FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS Folia Pomer. Univ. Technol. Stetin. 2010, Oeconomica 280 (59), 45 52

Transkrypt

1 FOLIA POMERANAE UNIVERSITATIS TECHNOLOGIAE STETINENSIS Foli Poer. Univ. Tehnol. Stetin., Oeonoi 8 59, 45 5 Mteusz Go MODELOWANIE ROZKŁADÓW STOPY BEZROBOCIA ZA POMOCĄ KRZYWYCH PEARSONA MODELLING THE DISTRIBUTION OF THE UNEMPLOYMENT RATES USING PEARSON FAMILY DISTRIBUTIONS Ktedr Zstosowń Mtetyki w Ekonoii, Zhodniopoorski Uniwersytet Tehnologizny w Szzeinie ul. Kleens Jnikiego 3, 7-7 Szzein Abstrt. The ppers present tril o use o the Person ily distributions in odeling the onthly distributions o the uneployent rtes by the regions in 4-7 period. Results o itting the Person distributions were opred with pproints given by Generized Etree Vlue distribution nd G distribution. In ny ses Person distributions were better itted thn "lssil" distributions. Słow kluzowe: bezroboie, odelownie rozkłdów, syste krzywyh Person. Key words: distribution odeling, Person ily distributions. WSTĘP W odelowniu rozkłdów epiryznyh ziennyh ekonoiznyh doinuje podejśie polegjąe n ih proksyowniu z pooą określonej klsy rozkłdów teoretyznyh ziennej losowej iągłej hrkteryzująyh się np. prwostronną syetrią. Alterntywne podejśie poleg n wykorzystniu do tego elu systeu krzywyh Person obejująyh XII typów rozkłdów. Dorobek publikyjny poświęony zstosowniu tego systeu krzywyh w odelowniu i prognozowniu rozkłdów epiryznyh jest stosunkowo ubogi. Njobszerniejszą w ty zkresie prę, poświęoną odelowniu rozkłdów pł, opublikowli Kordos i Stroińsk 973 b. Cele pry jest sprwdzenie przydtnośi krzywyh Person w odelowniu rozkłdów n przykłdzie iesięznyh rozkłdów epiryznyh stopy bezroboi według ist i powitów w lth 4 7. MATERIAŁ I METODY Pod konie XIX wieku Krl Person oprowł syste rozkłdów ziennej losowej, który zostł wyprowdzony z równni różnizkowego o posti Rose i Sith : dp p d o Ksztłt krzywej zleży od ztereh pretrów,,,, które ogą być wyrżone w zleżnośi od pierwszyh ztereh oentów rozkłdu. Person uzyskł w ten sposób typów rozkłdów, jednk njszersze prktyzne zstosownie ją typy I VII.

2 46 M. Go Przyporządkownie krzywej rozkłdu do odpowiedniego typu zleży od wrtośi współzynnik κ, który jest wyrżony wzore Sturt i Ord 994: gdzie: kwdrt współzynnik skośnośi, współzynnik kurtozy, 4 i oenty entrlne i-tego rzędu. W zleżnośi od wrtośi pretru κ Person wyznzył trzy typy podstwowe orz ztery typy przehodnie. Do typów podstwowyh zlizy Kordos 973 : typ I, gdy κ <, typ IV, gdy < κ <, typ VI, gdy κ >. Typy przehodnie to: typ II, gdy κ =, typ III, gdy w prktye stosuje się, gdy 4, typ V, gdy κ =, typ VII, gdy κ =. Jeśli ob pierwistki trójinu są rzezywiste i ją różne znki, to otrzyuje się typ I rozkłdu Person. Oznzją pierwistki jko i, otrzyujey unkję gęstośi o posti: gdzie:, 3 K orz. Jeżeli ob wykłdniki potęg są ujene, to rozkłd jest U-ksztłtny, ntoist jeśli jedn z potęg jest ujen, drug dodtni rozkłd jest J-ksztłtny. Typ ten jest ogólną postią rozkłdu bet. Typ II jest szzególny przypdkie rozkłdu typu I, dl którego =, poiędzy pierwistki zhodzi zleżność. Rozkłd tego typu jest syetryzny, jego unkj gęstośi postć: K, 4 Szzególny przypdkie tego typu dl jest rozkłd prostokątny. W sytuji, gdy orz, otrzyuje się typ III rozkłdu systeu Person, którego unkję gęstośi ożn zpisć w posti:

3 Modelownie rozkłdów stopy bezroboi ep K, dl orz dl 5 gdzie:. Szzególnyi przypdki rozkłdów tego typu są rozkłdy g i χ. Typ IV rozkłdu systeu Person otrzyujey, gdy trójin kwdrtowy o nie rzezywistyh pierwistków. Jego unkj gęstośi wyrż się wzore: 4 4 ep rtg K, 6 Gdy trójin o tylko jeden pierwistek, otrzyujey typ V o unkji gęstośi: Ke, 7 Szzególnyi przypdki rozkłdów tego typu jest rozkłd norlny odwrotny. Gdy pierwistki trójinu są rzezywiste i ją ten s znk, otrzyuje się typ VI rozkłdu. Jego unkj gęstośi postć: K, dl orz dl 8 Szzególny przypdkie rozkłdu typu VI jest rozkłd typu VII. Jest to rozkłd syetryzny; otrzyuje się go, gdy dl ; jego unkj gęstośi wyrżon jest wzore: K, 9 Szzególny przypdkie tej krzywej jest rozkłd t-student. Aproksynty uzyskne n podstwie krzywyh Person zostną porównne z proksynti uzysknyi n podstwie uogólnionego rozkłdu wrtośi ekstrelnyh GEV orz rozkłdu g G. Przydtność powyższyh unkji w odelowniu rozkłdów stopy bezroboi zostł udowodnion.in. w pry Go 9. Funkj gęstośi uogólnionego rozkłdu wrtośi ekstrelnyh wyrżon jest wzore Kotz i Ndrjh : ep ep ep ep dl dl dl

4 48 M. Go Ntoist unkję rozkłdu g opisuje wzór Johnson i in. 994: ep, Do testowni zgodnośi rozkłdów epiryznyh wykorzystno test λ-kołogorow orz test zgodnośi χ. WYNIKI I DYSKUSJA W pry dokonno proksyji iesięznyh rozkłdów stopy bezroboi według ist i powitów w lth 4 7. W pierwszy etpie bdń, w elu przyporządkowni rozkłdów epiryznyh do konkretnego typu krzywej, dl kżdego iesią zostły oblizone współzynniki κ orz β i β. Wyniki oblizeń zwier tb.. Po przeprowdzeniu oblizeń okzło się, że we wszystkih bdnyh iesiąh rozkłdy stopy bezroboi według ist i powitów powinny być proksyowne z pooą krzywej I typu. W kolejny etpie dokonno odelowni rozkłdów epiryznyh z pooą I typu personowskiego PEARSON I. Uzyskne wyniki porównno z proksynti uzysknyi n podstwie rozkłdów uogólnionego wrtośi ekstrelnyh GEV orz g G. Dl poziou istotnośi, 5 wrtośi krytyzne testów:, 36 orz χ 9,49, χ,7 i, 59. Wyniki zgodnośi rozkłdów epiryznyh PEARSON I GEV G teoretyznyh zestwiono w tb.. Z przeprowdzonyh oblizeń wynik, że w przypdku rozkłdu PEARSON I dl wszystkih iesięy uzyskno njniejsze wrtośi sttystyk epiryznyh λ ep. W przypdku sttystki χ ep iło to iejse w pond 35% przypdków. Jedynie w dwóh iesiąh w luty 6 r. orz w styzniu 7 r. wrtośi sttystyk χ ep nie potwierdziły zgodnośi rozkłdów epiryznyh i teoretyznyh. N rysunkh i przedstwiono griznie wyniki odelowni rozkłdów z zerw 4 r. orz z grudni 7 r. W tbeli 3 przedstwiono wrtośi pretrów proksyownyh unkji.

5 Modelownie rozkłdów stopy bezroboi Tbel. Wyniki przyporządkowni rozkłdów stopy bezroboi do krzywyh Person Rok Miesią κ β β Typ krzywej Person styzeń,66,53,5 I luty,6,37,495 I rze,638,6,596 I kwieień,647,78,57 I j,738,8,547 I zerwie,67,,538 I lipie,753,4,5399 I sierpień,78,9,5437 I wrzesień,894,49,5855 I pździernik,947,53,59 I listopd,974,574,598 I grudzień,994,589,674 I styzeń,954,545,599 I luty,94,48,576 I rze,88,469,5633 I kwieień,857,448,555 I j,89,53,554 I zerwie,98,579,5484 I lipie,37,737,596 I sierpień,,85,63 I wrzesień,99,936,6475 I pździernik,76,8,67 I listopd,347,8,6957 I grudzień,69,8,668 I styzeń,,675,63 I luty,946,587,5749 I rze,953,57,5845 I kwieień,95,487,5753 I j,843,4,5496 I zerwie,768,39,56 I lipie,85,44,565 I sierpień,97,587,59 I wrzesień,54,693,678 I pździernik,,93,6558 I listopd,86,96,6443 I grudzień,5,99,639 I styzeń,69,97,6775 I luty,48,935,6734 I rze,3,95,6665 I kwieień,99,854,664 I j,68,974,676 I zerwie,557,69,7696 I lipie,443,79,7377 I sierpień,493,,754 I wrzesień,73,434,87 I pździernik,97,8,937 I listopd,7,786,899 I grudzień,346,94,934 I

6 5 M. Go Tbel. Zgodność rozkłdów epiryznyh stopy bezroboi z rozkłdi PEARSON I, GEV i G Rok Miesią Rozkłd PEARSON I GEV G λ ep χ ep λ ep χ ep λ ep χ ep styzeń,793 7,54,545 4,3,6966 4,69 luty,936 7,56,5 5,96,6785 6,99 rze,36 7,55,55 6,4,6576 5,38 kwieień,346 6,7,4666 5,,69 6,78 j,559 4,,4396 4,46,5885 3, zerwie,58,79,55 5,84,7367 4,86 lipie,3 3,3,579 5,33,65 6,9 sierpień,64,95,54 6,9,57 4,68 wrzesień,93,5,453,,678 3,37 pździernik,63 4,75,57,,6374 3,8 listopd,63 4,97,546 4,76,6576 5,5 grudzień,336 7,8,568 4,3,697 7,65 styzeń,73 7,5,484 5,4,63 5,7 luty,38 6,33,4688 5,,6 3,45 rze,96 7,78,54 4,8,665 4,5 kwieień,4449 7,75,54 6,3,674 4,66 j,636 7,4,683 4,,766 3,99 zerwie,559 4,53,568 5,3,699 3,77 lipie,4 6,6,5696 6,67,687 4,7 sierpień,38 4,3,5669 4,49,674 6,98 wrzesień,5 4,76,6995 5,,848 4,7 pździernik,43 5,5,635 3,4,7334,76 listopd,478,65,658 6,8,7493 6, grudzień,866 5,3,779 6,9,8 6,94 styzeń,357 7,77,643,77,7569 5,49 luty,6 3,,6837,7,794 3,59 rze,995 8,5,6479 3,5,7777 4,9 kwieień,375 4,9,5544 3,7,6956 6,5 j,9 4,9,4976 3,69,655 4,4 zerwie,438 3,73,566,5,744 4,35 lipie,933,65,576 7,56,7396 7,98 sierpień,349,6,5344 9,65,693 6,9 wrzesień,375 3,48,5655 4,58,7373 7,68 pździernik,965 3,56,6674 6,37,83 5,9 listopd,334 5,9,839 9,3,97 6,33 grudzień,345 6,7,68 5,6,766 9, styzeń,593,4,644 6,96,77 5,54 luty,3639 5,,63 6,7,766 6,8 rze,367 8,6,645 6,36,7986 7,5 kwieień,956 3,89,6385 4,54,7885 8,38 j,73 4,8,593,9,77 7,8 zerwie,566,3,5897 4,3,754 6,3 lipie,648,,5476 4,37,79 8, sierpień,389 5,,543,37,7587 7,4 wrzesień,385 4,,5689 3,47,7398 4,7 pździernik,678 3,43,55 3,49,6654 5,5 listopd,56 5,,656 6,5,749 4,3 grudzień,99 3,49,5369 4,,669 4,6

7 Modelownie rozkłdów stopy bezroboi... 5 PEARSON I GEV G Częstośi Częstośi względne względne [%] % Stop bezroboi [%] stop bezroboi % Rys.. Rozkłd epiryzny histogr orz rozkłdy teoretyzne stopy bezroboi w zerwu 4 r. 5 PEARSON I GEV G Częstośi Częstośi względne względne [%] % Stop stop bezroboi [%] % Rys.. Rozkłd epiryzny histogr orz rozkłdy teoretyzne stopy bezroboi w grudniu 7 r. Tbel 3. Zgodność rozkłdów epiryznyh stopy bezroboi z rozkłdi PEARSON I, GEV i G Miesią Rozkłd Pretry Czerwie 4 Grudzień 7 PEARSON I K =, 7 = 49, = 6,78 = 3, =,4 GEV ξ =,5 σ = 7, μ = 9,56 G α = 9,3 β =,5 PEARSON I K =,54 = 46,8 =,44 = 6,6 =,77 GEV ξ =, σ = 5,5 μ =,57 G α = 5,6 β =,7

8 5 M. Go WNIOSKI Z przeprowdzonyh w pry rozwżń wynik, że oeny sttystyk epiryznyh -Kołogow dl rozkłdu typu I Person we wszystkih przypdkh są niższe od oeny sttystyk dl rozkłdów wrtośi ekstrelnyh GEV orz g G. Oznz to, że rozkłd ten njlepiej proksyuje bdną zienną śiślej hrkteryzuje się niejszyi różnii ksylnyh różni unkji gęstośi. Otrzynie dl wszystkih iesięy rozkłdów hoogeniznyh pozwoli n zbudownie rozkłdów prognoz z pooą etody polegjąej n budowie prognoz pretrów. Prognozy pretrów wyznz się n podstwie predyktorów oprtyh n równnih szeregu zsowego z whnii sezonowyi lub odelh Holt-Winters. PIŚMIENNICTWO Go M. 9. Zstosownie etod ekonoetryznyh w odelowniu i prognozowniu rozkłdów wybrnyh zjwisk ekonoiznyh. Pr doktorsk. Szzein, AR szynopis. Kordos J Metody nlizy i prognozowni rozkłdów pł i dohodów ludnośi. Wrszw, PWE. Kordos J., Stroińsk Z. 973 b. Zstosownie krzywyh Person do bdni rozkłdów pł i dohodów ludnośi. Wrszw, GUS. Kotz S., Ndrjh S.. Etree vlue distributions. Theory nd pplitions. London, Iperil College Press. Johnson N.L., Kotz S., Blkrishnn N Continuous Univrite Distributions, vol.. New York, Wiley. Rose C., Sith M.D.. Mthetil Sttistis with Mtheti. New York, Springer. Sturt A., Ord K Kendll s dvned theory o sttistis, vol. I. Distribution theory. New York, Hodder Arnold.