Rachunek Prawdopodobieństwa MAP8 Wydział Matematyki, Matematyka Stosowana Przykłady 6. Wartość oczekiwana, wariancja, mediana, kwartyle rozkładu prawdopodobieństwa. Transformacje zmiennej losowej. Opracowanie: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Przykłady 6. : charakterystyki liczbowe rozkładów dyskretnych (a) Wylicz - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznacz medianę i kwar- n 4 tyle dyskretnego rozkładu zmiennej losowej X podanego w tabeli: n 4 5 p n...4. EX. +. + 4.4 + 5..7 D X. +. + 4.4 + 5. (EX).8 ( D X.9).5,.5.75 4 (b) Wylicz - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznacz medianę i kwartyle dyskretnego rozkładu zmiennej losowej X, zadanego ciągiem ( n, p n ), n,,...}, gdzie n n, p n, n,,.... n EX n p n n n n 4 n ( ). (Skorzystaliśmy ze wzoru z Analizy Matematycznej: n n n D X np n (EX) (n) n n n 8 n ( ) n 9 8 n (Skorzystaliśmy ze wzoru z Analizy Matematycznej: n n n ( D X.7).5.5,.75 4.5.5 6/7 8/9.75 /.5 F() dla <.) ( ) + ( ) 9. + dla <.) ( ).5.5 4.75 6.5.5 4 5 6 7
(c) Wylicz - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznacz medianę i kwartyle dyskretnego rozkładu zmiennej losowej X podanego w tabeli: n n - 5 p n 6 EX + 5 + 7.8 6 6 D X ( ) +5 + 6 (EX) 69 7.47 6 ( D X 4.78).5,.5 - dowolna liczba z przedziału [, 5],.75 5 Przykłady 6. : charakterystyki liczbowe rozkładów ciągłych (a) Wylicz, o ile to możliwe, wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznacz medianę zmiennej losowej.5 dla, X o rozkładzie ciągłym o gęstości f() dla <, dla pozostałych. EX D X f()d.5d + f()d (EX) ( )d 4 +.8..5 d + ( )d ( ) + 5.4 6 4 44 Dystrybuanta zmiennej losowej X to (z przykładu 5.(a)) dla <, F ().5( + ) dla <, f(t)dt.5( ) dla <, dla.5(q + ) q,.5( q ) F ( q ) q albo q, q [, ) q [, ) q dla < q <.5, czyli q ( q) dla.5 q <. Mediana.5
(b) Wylicz - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznacz medianę i kwartyle ciągłego rozkładu zmiennej losowej X ma rozkład o gęstości f() dla <, dla <, 6 ( 4) dla <, 6 ( 5) dla <, dla ( ) EX f()d 6 ( 4)d + ( 5)d 6 + 5 7.67 (pierwsza całka w sumie równa jest jako całka z funkcji nieparzystej po przedziale symetrycznym względem zera) ( ) D X f()d (EX) 6 ( 4)d + ( 5)d ( ) 7 6 5 5 4 + 4 4 5 ( ) 7 74899.45 (wykorzystaliśmy fakt, że pierwsza całka jest z funkcji parzystej po przedziale symetrycznym względem zera) ( D X, 85) Dystrybuanta rozkładu X to (z przykładu 5.(b)) dla <, F () (( )+) dla <, 44 dla <, ( ) 4 dla <, dla..8.6.4.,5,75,5 F(),7458,5,4,5,75..5.5.5.5.5.5 F ().5 (( )+).5; < < + +.65 ; < <.5 jest rozwiązaniem tego równania Metodą przybliżoną otrzymujemy rozwiązanie.5.5 F ().5 (( )+).5; < < +.75 ; < <.5 jest rozwiązaniem tego równania Metodą przybliżoną otrzymujemy rozwiązanie.5.5 F ().75 ( ) 4.75; < < + 9 ; < < 7,.75 7.9
4 (c) Wylicz, o ile to możliwe, wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznacz medianę zmiennej losowej dla, X o rozkładzie ciągłym o gęstości f() dla >, Rozwiązanie: wartość oczekiwana EX nie istnieje, bo całka f()d d d jest rozbieżna do. Zatem wariancja D X nie jest nawet zdefiniowana. Dystrybuanta zmiennej losowej X to F () dla, f(t)dt dla >. F ( q ) q q q, czyli q q dla < q < Mediana.5 (d) Wylicz - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję oraz wyznacz medianę i kwartyle dla z, rozkładu zmiennej losowej Z o dystrybuancie F (z) ( z) dla < z, dla z >. ( z) dla < z <, Jest to rozkład ciągły o gęstości f(z) F (z) poza tym. EZ zf(z)dz z( z)dz z z. D Z ( D Z.57) z f(z)dz (EZ) z ( z)dz ( ) z F (z) q ( z) q z q dla < q < z4 4 ( ) 8.556 Zatem z.5.75.4, z.5.5.99, z.75.5.5
5 Przykłady 6. : transformacja zmiennej losowej - rozkład (a) Gracz rzuca kostką do gry i otrzymuje 5 zł za liczbę oczek podzielną przez, a płaci 5 zł za każdy inny wynik. Ma on możliwość wykonania co najwyżej 5 rzutów, a jednocześnie musi przerwać grę po pierwszej wygranej. Niech Y oznacza wynik gracza (w zł). Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y. X - czas oczekiwania na pierwszy sukces w schemacie Bernoulliego, sukces - liczba oczek podzielna przez, p X ma rozkład geometryczny Geo( ), P (X k) ( ) k dla k,,... 5 + ( 5) (X ), gdy X 5, Y 5 5 5, gdy X > 5. ( ) k Zatem P (Y 5 5(k )) dla k,,, 4, 5 P (Y 5) 4 ) k ( 5 ) k Rozkład Y możemy także podać w tabeli: X 4 5 >5 Y y k 5 5 5-5 ( 4 8 6 p k 9 7 8 4 4...48.988.658.8 (b) Zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy Ep(). Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y X., gdy, X ma rozkład wykładniczy Ep(), czyli gęstość postaci f X () e, gdy >. Dystrybuanta zmiennej losowej Z X to F Z (z) P (Z < z) P (X < z), gdy z, P ( X < z) F X ( z) F X ( z + ) F X ( z) F X ( z), gdy z > ; gdzie F X () to dystrybuanta zmiennej losowej X, tak że f X () F X() dla niemal wszystkich. F Z (z) odpowiada gęstości f Z (z) F Z(z) dla niemal wszystkich z., gdy z, Zatem f Z (z) z (f X( z) + f X (, gdy z, z)), gdy z >. z z e, gdy z >. Zauważmy, że jest to rozkład Weibulla W (, ).
6 (c) Promień kuli R ma rozkład jednostajny U(4.9; 5.) cm. Kulę wykonano z żelaza o gęstości 7.88 g/cm. Znaleźć rozkład masy M tej kuli., gdy r / [4.9; 5.], Gęstość R ma postać: f R (r) 5, gdy r [4.9; 5.]. 5. 4.9 Masa kuli równa jest M a R, gdzie a ( ) / 4 7.88π.7. Dystrybuanta zmiennej losowej M ma postać F M (m) P (M < m) P (R < a m) P (R < am / ) F R (am / ), gdzie F R (r) to dystrybuanta rozkładu R. Stąd M ma rozkład o gęstości f M (m) F M(m) dla niemal wszystkich m., gdy m / Zatem f M (m) a m / f R (am / [m, m ) ], 5a m /, gdy m [m, m ], gdzie m ( 4.9 a ) 88.9, m ( ) 5. a 478.5. (d) Zmienna losowa X ma rozkład Cauchy ego C(, ). Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y arctgx. Gęstość rozkładu Cauchy ego C(, ) ma postać f X () Stąd dystrybuanta zmiennej losowej X ma postać F X () f X (t)dt π arctg +. π( + ). Dystrybuanta zmiennej losowej Y arctgx to F Y (y) P (Y <y), gdy y π, P (X <tgy) F X (tgy) π y +, gdy π < y < π,, gdy y π. F Y (y) odpowiada gęstości f Y (y) F Y (y) dla niemal wszystkich y., gdy y / ( π Zatem f Y (y), ) π,, gdy y ( π, ) π π. Jest to gęstość rozkładu jednostajnego U ( π, π ). Wniosek: Y ma rozkład jednostajny U ( π, π ).
7 (e) Niech X będzie zmienną o rozkładzie normalnym N (, ). Znaleźć rozkład zmiennej losowej Y X. X ma rozkład normalny N (, ), czyli gęstość postaci f X () π e. Dystrybuanta zmiennej losowej Y X to F Y (y) P (Y < y), gdy y, P ( X < y ) F X (y ) F X ( y + ) F X (y ) F X ( y ), gdy y > ; gdzie F X () to dystrybuanta rozkładu X. F Y (y) odpowiada gęstości f Y (y) F Y (y) dla niemal wszystkich y., gdy y, Zatem f Y (y) y(f X (y ) + f X ( y )) 4 ye y4, gdy y >. π Przykłady 6.4 : transformacja zmiennej losowej - wartość oczekiwana (a) Promień kuli R ma rozkład jednostajny U(4.9; 5.) cm. Kulę wykonano z żelaza o gęstości 7.88 g/cm. Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję losowej masy M tej kuli wykorzystując rozkład promienia losowego R. Masa kuli równa jest M a R, gdzie a (4 7.88π/) /.7., gdy r / [4.9; 5.], Gęstość R ma postać: f R (r) 5, gdy r [4.9; 5.]. EM a ER a 5. 4.9 r f R (r)dr 5a 5. D M EM (EM) a 6 ER 6 (EM) a 6 5a 5. 4.9 4.9 r dr 5a 5.4 4.9 4 4 47.6 g. r 6 dr (EM) 5a 5.6 4.9 6 ( 5a 5.4 4.9 4 6 4 r 6 f R (r)dr (EM) ) 4.686 g. (b) Zmienna losowa X ma rozkład Cauchy ego C(, ). Wyliczyć - o ile to możliwe - wartość oczekiwaną i wariancję zmiennej losowej Y arctgx wykorzystując rozkład zmiennej losowej X. X ma gęstość postaci f X () π(+ ). EY EarctgX arctgf X ()d π arctg + arctg. π arctg + d D Y EY (EY ) Earctg X arctg f X ()d arctg π + d arctg + arctg ( ) π π π π.85.
8 Przykłady 6.5 : nierówność Czebyszewa, nierówność Markowa (a) Udowodnij nierówność Czebyszewa: Jeśli istnieje wariancja D X, to dla każdego a > mamy Dowód: D X Ω(X EX) dp X EX >a} P ( X EX a) D X a. (X EX) dp a P ( X EX a) (b) Prawdopodobieństwo urodzenia chłopca wynosi.57. Oszacować w jak licznej grupie noworodków prawdopodobieństwo tego, że liczba chłopców odbiega od średniej liczby chłopców w tej grupie o więcej niż 5% tej średniej, jest mniejsze niż.? Niech n oznacza nieznaną liczność grupy noworodków, X - liczbę chłopców w tej grupie. Średnia liczba chłopców w tej grupie to EX. Szukamy takiego n, dla którego P ( X EX.5EX) <.. () Model: schemat Bernoulliego, sukces - urodzenie chłopca, p.57, X - ilość sukcesów w n próbach, zatem EX.57n, D X.57(.57)n. Z nierówności Czebyszewa dla a.5ex mamy P ( X EX a) D X a.57(.57)n (.5.57n) 7.78 n. Zatem warunkiem wystarczającym dla zachodzenia nierówności () jest 7.78 n czyli równoważnie n 77. Wniosek: W grupie 77 noworodków spełniony jest warunek z zadania. <., Być może, spełniony jest on także w mniejszej grupie, ale nie potrafimy tego szybko uzasadnić.