BADANIE KONCENTRACJI NAPRĘŻEŃ DOŚWIADCZALNE WYZNACZANIE WSPÓŁCZYNNIKA KSZTAŁTU METODĄ ELASTOOPTYCZNĄ 1. WPROWADZENIE Oprac.: dr nż. Ludomr J. Jankowsk Elastooptyka ([1], [], [3],[5]), mmo rozwoju nnych dośwadczalnych technk pomarów, a także numerycznych metod oblczeń, nadal stanow bardzo ważne narzędze dośwadczalnej dentyfkacj pól odkształceń/naprężeń, przede wszystkm w płaskch trójwymarowych modelach obektów rzeczywstych obcążonych statyczne lub dynamczne. Jej zaletą jest możlwość wyznaczana składowych dwu- trójwymarowego stanu naprężena wewnątrz badanego modelu, a po uwzględnenu skal podobeństwa modelowego - w obektach rzeczywstych. Elastooptyka umożlwa równeż badana konstrukcj rzeczywstych (za pomocą technk elastooptycznej warstwy powerzchnowej ([1],[3],[6]) lub tensometrów elastooptycznych [1]), modelowane zagadneń plastycznośc, termosprężystośc, a nawet przepływu ceczy. Ponżej przedstawono podstawy elastooptyk dwuwymarowej.. PODSTAWY ELASTOOPTYKI Istotą elastooptyk jest wykorzystywane śwatła, jako nośnka nformacj, oraz zwązku mędzy właścwoścam optycznym nektórych materałów, a polem odkształceń (naprężeń). Fzyczne podstawy elastooptyk stanową dwa zjawska: polaryzacja śwatła dwójłomność wymuszona. Polaryzacja śwatła Na podstawe falowej teor śwatła (która wąże pole elektryczne magnetyczne z właścwoścam ośrodka, przez które begne śwatło) traktuje sę je jako falę elektromagnetyczną poprzeczną. Z analzy równań Maxwella (np.[1],[4]) wynka, że składowe wektory: elektryczny E magnetyczny H, są wzajemne prostopadłe drgają prostopadle do kerunku propagacj fal w zgodnej faze (rys. 1). x E y H Rys. 1. Fala elektromagnetyczna schemat (http://www.geolog.malopolska.pl). Ścsły zwązek obu wektorów pozwala analzować tylko jeden z nch najczęścej jest to wektor elektryczny (nazywany wektorem śwetlnym lub składową elektryczną). Należy podkreślć, że odberane przez zmysł wzroku natężene śwatła, jest wprost proporcjonalne do kwadratu rzeczywstej ampltudy natężena pola elektrycznego. W ogólnym przypadku śwatło jest nespolaryzowane, tzn. wektor śwetlny drga w przypadkowo zmenających sę 1
płaszczyznach. Uporządkowane tych drgań tak, aby odbywały sę w ścśle określony sposób, to właśne polaryzacja śwatła. W elastooptyce wykorzystywane są przede wszystkm dwa szczególne przypadk polaryzacj śwatła: polaryzacja lnowa kołowa. W perwszym przypadku, wektor śwetlny propaguje w jednej płaszczyźne, a jego zmany opsuje snusoda leżąca w płaszczyźne drgań wektora rys.. W celu uzyskana polaryzacj, stosuje sę fltry polaryzacyjne (polaryzatory), które przepuszczają te promene śwatła, których wektory śwetlne drgają w płaszczyźne prostopadłej do płaszczyzny polaryzacj pokrywającej sę z osą optyczną fltra. Rys.. Polaryzacja lnowa [5]. Polaryzację kołową rozpatruje sę jako złożene dwóch spolaryzowanych płasko drgań wzajemne prostopadłych, o tej samej częstośc takej samej ampltudze, lecz przesunętych w faze o π/, co odpowada przesunęcu lnowemu λ/4 (λ długość fal). W tym przypadku konec wypadkowego wektora śwetlnego zatacza w przestrzen lnę śrubową walcową rys. 3. Rys. 3. Polaryzacja kołowa: a) drgana składowych wektora śwetlnego, b) przebeg wektora wypadkowego. W ogólnym przypadku, konec wypadkowego wektora śwetlnego dwóch, wzajemne prostopadłych drgań propagujących z różnym ampltudam fazam, zatacza w przestrzen krzywą spralną (helsę), której "przekrój" płaszczyzną z const jest elpsą. Ten stan fal śwetlnej jest określany manem polaryzacj elptycznej.
Dwójłomność wymuszona Obok polaryzacj śwatła, w elastooptyce wykorzystywana jest anzotropa optyczna. W ogólnym przypadku, w ośrodku anzotropowym można zdentyfkować różne zwązk mędzy poszczególnym welkoścam fzycznym charakteryzującym jego właścwośc, co pokazano na rys. 4. naprężene efekt pezooptyczny Natężene pola magnetycznego współczynnk załamana śwatła efekt magnetooptyczny efekt elektrooptyczny natężene pola elektrycznego sprężystość efekt elastooptyczny przenkalność elektryczna odkształcene ndukcja elektryczna Rys. 4. Wybrane właścwośc anzotropowego ośrodka optycznego W odróżnenu od ośrodków charakteryzujących sę naturalną anzotropą, stneją ośrodk zotropowe, które zmenają swoje właścwośc na anzotropowe pod wpływem pola elektrycznego lub pola odkształceń rys. 4. Zjawsko to jest nazywane dwójłomnoścą wymuszoną. W przypadku ośrodka lnowo dwójłomnego (który najczęścej jest spotykany w elastooptyce), fala śwetlna wchodząc do takego ośrodka (np. w postac płasko-równoległej płytk) ulega podzelenu na dwe fale spolaryzowane lnowo. Ich płaszczyzny drgań, prostopadłe względem sebe, są ścśle zorentowane względem ośrodka. Podzał fal wchodzącej ma charakter wektorowy, a powstałe fale: szybsza (nadzwyczajna) wolnejsza (zwyczajna), ne są składowym fal wypadkowej propagującej w ośrodku, lecz jego falam własnym. Wychodząc z ośrodka fale te, zgodne z zasadą superpozycj, tworzą falę o nnym (w ogólnym przypadku) stane polaryzacj nż fala wchodząca. Występujące przesunęce faz fal własnych wywołane różncą dróg optycznych wskazuje, że w ośrodku lnowo dwójłomnym na kerunku propagacj obu fal występują dwe różne wartośc współczynnka załamana śwatła n (odpowedno dla fal szybszej-nadzwyczajnej wolnejszejzwyczajnej). Różnca dróg optycznych wynos: n 1 efekt pezoelektryczny odwrotny efekt pezoelektryczny prosty = t n 1 n (1) a różnca współczynnków załamana śwatła n1 n jest marą dwójłomnośc. Różncy Δ odpowada względne przesunęce faz obu fal δ: 3
δ = π /λ () gdze: t grubość ośrodka wzdłuż kerunku propagacj, λ długość fal śwatła. Aparatura pomarowa Pożądany stan polaryzacj śwatła, umożlwający śledzene efektu dwójłomnośc, uzyskuje sę w tzw. polaryskopach. Są one wyposażone w elementy optyczne umożlwające uzyskane śwatła o określonej polaryzacj oraz analzę zman wywołanych anzotropą optyczną badanego ośrodka. Typowy schemat polaryskopu z transmsyjną wązką śwatła pokazano na rys. 5. zespół polaryzatora zespół analzatora 1 3 4 5 4 3 Rys. 5. Schemat polaryskopu transmsyjnego: 1 - źródło śwatła (bałego lub/ monochromatycznego), - układ optyczny formujący wązkę śwatła (pożądana wązka równoległa), 3 - fltr polaryzacyjny, 4 - płytka fazowa, 5 - płytka dwójłomna. Przestrzeń pomarowa polaryskopu (pokazanego na schemace) znajduje sę mędzy zespołam polaryzator (fltr polaryzacyjny, najczęścej folowy) - płytka fazowa (tzw. ćwerćfalówka). Często noszą one nazwy: polaryzator (3-4) analzator (4-3), przy czym konstrukcja polaryskopu umożlwa sprzężony obrót tych zespołów, zmanę ch wzajemnego ustawena, a także zmanę położena ćwerćfalówek względem "swoch" fltrów. Fltr polaryzacyjny (lnowy) charakteryzuje sę wyróżnonym kerunkem przepuszczana śwatła, przy czym stosunek natężena śwatła przepuszczanego w kerunku doń prostopadłym do natężena śwatła przechodzącego równolegle, jest rzędu 1:00, a nawet może osągnąć 1:300 000. Obecne najczęścej są stosowane fltry folowe na baze pol(alkoholu) wnylowego. Składowa wektora śwetlnego prostopadła do kerunku łańcuchów cząsteczek polalkoholu jest przepuszczana z newelkm stratam, natomast składowa równoległa jest wygaszana. Zadanem płytk fazowej współpracującej z fltrem polaryzacyjnym jest uzyskane możlwośc zmany stanu polaryzacj z lnowej na kołową ( odwrotne). W polaryskopach elastooptycznych stosuje sę płytk fazowe zwane ćwerćfalówkam, których cechą charakterystyczną jest to, że śwatło propaguje w nch z dwoma różnym prędkoścam, a węc są one dwójłomne. Tym samym wektory elektryczne tych dwóch fal własnych są do sebe prostopadłe, a płaszczyzny w których one leżą, wyznaczają tzw. oś szybką wolną. Przesunęce fazowe jest w tych płytkach ścśle określone, wynos λ/4 (dla danej długośc fal śwatła). W przypadku, gdy oś szybka ćwerćfalówk jest równoległa do os optycznej fltra polaryzacyjnego, stan polaryzacj ne ulega zmane - śwatło jest nadal spolaryzowane lnowo. Gdy oś szybka tworzy kąt π/4 z kerunkem wektora elektrycznego fal opuszczającej fltr, stan polaryzacj zmena sę uzyskuje sę śwatło spolaryzowane kołowo. Należy podkreślć, że usytuowane os szybkej ćwerćfalówk pod nnym kątem nż π/4 generuje polaryzację elptyczną. Z punktu wdzena realzacj pomarów, stan polaryzacj śwatła wychodzącego z polaryskopu jest w elastooptyce analzowany przede wszystkm ampltudowo, tzn. stotne są nformacje o natężenu śwatła za analzatorem. W polaryskope lnowym, ze skrzyżowanym 4
osam fltrów polaryzacyjnych (czyl w polaryskope "z cemnym polem wdzena" najczęścej stosowanym w pomarach elastooptycznych), natężene śwatła jest opsane równanem: I = I max sn α sn ( δ ) = I max sn α sn ( π λ ) (3) gdze: - kerunek wektora własnego fal szybszej w ośrodku dwójłomnym, - maksymalne natężene śwatła obserwowane dla: sn sn / 1. W przypadku polaryskopu kołowego (skrzyżowane ose fltrów polaryzacyjnych, ose szybsze ćwerćfalówek ustawone pod kątem π/4 względem kerunku przepuszczana śwatła przez fltr, pod kątem π/4 względem sebe) rozkład natężena śwatła jest opsany równanem: I max I = I max sn ( δ ) (4) Z analzy wzorów (3) (4) wynka, że zmany natężena śwatła za analzatorem są modulowane przez argumenty funkcj snus, przy czym I 0 uzyskuje sę dla: lub, / / N (N = 1,, 3,...), tj. wówczas, gdy różnca dróg optycznych fal własnych ośrodka dwójłomnego, jest welokrotnoścą długośc fal śwatła, przy czym N jest nazywane rzędem prążka. 0 / Zmany natężena śwatła za analzatorem są wdoczne w postac ln (prążków), dla których spełnone są warunk: = const (5) α = const (6) Porównując warunk (5) (6) ze wzoram (3) (4) łatwo zauważyć, że w polaryskope lnowym obserwowane są dwe rodzny prążków charakteryzujących zmany dwójłomnośc w płytce, natomast w polaryskope kołowym - tylko jedna. Prążk spełnające warunek (5) są nazywane zochromam, a spełnające warunek (6) - zoklnam. Dalsza analza powyższych zależnośc prowadz do następujących wnosków: - sąsadujące ze sobą zochromy mogą meć rzędy jednakowe lub różnące sę o jeden (czyl różnca dróg optycznych wynos 0 lub ), - w śwetle monochromatycznym wygaszene śwatła zwązane z warunkem (5) następuje dla długośc fal propagującej przez ośrodek dwójłomny, a węc obserwowane są czarne prążk zochrom na tle obszarów o barwe odpowadającej danej długośc fal śwatła; w przypadku śwatła polchromatycznego (najczęścej bałego) wygaszene następuje dla welu długośc fal z zakresu wdzalnego, gdy spełnony jest warunek / N, tak węc prążk zochrom obserwowane są jako pasma barwne, którym odpowada określona różnca dróg optycznych; wyjątkem jest zochroma N 0, obserwowana w postac czarnego prążka rys. 6a, - prążk zochrom zokln są względem sebe nezależne mogą "przecnać sę" w obraze obserwowanym za analzatorem rys. 7, - poneważ człon sn równana (1.8) ne zależy od, zoklny obserwowane w śwetle monochromatycznym bałym są zawsze prążkam czarnym. 5
N = 3 N = N = 1 N = 0 Rys. 6a. Interpretacja całkowtego rzędu zochromy w śwetle bałym Rys. 6b. Izochromy całkowte (a) połówkowe (b) rejon utwerdzena belk wspornkowej. Izoklna 90 Rys. 7. Obraz zochrom całkowtych zokln w śwetle bałym polaryskop lnowy Często w pomarach elastooptycznych jest wykorzystywany stan polaryzacj kołowej, w którym kerunk os optycznych fltrów polaryzacyjnych są do sebe równoległe. Wówczas rozkład natężena śwatła opsuje funkcja: I = I max cos ( δ ) = I max cos ( π 6 Izoklna 0 λ ) (7) a wygaszene śwatła następuje dla N 1. Obserwowana rodzna zochrom ma rzędy N = 0.5; 1.5, td., jest nazywana rodzną zochrom połówkowych. W praktyce pomarowej występuje równeż potrzeba określana N α w ścśle określonych punktach, w których z reguły rząd zochromy jest różny od rzędu całkowtego lub połówkowego. W takm
przypadku stosowane są tzw. kompensatory gonometryczne (azymutalne) lub bezpośredne. W perwszym przypadku, kompensacja rzędu zochromy (czyl pomar różncy dróg optycznych lub częścej opóźnena względnego faz) dokonywana jest za pomocą elementu układu optycznego polaryskopu obracanego wokół os optycznej tego układu. W drugm, używane są specjalne przyrządy, w których generowany jest dodatkowy efekt dwójłomnośc (równy co do wartośc, lecz o przecwnym "znaku"), który po dodanu do zeruje różncę dróg optycznych. Znana wartość opóźnena wygenerowana w kompensatorze odpowada poszukwanej wartośc rzędu zochromy w danym punkce. W elastooptyce najczęścej stosowane są gonometryczne kompensatory Senarmonte'a Tardy'ego oraz kompensatory bezpośredne Solela Babneta. Pomar parametru zoklny jest mnej kłopotlwy, gdyż ustalene jego wartośc w dowolnym punkce badanego obszaru polega na śledzenu stopna wygaszena śwatła w tym punkce podczas obrotu płaszczyzny polaryzacj w polaryskope lnowym. Pozorny ruch prążków zokln pozwala odróżnć tę rodznę ln od zochrom, które ne zmenają swojego położena. W chwl uzyskana mnmalnej wartośc natężena śwatła w analzowanym punkce należy dokonać odczytu położena płaszczyzny polaryzacj. x, y Zwązk mędzy dwójłomnoścą a stanem odkształceń naprężeń N x, y Zależność efektu dwójłomnośc wymuszonej od pola odkształceń w postac wążącej składowe główne pola odkształceń ze składowym głównym przenkalnośc delektrycznej ośrodka, została podana przez F.E. Neumanna w 1841 r. W roku 1858 J.C. Maxwell podał równana opsujące dwójłomność wymuszoną w funkcj naprężeń. W elastooptyce, najczęścej przytaczane są równana w postac: n 1 n 0 = c 1 σ 1 + c (σ + σ 3 ) n n 0 = c 1 σ + c (σ 3 + σ 1 ) (8) n 3 n 0 = c 1 σ 3 + c (σ 1 + σ ) gdze: n0 - współczynnk załamana śwatła ośrodka w stane bez naprężeń, n ( = 1,, 3) - współczynnk załamana śwatła na kerunkach głównych naprężena, c1, c - stałe materałowe (naprężenowo-optyczne), 1,,3 - składowe główne stanu naprężena w danym punkce ośrodka. Poneważ w elastooptyce, jako mara dwójłomnośc najczęścej używane jest względne przesunęce faz, będące funkcją różncy współczynnków załamana śwatła, to powyższe równana mogą być zapsane w postac: n n 1 = c(σ 1 σ ); n 3 n = c(σ σ 3 ); n 1 n 3 = c(σ 3 σ 1 ); (9) przy czym z założena 1 3 wynka, że n1 n n3 stała c jest dodatna. W płytce (o grubośc ) z materału wykazującego dwójłomność wymuszoną, prześwetlanej na wskroś (prostopadle) śwatłem spolaryzowanym, opóźnene względne mędzy falam własnym propagującym w płaszczyznach wyznaczonych przez kerunk główne, wynos: t 7
δ 1 = πtc λ (σ 1 σ ); δ 3 = πtc λ (σ σ 3 ); δ 31 = πtc λ (σ 3 σ 1 ); (10) gdze: δ 31 ;. - opóźnene względne faz w przypadku propagacj śwatła w kerunku 3,... Z powyższych zależnośc wynka, że prześwetlając ośrodek np. w kerunku 3, naprężene ne ma wpływu na wartość opóźnena względnego, które jednak lnowo zależy od długośc drog optycznej śwatła w ośrodku. 3 3. ANALIZA PŁASKIEGO STANU NAPRĘŻENIA NA PODSTAWIE DANYCH ELASTOOPTYCZNYCH Rozpatrując układ równań (10) dla przypadku płaskego stanu naprężena (σ3 = 0) prześwetlana płaskej płytk o grubośc t, po wprowadzenu N = δ/π oraz stałej: f σ = λ c (11) zwanej wartoścą rzędu zochromy, perwsze równane układu (10) przybera postać: σ 1 σ = Nf σ (1) Stała fσ [MN/m ] odnos sę do płytk o grubośc t [mm], jest nazywana modelową wartoścą rzędu zochromy. Stała fσ 10 jest wyznaczana dla t = 10 mm, stąd dla określonej, nnej grubośc płytk t modelową wartość rzędu zochromy wyznacza wzór: f σ = 10 f σ 10 /t (13) Obydwe stałe są wyznaczane na drodze pomarów wzorcujących, np. na beleczce w próbe zgnana czteropunktowego lub tarczy kołowej ścskanej wzdłuż jej średncy (rys. 8). a) a NA NB b) F F Nc h F l F D D Rys. 8. Schematy obcążena próbek do wyznaczana stałej f σ: a) zgnane czteropunktowe, b) ścskane kołowej tarczy. Wartość stałej f oblcza sę na podstawe pomaru wartośc rzędu zochromy, zmerzonego w punktach pokazanych na powyższych schematach, dla zadanych warunków obcążena geometr próbek. Dla przypadku pokazanego na rys. 8a, stałą f określa wzór: f σ = 6 F a N śr h t, 8 N śr = N A+N B (13)
natomast dla przypadku pokazanego na rys. 8b: f σ = 8 F π t D N C (14) Na podstawe prawa Hooke'a dla płaskego stanu naprężena, z którego wynka, że w zakrese odkształceń lnowo-sprężystych jest: równane (1) przybera postać: ε 1 ε = 1+ν E (σ 1 σ ) (15) ε 1 ε = 1+ν E N f σ (16) Bezpośredno z danych elastooptycznych można wyznaczyć wartość naprężena stycznego oraz różncę naprężeń normalnych, co wymaga dentyfkacj zarówno rzędu zochromy N, jak parametru zoklny α: τ xy = 1 sn α (17) σ x σ y = N f σ cos α (18) W ogólnym przypadku wyznaczane wartośc poszczególnych składowych stanu naprężena (tzw. rozdzelene składowych stanu naprężena) stwarza pewne trudnośc. Korzystając ze wzoru (1) można jednak nekedy bezpośredno określć składowe stanu naprężena. I tak, np. na neobcążonej krawędz płaskego modelu obektu rzeczywstego, jedno z naprężeń głównych jest równe zeru (σ = 0), stąd druge (dzałające styczne do tej krawędz) wynos: σ 1 = N f σ (19) 1 Jeśl na krawędź modelu dzała znane co do wartośc cśnene jest dana wzorem: p, to wówczas składowa σ 1 = N f σ p (0) W przypadku krzywolnowego brzegu, opsanego funkcją y f, wartość naprężena stycznego b, dzałającego w punkce A tego brzegu (rys. 9), może być wyznaczona ze wzoru: τ b = (σ 1 σ ) A sn (α A β) = N A f σ x sn (α A β); β = arctg df dx (1) y A β x Rys. 9. Sposób określana kąta β 9
Wyznaczene składowych stanu naprężena wewnątrz badanego obszaru wymaga zastosowana metod oblczenowych (najczęścej numerycznych) lub pomarów uzupełnających - z reguły nnym metodam. Jedną z najbardzej popularnych metod rozdzelana składowych stanu naprężena wyłączne na podstawe danych elastooptycznych, jest metoda różnc naprężeń stycznych, która wykorzystuje równana równowag dla płaskego stanu naprężena [1]: σ x x + τ xy y = 0; σ y y + τ xy x = 0 () Całkując, np. perwsze równane tego układu równań dla składowej σx, otrzymuje sę wzór: σ x = (σ x ) 0 τ yx y dx (3) Po wprowadzenu różnc skończonych równane to można przedstawć w postac: (σ x ) = (σ x ) 0 ( τ yx) y =1 x (4) Oblczena prowadzone są w przekroju (rys. 10), któremu towarzyszą przekroje pomocncze. W praktyce, we wszystkch trzech przekrojach koneczna jest znajomość N α w węzłach satk. W przypadku prowadzena pomarów elastooptycznych o charakterze polowym (np. rejestracja fotografczna obrazów zochrom zokln w całym badanym obszarze) najczęścej wykonuje sę wykresy N α w poszczególnych przekrojach, z których odczytuje sę wartośc występujące w węzłach satk. y x A B y O C D x x Rys.10. Schemat satk do oblczana różnc skończonych w analzowanym przekroju (Ox przekrój główny, AB, CD przekroje pomocncze) W równanu (4) różnca ( τ yx ) wynos: ( τ yx ) = (τ yx ) AB (τyx ) CD (5) natomast (σ x ) 0 jest wartoścą składowej x w punkce początkowym przekroju Ox (na neobcążonej krawędz modelu σ x = 0). Wartośc yx w węzłach satk, pokazanej na rys. 9, wynoszą: 10
(τ yx ) = N f σ sn α (6) Z reguły przyjmuje sę, że x = y, a przekroje AB CD przebegają w odległośc: ± y/, wówczas x y = 1, wartość składowej σ x określa równane: (σ x ) = (σ x ) 0 Drugą składową normalną można oblczyć ze wzoru: a następne wyznaczyć naprężena główne: ( τ yx ) =1 (7) (σ y ) = (σ x ) N f σ cos α (8) σ 1, = (σ x+σ y ) ± N f σ (9) Zaletą tej metody rozdzelana składowych stanu naprężena jest możlwość jej stosowana w zadanym przekroju analzowanego obszaru, a obrane określonej geometr satk umożlwa wyznaczene wartośc N oraz na drodze kompensacj, od razu w jej węzłach, z dużą dokładnoścą (ok. N = 0.01 rzędu prążka α = ±1 o. Do rozdzelena składowych stanu naprężena można równeż wykorzystać równane Laplace'a o postac: (σ x + σ y ) = 0 (30) którego rozwązane numeryczne, bazujące na różncach skończonych, sprowadza sę do układu n równań z n newadomym dla węzłów satk ortogonalnej (rys. 11). - 1 + 1 k - 1 k k + 1 Rys. 11. Satka ortogonalna dla rozwązana równana (30). Dla poszczególnych węzłów wewnątrz analzowanego obszaru, równane (30) ma wówczas postać: (σ x +σ y ) +1,k (σ x +σ y ),k +(σ x +σ y ) 1,k x + (σ x+σ y ),k+1 (σ x +σ y ),k +(σ x +σ y ),k 1 x = 0(31) 11
Jego rozwązane, np. metodą teracyjną, wymaga wyznaczena wartośc składowych normalnych na konturze analzowanego obszaru. Przykładem metody rozdzelana składowych stanu naprężena, wykorzystującej pomary uzupełnające, jest metoda pomaru poprzecznego odkształcena płaskego modelu elastooptycznego, wykorzystująca zwązek: z ε z = ν E (σ 1 + σ ) (3) Wraz z równanem (1), powyższy zwązek umożlwa rozwązane dla analzowanego punktu badanego obszaru układu dwóch równań z dwoma newadomym. Obecne pomar jest przeprowadzany najczęścej nterferometryczne [1]. Przydatną nformacją o badanym polu naprężeń jest równeż przebeg trajektor (zostat) naprężeń głównych, który można wyznaczyć na podstawe obrazów zokln zarejestrowanych dla określonych położeń płaszczyzny polaryzacj śwatła w polaryskope lnowym. Najprostsza, wykreślna technka określana przebegu trajektor, polega na obranu na zoklne o parametrze α1 punktu, z którego kreśl sę prostą pod kątem 1 / do przecęca z zoklną. Przez tak wyznaczony punkt na zoklne kreśl sę prostą pod kątem / do przecęca z zoklną, td. Wyznaczona w ten sposób lna łamana 3 przyblża wystarczająco trajektorę sposób lnę łamaną prostopadłą do głównego rys. 1. s 1 s 1 3 jednego z naprężeń głównych. Kreśląc w ten sam uzyskuje sę trajektorę drugego naprężena s x s1 α 3 C α s B (α + α3)/ α 1 A (α1 + α)/ Rys. 1. Wykreślna metoda wyznaczana trajektor (zostat) naprężeń głównych y 1
Rys. 13. Trajektore naprężeń głównych uzyskane opsaną powyżej metodą. Pewne problemy w wyznaczanu trajektor mogą stwarzać rejony punktów osoblwych (np. punkt Belajewa), ze względu na brak wyróżnonych kerunków głównych. Punkty te można łatwo zdentyfkować śledząc zmanę położena (ruch pozorny) zokln podczas obrotu płaszczyzny polaryzacj śwatła. W punktach, w których zoklny o różnych parametrach przecnają sę, występuje zotropa kerunków głównych, generująca charakterystyczne przebeg trajektor w ch poblżu ("pętle" lub "trójkąty"). Trudność może równeż nastręczać dentyfkacja trajektor wększego naprężena głównego. Jednak rozpoczynając kreślene od neobcążonego brzegu badanego modelu można skorzystać z faktu, że na brzegu jest spełnony warunek 1 0, 0, a kerunek naprężena jest styczny do krawędz modelu w danym punkce. Znak naprężena na neobcążonej krawędz badanego modelu może być zdentyfkowany tzw. "metodą gły", która polega na lokalnej zmane stanu naprężena w wybranym punkce krawędz obserwacj zman w obraze zochrom w tym rejone. W praktyce, stosuje sę punktowy nacsk na krawędź (np. za pomocą wkrętaka). τ σ a) = 0 s 1 1 1 σ 1 σ 1 τ max σ σ Stan początkowy - rozcągane na krawędz σ 0 σ Stan początkowy koło Mohra τ σ 1 b) σ 1 σ 1 τ max σ σ σ σ 1 Punktowy nacsk - rozcągane na krawędz Stan wynkowy koło Mohra Rys. 14. Zmany stanu naprężena w punkce dzałana gły. 13
Borąc pod uwagę podstawowe równane elastooptyk (1) (wyrażone w naprężenach) oraz pokazane na rys. 14b koła Mohra dla σ = 0 σ 0 wdać, że lokalny nacsk na krawędź modelu powoduje wzrost rzędu zochromy w rejone dzałana gły. W praktyce, oznacza to oddalane sę zochrom przebegających w poblżu tego mejsca. Przecwne zjawsko, tj. zblżane sę zochrom do krawędz w rejone nacsku, będze występowało wówczas, gdy na krawędz dzała naprężene normalne do ne styczne o znaku ujemnym (ścskające). 4. MATERIAŁY STOSOWANE W ELASTOOPTYCE Materały stosowane w elastooptyce, poza oczywstym wykazywanem efektu dwójłomnośc wymuszonej, pownny spełnać wele różnych wymogów, często szczegółowych, ze względu na modelowane różnych obektów rzeczywstych. Jednak klka cech właścwośc pownno bezwzględne charakteryzować take materały. Należą do nch: przezroczystość (a ścślej, transmsyjność umożlwająca obserwację zokln zochrom), duża czułość objawająca sę nską wartoścą f, lnowość zależnośc oraz 1 N w badanym zakrese odkształceń modelu, nsk efekt pełzana mechancznego optycznego, odpowedn (dla danego zadana) moduł sprężystośc podłużnej, nsk efekt brzegowy (tj. pojawane sę wraz z upływem czasem prążków zochrom w okolcach brzegu neobcążonego modelu), dobra obrabalność w przypadku stosowana obróbk mechancznej do wykonana modelu (alternatywą jest technka odlewana "na gotowo"). Najczęścej stosowanym w elastooptyce materałem są kompozycje żywc epoksydowych secowanych (utwardzanych) w temperaturze pokojowej lub temperaturach podwyższonych (tzw. utwardzane na gorąco). W przypadku elastooptyk dwuwymarowej, posługującej sę płaskm modelam obektów rzeczywstych, najczęścej stosowane są kompozycje utwardzane w temperaturze pokojowej, a modele są wykonywane na drodze obróbk mechancznej odlanej uprzedno płyty o żądanej grubośc. Należy zaznaczyć, że zjawsko dwójłomnośc wymuszonej w tworzywach polmerowych jest zwązane z odkształcenam sec łańcuchów polmeru powstałej w trakce procesu secowana. Dobór odpowednego materału umożlwa modelowane różnych obektów zjawsk. Przykładowo, zastosowane elastomerów uretanowych daje możlwość modelowana obektów o dużej odkształcalnośc, np. przekroju opony samochodowej (rys. 15), a odpowedna modyfkacja kompozycj epoksydowych umożlwa modelowane ośrodków uwarstwonych. 14
Rys. 15. Model przekroju poprzecznego opony - obraz zochrom całkowtych (obcążene słą ponową - wdoczne ntensywne zgnane boków opony). 5. ZASTOSOWANIE ELASTOOPTYKI DWUWYMIAROWEJ DO WYZNACZANIA WSPÓŁCZYNNIKA KSZTAŁTU KARBU Jednym z podstawowych obszarów zastosowana elastooptyk jest analza koncentracj naprężeń, a w tym - wyznaczane współczynnka kształtu karbu. Zgodne z elementarną defncją, współczynnk αk jest defnowany jako: gdze: max α k = σ max /σ nom (33) - maksymalna wartość naprężena w karbe, nom- nomnalna (oblczenowa) wartość naprężena (najczęścej w elemence bez karbu lub w ustalonym przekroju/punkce odnesena). Jeśl krawędze karbu są neobcążone, obserwowany w modelu elastooptycznym rozkład zochrom odpowada rozkładow naprężena normalnego, stycznego do tej krawędz, co wynka bezpośredno z równana (19). Tak węc, współczynnk kształtu karbu można wyrazć jako stosunek: α k = N max /N nom (34) W praktyce, równane (34) zawera zmenną wyznaczaną bezpośredno z pomaru (Nmax) (rys. 16), natomast druga może być wyznaczona dośwadczalne (np. na modelu przed wykonanem karbu) lub oblczona na postawe znanej wartośc. nom f 15
N nom N max F Rys. 16. Wyznaczane współczynnka kształtu karbu k na podstawe wartośc rzędów zochromy: u góry pokazano wdok zochrom całkowtych w śwetle monochromatycznym bałym ( N 5. max 0 w dne karbu). Rys. 17. Rozkład zochrom całkowtych w modelu wspornka o skokowo zmennej wysokośc. 6. PRZEBIEG ĆWICZENIA W celu wyznaczena współczynnka kształtu karbu w próbce wskazanej przez osobę prowadzącą ćwczene należy: na stanowsku pokazanym na rys. 18, za pomocą cyfrowego aparatu fotografcznego, zarejestrować obrazy zochrom całkowtych (N =0, 1, ) połówkowych (N = 0.5, 1.5, ) polaryzacja kołowa, śwatło bałe monochromatyczne (sodowe); rejestrację przeprowadzć przynajmnej dla trzech pozomów obcążena próbk; wykonać szkc próbk dokonując jej pomarów za pomocą suwmark; w układze obcążającym zmenć badaną próbkę na próbkę wzorcową w celu wyznaczena stałej fσ w próbe czteropunktowego zgnana (rys. 8); dla trzech pozomów obcążena zarejestrować obrazy zochrom (analogczne do rejestracj dla badanej próbk), wykonać szkc próbk. Rys. 18. Wdok stanowska pomarowego. 16
Uwaga: W celu wyznaczena maksymalnych wartośc rzędów zochrom, należy w wybranych przekrojach wyznaczyć rozkłady rzędów zochrom (dla danego pozomu obcążena, na podstawe zdjęć zochrom całkowtych połówkowych wykonanych w śwetle monochromatycznym), a następne ekstrapolować N do krawędz karbu. Sprawozdane z ćwczena należy wykonać wg wskazówek osoby prowadzącej ćwczene. LITERATURA [1] J.W. Dally, W.F. Rley, Expermental stress analyss (3 rd ed.), McGraw-Hll, Inc., 1991. [] Z. Orłoś, Dośwadczalna analza odkształceń naprężeń, PWN, Warszawa, 1977. [3] W. Szczepńsk (red.), Metody dośwadczalne mechank cała stałego, PWN, Warszawa, 1984. [4] F. Ratajczyk, Dwójłomność polaryzacja optyczna, Ofcyna Wydawncza P.Wr., Wrocław, 000. [5] W. Bodaszewsk, Wytrzymałość materałów. Badana dośwadczalne. Wyd. BEL Sp. z o.o., Warszawa, 011. [6] S. Jonak, Badana eksperymentalne w wytrzymałośc materałów, Wyd. Polt. Poznańskej, Poznań 000. 17