Czarna dziura Schwarzschilda

Czarna dziura Schwarzschilda Mateusz Szczygieł Wydział Fizyki Uniwersytet Warszawski 19 listopada 2018 1 / 32

Plan prezentacji 1. Sferycznie symetryczne, statyczne rozwiązanie równań Einsteina. 2. Przesunięcie ku czerwieni. 3. Trajektorie w geometrii Schwarzschilda. 4. Precesja orbity. 5. Soczewkowanie grawitacyjne. 6. Horyzont zdarzeń. 7. Rozszerzenie Kruskala-Szekersa. Na początku omówimy metrykę Schwarzschilda oraz zjawiska fizyczne w niej zachodzące. Następnie przejdziemy do procesów zachodzących w pobliżu czarnej dziury. Na koniec postaramy się zrozumieć co się dzieje we wnętrzu czarnej dziury przy pomocy zmiany układu współrzędnych. 2 / 32

Równania Einsteina Równania Einsteina (przyjmujemy G = c = 1): G µν = 8πT µν, gdzie G µν = R µν 1 2 R g µν. Alternatywna postać równań to ( R µν = 8π T µν 1 ) 2 T g µν. Interesuje nas statyczne, sferycznie symetryczne rozwiązanie równania próżniowego. Sprowadza się to do: R µν = 0, gdzie R µν jest tensorem Ricciego, który wyraża się przez metrykę i jej pochodne. 3 / 32

Rozwiązanie Schwarzschilda Rozwiązaniem powyższych równań jest metryka (1916 Karl Schwarzschild) ( g = 1 + C ) ( dt 2 + 1 + C ) 1 dr 2 + +r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ). r r Stałą C ustalamy poprzez porównanie z granicą nierelatywistyczną g 00 = 1 2V (r). Dostajemy metrykę Schwarzschilda ( g = 1 2m r ) ( dt 2 + 1 2m r ) 1 dr 2 + +r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ), gdzie m jest masą ciała wytwarzającego pole grawitacyjne. 4 / 32

Przesunięcie ku czerwieni Rozważmy nadajnik sygnału świetlnego w ustalonym punkcie przestrzeni o współrzędnych (t N, r N, θ N, φ N ) oraz odbiornik w punkcie (t O, r O, θ O, φ O ). Można pokazać, że dla dwóch sygnałów mamy t N t (1) N t(2) N = t(1) O t(2) O t O. Co pozwala wyznaczyć przedział czasu własnego τ N/O = ( 1 2m ) 1 2 t r N/O. N/O Częstotliwość jest odwrotnie proporcjonalna do czasu pomiędzy dwoma sygnałami, dostajemy wiec: ( ) 1 ν O 1 2m/rN 2 = ν N 1 2m/r O 5 / 32

Przesunięcie ku czerwieni geodetyka zerowa (t O, r O, θ O, φ O ) (t N, r N, θ N, φ N ) (r N, θ N, φ N ) (r O, θ O, φ O ) 6 / 32

Przesunięcie ku czerwieni Dla dużych odległości od centrum grawitacji dostajemy wzór ( ν O 1 1 + m 1 ). ν N r O r N Przesunięcie względne ν ν N = ν O ν N ν N ( 1 m 1 ). r O r N Jeżeli r N < r O to dostaniemy ν < 0, więc widmo przesunie się ku czerwieni. Zjawisko to zostało potwierdzone eksperymentalnie w pobliżu Ziemi (1960) oraz badając widmo wodoru wypuszczonego przez rakietę (1979). 7 / 32

Pola Killinga Są one matematyczną manifestacją symetrii metryki. Spełniają równanie: α ξ β + β ξ α = 0, gdzie ξ jest polem Killinga. Jest to warunek znikania pochodnej Liego metryki wzdłuż tych pól wektorowych. Jeżeli u α jest wektorem stycznym do linii geodezyjnej to u α ξ α jest stałe wzdłuż niej. Skorzystamy z tego faktu przy szukaniu trajektorii w geometrii Schwarzschilda. Przypomnienie równania linii geodezyjnej u α α u β = 0. Równanie to wyraża stałość wektora stycznego do linii geodezyjnej wzdłuż niego samego. 8 / 32

Trajektorie w geometrii Schwarzschilda W rozważanej metryce mamy symetrię θ π θ. Z tego powodu linia geodezyjna przecinająca płaszczyznę równikową i mająca wektor styczny w tym miejscu leżący w tej płaszczyźnie, musi w niej pozostać. Rozważmy więc ruch ograniczony do tej płaszczyzny. Parametr geodezyjnej oznaczmy przez τ. Wektor styczny to u µ = ẋ µ. Mamy: ( κ = g νµ ẋ ν ẋ µ = 1 2m r ) ( ṫ 2 + 1 2m r gdzie κ = 1 dla linii czasowych i κ = 0 dla zerowych. ) 1 ṙ 2 + r 2 φ2, 9 / 32

Trajektorie w geometrii Schwarzschilda Skorzystamy z faktu, że t oraz φ są wektorami Killinga (metryka nie zależy od tych współrzędnych). Dostajemy dwie całki pierwsze E = ( 1 2m r ) ṫ, L = r 2 φ. Równanie linii geodezyjnej upraszcza się do postaci 2ṙ2 1 + 1 ( 1 2m ) ( L 2 ) 2 r r 2 + κ = 1 2 E2. Jest to znane równanie klasycznej cząstki o energii E 2 /2 poruszającej się w potencjale V = 1 2 κ κm r + L2 2r 2 ml3 r 3. 10 / 32

Czasowe geodezyjne (κ = 1) Punkty w których potencjał V ma ekstrema są dane wzorem R ± = L2 ± (L 4 12L 2 m 2 ) 1 2 2m Dla L 2 < 12m 2 nie ma ekstremów, więc cząstka lecąca w kierunku centrum, spadnie na nie. Dla L 2 > 12m 2 R + jest minimum (stabilne kołowe orbity) a R jest maksimum. Dla L m odtwarzamy wynik Newtonowski R + L 2 /m.. 11 / 32

Geodezyjne czasowe (κ = 1). V 2 L = 3m 1 1 2 3 4 5 6 r -1-2 -3-4 -5 12 / 32

Geodezyjne czasowe (κ = 1). V 0.7 L = 5m 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 10 20 30 40 r -0.1 13 / 32

Precesja orbity. Jeżeli wypchniemy nieznacznie orbitę z R + to będzie ona oscylować wokół R + z częstością ωr 2 = d2 V dr 2 = m(r + 6m) R+ R+(R 3 + 3m). Z kolei częstość kołowa orbity ω 2 φ = L2 R 4 + = m R 2 +(R + 3m). Z powyższego wynika, że orbity nie są zamkniętymi elipsami lecz ich wielka oś wykonuje powolną precesję (w kierunku obiegu centrum). 14 / 32

Precesja orbity. Częstość precesji W przybliżeniu R + m ω p = ω φ ω r. ω p 3m3/2 R 5/2. + Efekt ten zaobserwowano dla Merkurego, którego orbita wykonuje precesję z szybkością 43 sekund kątowych na 100 lat. Po uwzględnieniu oddziaływania grawitacyjnego od innych ciał w układzie słonecznym pozostały efekt udało się wytłumaczyć za pomocą ogólnej teorii względności. 15 / 32

Geodezyjne zerowe (κ = 0). W tym przypadku potencjał upraszcza się do V = L2 (r 2m). 3r3 Ten potencjał ma tylko jedno maksimum w R = 3m, wiec mamy tylko jedną możliwość niestabilnej orbity kołowej. Fizycznie można się spodziewać zakrzywienia promieni świetlnych przechodzących w pobliżu obiektów o dużej masie. 16 / 32

Geodezyjne zerowe (κ = 0). V 4 L = 10m 2 2 4 6 8 10 r -2-4 -6-8 17 / 32

Zakrzywienie promieni świetlnych. Dzieląc przez siebie wyrażenia na φ i ṙ otrzymujemy równanie dφ dr = L ( ) 1/2 r 2 E 2 L2 (r 2m). r3 Zamieniając zmienną na u = 1/r dostajemy całkę 1/R0 φ = 2 0 du (R0 2 2mR0 3 u 2 + 2mu 3 ), 1/2 gdzie R 0 jest najbliższym zbliżeniem do gwiazdy. Dla m = 0 mamy φ = π. Do pierwszego rzędu w m dostajemy ugięcie promienia δφ = φ π 4m R 0. 18 / 32

Zakrzywienie promieni świetlnych. Ro 0 R. M. Wald General Relativity (1984) 19 / 32

Soczewkowanie grawitacyjne. Zgodnie z powyższymi wyprowadzeniami promień światła dla którego R 0 równa się promieniowi Słońca, ugnie się o 1.75 sekund kątowych. Eksperymentalnie potwierdzono to ugięcie podczas zaćmień Słońca począwszy od 1919 roku. Dalsze obserwacje kwazarów podczas zaćmień Słońca dały zgodność z przewidywaniami z dokładnością 1% (1976). Dla masywnych ciał efekt ten może być silniejszy. Mówimy wtedy o soczewkowaniu grawitacyjnym. 20 / 32

Soczewkowanie grawitacyjne. https://en.wikipedia.org/wiki/black_hole 21 / 32

Pionowy spadek swobodny. W tym przypadku mamy φ = 0 i dostajemy (κ = 1) ( ṙ 2 + 1 2m r ) = E 2. Załóżmy, że na początku cząstka spoczywała (ṙ = 0) w r 0, można wtedy podstawić E 2 = (1 2m/r 0 ). Całkując dostajemy τ = 1 r0 ( ) r0 r 1/2 (2m) 1/2 dr. r r 0 r Dla r 2m całka pozostaje skończona. Wykorzystując dt dτ = E 1 2m r można pokazać, że t w tym przypadku jest nieskończone. 22 / 32

Horyzont zdarzeń. Jak zauważyliśmy czas własny spadania cząstki do r = 2m jest skończony i kontynuuje ona swój ruch do r = 0. Jednak zewnętrzny obserwator postrzega czas jej spadania jako nieskończony. Sygnały wysyłane na zewnątrz przez cząstkę przesuwałyby się coraz bardziej ku czerwieni, aż w końcu zewnętrzny obserwator nie byłby w stanie jej dostrzec. Po przekroczeniu r = 2m cząstka nie byłaby już w stanie wysłać sygnału do zewnętrznego obserwatora ani wydostać się poza r = 2m. Z tego powodu hiperpowierzchnię r = 2m nazywamy horyzontem zdarzeń. 23 / 32

Osobliwości w r = 2m i r = 0. Można pokazać, że w r = 2m nie ma osobliwości geometrycznej, jedynie wybrane współrzędne nie są w stanie pokryć tego regionu. Skalar krzywizny R nie jest osobliwy w tym punkcie. Podobnie można pokazać, że punkt r = 0 jest faktycznie osobliwością geometryczną (R wybucha). Wprowadźmy współrzędne Kruskala-Szekersa (1960) X = T = Metryka ma wtedy postać ( ) r 1/2 ( ) 2m 1 e r t 4m cosh, 4m ( ) r 1/2 ( ) 2m 1 e r t 4m sinh. 4m g = 32m3 e r 2m ( dt 2 + dx 2 ) + r 2 (dθ 2 + sin 2 θdφ 2 ). r 24 / 32

Współrzędne Kruskala-Szekersa. T X N II r = 2M t =+CO I t = constant r m r=2m t = -CX) 0=0 r = constant R. M. Wald General Relativity (1984) 25 / 32

Współrzędne Kruskala-Szekersa. Udało nam się rozszerzyć współrzędne, otrzymując diagram Kruskala. Każdy punkt diagramu to dwuwymiarowa sfera. Region I to poprzednio r > 2m, czyli region zewnętrznego pola grawitacyjnego. Region II ograniczony osobliwością r = 0 to czarna dziura. Każdy promień świetlny wysłany w tym regionie musi w nim pozostać. Region III to biała dziura. Każdy obserwator tu obecny musi pochodzić z osobliwości r = 0 i opuści region III. Region IV ma własności takie same jak region I. Reprezentuje kolejny asymptotycznie płaski region czasoprzestrzeni leżący wewnątrz r = 2m. Każdy sygnał wysłany z I do IV spadnie do czarnej dziury, zanim osiągnie IV. 26 / 32

Współrzędne Kruskala-Szekersa. https://www.zmescience.com/research/ quantum-entanglement-wormholes-0424/ 27 / 32

Kolaps grawitacyjny. W pobliżu r = 0 należy spodziewać się załamania rozwiązania Schwarzschilda, ponieważ wnętrze masywnych obiektów nie jest próżnią. W tym przypadku T µν 0. Z tego powodu regiony III i IV są raczej niefizyczne, natomiast regiony I i II są. Zapadająca się materia powoduje powstanie czarnej dziury jeżeli chowa się ona pod linią r = 2m. W takim przypadku regiony niefizyczne i osobliwość r = 0 zostają przykryte zapadającą się materią. Kolejną wątpliwością może być fizyczność równań Einsteina w tak silnym polu grawitacyjnym. 28 / 32

Kolaps grawitacyjny. r= 2M r = 0 ( origin of coordinates) I ~ ~----\ collapsing molter R. M. Wald General Relativity (1984) 29 / 32

Podsumowanie. 1. Sferycznie symetrycznym, statycznym rozwiązaniem próżniowych równań Einsteina jest metryka Schwarzschilda. 2. W pobliżu obiektów o dużej masie ma miejsce szereg zjawisk fizycznych takich jak: precesje orbit, zakrzywianie toru fotonów, przesunięcie ku czerwieni. 3. Jeżeli masa obiektu chowa się pod hiperpowierzchnią r = 2m, ta staje się miejscem osobliwych zjawisk - horyzont zdarzeń. 4. W celu opisania geometrii pod horyzontem potrzebna jest zmiana współrzędnych na współrzędne Kruskala-Szekersa. 5. Osobliwość w r = 2m jest osobliwością układu współrzędnych, natomiast w r = 0 jest prawdziwą osobliwością geometryczną. 30 / 32

Literatura. R. M. Wald, General Relativity, The University of Chicago Press (1984) J. Foster, J. D. Nightingale, Ogólna teoria względności, Państwowe Wydawnictwo Naukowe (1985) B. F. Schutz, Wstęp do ogólnej teorii względności, Wydawnictwo Naukowe PWN (1995) Notatki do wykładu Ogólna teoria względności 31 / 32

Dziękuję za uwagę! https://en.wikipedia.org/wiki/black_hole 32 / 32