WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYK UKŁADU LINIOWEGO PRZY REZONANSIE PRZEJŚCIOWYM

Transkrypt

1 MODELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN X 36, s. 7-, Gliwie 8 WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYK UKŁADU LINIOWEGO PRZY REZONANSIE PRZEJŚCIOWYM PAWEŁ KRASOWSKI Ktedr Podstw Tehniki, Akdemi Morsk w Gdyni e-mil: pwks@m.gdyni.pl Streszzenie. W rtykule rozptrywno przejśie przez strefę rezonnsu ukłdu liniowego o jednym stopniu swoody przy wzrstjąej zęstośi wymuszeni (rozpędznie ukłdu) orz przy mlejąej zęstośi wymuszeni podzs hmowni ukłdu. N podstwie przeprowdzonyh symulji numeryznyh wyznzono ezwymirowe hrkterystyki dynmizne ukłdu przy przejśiu przez rezonns. Chrkterystyki te określją współzynnik wzmonieni mplitudy orz zęstość rezonnsu dynmiznego w funkji zminy zęstośi wymuszeni.. WSTĘP Wiele ukłdów mehniznyh w tym większość okrętowyh ukłdów npędowyh jest eksplotown powyŝej orotów krytyznyh odpowidjąyh pierwszej zęstośi drgń włsnyh skrętnyh ukłdu npędowego []. W związku z tym istnieje koniezność przehodzeni przez strefę rezonnsu mehniznego przy rozpędzniu ukłdu do prędkośi eksplotyjnej zyli wzrostu zęstośi wymuszeni z zkresu pod do pozrezonnsowego (eksplotyjnego). Odwrotn sytuj istnieje podzs odstwini ukłdu npędowego, zyli zmniejszni zęstośi wymuszeni z zkresu eksplotyjnego. Rezonnsem przejśiowym w odróŝnieniu od rezonnsu stjonrnego nzwiemy stn osiągnięi mksymlnej mplitudy drgń przy wymuszeniu o zmiennej (wzrstjąej lu mlejąej) zęstośi wymuszeni. Zgdnieni rezonnsu przejśiowego rozwŝno w wielu prh juŝ w okresie przed i powojennym, wyjśniją istotę tego zjwisk. Pełną syntetyzną nlizę tyh pr przedstwiono m. in. w []. Częstość rezonnsu przejśiowego jest zwsze przesunięt w stronę zęstośi wyŝszyh przy rozpędzniu ukłdu i w stronę zęstośi niŝszyh przy hmowniu ukłdu, mplitud jest zwsze mniejsz od mplitudy przy rezonnsie stjonrnym [],[]. Wielkość przesunięi zęstośi rezonnsowyh i wielkość mplitudy zleŝy od sposou i prędkośi przejśi przez zkres zęstośi rezonnsowyh. Przeiegi drgń przy rezonnsie przejśiowym wyznzono metodą numeryznej symulji równń ruhu ukłdu.

2 8 P. KRASOWSKI. MODEL UKŁADU DRGAJĄCEGO W rtykule nlizowno drgjąy ukłd liniowy o jednym stopniu swoody (rys.) o prmetrh m,, k hrkteryzująyh włsnośi msowe (m), tłumiąe () i spręŝyste (k). N ukłd dził uogólnion sił wymuszją P(t) o stłej mplitudzie P o i zmiennej zęstośi wymuszeni. Przeieg drgń x(t) przy zdnyh prmetrh rozpędzni lu hmowni ukłdu jest wyznzny n podstwie symulji numeryznego łkowni równni róŝnizkowego opisująego proes drgń ukłdu przy przehodzeniu przez rezonns. Równnie ruhu ukłdu drgjąego w posti przyspieszeni współrzędnej uogólnionej x m postć [4],[5]: ( t) & x + ξωx& + ωx = qsin ϕ () P gdzie: ω k = ; ξ = ; kr = km ; q = m kr m przy zym: ω - zęstość drgń włsnyh ukłdu nietłumionego; ξ - ezwymirowy współzynnik tłumieni; φ(t) funkj kątow zminy zęstośi wymuszeni w zsie t. Rys. Shemt ukłdu drgjąego o jednym stopniu swoody W przypdku jednostjnej (liniowej) zminy zęstośi wymuszeni ω od zęstośi pozątkowej ω p z przyspieszeniem kątowym ε [s - ] funkję kątową φ zminy zęstośi orz zminę zęstośi wymuszeni ω przedstwi się w posti: ω ( t) = ωp + εt ( t) = ω t + εt ϕ p () Szykość i kierunek przehodzeni przez strefę rezonnsu hrkteryzuje znk i wrtość przyspieszeni ε. Stny rezonnsu sttyznego występują dl zkresów ezwymirowego współzynnik tłumieni ξ w grnih ξ ξ. Równnie () wrz z funkją zminy zęstośi gr wymuszeni () opisuje drgni ukłdu przy zmiennej liniowo zęstośi siły wymuszjąej. Jest to równnie róŝnizkowe, którego rozwiąznie nlityzne i numeryzne nlizowno w prh [],[3],[5]. W niniejszej pry rozwiąznie równni uzyskno n drodze numeryznej.

3 WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYK UKŁADU LINIOWEGO PRZY REZONANSIE 9 3. SYMULACJA DRGAŃ, CHARAKTERYSTYKI REZONANSOWE Równnie () rozwiązywno numeryznie metodą Rungego-Kutty rzędu zwrtego ze zmiennym utomtyznym doorem kroku łkowni [3]. Wielkośimi określjąymi przejśie przez rezonns yły: zęstość pozątkow wymuszeni ω p orz zmin zęstośi wymuszeni ε. Wszystkie symulje przeprowdzono przy jednkowyh zerowyh wrunkh pozątkowyh wyhyleni orz prędkośi drgń. Podzs symulji stosowno pozątkowe zęstośi wymuszeni ω p umoŝliwijąe jednkowy zs osiągni zęstośi włsnej przy zwiększniu jk i zmniejszniu zęstośi wymuszeni. W wyniku rozwiązni równni otrzymno dl dnego ukłdu drgjąego i dnyh prmetrów zminy zęstośi wymuszeni przeieg wyhyleni x w funkji zsu t, gdzie przykłdowy przeieg tej zleŝnośi przedstwiono n rys. jko frgment okn dilogowego progrmu symulyjnego, gdzie moŝn odzytć Rys. Przemieszzenie x(t) orz sił wymuszją przy rezonnsie dynmiznym wrtość mksymlnej mplitudy x m orz odpowidjąy jej zs t m od rozpozęi symulji. Z zsu t m moŝn wyznzyć ze wzoru () dl zdnyh wrunków symulji ω p i ε zęstość rezonnsową ω R przy której nstępuje mksimum mplitudy. Dl poszzególnyh ukłdów drgjąyh i symulji moŝn zudowć prmetry ezwymirowe nlogizne jk w hrkterystykh rezonnsowyh przy stłej zęstośi wymuszeni [],[5]. Są to prmetry: współzynnik mplitudy przy rezonnsie przejśiowym µ d orz ezwymirow zęstość rezonnsow η d definiowne nstępująo: x m ωr µ d = ; ηd = ; xst ω P xst = k (3) Przykłdowy wykres współzynnik wzmonieni mplitudy µ d w funkji przyspieszeni ε przedstwiono n rys.3 dl tłumieni względnego ξ = (A) i ξ =, (B) dl trzeh przykłdowyh ukłdów drgjąyh róŝniąyh się zęstośią włsną i oznzonyh,,. Wprowdzono wielkość ezwymirowego przyspieszeni ε* zdefiniownego [] nstępująo: * ε = ω ε (4) Wszystkie wykresy współzynnik wzmonieni mplitudy µ d w funkji przyspieszeni ε * dl róŝnyh ukłdów drgjąyh przy tym smym tłumieniu względnym moŝn przedstwić n jednej hrkterystye przedstwionej n rys. 4 dl trzeh róŝnyh wrtośi tłumieni względnego ξ równego ;,;,5 oznzonyh yfrmi,,3. Otrzymne w wyniku symulyjnego przejśi przez strefę rezonnsu przedstwione wykresy są symetryzne względem osi pionowej. Wielkośi mplitudy drgń rezonnsowyh dl zerowego przyspieszeni (ε* = ) osiągją wrtośi jk przy rezonnsie o stłej zęstośi wymuszeni µ rs wynosząej:

4 P. KRASOWSKI ξ = µ = rs < ξ < ξgr ξ ξ (5) A µ d 8 ξ= 6 4 -, -,8 -,4,4,8 ε [s [ ], B 5 µ d 4 ξ=, 3 -, -,8 -,4,4,8 - ε [s [ ], Rys.3 Amplitud rezonnsow µ d w funkji przyspieszeni ε przy tłumieniu A) = ; B) ξ =, dl ukłdów: ) ω = [s - ]; ) ω = [s - ]; ) ω =,5[s - ]. Podonie jk mplitudę rezonnsu dynmiznego µ d nlizowno zęstość rezonnsową ω d w funkji przyspieszeni ε i przyspieszeni ezwymirowego ε*.przykłdowe wykresy zęstośi rezonnsowej η d w funkji przyspieszeni ε dl tyh smyh ukłdów drgjąyh jk n rys. µ d , -,8 -,4,4,8 ε*, Rys.4 Bezwymirow mplitud rezonnsow µ d w funkji przyspieszeni ε * dl wrtośi tłumieni względnego ξ :) ξ = ; ) ξ =,; 3) ξ =,5 przedstwiono n rys.5 przy tłumieniu względnym ξ = (A). Usytuownie wykresów,, dl róŝnyh zkresów zęstośi włsnej względem zęstośi ω = jest nlogizne jk n

5 WYZNACZANIE CHARAKTERYSTYK UKŁADU LINIOWEGO PRZY REZONANSIE wykresh z rys i 3 dl mplitud rezonnsowyh. W przypdku przyspieszeni ε = zęstość rezonnsow jest równ zęstośi przy rezonnsie ze stłą zęstośią wymuszeni wynosząą: rs = η ξ (6) Z przedstwionyh wykresów,, wynik, iŝ przesunięie wielkośi strefy rezonnsowej w kierunku wyŝszyh zęstośi przy rosnąej zęstośi wymuszeni jk i przesunięie strefy rezonnsu w stronę niŝszyh zęstośi jest zleŝne od tłumieni orz przyspieszeni zęstośi wymuszeni. A ξ=,5,4,3 η d,,,9,8,7,6,5 - -, -,8 -,4,4,8 ε [s [ ], Rys. 5 Częstość rezonnsow η d w funkji przyspieszeni ε przy tłumieniu względnym A) ξ = ; B) ξ =, dl ukłdów: ) ω = [s - ];) ω = [s - ]; ) ω =,5[s - ] Wzrost tłumieni względnego powoduje zmniejszenie strefy przesunięi zęstośi rezonnsowyh, wzrost wrtośi przyspieszeni powoduje zwiększenie strefy przesunięi zęstośi rezonnsowyh.,5, η d 3,5,,5 3,95,9,85,8,75 -, -,8 -,4,4,8 ε, Rys.6 Bezwymirow zęstość rezonnsow η d w funkji przyspieszeni ε * dl wrtośi tłumieni względnego ξ :) ξ = ; ) ξ =,; 3) ξ =,5 Przykłdowe hrkterystyki przesunięi zęstośi rezonnsowyh w funkji przyspieszeni ezwymirowego ε* przedstwiono n rys.6 dl trzeh róŝnyh współzynników tłumieni względnego ξ oznzone yfrmi,,3.

6 P. KRASOWSKI 4. WNIOSKI N podstwie przeprowdzonyh symulji numeryznyh rezonnsu przejśiowego moŝn określić wrtośi mplitud orz zęstośi rezonnsowyh w zleŝnośi od szykośi zmin zęstośi siły wymuszjąej. Współzynnik mplitudy przy rezonnsie przejśiowym przy dnym tłumieniu względnym jest zwsze mniejszy od tego współzynnik przy rezonnsie stjonrnym. Zkres tego ezpiezeństw widć n wykresh rys.4 i mleje on ze wzrostem tłumieni. Przesunięie zęstośi rezonnsu dynmiznego nstępuje w stronę zęstośi wyŝszyh od zęstośi drgń swoodnyh przy rozpędzniu ukłdu i w stronę zęstośi niŝszyh przy odstwiniu ukłdu. Mleje ono ze wzrostem tłumieni i rośnie ze wzrostem przyspieszeni. Prezentowny model mszyny jko ukłdu drgjąego o jednym stopniu swoody jest zgrunym przyliŝeniem, gdyŝ jest to ukłd dyskretno iągły o większej lizie stopni swoody. Przedstwiony sposó przejśi przez strefę rezonnsową hrkteryzuje się liniową zminą zęstośi i moŝn go rozszerzyć n inne rdziej rozudowne hrkterystyki zminy zęstośi wymuszeni. Bdni symulyjne moŝn zstosowć tkŝe do ukłdów o większej lizie stopni swoody. Anlogizne hrkterystyki rezonns przejśiowego moŝn zudowć przy wymuszeniu ezwłdnośiowym lu przy róŝnyh modelh wymuszeni kinemtyznego. Otrzymnie hrkterystyk rezonnsu przejśiowego n drodze symulji numeryznej równń ruhu ukłdu jest znznie szysze niŝ ih otrzymnie n drodze nlityznej, któr wymg większyh nkłdów zsowyh. LITERATURA. Goliński J.A.: Anliz rezonnsu przejśiowego jednomsowego ukłdu spręŝystego i jej zstosownie do teorii wiroizolji mszyn wirnikowyh. Wrołw 963. Cz. I. Pre IMP z. 3, s Kruszewski J., Wittrodt E.: Drgni ukłdów mehniznyh w ujęiu komputerowym. T.I Zgdnieni liniowe. Wrszw : WNT, Kuhrski T.: Drgni mehnizne. Rozwiązywnie zgdnień z MATHCAD-em. Wrszw: WNT, Mrinik A., Gregule D., Kzmrek J.: Podstwowe proedury numeryzne w języku Turo Psl. Poznń: Mikom, Osiński J. Teori drgń. Wrszw :PWN, 98. THE DETRMINATION CHARACTERISTICS BY TRANSIENT RESONANCE OF LINEAR SYSTEM Summry. Present pper shows trnsient through resonne zone of liner system with one degree of freedom y inresing exiting frequeny (system elertion) nd y deresing exiting frequeny during system rking. On the sis of numeri simultions the dynmi system y the resonne trnsition is presented in dimensionless hrteristis. This hrteristis desries the mplitude gin ftor nd dynmi resonne frequeny in the vrition of exiting frequeny funtion.