Transport, studia niestacjonarne I stopnia, semestr I Instytut L-5, Wydział Inżynierii Lądowej, Politechnika Krakowska Adam Wosatko Ewa Pabisek
Skalar Definicja Skalar wielkość fizyczna (lub geometryczna) opisywana jedną liczbą (wartością). Do skalarów należą np. energia, masa, temperatura. Tarcza 2D Rozkład temperatury
A jeśli do opisu potrzebny jest kierunek? Inne wielkości, np. przemieszczenie, prędkość, siła, przyspieszenie nie mogą być wyznaczane tylko przez ich wartości, gdyż zależą dodatkowo od ich kierunku. Wówczas mówimy o wielkościach wektorowych. Tarcza (belko-ściana) Pole wektorowe (kierunki) naprężeń głównych
Definicja Wektor W celu zdefiniowania wektora należy podać: kierunek (prostą na której leży wektor) zwrot długość (moduł) zwrot (określony przez kolejność punktów A i B) kierunek punkt przyłożenia (opcjonalnie) W interpretacji geometrycznej wektor to leżący na prostej i zawierający punkty A, B skierowany odcinek ([A, B] = [B, A]). Kierunkiem wektora nazywa się kierunek tej prostej, zwrot określony jest przez kolejność punktów A i B. moduł punkt zaczepienia a B A Istnieje kilka sposobów notacji wektora: [A, B] = AB = a = a = a.
Długość wektora Składowymi wektora nazywa się różnice odpowiednich współrzędnych jego końca B i początku A. Długość wektora a jest długością odcinka AB (odległość). Długość jest zawsze liczbą dodatnią. a a
Wektor jednostkowy Wektor, którego długość wynosi 1, nazywamy wektorem jednostkowym. Jeśli np. e jest wektorem jednostkowym, to e = 1. Wektor jednostkowy, który ma ten sam kierunek co wektor a, oznaczamy przez a o. Każdy wektor a można przedstawić za pomocą wektora jednostkowego a o : a = a a o. a a o a a o = 1 Wektor jednostkowy a o o tym samym kierunku co wektor a nazywa się wersorem.
Działania na wektorach Mnożenie wektora przez liczbę Przez rozumiemy wektor b, który: b = αa 1 dla α > 0 ma ten sam kierunek co wektor a i jest od niego α razy dłuższy/krótszy 2 dla α < 0 ma kierunek przeciwny do wektora a i jest od niego α razy dłuższy/krótszy 3 dla α = 0, a = 0. Dla mnożenia przez skalar zachodzą następujące prawa: 1 α a = a α 2 α (β a) = (α β) a = α β a 3 α (a + b) = α a + α b 4 (α + β) a = α a + β a 5 1 a = a, 0 a = 0, α 0 = 0
Działania na wektorach Zależność liniowa wektorów Mówimy, że między wektorami a i, i = 1, 2,... n istnieje zależność liniowa, jeśli istnieje n takich liczb α i, i = 1, 2,... n z których nie wszystkie są równe zeru, a dla których zachodzi zależność: α 1 a 1 + α 2 a 2 +... + α n a n = 0 (1) Wektory są liniowo niezależne gdy równanie (1) ma rozwiązanie trywialne tzn. α i = 0, dla i = 1, 2,... n. Dwa wektory są liniowo zależne, gdy są równoległe.
Działania na wektorach Dodawanie i odejmowanie wektorów Przez sumę geometryczną dwóch wektorów a i b rozumiemy wektor c, którego początek leży w początku wektora a a koniec w końcu wektora b: c = a + b a c = a + b b
Działania na wektorach Dodawanie i odejmowanie wektorów Przemienność, łączność a c b a c = a + b b a + b + c 1 Dla sumy obowiązują prawa: przemienności: a + b = b + a, łączności: (a + b) + c = a + (b + c). a + b a b + c 2 Takie same prawa obowiązują przy dodawaniu n wektorów. 3 Odejmowanie określone jest jako dodawanie wektora przeciwnego b do wektora a. b
Działania na wektorach Mnożenie wektorów Mnożenie dwóch wektorów może być określone jako: iloczyn skalarny, iloczyn wektorowy.
Iloczyn skalarny Iloczyn skalarny operator na przestrzeni liniowej (operacja oznaczona ) przypisujący 2 argumentom z tej przestrzeni rzeczywistą wartość skalarną. { a b cos ϕ jeśli a, b 0 a b = 0 jeśli a = 0 lub b = 0, lub a b gdzie: a, b długości wektorów, 0 ϕ π kąt pomiędzy nimi zawarty w płaszczyźnie wyznaczonej przez te wektory.
Właściwości iloczynu skalarnego 1 Z definicji współrzędnej wektora względem osi wynika: a b = a b a = b a b = b a. 2 Jeżeli jeden z wektorów iloczynu skalarnego jest wektorem jednostkowym e, to: e a = a cos(e, a) = a e. 3 W celu otrzymania składowej wektora a wzdłuż pewnej osi, należy ten wektor pomnożyć skalarnie przez wektor jednostkowy e, który wyznacza kierunek dodatni tej osi. 4 Jeżeli obydwa wektory są sobie równe: a a = a a cos 0 = a 2 ; stąd widać zależność: a = a a. 5 Iloczyn skalarny dwóch wektorów prostopadłych względem siebie jest równy 0.
Współrzędne (składowe) kartezjańskie wektora Wektory a 1 e 1, a 2 e 2, a 3 e 3 nazywamy składowymi wektorowymi wektora a. Liczby a 1, a 2, a 3 są współrzędnymi lub składowymi wektora a. x 3 a 3 e 3 e 3 a a 2 e 2 a 1 e 1 e 1 e 2 x 2 x 1 w skrócie: a = [a 1, a 2, a 3 ]. a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3,
Iloczyn skalarny wyrażony przez współrzędne Jeżeli 2 wektory w bazie e 1, e 2, e 3 są wyrażone za pomocą współrzędnych: a = a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 = a i e i czyli a = [a 1, a 2, a 3 ], b = b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 = b j e j czyli b = [b 1, b 2, b 3 ], dla i, j = 1, 2, 3. to iloczyn skalarny wynosi: 3 a b = (a 1 e 1 + a 2 e 2 + a 3 e 3 ) (b 1 e 1 + b 2 e 2 + b 3 e 3 ) = a i b i. Jeżeli obydwa wektory iloczynu są jednakowe to: 3 a b = a 2 = a1 2 + a2 2 + a3 2 = ai 2, i=1 wówczas długość wektora wynosi: a = a = a a = Z iloczynu skalarnego wynika: cos ϕ = a b 3 a b = i=1 a ib i 3 3 i=1 a2 i i=1 b2 i i=1 3 i=1 a2 i..
Iloczyn skalarny jako niezmiennik Iloczyn skalarny jest niezmiennikiem względem transformacji ortogonalnych (gdy drugi układ powstaje przez obrót układu pierwszego). Stąd wynika, że długości wektorów i kąt między dwoma wektorami są także niezmiennikami względem transformacji ortogonalnych.
Iloczyn wektorowy Definicja Iloczyn wektorowy wektorów a i b operator na przestrzeni liniowej (przekształcenie oznaczone ) przypisujący parze wektorów z tej przestrzeni wektor c spełniający następujące warunki: 1 Wektor c jest prostopadły do wektorów a, b. 2 Długość wektora c wynosi: c = a b = a b sin ϕ gdzie: ϕ - kąt pomiędzy wektorami a, b. 3 Wektor c tworzy z wektorami a, b układ prawoskrętny.
Iloczyn wektorowy Interpretacja geometryczna Iloczyn a b sin ϕ równa się wielkości pola równoległoboku zbudowanego na wektorach a i b. c e b ϕ ϕ a a e b c
Właściwości iloczynu wektorowego 1 Z definicji iloczynu wektorowego wynika, że a b i b a mają przeciwne zwroty, natomiast równe długości, wobec tego: a b = b a. 2 Z definicji iloczynu wektorowego wynika, że a b = 0 gdy a = 0 lub b = 0 lub sin ϕ = 0 co oznacza, że a jest równoległy do b. 3 Ponieważ iloczyn wektorowy jest wektorem, można go znów pomnożyć przez wektor; lecz w tym przypadku nie zachodzi prawo łączności: a (b c) (a b) c. Można się o tym przekonać przyjmując a = b.
Iloczyn wektorowy wyrażony przez współrzędne Iloczyny wektorowe wektorów bazy jednostkowej e 1, e 2, e 3 mają następujące wartości: e 1 e 1 = e 2 e 2 = e 3 e 3 = 0, e 1 e 2 = e 2 e 1 = e 3, e 2 e 3 = e 3 e 2 = e 1, e 3 e 1 = e 1 e 3 = e 2. Dla wektorów: a = a x e 1 + a y e 2 + a z e 3, b = b x e 1 + b y e 2 + b z e 3, iloczyn wektorowy: a b = (a x b z a z b y )e 2 e 3 + (a z b x a x b z )e 3 e 1 + (a x b y a y b x )e 1 e 2 = (a x b z a z b y )e 1 + (a z b x a x b z )e 2 + (a x b y a y b x )e 3 = a y a z b y b z e 1 + a z a x b z b x e 2 + a x a y b x b y e 3. e 1 e 2 e 3 a b = a x a y a z b x b y b z
Zestawienie właściwości iloczynów skalarnego i wektorowego Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy 1. a b = a b cos ϕ 1. a b = a b sin ϕe Iloczyn skalarny jest skalarem Iloczyn wektorowy jest wektorem 2. a b = b a 2. a b = b a Iloczyn skalarny jest przemienny Iloczyn wektorowy nie jest przemienny 3. a b = 0 3. a b = 0 Warunek prostopadłości Warunek równoległości dwóch wektorów właściwych dwóch wektorów właściwych W iloczynach zachodzi prawo rozdzielności względem dodawania: 4. a (b + c) = a b + a c 4. a (b + c) = a b + a c (a + b) (c + d) = (a + b) (c + d) = a c + a d + b c + b d a c + a d + b c + b d
Zestawienie właściwości iloczynów skalarnego i wektorowego Iloczyn skalarny Iloczyn wektorowy Postać iloczynów wyrażona przez składowe skalarne: e 1 e 2 e 3 5. a b = a x b x + a y b y + a z b z 5. a b = a x a y a z b x b y b z 6. a b 6. {a (b c)} Iloczyn skalarny istnieje Iloczyn wektorowy istnieje dla tylko dla dwóch wektorów dowolnej liczby czynników e 1 e 2 e 3 7. a b = a x b x + a y b y + a z b z 7. a b = a x a y a z = a xb x + a y b y + a zb z = Ilocz. skal. jest niezmiennikiem względem transformacji ortogonalnej układu b x b y b z e 1 e 2 e 3 a x a y a z b x b y b z Ilocz. wekt. nie jest niezmiennikiem względem transf. ortogonalnej układu, jest on pseudowektorem