MODEOWANIE INŻYNIERSKIE nr 45 t. 4 rok ISSN 89-77X MODEOWANIE BEEK PIĘCIOWARSTWOWYCH Krzyszto Mgnuki Pweł Jsion Mikołj Smyzyński Instytut Mehniki Stosownej Politehnik Poznńsk e-mil: mikolj.smyzynski@put.poznn.pl Streszzenie W pry przedstwiono model elki trójwrstwowej w którym uwzględniono ienkie wrstwy kleju łąząe okłdziny z rdzeniem. Sormułowno łkowitą energię potenjlną elki z zsdy stjonrnośi tej energii wyznzono ukłd równń różnizkowyh równowgi. Ukłd ten rozwiązno i wyznzono ugięie elki. Wyniki rozwiązni nlityznego porównno z wynikmi numeryznymi MES. Zmieszzono przegląd litertury z uwzględnieniem współzesnyh dń. MODEING OF FIVE AYER SANDWICH BEAMS Summry The sujet o the pper is n nlysis o deletion o ive lyer sndwih em. The mehnil nd physil properties vry through the thikness o the em nd depend on the mteril o eh lyer whih re: the metl e inding mteril (the glue) nd metl om ore. The min im o the pper is to present n nlytil model o the ive lyer em nd to ompre the results o the nlyses otined theoretilly nd numerilly. Moreover the proposed model is ompred with three lyer sndwih em model. In the pper mthemtil model o the ield o displements whih inlude shre eet nd ending moment is presented. The system o prtil dierentil equtions o equilirium or the ive lyer sndwih em is derived on the sis o the priniple o sttionry totl potentil energy. The equtions re nlytilly solved nd deletion is otined. The inluene o the inding lyer thikness nd Young s modulus on the vlue o deletion is nlysed. Comprison o the results otined in the nlytil nd numeril (MES) nlysis re shown in grphs nd igures.. WSTĘP Konstrukje trójwrstwowe są wytwrzne i stosowne od połowy dwudziestego wieku. Budow orz włśiwośi mehnizne rdzeni mją istotny wpływ n wytrzymłość orz oiążeni krytyzne tyh konstrukji. Pierwsze modele konstrukji trójwrstwowyh przedstwili C. iove i S.B. Butdor orz E. Reisner w 948 roku. Doskonlono je w nstępnyh lth. Rozwój modelowni orz wytwrzni konstrukji trójwrstwowyh opisli Noor [9] i Vinson [] przedstwili prolemy wytrzymłośi orz stteznośi. Wng [] opisł hipotezy wyższego rzędu uwzględnijąe śinnie elek orz płyt. Crrer [] sormułowł hipotezę zigzg dl płyt wielowrstwowyh. Chkrrti [4] oprowł nowy model MES z uwzględnieniem teorii zig-zg dl nlizy sttyznej lminownyh elek wrstwowyh. Qin [] zprezentowł modele nlityzne mehnizmów pękni elek wrstwowyh oiążonyh siłą poprzezną. Mgnuk-Blndzi [] Romnów [] Mgnuki [7] orz Mgnuki i inni [8] opisli wytrzymłość orz sttezność konstrukji wrstwowyh. Zenkert [4] przedstwił wytrzymłość elek wielowrstwowyh uwzględniją rozłązenie wrstw zewnętrznyh z rdzeniem. Irino [5] zdł zhownie się elki wrstwowej z ienkim rdzeniem orz wrstwmi zewnętrznymi z mteriłu CFRP przy zystym zginniu. Birmn [] przedstwił przegląd głównyh dń nd mteri- 9
Krzyszto Mgnuki Pweł Jsion Mikołj Smyzyński łmi grdientowymi uwzględniją pre opulikowne n przełomie osttnih lt. Bnhrt [] zprezentowł produkję hrkterystykę orz zkres zstosowń metli porowtyh i pin metlowyh. zewnętrznej t jest gruośią kleju t gruośią rdzeni. Belk jest oiążon siłą w połowie długośi (rys. ). F przyłożoną Przedmiotem nlizy jest elk pięiowrstwow o długośi szerokośi orz wysokośi H t t t gdzie t jest gruośią wrstwy Rys.. Shemt oiążeni elki pięiowrstwowej. MODE ANAITYCZNY Deormję płskiego przekroju poprzeznego elki przedstwiono n rys.. Rys.. Shemt przemieszzeń w przekroju poprzeznym elki Pole przemieszzeń sormułowno nstępująo:. górn okłdzin ( ) ζ ( ) ( ) t ζ dw u ζ (). górn wrstw kleju ( ) ζ 9
MODEOWANIE BEEK PIĘCIOWARSTWOWYCH dw ( ) t ζ ζ ( ) u ζ (). rdzeń / ζ / dw ( ) t ζ u ζ () / ζ 4. doln wrstw kleju dw u t ( ) ( ζ ) ζ ( ) ζ ( ) ( ) 5. doln okłdzin / ζ / (4) ( ) t ζ dw u ζ (5) t / t t / t z / t u ) / t ζ ( ) ( ) ( u ( ) / t. Odksztłeni dl kżdej wrstwy są nstępująe:. górn okłdzin d w d t ζ. górn wrstw kleju γ z () d d d w t ζ ζ γ z [ ]. rdzeń d w d tζ γ z 4. doln wrstw kleju (8) d d d w t ζ ζ 5. doln okłdzin d w d t ζ γ [ ] z (7) ( ) ( ) (9) γ z. () Związki izyzne zgodnie z prwem Hooke dl poszzególnyh wrstw są posti: σ E z Gγ z τ. () 9
Krzyszto Mgnuki Pweł Jsion Mikołj Smyzyński Moment gnąy w dowolnym przekroju poprzeznym elki d w M σ zda t E E E A d d E E ( 4 ) E E ( ) ( ) ( ) ( ) 4 ( ) 4. () Sił poprzezn w dowolnym przekroju poprzeznym elki ( ) τ z A Q da t G G G G E ( υ ) G E ( υ ). ().. RÓWNANIA RÓWNOWAGI Energię potenjlną odksztłeni sprężystego zdeiniowno nstępująo U ( σ γ zτ z ) dv t ( E E E ) (4) E V E t d w d w d d w d d E Et d d w d d d d ( ) d d ( ) G [ ] 4 E d w d E 4G t. Pr oiążeni zewnętrznego W qw. (5) 9
MODEOWANIE BEEK PIĘCIOWARSTWOWYCH Z zsdy stjonrnośi łkowitej energii potenjlnej δ ( W ) trzeh ząstkowyh równń różnizkowyh równowgi: U po wykonniu łkowni otrzymno ukłd 4 d w d t E E E E 4 E ( 4 ) d E E ( ) q d w d d E E E E E G [ ] t ( 4 ) d w d d ( ) ( ) E E E E E G 4 G G t t () (7) (8) Pierwsze równnie () ukłdu jest równowżne z równniem momentu gnąego (). Ztem do dlszej nlizy przyjęto ukłd trzeh równń () (7) orz (8) w którym występują trzy unkje: w - ugięie orz i - ezwymirowe przemieszzeni... UGIĘCIE BEKI Belk pięiowrstwow oiążon jest siłą poprzezną F przyłożoną w środku jej długośi. Moment gnąy jest równy M F dwóh: ztem po prostyh przeksztłenih ukłdu trzeh równń () (7) orz (8) sprowdzono do d d G F ( ) ( ) [ ] t t d 4 G F ( ) ( ) t t d E E E E E ( 4 ) E E ( ) E E E ( ) E E E (9) () 94
Krzyszto Mgnuki Pweł Jsion Mikołj Smyzyński ( E E ) E E. Ukłd równń rozwiązno w sposó przyliżony stosują metodę Bunov-Glerkin. Przyjęto nstępująe posti unkji: π w w sin π π ( ) os. α os α Po ortogonlizji ukłdu (9 ) otrzymno gdzie D α α w F 4 π D k k k t % α % % % α A A k k k k G k π t k G π t 4G k ( ). π t () () k k A Przykłdowe ugięi środk elki pięiowrstwowej w w zleżnośi od gruośi wrstwy kleju orz jej włśiwośi zmieszzono w Teli. Przyjęto nstępująe dne: t mm H mm E 5 MP E MP mm 5 mm F kn. Tel. Ugięi elki w[ mm ] dl różnyh gruośi wrstwy kleju orz różnyh modułów Young Wyznzone wrtośi ugięi () uzyskno dl unkji () z jednym współzynnikiem kżd. Zwiększono lizę współzynników tyh unkji zpisno: π π π π os os os os () π π w w sin w sin. 95
MODEOWANIE BEEK PIĘCIOWARSTWOWYCH Po ortogonlizji ukłdu (9 ) otrzymno ugięie w posti F wm w w w 4 D D π D α β 9 t D t α α 9 α α A A B β β α ( ) B π G π t G t G β 9 ( ) π t ( ) G 9 π t 4G β 9 ( ). π t β β α ( ) 4G α ( ) β 9 () π t Wrtośi lizowe ugięi zestwiono w teli. Tel. Ugięi elki w [ ] m różnyh modułów Young mm dl różnyh gruośi wrstwy kleju orz 9
Krzyszto Mgnuki Pweł Jsion Mikołj Smyzyński. MODE NUMERYCZNY MES Model numeryzny MES zudowno z ośmiowęzłowyh elementów ryłowyh rdzeń i wrstw łązą orz zterowęzłowyh elementów powłokowyh okłdziny. Między poszzególnymi wrstwmi elki zdno odpowiednie wrunki łąząe. Okłdziny odsunięto od wrstwy kleju o pół gruośi. Z uwgi n symetrię modelu rozwżono jedynie ćwirtkę elki (rys.). przedstwiono n rys. 4 gdzie dl porównni zmieszzono wrtośi z dwóh rozwiązń nlityznyh (tel i tel ). Rys. 4. Porównnie wyników uzysknyh metodą nlityzną i MES Różnie między wrtośimi ugięi elki wyznzone numeryznie metodą elementów skońzonyh- MES nlityznie z uwzględnieniem dwóh przyliżeń wynoszą: do 5% dl unkji z jednym współzynnikiem ntomist do 5% dl unkji z dwom współzynnikmi. 4. ZAKOŃCZENIE Rys.. Model numeryzny elki pięiowrstwowej orz jej postć ugięi Przeprowdzono nlizę sttyzną i wyznzono ugięi elki. Wymiry elki orz włsnośi mteriłu przyjęto tkie sme jk w rozwiązniu nlityznym. Wrtośi ugięi otrzymne z metody elementów skońzonyh W pry przedstwiono teoretyzne modelownie elek pięiowrstwowyh. Zproponowno model uwzględnijąy wrstwy kleju łąząe okłdziny z rdzeniem. Uwzględniono energię odksztłeni postiowego elki oiążonej siłą poprzezną. Zdno wpływ gruośi wrstwy łąząej orz modułu Young n wrtośi ugięi. itertur. Bnhrt J.: Mnuture hrteristion nd pplition o ellulr metls nd metl oms. Progress in Mteril Siene 4 p. 559-.. Birmn V. Byrd.W.: Modeling nd nlysis o untionlly grded mterils nd strutures. Applied Mehnis Reviews 7 5 p. 95-.. Crrer E.: Historil review o zig-zg theories or multilyered pltes nd shells. Applied Mehnis Reviews 5 p. 87-8. 4. Chkrrti A. Chlk H.D. Iql M.A. Sheikh A.H.: A new FE model sed on higher order zigzg theory or the nlysis o lminted sndwih em with sot ore. Composite Strutures 9 p. 7-79. 5. Irino P. eone C. Durnte M. Cprino G. mogli A.: Eet o thin sot ore on the ending ehvior o sndwih with thik CFRP ings. Journl o Sndwih Strutures nd Mterils p. 59-75.. Mgnuk-Blndzi E.: Sttezność elek i płyt trójwrstwowyh orz elek ienkośiennyh ksztłtownyh n zimno. Poznń: Wyd. Pol. Pozn.. Rozprwy 449. 97
MODEOWANIE BEEK PIĘCIOWARSTWOWYCH 7. Mgnuki K.: Wytrzymłość i sttezność elek-słupów trójwrstwowyh. Modelownie Inżynierskie nr 4 t. s. 49-58. 8. Mgnuki K. Jsion P. Szy W. Smyzynski M.: Strength nd ukling o sndwih em with thin inding lyers etween es nd metl om ore. In: The World Congress on Advnes in Struturl Engineering nd Mehnis Seoul Kore p. 8-85. 9. Noor A.K. Burton W.S. Bert C.W.: Computtionl models or sndwih pnels nd shells. Applied Mehnis Reviews 99 49 p. 55-99.. Qin Q.H. Wng T.J.: An nlytil solution or the lrge deletions o slender sndwih em with metlli om ore under trnsverse loding y lt punh. Composite Strutures 9 88 4 p. 59-58.. Romnów F.: Wytrzymłość konstrukji wrstwowyh sttyk sttezność drgni dni doświdzlne. Zielon Gór: Wyd. Wyższej Szkoły Inżynierskiej 995.. Vinson J.R.: Sndwih strutures. Applied Mehnis Reviews ASME 54 p. -4.. Wng C.M. Reddy J.N. ee K.H.: Sher deormle ems nd pltes. Amsterdm: Elsevier. 4. Zenkert D.: Strength o sndwih ems with intere deondings. Composite Strutures 99 7 4 p. - 5. Temt relizowny w rmh grntu DS-MK -88/. 98