjmuje wartość największą dla Niech = 2η θ η, (,. ( γ = θ η, < θ < η. Wówczas = (γ = 2 ( γ, γ [.5,.

10 2 Helena Jasiulewicz Wartość maksymalna współczynnika dopasowania R ( wynosi R ( = µ σ 2 η 2 2η θ. Maksymalne współczynniki dopasowania, gdy Z ce n N(, 2 (µ =, σ = 2, przedstawia taela. Taela. Wartości maksymalne R( rozkładu normalnego η θ R Wartości parametrów η oraz θ są zaczerpnięte z pracy Dicksona i Watersa (996. Teraz zajmiemy się górnym oszacowaniem prawdopodoieństwa ruiny danego w twierdzeniu 2, czyli prawą stroną nierówności (2. Wcześniej zostało pokazane, że β = dla rozkładu normalnego. W dalszych rozważaniach przyjmujemy, że µ =, σ = 2 oraz łańcuch Markowa jest trzystanowy: i =.4, i 2 =.8, i 3 =.2 o macierzy przejścia (2.7.3 i rozkładzie początkowym π = (,,. Niech f (η, θ,, u = βe (e R((u+I I = i 2. (3 Wykresy funkcji f (η, θ,, u dla maksymalnego współczynnika dopasowania przy ustalonych parametrach η oraz θ są przestawione na rysunkach 2, 3 i 4. Rysunek 2. Wykres f(.3,.2,, u dla u = (linia cienka, u = 2 (linia grua, u = 3 (linia przerywana.8 f(

11 Dyskretny proces ryzyka z uwzględnieniem reasekuracji... 2 Rysunek 3. Wykres f(.5,.,, u dla u = (linia cienka, u = 2 (linia grua, u = 3 (linia przerywana.8 f( Rysunek 4. Wykres f(.4,.2,, u dla u = (linia cienka, u = 2 (linia grua, u = 3 (linia przerywana.8 f( Górne ograniczenia prawdopodoieństwa ruiny Ψ (u, i, gdzie wyznaczone jest tak, że współczynnik dopasowania dla rozważanego rozkładu i łańcucha Markowa przyjmuje wartość największą, równą R (, przedstawione są w taeli 2. Taela 2. Górne ograniczenie prawdopodoieństwa ruiny dla rozkładu normalnego f (η, θ,, u η θ R u = u = u = II. Rozważmy reasekurację nadwyżki szkody: Z ce n = min (Z n,.

12 22 Helena Jasiulewicz Gdy zmienna losowa Z n ma rozkład wykładniczy o dystryuancie W (z = = e λz, z, to zmienna losowa Z ce ma dystryuantę dla z, V z = e λz dla < z, dla z > oraz EZ ce = e λ λ VarZ ce = e 2λ, ( 3e 2λ + (2λ 4 e λ + λ 2. Przy tego typu reasekuracji składka zatrzymana przez uezpieczyciela jest postaci ( c = e λ e λ θ + e λ η. λ Współczynnik dopasowania R ( dla rozkładu V (z ma postać: 2λe 2λ θ 2ηλe λ R = 3e 2λ + (2λ 4 e λ +. Dla λ = wykresy funkcji R ( są przedstawione na rysunku 5. Rysunek 5. Współczynnik dopasowania R( dla η =.3, θ =.2 (linia cienka, η =.5 (linia grua, θ =., η =.4, θ =.2 (linia przerywana 2.5 R( Maksymalne współczynniki dopasowania dla uciętego rozkładu wykładniczego z parametrem λ = zmiennej Z ce n przedstawia taela 3.

13 Dyskretny proces ryzyka z uwzględnieniem reasekuracji Taela 3. Wartości maksymalne R( rozkładu wykładniczego uciętego η θ R( Górne oszacowanie prawdopodoieństwa ruiny danego w twierdzeniu 2 oznaczmy przez g (η, θ,, u, tzn. gη, θ,, u = βe (e R((u+I I = i 2. (4 Dla uciętego rozkładu wykładniczego współczynnik β =. W dalszych rozważaniach przyjmujemy λ =. Łańcuch Markowa I n jest określony tak, jak w reasekuracji proporcjonalnej. Wykresy funkcji g (η, θ,, u dla maksymalnego współczynnika dopasowania przy ustalonych parametrach η oraz θ są przedstawione na rysunkach 6, 7, 8. Rysunek 6. Wykres g(.3,.2,, u dla u = (linia cienka, u = 2 (linia grua, u = 3 (linia przerywana.8 g( Rysunek 7. Wykres g(.5,.,, u dla u = (linia cienka, u = 2 (linia grua, u = 3 (linia przerywana.8 g(

14 24 Helena Jasiulewicz Rysunek 8. Wykres g(.4,.2,, u dla u = (linia cienka, u = 2 (linia grua, u = 3 (linia przerywana.8 g( Górne ograniczenia prawdopodoieństwa ruiny Ψ (u, i przedstawione są w taeli 4. Taela 4. Górne ograniczenie prawdopodoieństwa ruiny dla rozkładu wykładniczego uciętego g (η, θ,, u η θ R u = u = 2 u = Podsumowanie Uwzględnienie reasekuracji i losowej stopy procentowej inwestycji w klasycznym dyskretnym procesie ryzyka przyliża ten model do rzeczywistości. Elementy wprowadzone do modelu mają istotny wpływ na wyniki finansowe firm uezpieczeniowych. Również rozważany model dyskretny w porównaniu do ciągłego jest liższy praktyce uezpieczeniowej, a ponadto używa dość prostych narzędzi matematycznych. Otrzymane nowe wyniki są podane w paragrafie 2. Uogólniają one wyniki prac Cai i Dicksona (24 oraz Jasiulewicz (2, dotyczących klasycznego dyskretnego procesu ryzyka ez reasekuracji. Wyznaczenie prawdopodoieństwa ruiny z równań rekurencyjnych (twierdzenie jest ardzo skomplikowane, choć możliwe. Dlatego przy wyznaczaniu optymalnego poziomu retencji reasekuracji według kryterium minimalizacji prawdopodoieństwa ruiny wykorzystano maksymalizację współczynnika dopasowania Lunderga, który jest stosunkowo łatwy do uzyskania. Wykorzystano fakt, że prawdopodoieństwo ruiny jest tym mniejsze, im większy jest współczynnik dopasowania. Wykorzystując twierdzenie 2, za

15 Dyskretny proces ryzyka z uwzglêdnieniem reasekuracji optymalny poziom retencji przyjęto taki poziom, który minimalizuje górne ograniczenie współczynnika dopasowania. Dla podstawowych rodzajów reasekuracji, proporcjonalnej i nadwyżki szkody dla konkretnych rozkładów całkowitej straty w pojedynczym okresie, wyznaczono optymalne poziomy retencji. Współczynnik Lunderga ma kluczowe znaczenie dla wyznaczania górnego ograniczenia prawdopodoieństwa ruiny. Wiadomo, że ten współczynnik istnieje tylko dla rozkładów lekkoogonowych. Jednak w przypadku reasekuracji nadwyżki szkody strata zatrzymana przez uezpieczyciela Zn ce zawsze ma rozkład o lekkim ogonie, niezależnie od rozkładu Z n. Dla tego rodzaju reasekuracji zastosowana w pracy metoda wyznaczania optymalnego poziomu retencji może yć stosowana również, gdy rozkład całkowitej straty przed reasekuracją Z n jest rozkładem ciężkoogonowym. Dalsze adania skupią się na określeniu rozkładu wielkości deficytu firmy w momencie ruiny, gdy uezpieczyciel stosuje reasekurację optymalną i inwestuje nadwyżkę finansową. Dziękuję Recenzentom za uwagi i sugestie dotyczące zmian. Biliografia [] Cai J., Dickson D.C.M. (24, Ruin proailities with a Markov chain interest model, Insurance Math. Econom, vol. 35, s [2] Dickson D.C.M., Waters H.R. (996, Reinsurance and ruin, Insurance Math. Econom, vol. 9, s [3] Feller W. (966, Wstęp do rachunku prawdopodoieństwa, PWN, Warszawa. [4] Groniowska A., Niemiro W. (25, Controlled risk processes in discrete time: Lower and upper approximation to the optimal proaility of ruin, Insurance Math. Econom, vol. 36, s [5] Jasiulewicz H. (2, Proces rezerwy w czasie dyskretnym z losową stopą procentową i losową składką, w: Zagadnienia aktuarialne teoria i praktyka, red. W. Otto, Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego, Warszawa, s *** Discrete risk process with reinsurance and random interest rate Astract In the paper a proaility of of ruin in the classical discrete risk process, including reinsurance and random investment rate is considered. A financial surplus of an insurer is invested according to random rate descried y a homogeneous Markov chain. Recurrence formulae for proailities of ruin in the finite and infinite time were derived. The upper ound of ruin proaility was also given using Lunderg s coefficient. For the proportional

16 26 Helena Jasiulewicz reinsurance and reinsurance of stop-loss an optimal level of retention was determined, assuming maximalize of fitting coefficient as an optimizing criterion. The otained results were presented in tales and on figures. They depend on loading for safety of an insurer and reinsurer and on level of an initial capital. Autor: Helena Jasiulewicz, Instytut Nauk Ekonomicznych i Społecznych, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu, pl. Grunwaldzki 24 A, Wrocław, helena.jasiulewicz@up.wroc.pl