KURS GEOMETRIA ANALITYCZNA Lekcja 1 Działania na wektorach bez układu współrzędnych. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1
Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Jaka jest formalna definicja wektora? a) Wektor to uporządkowana para punktów Wektor to przesunięcie z jednego punktu do drugiego c) Wektor to strzałka o początku w jednym punkcie i końcu w drugim d) Wektor to para punktów w przestrzeni trójwymiarowej Pytanie 2 Co oznacza zapis: a r? a) Długość wektora a r Wartość bezwzględną z wektora a r c) Wektor a r d) Iloczyn skalarny wektora a r przez samego siebie Pytanie Kiedy dwa wektory są równe? a) Kiedy mają taki sam zwrot, kierunek i długość Kiedy mają taką samą długość c) Kiedy są równoległe i mają taką samą długość d) Kiedy mają taki sam zwrot i kierunek www.etrapez.pl Strona 2
Pytanie 4 Jak wyznaczyć można wektory przekątnych równoległoboku? a) Dodając i odejmując wektory, na których zbudowany jest równoległobok Przyjmując za nie wektory, z których zbudowany jest równoległobok c) Mnożąc wektorowo wektory, z których zbudowny jest równoległobok d) Obliczając pole równoległoboku Pytanie 5 Co jest wynikiem mnożenie wektora przez liczbę? a) Wektor Liczba Pytanie 6 Co to jest iloczyn skalarny dwóch wektorów a ib r? a) Wektor prostopadły do nich obu Liczba będąca długością wektora prostopadłego do nich obu r r r r c) Liczba a b cos ( Ra, d) Przeciwieństwo iloczynu wektorowego wektorów www.etrapez.pl Strona
Pytanie 7 Rzut wektora a na oś o kierunku wektora b r zawsze... a) Ma taki sam kierunek, jak wektor b r Ma taki sam zwrot, jak wektor b c) Ma długośc mniejszą lub równą od wektora b d) Ma długośc różną od wektora b Pytanie 8 r r r r a b sin, ( Ra jest wzorem na... a) Iloczyn wektorowy Iloczyn skalarny c) Długośc iloczynu wektorowego d) Długośc iloczynu skalarnego Pytanie 9 Pola jakich figur można obliczyc korzystając z iloczynu wektorowego? a) Równoległoboku, kwadratu, okręgu Trójkąta, elipsy, równoległoboku c) Trójkąta, równoległoboku, rombu d) Kwadratu, prostokąta, czworościanu www.etrapez.pl Strona 4
Pytanie 10 r r r r r r Czy prawdą jest, że zawsze: b o ( a c ) = c o ( b a )? a) Nie Tak www.etrapez.pl Strona 5
Część 2: ZADANIA Zad.1 uuur ur uuur r Dany jest równoległobok ABCD oparty na wektorach AB = 2 p i AD = 4q. M jest punktem przecięcia się przekątnych równoległoboku. Wyznacz wektory: ur pomocy wektorów p i q r. uuur uuur uuuur uuuur MA, MB, MC, MD przy Zad. 2 uuur ur uuur r Dany jest romb ABCD. Wektory AC = 7 p i BD = q stanowią przekątne rombu. Wyraź za ur pomocą wektorów p i q r uuur uuur uuur uuur wektory AB, BC, CD, DA. Zad. Oblicz iloczyn skalarny wektorów a r i b r, jeżeli: r r r r π a) a = 4, b = 7, ( Sa, b ) = c) r r r r a = 2, b = 4, a, b = ( S ) r r r r a =, b = 1, a, b = ( S ) π 6 π 4 d) e) r r r r 2 a = 5, b = 5, ( Sa, b ) = π r r r r a = 1, b = 2, a, b = π ( S ) www.etrapez.pl Strona 6
Zad. 4 Oblicz iloczyn skalarny wektorów a r i b r r ur r r ur r ur, jeżeli a = 6 p 4q, b = 2 p 10q, przy czym p i q r są wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi. Zad. 5 Oblicz iloczyn skalarny wektorów a r i b r r ur r r ur r ur, jeżeli a = p + 2q, b = 2 p + 10q, przy czym p i q r są wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi. Zad.6 r ur r ur r Znaleźć długość wektora a = p + 4q wiedząc, że p i q są wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi. Zad.7 r ur r ur Znaleźć długość wektora a = 12 p 16q wiedząc, że p i q r są wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi. Zad.8 r ur r ur r ur r π Znaleźć długość wektora a = 2 p + 5q, jeżeli wiadomo, że p =, q = 4, ( R p, q ) =. Zad.9 r ur r ur r ur r π Znaleźć długość wektora x = m n, jeżeli wiadomo, że m = 2, n =, ( Rm, n) =. 4 www.etrapez.pl Strona 7
Zad.10 r ur r Obliczyć długość przekątnych równoległoboku zbudowanego na wektorach a = 4 p + q i r ur r ur r π b = p 2q,gdzie p i q są wektorami jednostkowymi, pomiędzy którymi kąt równy jest. 6 Zad.11 ur r r r r r Obliczyć kąt pomiędzy wektorami p = a + 2b i q = a + 5b jeżeli wiadomo, że a r i b r są wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi. Zad.12 Obliczyć kąt pomiędzy wektorami a r i b r ur r r, jeżeli wiadomo, że wektory p = 2a + b i są wzajemnie prostopadłe, oraz wektory a r i b r mają tą samą długość. r r r q = 4a + 5b Zad.1 r ur r r ur r Wyznacz taką wartość parametru α, dla której wektory a = α p + 4q i b = p 2q są ur r ur r 2 wzajemnie prostopadłe, jeśli wiadomo, że p =, q = 4, ( R p, q ) = π. Zad.14 Znajdź rzut wektora a r na oś o kierunku wektora b r r r r r 1, jeżeli a = 2, b =, ( Ra, = π. Zad.15 ur ur r r ur r ur Znajdź rzut wektora m = 2 p 4q na wektor n = p + q, jeżeli wiadomo, że wektory p i q r są wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi. www.etrapez.pl Strona 8
Zad.16 uurr p, q i r r są trójką wektorów jednostkowych wzajemnie prostopadłych, mających orientację zgodną z orientacją przestrzeni. Uprość wyrażenia: a) c) ur r r ur r ur r r ( p q ) ( r + p ) + q ( p 4 q + r ) ur r ur r r ( 5 p + 2 q ) ( p + 2 q r ) ur r ur r ( 2 p 4 q ) ( p 4 r ) Zad.17 Wektory a r i b r 0 są wzajemnie jednostkowe, a kąt pomiędzy nimi wynosi 0. Oblicz: r r r r a b a ob ( ) 2 Zad.18 r ur r r ur r Oblicz pole równoległoboku zbudowanego na wektorach a = 4 p + q i b = p 7q, gdzie ur r p i q są wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi. Zad.19 uuur r r uuur r r Dany jest równoległobok ABCD, zbudowany na wektorach AB = 2a + b i AD = 10a + b. r r r r π Oblicz długość wysokości DE równoległoboku, wiedząc, że a = 4, b = 2, ( Ra, =. www.etrapez.pl Strona 9
Zad.20 uuur ur r uuur ur r Oblicz pole trójkąta ABC opartego na wektorach AB = m + 5n i BC = 4m + n, wiedząc, że wektory m ur i n r są wektorami jednostkowymi wzajemnie prostopadłymi. Zad.21 Wiedząc, że pole trójkąta zbudowanego na wektorach a r i b r równe jest 4, oblicz pole r r r ur r r równoległoboku zbudowanego na wektorach x = 4a + 5b i y = a 2b. Zad.22 r r r Sprawdź, czy wektory są a, b, c komplanarne (leżą na jednej płaszczyźnie), jeżeli wektory ur r r p, q, r nie są komplanarne: a) r ur r r r ur r r r ur r r a = p + 2q r, b = 2p 4 q + r, c = 2p + q 2r r ur r r r ur r r r ur r r a = 2 p 4q + 2 r, b = 4 p 4q 4 r, c = 6 p 16q + 14r Zad.2 ur r r Wektory p, q, r są jednostkowe i wzajemnie prostopadłe. Oblicz objętość czworościanu r ur r r r ur r r r ur r r opartego na wektorach: a = p q + r, b = 2 p + 9q 2 r, c = 2 p 4q + 2r. www.etrapez.pl Strona 10
Zad.24 Oblicz wysokość ostrosłupa ABCD opuszczoną z wierzchołka D, mając dane: uuur r ur r uuur r ur r uuur r ur r r ur r AB = x + 2 y + z, AC = 2x + 5y + 4 z, AD = x + y + 5z i wiedząc, że wektory x, y, z są jednostkowe i wzajemnie prostopadłe. KONIEC www.etrapez.pl Strona 11