pis treści Wstęp... 4 Zdni mturlne......................................................... 5 1. Funkcj kwdrtow... 5. Wielominy... 7. Trygonometri... 9 4. Wrtość bezwzględn... 11 5. Plnimetri... 15 6. tereometri... 17 7. Geometri nlityczn... 0 8. iągi... 9. Kombintoryk... 6 10. Rchunek prwdopodobieństw... 7 11. Dowody (geometri)... 0 1. Dowody (lgebr)... 4 1. Pochodn... 6 14. Optymlizcj... 7 15. Inne... 9 zkice rozwiązń... 40 1. Funkcj kwdrtow... 40. Wielominy... 5. Trygonometri... 57 4. Wrtość bezwzględn... 67 5. Plnimetri... 75 6. tereometri... 85 7. Geometri nlityczn... 97 8. iągi... 110 9. Kombintoryk... 117 10. Rchunek prwdopodobieństw... 10 11. Dowody (geometri)... 18 1. Dowody (lgebr)... 16 1. Pochodn... 14 14. Optymlizcj... 144 15. Inne... 15
Wstęp Od roku 010 mtemtyk n poziomie rozszerzonym jest zdwn n mturze wyłącznie jko przedmiot dodtkowy. Od tego czsu upłynęło już 8 lt. Jest to wystrczjący okres czsu, by n podstwie przeglądu rkuszy mturlnych zorientowć się, jkiego typu i o jkiej skli trudności zdń może spodziewć się n egzminie przyszły mturzyst. W tym zbiorze zebrłem wszystkie zdni, które występowły w rkuszch mturlnych KE, n poziomie rozszerzonym, w ltch 010-017. Zdni zostły jednk podzielone i uporządkowne według rozdziłów, występujących w typowym progrmie nuczni mtemtyki w szkole. Obok numeru kżdego zdni jest wskzówk, z rkusz której mtury dne zdnie pochodzi (miesiąc, rok, nr zdni i liczb punktów). Do wszystkich zdń podłem szkice rozwiązń, również do zdń zmkniętych. Ten zbiór zdń może być świetnym mteriłem do smodzielnego przygotowni się do egzminu. Może również być pomocny nuczycielowi w zplnowniu cyklu powtórzeń przygotowujących uczniów do mtury. Mm ndzieję, że ten bogty mterił pozwoli uczniom lepiej przygotowć się do egzminu. utor
18 Mtemtyk. Zbiór zdń mturlnych. Lt 010-017. Poziom rozszerzony Zdnie 6.. [mtur, mj 011, zd. 11. (6 pkt)] Dny jest ostrosłup prwidłowy czworokątny D o podstwie D. W trójkącie równormiennym stosunek długości podstwy do długości rmieni jest równy : = 6 : 5. Oblicz sinus kąt nchyleni ściny bocznej do płszczyzny podstwy. Zdnie 6.4. [mtur, czerwiec 011, zd. 1. (4 pkt)] W ostrosłupie trójkątnym o podstwie i wierzchołku dne są: = = = = 9 i = = 8. Oblicz objętość tego ostrosłup. Zdnie 6.5. [mtur, mj 01, zd. 10. (5 pkt)] Podstwą ostrosłup jest trójkąt równormienny. Krwędź jest wysokością ostrosłup orz = 8 10, = 118, = 11. Oblicz objętość tego ostrosłup. Zdnie 6.6. [mtur, czerwiec 01, zd. 11. (5 pkt)] Podstwą ostrosłup jest trójkąt równormienny, w którym = 0, = = 9 i spodek wysokości ostrosłup nleży do jego podstwy. Kżd wysokość ściny bocznej poprowdzon z wierzchołk m długość 6. Oblicz objętość tego ostrosłup. Zdnie 6.7. [mtur, mj 01, zd. 10. (4 pkt)] W ostrosłupie podstw jest trójkątem równobocznym o boku długości. Krwędź jest prostopdł do płszczyzny podstwy. Odległość wierzchołk od ściny jest równ d. Wyzncz objętość tego ostrosłup. Zdnie 6.8. [mtur, czerwiec 01, zd. 9. (5 pkt)] Podstwą ostrosłup prwidłowego trójkątnego jest trójkąt. Kąt nchyleni krwędzi bocznej do płszczyzny podstwy ostrosłup jest równy kątowi między krwędzimi bocznymi i zwrtymi w ścinie bocznej tego ostrosłup (zob. rysunek). Oblicz kosinus tego kąt. O Zdnie 6.9. [mtur, mj 014, zd. 9. (6 pkt)] Oblicz objętość ostrosłup trójkątnego, którego sitkę przedstwiono n rysunku. 40 40 48
88 Mtemtyk. Zbiór zdń mturlnych. Lt 010-017. Poziom rozszerzony Zdnie 6.6. (5 pkt) Podstwą ostrosłup jest trójkąt równormienny, w którym = 0, = = 9 i spodek wysokości ostrosłup nleży do jego podstwy. Kżd wysokość ściny bocznej poprowdzon z wierzchołk m długość 6. Oblicz objętość tego ostrosłup. Rozwiąznie: Oznczeni tk jk n rysunku. Wysokości ścin bocznych są równej długości, więc spodek wysokości tego ostrosłup jest środkiem okręgu wpisnego w podstwę. E 9 15 151 5 196 6. Pole podstwy: 1 P 0 6 540. Jednocześnie P = r p. tąd 9 9 0 540 r, 540 = r 54, r = 10. Wysokość ostrosłup: h 6 10 676 100 576 4. Objętość 1 V 540 4 40. Zdnie 6.7. (4 pkt) W ostrosłupie podstw jest trójkątem równobocznym o boku długości. Krwędź jest prostopdł do płszczyzny podstwy. Odległość wierzchołk od ściny jest równ d. Wyzncz objętość tego ostrosłup. Rozwiąznie: Oznczeni tk jk n rysunku. D =, DE d 4 Trójkąty DE i D są podobne. E D D D =, D 4 d. D DE DE D Objętość ostrosłup wynosi 1 1 d V d 4. r F h D E