napisał Michał Wierzbicki Zastosowanie zespolonego wektora Poyntinga do wyznaczania impedancji Dla pól elektromagnetycznych harmonicznie zależnych od czasu z czynnikiem e iωt można zdefiniować zespolony wektor Poyntinga: S = 1 2µ 0 E B (1) Jeśli wykonamy całkę z tego wektora po zamkniętej powierzchni otaczającej pewien układ elektromagnetyczny zawierający ładunki oraz pola elektryczne i magnetyczne to w wyniku otrzymamy zespoloną średnią po czasie moc Π wydzielaną w tym układzie: S d A = Π = P + iq (2) gdzie P jest średnią mocą czynną równą A a Q jest średnią mocą bierną równą P = 1 2 I 2 R (3) Q = 1 2 I 2 X (4) W ten sposób można określić zależne od częstotliwości rezystancję R(ω) i reaktancję X(ω) układu elektromagnetycznego, który z punktu widzenia elektrotechniki można traktować jako dwójnik o zespolonej impedancji Z = X + iz, przez który płynie harmoniczny prąd I. W zależności od znaku X reaktancja układu może mieć charakter pojemnościowy (X < 0) lub indukcyjny (X > 0). Układowi elektromagnetycznemu można także przypisać pojemność C i indukcyjność L obliczając średnie po czasie energie zgromadzone w polu elektrycznym i magnetycznym W e = V ɛ 0 E 2 4 W m = V dv = q 2 4C = B 2 dv = L I 2 4µ 0 4 I 2 4ω 2 C (5) (6) 1
gdzie dla wielkości harmonicznie zależnych od czasu I = dq dt = iω q (7) Średnią po czasie moc bierną układu można wówczas zapisać jako Q = 2iω(W m W e ) = I 2 2 Reaktancja kondensatora płaskiego ( i ) iωl ωc Przez kondensator płaski o okładkach w kształcie koła o promieniu a, leżących w odległości d od siebie, płynie prąd I = I 0 e iωt. Niech oś symetrii kondensatora będzie osią z układu cylindrycznego 1. W kondensatorze pojawia się zmienne w czasie harmoniczne pole elektryczne o składowej E z, prostopadłej do okładek kondensatora. Wskutek działania zjawiska indukcji elektromagnetycznej Faradaya wewnątrz kondensatora pojawi się także zależne od czasu wirowe pole magnetyczne B ϕ. Pominiemy przy tym efekty brzegowe, to znaczy zignorujemy wygięcie linii sił pola na brzegu kondensatora dla ρ = a. W próżni między okładkami kondensatora działa prawo Ampera z prądem przesunięcia: (8) oraz prawo Faradaya ( B) z = µ 0 ɛ 0 E z t = iω c E 2 z = 1 ρ ρ ( ρb ϕ) (9) ( E) ϕ = B ϕ t = iω B ϕ = E z ρ Wstawiając równanie (10) do równania (9) otrzymujemy równanie różniczkowe drugiego rzędu dla pola E z : iω c E 2 z = 1 ρ ρ ( ρ iω E z ) ρ Wprowadźmy oznaczenie stosowane dla fal elektromagnetycznych (10) (11) ω c = k = 2π λ gdzie λ jest długością fali. Wówczas E z spełnia równanie (12) 1 J.D. Jackson, Classical Electrodynamics, wyd. III, zad. 6.14 1 ( E z ) ρ + k 2 E z = 0 (13) ρ ρ ρ 2
Wprowadzając zmienną bezwymiarową u = kρ dostajemy znane z metod matematycznych równanie Bessela 1 ( E z ) ρ + Ez = 0 (14) u u u którego rozwiązaniem są funkcje Bessela rzędu 0 E z (u) = A J 0 (u) + B Y 0 (u) (15) Funkcja Bessela drugiego rodzaju Y 0 jest nieskończenie duża dla u = 0. Ponieważ nie ma fizycznego powodu aby pole elektryczne było nieskonczenie duże na osi kondensatora tę część rozwiązania odrzucamy. Znamy więc pole elektryczne w kondensatorze: E z (ρ) = E 0 J 0 (kρ) (16) gdzie E 0 jest amplitudą pola. Korzystając ze wzoru J 0 (x) = J 1(x), na podstawie równania (10) możemy stwierdzić, że pole magnetyczne w kondensatorze wyraża się przez funkcję Bessela rzędu 1. B ϕ = 1 E z iω ρ = i c E 0 J 1 (kρ) (17) Możemy teraz obliczyć zespolony wektor Poyntinga (1) na brzegu kondensatora dla ρ = a. Ponieważ dla wersorów układu cylindrycznego obowiązuje zależność: to zespolony wektor Poyntinga ma składową radialną równą: S ρ = e z e ϕ = e ρ (18) i 2cµ 0 E 0 2 J 0 (kρ) J 1 (kρ) (19) Całka powierzchniowa we wzorze (2) dotyczy powierzchni bocznej walca, który tworzy kondensator. Z powodu symetrii cylindrycznej ta całka jest równa po prostu iloczynowi S ρ przez powierzchnię boczną walca równą A = 2πa d. Średnia po czasie moc zespolona dla kondensatora wynosi więc Π = A S d A = i 2cµ 0 E 0 2 J 0 (kρ) J 1 (kρ) 2πa d (20) Z prawa Gaussa wynika, że gęstość ładunku σ zgromadzona na okładce kondensatora wynosi σ = ɛ 0 E z = ɛ 0 E 0 J 0 (kρ) (21) Całkowity ładunek q zgromadzony na okładce kondensatora wynosi 3
q = σ da = a ɛ 0 E 0 J 0 (kρ) 2πρ dρ (22) A 0 gdzie A jest powierzchnią okładki kondensatora. Korzystając ze wzoru x J 0 (x) dx = x J 1 (x) (23) otrzymujemy q = ɛ 0 E 0 2πa J 1(ka) k Prąd I płynący przez kondensator wynosi więc I = dq dt = iωq = iωɛ 0 E 0 2πa J 1(ka) k a jego moduł w kwadracie jest równy (24) (25) I 2 = ω 2 ɛ 2 0 E 0 2 4π 2 a 2 J2 1 (ka) k 2 (26) Wyrażając za pomocą powyższego równania E 0 2 przez I 2 i korzystając ze wzoru (20) możemy zapisać średnią po czasie moc zespoloną Π jako Π = i I 2 k 2 d πa J 0 (ka) J 1 (ka) 4ω 2 cµ 0 ɛ 2 0 Jak widać ze wzoru formalnie moc ta jest czysto urojona (bierna), a reaktancja X ma charakter czysto pojemnościowy (X < 0). Na podstawie wzoru (4), korzystając z definicji (12) liczby falowej k oraz z tego że 1/c 2 = ɛ 0 µ 0, reaktancja kondensatora wynosi X = 1 ω d ka ɛ 0 πa 2 2 J 0 (ka) J 1 (ka) Jak wiadomo z elektrotechniki reaktancja kondensatora powinna być równa 1/(ωC). Stąd pojemność kondensatora dla prądów harmonicznych w czasie można zapisać w postaci prostej zależności (27) (28) gdzie C = C 0 F(ka) (29) C 0 = ɛ 0 πa 2 d (30) 4
jest pojemnością kondensatora wziętą z elektrostatyki, a bezwymiarowa funkcja F(x) parametru x = ka F(x) = 2J 1(x) xj 0 (x) zawiera w sobie zależność pojemności od częstości ω = k /c. Dla x 1 rozwinięcie tej funkcji w szereg ma postać F(x) 1 + x2 (32) 8 Przykładowo: dla częstotliwości f = 10 MHz i promienia okładki kondensatora a = 10 cm wielkość x = ka = 0,021 stąd F(x) = 1,00005. Jeśli argument x jest równy zeru funkcji Bessela J 0 (x) = 0 to funkcja F(x) =. Jak wynika ze wzoru (28) impedancja kondensatora jest wówczas równa zeru! W elektrotechnice oznacza to zjawisko rezonansu prądów. Dla zadanego harmonicznego napięcia na kondensatorze, prąd płynący przez kondensator jest nieskończenie duży. Pierwsze zero funkcji Bessela J 0 wynosi x 01 2,4. Dla kondensatora o promieniu okładki równej a = 10 cm częstotliwość rezonansowa f r wynosi f r = c x 01 1,1 GHz (33) 2πa Jest ona równa częstotliwości rezonansowej rezonatora cylindrycznego o tych samych rozmiarach co kondensator. Porównanie kondensatora z rezonatorem cylindrycznym jest przybliżone, ponieważ zaniedbaliśmy na początku rozważań efekty brzegowe. Jak wynika z rysunku 1 dla częstotliwości większych niż f r reaktancja kondensatora jest większa od zera, a więc ma charakter indukcyjny! Fizycznie oznacza to, że dla tak dużej częstotliwości energia zgromadzona w polu magnetycznym kondensatora jest większa niż zgromadzona w polu elektrycznym, zgodnie ze wzorem (8). Energia pola elektromagnetycznego zgromadzona w kondensatorze Energia pola elektrycznego zgodnie ze wzorami (5) i (16) wynosi Korzystając ze wzoru W e = V ɛ 0 E 2 4 = a 0 (31) ɛ 0 E 0 2 J 0 (kρ) 2 2πρ dρ d (34) 4 xj 0 (x) 2 dx = x2 2 [J2 0 (x) + J2 1 (x)] (35) 5
Rysunek 1: Zależność reaktancji kondensatora X = X 0 J 1 (x) /J 0 (x) od argumentu x = ka. mamy gdzie W e = W 0 [J 2 0 (ka) + J2 1 (ka)] (36) W 0 = ɛ 0 E 0 2 πa 2 d = w e V (37) 4 jest elektrostatyczną energią kondensatora równą iloczynowi objętości kondensatora V = πa 2 d i średniej po czasie gęstości energii elektrycznej w e = ɛ 0 E 0 2 /4. Energia zgromadzona w polu magnetycznym zgodnie ze wzorami (6) i (17) wynosi Korzystając ze wzoru otrzymujemy W m = V B 2 a = 4µ 0 0 E 0 2 J 1 (kρ) 2 4c 2 µ 0 2πρ dρ d (38) xj 1 (x) 2 dx = x2 2 [J2 1 (x) J 0(x) J 2 (x)] (39) W m = W 0 [J 2 1 (ka) J 0(ka) J 2 (ka)] (40) Rysunek 2 przedstawia zależność energii elektrycznej W e i magnetycznej W m kondensatora od częstotliwości, poprzez bezwymiarowy parametr x = ka = ωa/c. Wartości x, dla których W e = W m odpowiadają częstotliwościom rezonansowym. 6
Rysunek 2: Zależności W e /W 0 i W m /W 0 od parametru x = ka. Kwadrat amplitudy pola elektrycznego możemy wyrazić przez kwadrat amplitudy prądu stosując równanie (25) Stąd E 0 2 = I 2 k 2 ω 2 ɛ 2 0 4π2 a 2 J 2 1 (ka) (41) W e = I 2 k 2 d 16ω 2 ɛ 0 π J 2 0 (ka) + J2 1 (ka) J 2 1 (ka) (42) Stosując wzór (5), zależna od częstości ω pojemność kondensatora wynosi C = C 0 G(ka) (43) gdzie C 0 jest pojemnością (30) kondensatora wziętą z elektrostatyki, a bezwymiarowa funkcja G(x) wynosi G(x) = 4 x 2 J 2 1 (x) J 2 0 (x) + J2 1 (x) (44) gdzie x = ka. Dla x 1 można stosować przybliżenie: G(x) 1 x 4 /192. Równanie (43) różni się od wcześniejszego równania (29). Poprzednio całą reaktancję zapisaliśmy w postaci Teraz rozdzielamy ją na dwa składniki X = 1 ωc (45) 7
X = ωl 1 ωc (46) Przy użyciu równania (41) energię zgromadzoną w polu magnetycznym kondensatora możemy zapisać jako W m = I 2 k 2 d 16ω 2 ɛ 0 π J2 1 (ka) J 0(ka) J 2 (ka) J 2 1 (ka) Stąd zależna od częstości ω indukcyjność kondensatora wynosi = L I 2 4 (47) gdzie indukcyjność L = L 0 H(ka) (48) L 0 = µ 0 8π d = 50nH d [m] (49) m jest równa wewnętrznej indukcyjności przewodu o długości d. Dla bardzo małych częstotliwości L L 0. W przypadku prądu stałego ładującego kondensator dla ω = 0, wewnątrz kondensatora pole elektryczne rośnie liniowo w czasie. Wskutek działania zjawiska indukcji elektromagnetycznej Faradaya w kondensatorze powstaje wirowe pole magnetyczne, co prowadzi do niezerowej indukcyjności kondensatora. Ponieważ całkowity prąd przesunięcia jest równy prądowi ładowania kondensatora, to indukcyjność wewnętrzna kondensatora liczona na jednostkę długości jest taka sama jak dla przewodów doprowadzających do niego prąd i równa µ 0 /(8π) = 50 nh/m. Przykładowo: jeśli odległość między okładkami kondensatora jest równa d = 1 mm to L 0 = 50 ph. Częstotliwość rezonansową kondensatora można w prosty sposób oszacować mnożąc przez siebie jego pojemność elektrostatyczną C 0 przez indukcyjność wewnętrzną L 0. L 0 C 0 = 1 (2π f r ) 2 (50) Biorąc pod uwagę równania (30) i (49) otrzymujemy przybliżoną formułę f r = 2 2c (51) 2πa która dla a = 10 cm daje f r = 1,3 GHz. Bezwymiarowa funkcja H(x) parametru x = ka występująca w równaniu (48) wynosi [ H(x) = 2 1 J ] 0(ka) J 2 (ka) J 2 1 (ka) (52) 8
Dla x 1 można stosować przybliżenie H(x) 1 + x 2 /12. Rysunek 3 przedstawia wykresy funkcji G(x) = C /C 0 oraz 1/H(x) = L 0 /L. Wartości parametru x dla których C = 0 i L = odpowiadają zerom funkcji Bessela J 1 (x). Pierwsze zero wynosi x 11 = 3,8 co dla a = 10 cm odpowiada częstotliwości f = 1,8 GHz. Rysunek 3: Zależności pojemności i odwrotności indukcyjności kondensatora od częstotliwości, poprzez bezwymiarowy parametr x = ka. Reaktancja cewki walcowej Rozważmy teraz cewkę walcową o promieniu a i długości d posiadają N zwojów. Niech osią symetrii cewki będzie oś z układu cylindrycznego. Jeśli zaniedbamy efekty brzegowe, czyli wygięcie linii sił pola na krawędzi cewki, to możemy ją traktować jako fragment solenoidu o długości d. Dzięki temu założeniu pola wewnątrz cewki będą miały symetrię cylindryczną i translacyjną, czyli ich wartość powinna zależeć jedynie od odległości ρ od osi cewki. Zmienne w czasie pole magnetyczne cewki B z wywoułuje wirowe pole elektryczne E ϕ. Prawo Faradaya dla pól wewnątrz cewki ma postać ( E) z = B z t Prawo Ampera z prądem przesunięcia wynosi = iωb z = 1 ( ) ρeϕ ρ ρ (53) ( B) ϕ = µ 0 ɛ 0 E ϕ t = iω c E 2 ϕ = B z ρ Wstawiając jedno równanie do drugiego otrzymujemy równanie Bessela (54) 9
1 ( ) ρbz + k 2 B z = 0 (55) ρ ρ gdzie k = ω /c. Odrzucamy funkcję Bessela drugiego rodzaju Y 0 (kρ), ponieważ nie ma fizycznego powodu aby pole magnetyczne było nieskończenie duże na osi cewki. Otrzymujemy więc rozwiązanie w postaci B z (ρ) = B 0 J 0 (kρ) (56) gdzie B 0 jest amplitudą pola magnetycznego. Z równania (54) możemy obliczyć pole elektryczne. E ϕ = ic2 ω B z ρ = icb 0 J 1 (kρ) (57) Ponieważ e ϕ e z = e ρ zespolony wektor Poyntinga ma składową radialną równą S ρ = 1 2µ 0 E ϕ B z = ic 2µ 0 B 0 2 J 0 (kρ) J 1 (kρ) (58) Całka z zespolonego wektora Poyntinga po powierzchni bocznej A cewki pozwala wyznaczyć zespoloną moc Π. S d A = ic B 0 2 J 0 (kρ) J 1 (kρ) 2πa d = Π (59) 2µ 0 A Jak widać moc zespolona jest czysto urojona Π = iq, gdzie Q jest mocą bierną. Aby wyrazić amplitudę pola magnetycznego B 0 poprzez prąd I płynący w cewce zastosujmy całkową wersję prawa Ampera z prądem przesunięcia ( dφ E ) C B = µ 0 I + ɛ0 (60) dt do konturu w postaci prostokąta leżącego w płaszczyźnie symetrii cewki, pokazanego na rysunku 4. Z powodu symetrii translacyjnej krążenie pola magnetycznego wynosi po prostu C b = B z (ρ) d. Strumień pola elektrycznego E ϕ przez prostokątną powierzchnię wynosi Φ E = a ρ E ϕ (ρ) dρ d = icb 0 d a ρ J 1 (kρ) dρ = icb 0 d [J 0 (ka) J 0 (kρ)] (61) k Uzwględniając, że kontur całkowania jest przecinany przez N zwojów cewki, na podstawie prawa Ampera (60) możemy napisać następujące wyrażenie na prąd płynący przez cewkę: 10
Rysunek 4: Kontur całkowania dla prawa Ampera (60) I = 1 N ( ) CB ɛ 0 iω Φ E = B 0 d J 0 (ka) (62) µ 0 Nµ 0 W przypadku prądu stałego dla ω = 0 mamy J 0 (0) = 1. Wyrażenie (62) jest równe wówczas wartości prądu w solenoidzie znanemu z magnetostatyki. Wyrażając amplitudę pola magnetycznego B 0 przez natężenie prądu I i wstawiając do wyrażenia na moc zespoloną (59) otrzymujemy Π = iq = icµ 0 N 2 πa I 2 d J1(ka) J 0 (ka) Porównując powyższe równanie ze wzorem (4) możemy napisać wyrażenie na reaktancję X cewki: X = 2µ 0cπaN 2 d J1(ka) J 0 (ka) Reaktancja ta powinna być równa X = ωl, gdzie L jest indukcyjnością cewki. Stąd, korzystając z zależności ω /c = k otrzymujemy: (63) (64) gdzie L = µ 0 N 2 πa2 d 2 ka J 1 (ka) J 0 (ka) = L 0 F(x) (65) L 0 = µ 0 N 2 πa2 (66) d jest indukcyjnością solenoidu znaną z magnetostatyki, a bezwymiarowa funkcja parametru x = ka wynosi F(x) = 2 x J 0 (x) J 1 (x) (67) 11
Co ciekawe, jest to ta sama funkcja, co w równaniu (31) dla kondensatora. Kiedy x jest równe miejscu zerowemu funkcji Bessela J 0 (x) wówczas reaktancja cewki jest nieskończenie duża. Mamy wówczas do czynienia ze zjawiskiem rezonansu napięć. Dla zadanego harmonicznego prądu płynącego przez cewkę generowane napięcie jest nieskończenie duże. Częstotliwość rezonansowa cewki jest równa częstotliwości rezonansowej (33) dla kondensatora o tych samych wymiarach. Rysunek 5: Zależność indukcyjności cewki L/L 0 = F(x) od częstości ω, poprzez bezwymiarowy parametr x = ka = ω a/ c. Jak widać z rysunku 5 dla częstości większej od rezonansowej reaktancja cewki ma charakter pojemnościowy (X < 0). W tym przypadku energia zgromadzona w polu elektrycznym cewki jest większa od energii pola magnetycznego. Energia pola elektromagnetycznego zgromadzona w cewce Średnia po czasie energia pola magnetycznego zgromadzona w cewce, zgodnie ze wzorami (6) i (56) wynosi: W m = V B 2 dv = B 0 2 a J 2 0 2µ 0 4µ (kρ) 2πρ dρ d = W 0 0 0 [ J 2 0 (ka) + J2 1 (ka)] (68) gdzie wielkość W 0 = B 0 2 4µ 0 π a 2 d = w m V (69) 12
jest równa magnetostatycznej energii pola równej iloczynowi gęstości energii w m i objętości cewki V. Z kolei, na podstawie wzorów (5) i (57) średnia po czasie energia pola elektrycznego cewki wynosi ɛ 0 E 2 [ W e = dv = W 0 J 2 1 2 (ka) J 0(ka) J 2 (ka) ] (70) V Powyższe wzory, jeśli chodzi o ich zależność od parametru x = ka, są takie same jak wzory (36) i (40) dla kondensatora, tylko teraz pola elektryczne i magnetyczne zamienione są rolami. Zależność energii pól od częstości jest więc taka sama jak na rysunku 2, jeśli zamienić kolorami wykresy. W przypadku cewki zapisywanie jej reaktancji w postaci analogicznej do równania (46) jako X = ω L 1 (71) ω C i przypisywanie cewce pojemności C nie ma uzasadnienia fizycznego. Pole elektryczne E ϕ w cewce ma charakter wirowy i nie istnieje kondensator w którym tego typu pole można by wytworzyć. Reaktancja płaskiego kondensatora o prostokątnych okładkach Kondensator płaski 2 o prostokątnych okładkach długości a i b, leżących równolegle do siebie w odległości d, jest zasilany prądem harmonicznym I = I 0 e iωt płynącym przez górną szerokość b okładek ze stałą gęstością liniową j (patrz rysunek 6. Jeśli zaniedbamy efekty brzegowe na krawędziach kondensatora, czyli zakrzywienie linii sił pola, to możemy uznać, że kondensator wzdłuż osi x jest wycinkiem o szerokości b wziętym z kondensatora o nieskończonej długości. Możemy wówczas uznać, że pole elektromagnetyczne i przepływ prądu mają symetrię translacyjną wzdłuż osi x, to znaczy nie zależą od zmiennej x. Jeśli uznamy, że odległość między okładkami jest znacznie mniejsza od ich rozmiarów, to możemy także założyć stałość pól w przekroju wzdłuż osi z. Ostatecznie zakładamy, że pole elektryczne ma postać E = E z (y) e z harmonicznie zależną od czasu. Jeśli prąd płynie wzdłuż osi y to pole magnetyczne powinno mieć postać B = B x (y) e x. Wynika to także z równań Maxwella i założonej niezależności pól od zmiennych x i z. Prawo Faradaya w układzie kartezjańskim przyjmuje postać: ( E) x = E x t Prawo Ampera z prądem przesunięcia zapisujemy w postaci: 2 J.D. Jackson,Classical Electrodynamics, wyd. III, zad. 6.13 = E z y E y z = iωb x (72) 13
Rysunek 6: Kondensator płaski o prostokątnych okładkach a b leżących w odległości d. ( B) z = µ 0 ɛ 0 E z t = B y x B x y = iω c E 2 z (73) Wstawiając jedno równanie do drugiego otrzymujemy równanie dla E z : gdzie k = ω c, którego rozwiązaniem ogólnym jest 2 E z 2 y + k2 E z = 0 (74) E z = A cos ky + B sin ky (75) Przepływ prądu periodycznie ładujący kondensator powinien spełniać równanie ciągłości j + ρ t = 0 (76) W naszym przypadku zamiast objętościowej gęstości ładunku ρ stosujemy gęstość powierzchniową σ ładunku na okładce kondensatora. Liniwa gęstość prądu j ma tylko składową y zależną od y. Uwzględniając harmoniczną zależność od czasu wszystkich wielkości występujących w równaniach Maxwella, wzór (76) możemy zapisać w postaci: j y y + iω σ = 0 (77) 14
Przepływ prądu powinien spełniać warunek brzegowy j y (a) = 0, gdyż na dolnej krawędzi kondensatora prąd nie ma gdzie dalej płynąć. Zależność j y (y) spełniająca ten warunek i mająca formę równania (75) jest następująca: j y = j 0 sin k(a y) (78) Z prawa Gaussa zastosowanego do powierzchni obejmującej okładkę kondensatora wynika, że gęstość powierzchniowa ładunku jest równa σ = ɛ 0 E z. Biorąc pod uwagę równanie ciągłości (77) mamy Stąd musi być j y y = iωɛ 0E 0 (79) E z = E 0 cos k(a y) (80) gdzie związek pomiędzy amplitudami pola elektrycznego i liniowej gęstości prądu płynącej przez okładki kondensatora jest następujący: j 0 k = iω ɛ 0 E 0 (81) Zgodnie z prawem Ampera (73) pole magnetyczne wewnątrz kondensatora wynosi B x = 1 E z iω y = ie 0 sin k(a y) (82) c Ponieważ dla wersorów układu kartezjańskiego obowiązuje zależność e z e x = e y to zespolony wektor Poyntinga wewnątrz kondensatora skierowany jest wzdłuż osi y i wynosi S y = 1 E z B x = i E 0 2 2µ 0 4µ 0 c sin 2k(a y) (83) Całkowity prąd elektryczny wchodzący do okładki kondensatora przez jej górną krawędź o długości b dla y = 0 wynosi I = j y (0) b = j 0 b sin ka = iωɛ 0E 0 b sin ka (84) k Całkowita moc zespolona Π równa jest całce z zespolonego wektora Poyntinga po zamkniętej powierzchni A obejmującej badany układ elektromagnetyczny. Π = S d A (85) A W naszym wypadku, ponieważ na dolnej podstawie kondensatora dla y = a mamy S y (a) = 0, oraz wobec niezależności pól od zmiennych x i z możemy napisać 15
Π = S y (0) bd = i E 0 2 bd sin 2ka (86) 4µ 0 c gdzie A = bd jest górną powierzchnią kondensatora. Znak ( ) we we wzorze (85) pomijamy, gdyż wektor Poyntinga skierowany jest w naszym wypadku do wewnątrz kondensatora. Amplitudę pola elektrycznego E 0 możemy wyrazić przez całkowity prąd I (84) wpływający do kondensatora. Ik E 0 = (87) iωɛ 0 b sin ka Stosując zależności k = ω c oraz µ 0 ɛ 0 = 1/ c 2 wyrażenie na moc zespoloną Π możemy wówczas zapisać w postaci Π = i d I 2 ka ctg ka (88) 2 ɛ 0 ab ω Widzimy, że moc zespolona ma formę czysto urojoną Π = iq = i 2 I 2 X (89) Ujemny znak mocy biernej Q oznacza charakter pojemnościowy reaktancji X. X = d 1 ɛ 0 ab ω u ctg u = 1 (90) ω C gdzie bezwymiarowy parametr u = ka = ωa/ c. Jak widać wyrażenie na pojemność kondensatora w funkcji częstości ω poprzez parametr u jest następujące: gdzie C = C 0 tg u u ab C 0 = ɛ 0 (92) d jest pojemnością kondensatora płaskiego znaną z elektrostatyki. Dla u = π/2 pojemność kondensatora dąży do nieskończoności, a jego reaktancja równa się zeru. Mamy wówczas do czynienia z rezonansem prądów. Dla zadanego napięcia na kondensatorze prąd płynący przez niego jest nieskończenie duży. Częstotliwość rezonansowa kondensatora o rozmiarze okładki a = 10 cm wynosi f r = c = 0,75 GHz (93) 4a Jest ona równa częstotliwości rezonansowej otwartego z jednej strony rezonatora o długości a = λ /4. Pole elektryczne w kondensatorze spełnia równanie (80), więc rzeczywiście kondensator jest otwartym z jednej strony rezonatorem elektromagnetycznym. 16 (91)
Rysunek 7: Zależność impedancji X = X 0 ctg u od częstości poprzez bezwymiarowy parametr u = ka. Dla u > π/2 impedancja X kondensatora przyjmuje charakter indukcyjny (X > 0). Energia pola elektromagnetycznego zgromadzona w kondensatorze Średnia po czasie energia pola elektrycznego wewnątrz kondensatora wynosi W e = V ɛ 0 E 2 4 dv = ɛ 0 E 0 2 4 bd a 0 cos 2 k(a y) dy = ɛ 0 E 0 2 4 2ka + sin 2ka bd 4k (94) Średnia po czasie energia pola magnetycznego wewnątrz kondensatora wynosi W m = V B 2 4µ 0 dv = E 0 2 4µ 0 c bd a 0 sin 2 k(a y) dy = E 0 2 Obie energie można zapisać w skróconej formie jako 4µ 0 c bd 2ka sin 2ka 4k (95) gdzie W e = W 0 2u + sin 2u 4u, W m = W 0 2u sin 2u 4u (96) W 0 = ɛ 0 E 0 2 4 abd (97) 17
jest elektrostatyczną energią zgromadzoną w kondensatorze płaskim o objętości V = abd. Rysunek 8 przestawia zależność energii W e i W m od częstości ω, poprzez bezwymiarowy parametr u = ka. Dla częstości rezonansowej u = π/2 widzimy, że obie energie są sobie równe. Rysunek 8: Energie pola elektrycznego i magnetycznego wewnątrz kondensatora jako funkcje u = ka. Ponieważ w kondensatorze występują jednocześnie pola elektryczne i magnetyczne to możemy przypisać mu jednocześnie pojemność C i indukcyjność L. Wielkość W 0 można zapisać w uproszczonej postaci jako W 0 = C 0 u 2 4 I 2 sin 2 u Energia pola elektrycznego zgromadzona w kondensatorze powinna być równa (98) W e = Q 2 4c = I 2 (99) 4ω 2 C gdzie Q jest ładunkiem zgromadzonym na okładce kondensatora. Stąd pojemność kondensatora C wynosi gdzie C = C 0 f (u) (100) f (u) = 4 sin 2 u u(2u + sin 2u) (101) 18
Dla u 1 można stosować przybliżenie f (u) 1 u 4 /45. Nie jest to ta sama pojemność co we wzorze (91), ponieważ wcześniej przedstawiliśmy reaktancję kondensatora jako czysto pojemnościową. X = 1 ω C = ωl 1 (102) ω C Energia zgromadzona w polu magnetycznym kondensatora powinna formalnie dać się zapisać jako energia cewki o indukcyjności L. W m = L I 2 (103) 4 Stąd po prostych przekształceniach algebraicznych otrzymujemy następujące wyrażenie na indukcyjność kondensatora gdzie L = L 0 g(u) (104) L 0 = µ 0 da 3b (105) Wielkość L 0 jest równa 3 indukcyjności wewnętrznej kondensatora podczas ładowania go stałym prądem I. Pole elektryczne między okładkami kondensatora rośnie w czasie. Wewnątrz kondensatora pojawia się pewne pole magnetyczne jako skutek istnienia prądu przesunięcia. Dla kondensatora o wymiarach a = b = 10 cm i d = 1 mm L 0 = 1,3 nh. Bezwymiarowa funkcja g(u) wynosi 3(2u sin 2u) g(u) = 4u sin 2 u Dla u 1 można stosować przybliżenie g(u) 1 + 2u 2 /15. (106) 3 Liczba 3 we wzorze L 0 została formalnie dopisana aby g(0) = 1. 19
Rysunek 9: Zależność pojemności C i odwrotności indukcyjności 1/L od częstości poprzez bezwymiarowy parametr u = ka. 20