VIII. VIII.1. ORBITALNY MOMENT MAGNETYCZNY ELEKTRONU, L= r p (VIII.1.1) p=m v (VIII.1.2) Z (VIII.1.1) i (VIII.1.2) wynika (VIII.1.1a): L= L =mvr (VIII.1.1a) r v r=v (VIII.1.3) Z zależności (VIII.1.1a) oraz (VIII.1.3) wynika, że kręt elektronu jest równy: L=mr 2 (VIII.1.1b) Elektron jest to cząstka obdarzona masą, ale równocześnie jest ładunkiem poruszającym się. Jest on równoważny bezprzewodowemu przepływowi prądu. Elektron orbitalny ma własności magnetyczne (jest dipolem magnetycznym ). = =i S (VIII.1.4) 1
S powierzchnia obwodu, i natężenie prądu w obwodzie, wyraża się ono wzorami (VIII.1.5a) w układzie Gaussa oraz (VIII.1.5b) w układzie SI: i= e c (VIII.1.5a) i= e (VIII.1.5b) τ okres obiegi elektronu po orbicie Rys.VIII.1. Schematyczne przedstawienie orbity atomu. ds = 1 2 rdl (VIII.1.6) dl = rd (VIII.1.7) 2
ds = 1 2 r2 d (VIII.1.8) 2 S = ds = 1 2 0 r 2 d (VIII.1.9) L, gdzie oznacza pęd uogólniony ze względu na współrzędną φ. Z wzoru (VIII.1.1b) wynika: r 2 = m = m dt d (VIII.1.10) Z wzorów (VIII.1.9) i (VIII.1.10) otrzymujemy, że powierzchnia S obwodu wynosi: 2 S= 1 2 0 m dt d d = 2m τ 0 dt= 2m (VIII.1.11) Wyrażenie (VIII.1.11) otrzymaliśmy przechodząc z całkowania po kącie na całkowanie po czasie, przy czym: jeżeli є [0, 2 ), to t є [0, ] Z wzorów: (VIII.1.4), (VIII.1.5) oraz (VIII.1.11) otrzymujemy wzór na moment magnetyczny elektronu: = is = e c = 2m = e 2mc (VIII.1.12) e 2mc = const (VIII.1.13) Stosunek momentu magnetycznego dipolowego do momentu pędu (krętu) jest wielkością stałą. Wektorowo: A ponieważ L : = e 2mc (VIII.1.14) 3
= e 2mc L (VIII.1.15) Z teorii Wilsona Sommerfelda wynika, że = L = ħ (VIII.1.16) Z wzorów (VIII.1.13) oraz (VIII.1.16) otrzymujemy: gdzie =1,2,3,... = eh 4 mc =df B (VIII.1.17) Magneton Bohra: w układzie Gaussa B = eh 4 mc = e ħ 2mc (VIII.1.18) Z (17) i (18) wynika, że dla = 1 : B = Jest to wówczas moment magnetyczny atomu wodoru w stanie podstawowym. w układzie SI: B = e ħ 2m (VIII.1.18a) Wartość liczbowa magnetonu Borha wynosi: μ B = 0,927 10 20 erg /Oe = 9,274 10 24 J /T VIII.2. PRECESJA LARMORA Jest to częstość wirowania momentu magnetycznego, który ustawiony pod kątem α do pola magnetycznego precesuje wokół pola. 4
a) częstość kołowa L = eb 2mc (VIII.2.1a) b) częstość liniowa f L = eb 4 mc (VIII.2.1b) Z (VIII.2.1a) wynika, że: L f oraz że ω L ~B VIII.3. KWANTOWANIE PRZESTRZENNE L, μ Jeśli zbiór wartości danej wielkości nie jest ciągły to jest skwantowany. Orientacja przestrzenna wektorów również jest skwantowana, co nazywa się kwantyzacją przestrzenną. Jeżeli normalna do powierzchni jest skwantowana, to orientacja powierzchni jest skwantowana. Kwantyzacja orbity Założenie 1: B=const (pole jednorodne). Założenie 2: pole magnetyczne nie zaburza kształtu orbit (teoria Wilsona Sommerfelda). Współrzędne sferyczne: P: (r,ϑ,ϕ) x = r sin ϑ cos ϕ y = r cos ϑ sin ϕ z = r cos ϕ 5 p φ = const α = const
= cos (VIII.3.1) r p r : p r dr = n r h (VIII.3.2a) θ p θ : p θ dθ = n θ h (VIII.3.2b) : d = h (VIII.3.2c) n r,,n θ liczby kwantowe E k = m 2 r 2 r 2 θ 2 r 2 sin 2 θ 2 (VIII.3.3) p r = E k ṙ = m ṙ (VIII.3.4a) p θ = E k θ = mr 2 θ (VIII.3.4b) = E k = mr 2 sin 2 θ (VIII.3.4c) Z wzoru (VIII.3.1) wynika, że =const, więc: 2 dψ = d = 2 (VIII.3.5) 0 Z zależności (VIII.3.5) oraz (VIII.3.2c) wynika: 2 = h (VIII.3.6) = ħ (VIII.3.7) L Z =m ħ rzut wektora L m magnetyczna liczba kwantowa rzut na kierunek pola magnetycznego 6
= ħ (VIII.3.8) =l orbitalna liczba kwantowa = (VIII.3.9a) Z wzoru (VIII.3.1) otrzymujemy: =cos (VIII.3.9b) Z wzorów (VIII.3.9a) i (VIII.3.9b): cos = (VIII.3.10) Wzór (VIII.3.10) skwantowanie α cos 1 =m=0,±1, ±2,... l Przykłady kwantyzacji przestrzennej: a) =1 m=0,±1 trzy możliwe orbity 7
b) =2 m=0, ±1, ±2 5 możliwych orbit VIII.4. ENERGIA ELEKTRONU NA ORBICIE ZORIENTOWANEJ. W 2D (dwóch wymiarach): Energia E = E(r, ϕ) W 3D (trzech wymiarach): Energia E = E(r,ϑ,ψ) E(r, ϕ) = E(r,ϑ,ψ) p r ṙ = p r ṙ (VIII.4.1) = (VIII.4.2) d = d d (VIII.4.3) Z reguł Wilsona Sommerfelda otrzymujemy: d = d (VIII.4.4) = (VIII.4.5) E n = 2 2 me 4 Z 2 h 2 n 2 = 2 2 e 4 Z 2 m h 2 n r = 2 2 3 me 4 Z 2 h 2 n r 2 (VIII.4.6) 8
Wniosek: Energia zależy od sumy wszystkich liczb kwantowych. VIII.5. KWANTYZACJA RZUTU na B. '= cos cos = ' (VIII.5.1) = e 2mc m = ' (VIII.5.2) ' = m (VIII.5.3) = B '=m B (VIII.5.4) m=0, ±1, ±2,...,± l Kwantyzacja przestrzenna obejmuje oba wektory: L i 9