Ekonometria. Modele wielorównaniowe. Jakub Mućk. Katedra Ekonomii Ilościowej

Ekonometria Modele wielorównaniowe Jakub Mućk Katedra Ekonomii Ilościowej Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 1 / 35

Outline 1 Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych 2 Modele równań współzależnych (SEM) 3 4 Modele wektorowej autoregresji (VAR) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 2 / 35

Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych Motywacja Q E 3 E 2 Q to ilość dobra P to cena dobra E 1, E 2 oraz E 3 to obserwowane wielkości. E 1 P Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 3 / 35

Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych Motywacja Q E 3 Q to ilość dobra P to cena dobra E 1, E 2 oraz E 3 to obserwowane wielkości. E 2 Zależność wynikająca z obserwacji empirycznych: Q = β 0 + β 1 P + ε (1) Jakiego znaku jest β 1? E 1 P Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 3 / 35

Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych Motywacja Q S E 3 Q to ilość dobra P to cena dobra E 1, E 2 oraz E 3 to obserwowane wielkości. E 1 E 2 Krzywa podaży (S) Q S = β 0 + β 1 P + ε s (1) gdzie ε s to nieobserowalna determinanta podaży (unobservable supply shifter) P Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 3 / 35

Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych Motywacja Q S Q to ilość dobra P to cena dobra E 1, E 2 oraz E 3 to obserwowane wielkości. E 1 D 1 E 2 E 3 D 2 D 3 P Krzywa podaży (S) Q S = β 0 + β 1 P + ε s (1) gdzie ε s to nieobserowalna determinanta podaży (unobservable supply shifter) Krzywe popytu (D i ) dla różnych wartości Z Q D = α 0 + α 1 P + α 2 Z + ε d (2) gdzie Z to obserowalna determinanta popytu (observable demand shifter), a ε d to nieobserowalna determinanta popytu (unobservable demand shifter). Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 3 / 35

Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych Motywacja Q Q to ilość dobra P to cena dobra E 1, E 2 oraz E 3 to obserwowane wielkości. E 3 S 3 Krzywe podaży (S i ) dla różnych wartości X: Q S = β 0 + β 1 P + β 2 X + ε s (1) S 1 E 1 D 1 E 2 S 2 D 2 D 3 P gdzie X to obserowalna determinanta podaży (observable demand shifter), a ε s to nieobserowalna determinanta podaży (unobservable supply shifter) Krzywe popytu (D i ) dla różnych wartości Z Q D = α 0 + α 1 P + α 2 Z + ε d (2) gdzie Z to obserowalna determinanta popytu (observable demand shifter), a ε d to nieobserowalna determinanta popytu (unobservable demand shifter). Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 3 / 35

Współprzyczynowość I Przykład: (Keyensowski) model konsumpcji: c = α + βy + ε (3) y = c + i (4) gdzie c to konsumpcja, yodpowiada zagregowanemu produktowi, i to inwestycje a ε to składnik losowy, t.j., ε N (0, σ 2 ε). W powyższym systemie równań mamy dwie zmienne endogeniczne (c oraz y) i jedną zmienną egzaogeniczną (i). Postać zredukowana (reduced form) to taka postać modelu, w której zmienne endogeniczne są determinowane jedynie przez zmienne egzogeniczne oraz zaburzenia losowe. W naszym przypadku: y = c + i y = α + βy + ε + i (1 β)y = αi + ε y = α (1 β) + 1 (1 β) i + 1 (1 β) ε. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 4 / 35

Współprzyczynowość II Ogólny zapis estymatora MNK dla krańcowej skłonności do konsumpcji (β) można wyprowadzić korzystając z tożsamości (3): (y ȳ) ε ˆβ OLS = β + (y ȳ) 2. (5) }{{} =0 jezeli E(y ε)=0 Ale z formy zredukowanej naszego modelu wiemy, że y zależy od ε. W takim przypadku ˆβ OLS β, a więc estymator MNK będzie niezgodny. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 5 / 35

Wprowadzenie do modeli wielorównaniowych Modele wielorównaniowe pozwalają na uwzględnienie skomplikowanych (współzależności) pomiędzy zmiennymi ekonomicznymi. Modele wielorównaniowe mogą w różnym stopniu bazować na teorii ekonomii. Przykładowy podział: Modele czysto teoretyczne bazujące na teorii ekonomii. Np. model wzrostu Solowa, model endogenicznego wzrostu Romera, model konkurencji monopolistycznej. Stosowane modele teoretyczne, np. stosowane modele równowagi ogólnej, modele RBC. Modele hybrydowe. Np. Model NECMOD. Stosowane modele empiryczne. Np. strukturalne modele VAR. Modele czysto empiryczne. Np. Modele wektorowej autoregresji VAR. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 6 / 35

Klasyfikacje modeli ekonometrycznych (Vol 2) 1 Liczba równań: modele jednorównaniowe modele wielorównaniowe 2 Postać funkcyjna: modele liniowe modele nieliniowe 3 Charakter dynamiczny modeli: modele statyczne modele dynamiczne 4 Walory poznawcze modelu: modele przyczynowo-skutkowe modele symptomatyczne 5 Zakres analizy: modele makroekonomiczne modele mikroekonomiczne 6 Powiązania między zmiennymi: modele proste modele rekurencyjne modele o równaniach współzależnych Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 7 / 35

Modele równań współzależnych (SEM) - postać strukturalna Postać strukturalna (structural form) to postać modelu wynikająca z teorii ekonomii. Dla układu M równań γ 11y 1t+... + γ 1M y Mt + β 11x 1t+... + β 1K x Kt = ε 1t γ 21y 2t+... + γ 2M y Mt + β 21x 2t+... + β 2K x Kt = ε 2t. γ M1 y 1t+... + γ MM y Mt + β M1 x Mt +... + β MK x Kt = ε Mt M zmiennych endogenicznych: y 1t, y 2t,..., y Mt. K zmiennych egzogenicznych: x 1t, x 2t,..., x Kt. M strukturalnych zaburzeń losowych: ε 1t, ε 2t,..., ε Mt. Przyjmując, że ε = [ε 1t, ε 2t,..., ε Mt ] E(ε) = 0 oraz E(εε T ) = Σ, gdzie Σ to macierz wariancji-kowariancji pomiędzy zaburzeniami strukturalnymi. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 9 / 35

Modele równań współzależnych (SEM) - postać strukturalna Postać strukturalna (structural form): przy pomocy zapisu macierzowego dla każdej obserwacji (t): [y 1 y 2... y M ] t + [x 1 x 2... x K ] t γ 11 γ 12... γ 1M γ 21 γ 22... γ 2M. γ M1 γ M2... γ MM β 11 β 12... β 1M β 21 β 22... β 2M. β M1 β M2... β MM + = [ε1... ε2 ε M] t Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 10 / 35

Modele równań współzależnych (SEM) - postać strukturalna Postać strukturalna (structural form) zapis macierzowy: YΓ + XB = ε, (6) gdzie (przyjmując T jako liczbę obserwacji): Y to macierz zmiennych endogenicznych o wymiarach T M. X to macierz zmiennych egzogenicznych o wymiarach T K. ε to macierz struturalnych zaburzeń losowych o wymiarach T M. Γ macierz parametrów przy zmiennych endogenicznych o wymiarach M M. B macierz parametrów przy zmiennych egzogenicznych o wymiarach K M. Ponadto: E(ε) = 0 oraz E(εε T ) = Σ, gdzie Σ to macierz wariancji-kowariancji pomiędzy zaburzeniami strukturalnymi. Zatem na postać strukturalną składają się: Γ, B, ale i Σ. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 11 / 35

Modele równań współzależnych (SEM) - postać zredukowana Postać zredukowana (reduced form): Y = XΠ + ν, (7) gdzie Π = BΓ 1 (8) oraz ν to macierz zaburzeń formy zredukowanej: ν = εγ 1 (9) oraz E(νν T ) = ( Γ 1) T ΣΓ 1 = Ω. (10) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 12 / 35

Problem Identyfikacji parametrów ilustracja Obserwacje empiryczne: E 1, E 2 oraz E 3. Q S E 3 E 2 E 1 P Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 14 / 35

Problem Identyfikacji parametrów ilustracja Obserwacje empiryczne: E 1, E 2 oraz E 3. Q Q S E 3 E 3 S E 2 E 2 D 3 E 1 P E 1 D 1 D 2 P Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 14 / 35

Problem Identyfikacji parametrów ilustracja Obserwacje empiryczne: E 1, E 2 oraz E 3. Q Q S E 3 E 3 S Q E S 3 3 E 2 E 2 D 3 E S 2 2 D 3 E 1 P E 1 D 1 D 2 P E S 1 1 D 1 D 2 P Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 14 / 35

I Postać strukturalna (structural form): YΓ + XB = ε (11) Postać zredukowana (reduced form): Y = XΠ + ν (12) Π = BΓ 1 (13) Intuicyjnie, kluczowy jest przypadek, gdy jedna postać zredukowana odpowiada dokładnie jednej postaci strukturalnej. W przypadku, gdy kilka postaci strukturalnych może prowadzić do tej samej postaci zredukowanej pojawia się problem braku identyfikowalności parametrów. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 15 / 35

Przykład I Przykład (q d popyt; q s podaż, p cena; z inna zmienna egzogeniczna): q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d (14) q s = β 0 + β 1p + β 2z + ε s (15) q d = q s (16) Po drobnej manipulacji postać zredukowana oraz przy złożeniu, że α 1 β 1: q = α 1β 0 α 0 β 1 p = α 1 β 1 + α 1β 2 α 2 β 1 α 1 β 1 z + α 1ε s α 2 ε d α 1 β 1 = π 11 + π 21z + ν q, (17) β 0 α 0 α 1 β 1 + β 1 α2 α 1 β 2 z + εs ε d α 1 β 1 = π 12 + π 22z + ν p, (18) Postać zredukowana zawiera zaledwie cztery parametry (π 11, π 12, π 21 i π 22), a postać strukturalna aż sześć parametrów (α 0, α 1, α 2, β 0, β 1 i β 2). Oczywistym zatem jest fakt, że nie ma kompletnego rozwiązania dla wszystkich sześciu parametrów postaci strukturalnej w zależności od parametrów postaci zredukowanej. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 16 / 35

Przykład II I Modyfikacja: w rówaniu popytowym zamienimy z na x Postać strukturalna [ [q p] q d = α 0 + α 1p + α 2x + ε d (19) q s = β 0 + β 1p + β 2z + ε s (20) q d = q s (21) ] 1 1 + [1 x z] α 1 β 1 [ α0 β 0 α 2 0 0 β 2 ] = [ε d ε s] (22) Postać zredukowana: [q p] = [1 x z] [ (α1β 0 α 0β 1) /γ (β 0 α 0) /γ α 2β 1/γ α 2/γ α 1β 2/γ β 2/γ ] + [ν 1 ν 2] (23) gdzie γ = α 1 β 1 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 17 / 35

Przykład II II rozwiązaniem dla postaci strukturalnej jest zatem α 0 = π 11 π 12 ( π31 π 32 ), α1 = π 31 π 32, β 0 = π 11 π 12 ( π21 π 22 ), β1 = π 21 π 22, α 2 = π 22 ( π21 π 22 π 31 π 32 ), β 2 = π 32 ( π31 π 32 π 21 π 22 ). Uwaga. Należy pokazać, że jest to rozwiązanie unikalne. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 18 / 35

a liczba parametrów Postać strukturalna: Γ jest nieosobliwą macierzą o wymariach M M = M 2 parametrów. B jest wymiarów K M = KM parametrów. Σ jest macierzą symetryczną o wymariach M M = 1 M(M + 1) 2 parametrów. Zatem postać strukturalna posiada M 2 + KM + 1 M (M + 1). 2 Postać zredukowana Π jest wymiarów K M = KM parametrów. Ω jest macierzą symetryczną o wymariach M M = 1 M(M + 1) 2 parametrów. Zatem postać zredukowana posiada KM + 1 M (M + 1). 2 Różnica w liczbie parametrów to M 2. Dlatego, kluczowe jest wykrozystanie informacji z poza próby (non-sample information). Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 19 / 35

a źródła restrykcji Normalizacja (Normalization) w każdym równaniu jeden współczynnik powinien mieć wartość 1. Zazwyczaj, jest to parametr przy zmiennej endogenicznej. Wtedy liczba restrykcji redukuje się do M(M 1) (z M 2 ). Tożsamości (Identities). Wykluczenia (Exclusion) zerowe restrykcje na macierze Γ i B. Liniowe restrykcje (Linear restrictions). Aczkolwieks liniowe restykcje mogą czasem prowadzić do błędnej postaci strukturalnej. Przykładowym problem jest brak możliwości zidenyfikowania efektów korzyści skali przy identyfikacji postępu technologicznego dla zagregowanej funkcji produkcji. Restrykcje na macierz wariancji kowariancji zaburzeń losowych Σ. Współczesne badania makroekonomiczne wykorzystują modele wektorowej autoregresji VAR w celu zidentyfikowania wpływu (strukturalnych) szoków makroekonomicznych. Kluczowym założeniem jest tutaj sferyczność macierzy Σ. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 20 / 35

I Rozważamy jedną zmienną endogeniczną y j (tj. j-te równanie). Zmienne endogeniczne Zmienne egzogeniczne Włączone Y j X j M j zmiennych K j zmiennych Pominięte Yj X j Mj zmiennych Kj zmiennych Liczba równań (zmiennych endogenicznych): M = M j + M j + 1 Liczba zmiennych egzogenicznych: K = K j + K j Postać zredukowana: [ ] [ yj Y j Yj = Xj X j ] [ π j Πj Πj π j Π j Π j ] + [ ] v j V j Vj (24) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 21 / 35

Warunek konieczny (order condition) i wystarczający (rank condition) Warunek konieczny (order condition) dla j tego równania K j M j. (25) Liczba zmiennych egzogenicznych wyłączonych/pomiętych z równania j-tego nie może być mniejsza od liczby zmiennych endogenicznych w równaniu j- tym. Warunek ten gwarantuje, że równanie πj jedno rozwiązanie. = Π j γ j posiada przynajmniej Warunek wystarczający (rank condition) dla j tego równania rank [ ] [ ] πj, Π j = rank Π j = Mj (26) Spełnienie tego warunku gwarantuje dokładnie jedno rozwiązanie. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 22 / 35

Problem identyfikacji Szczególne przypadki identyfikowalności dla j-tego równania: 1 Dokładnie identyfikowalne (exactly identified) jeżeli Mj = K j. 2 Nadmiernie identyfikowalne (overidentified) jeżeli Mj > K j. 3 Brak identyfikowalności (underidentified) będzie równoznaczny sytuacji, gdy M j < K j. gdzie Kj to liczba zmiennych egzogenicznych pominiętych z równania j-tego; M j to liczba zmiennych endogenicznych w równaniu j-tym. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 23 / 35

- praktyczna metoda Praktycznym sprawdzeniem warunku koniecznego (order condition) i wystarczającego rank condition jest metoda sprawdzająca rząd odpowiedniej podmacierzy. [Krok #1] Zapisujemy w tabeli parametry postaci strukturalnej, a więc: y 1 y 2... y M 1 x 1 x 2... x k Γ B [Krok #2] Dla każdego j-tego równania rozważamy macierz pozbawioną: j-tego wiersza; kolumn, ze zmiennymi występującymi w j-tym równaniu. Parametry j-tego równania będą identyfikowalne jeżeli macierz ta będzie miała pełny rząd (liczba wektorów niezależnych liniowo powinna odpowiadać liczbie wierszy). Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 24 / 35

Praktyczna metoda przykład I q d q s 1 p q d = α 0 + α 1p + ε d q s = β 0 + β 1p + ε s q d = q s 1 0 α 0 α 1 0 1 β 0 β 1 1 1 0 0 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 25 / 35

Praktyczna metoda przykład I q d q s 1 p q d = α 0 + α 1p + ε d q s = β 0 + β 1p + ε s q d = q s 1 0 α 0 α 1 0 1 β 0 β 1 1 1 0 0 równanie pierwsze: tylko wektor [1 1] T = niepełny rząd kolumnowy, a więc brak identyfikowalności. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 25 / 35

Praktyczna metoda przykład I q d q s 1 p q d = α 0 + α 1p + ε d q s = β 0 + β 1p + ε s q d = q s 1 0 α 0 α 1 0 1 β 0 β 1 1 1 0 0 równanie pierwsze: tylko wektor [1 1] T = niepełny rząd kolumnowy, a więc brak identyfikowalności. równanie drugie: tylko wektor [1 1] T = niepełny rząd kolumnowy, a więc brak identyfikowalności. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 25 / 35

Praktyczna metoda przykład II q d q s 1 p z q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d q s = β 0 + β 1p + ε s q d = q s 1 0 α 0 α 1 α 2 0 1 β 0 β 1 0 1 1 0 0 0 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 26 / 35

Praktyczna metoda przykład II q d q s 1 p z q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d q s = β 0 + β 1p + ε s q d = q s 1 0 α 0 α 1 α 2 0 1 β 0 β 1 0 1 1 0 0 0 równanie pierwsze: tylko wektor [1 1] T = niepełny rząd kolumnowy, a więc brak identyfikowalności. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 26 / 35

Praktyczna metoda przykład II q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d q s = β 0 + β 1p + ε s q d = q s q d q s 1 p z 1 0 α 0 α 1 α 2 0 1 β 0 β 1 0 1 1 0 0 0 równanie pierwsze: tylko wektor [1 1] T = niepełny rząd kolumnowy, a więc brak identyfikowalności. równanie drugie: dwa wektory [1 1] T oraz [ α 2 0] T. Co więcej, [ ] 1 α2 rank = 2 1 0 = parametry drugie równania identyfikowalne. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 26 / 35

Praktyczna metoda przykład III q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d q s = β 0 + β 1p + β 2x + ε s q d = q s q d q s 1 p z x 1 0 α 0 α 1 α 2 0 0 1 β 0 β 1 0 β 2 1 1 0 0 0 0 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 27 / 35

Praktyczna metoda przykład III q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d q s = β 0 + β 1p + β 2x + ε s q d = q s q d q s 1 p z x 1 0 α 0 α 1 α 2 0 0 1 β 0 β 1 0 β 2 1 1 0 0 0 0 równanie pierwsze: dwa wektory wektor [1 1] T oraz [ β 2 0] T. Ważniejsze, że [ ] 1 β2 rank = 2 1 0 = parametry pierwszego równania identyfikowalne. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 27 / 35

Praktyczna metoda przykład III q d = α 0 + α 1p + α 2z + ε d q s = β 0 + β 1p + β 2x + ε s q d = q s q d q s 1 p z x 1 0 α 0 α 1 α 2 0 0 1 β 0 β 1 0 β 2 1 1 0 0 0 0 równanie pierwsze: dwa wektory wektor [1 1] T oraz [ β 2 0] T. Ważniejsze, że [ ] 1 β2 rank = 2 1 0 = parametry pierwszego równania identyfikowalne. równanie drugie: dwa wektory [1 1] T oraz [ α 2 0] T. Co więcej, [ ] 1 α2 rank = 2 1 0 = parametry drugie równania identyfikowalne. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 27 / 35

Modele wektorowej autoregresji (VAR) Modele wektorowej autoregresji VAR (Vector AutoRegression) to modele czysto empiryczne o ateoretycznym charakterze. Wszystkie zmienne w modelu są endogeniczne (można jednak dodatkowo wprowadzić zmienne egzogeniczne). Model VAR są odporne na krytykę Lucasa. Model wektorowej autoregresji VAR pierwszego rzędu dla K zmiennych: y t = A 0 + A 1 y t 1 + ε t, (27) gdzie y t to wektor zmiennych endogenicznych w momencie t, A 0 wektor wyrazów wolnych, A 1 macierz współczynników przy opóźnionych (o jeden okres) zmiennych endogenicznych. ε to wektor składników losowych, oraz ε N (0, Σ), gdzie Σ to macierz wariancji-kowariancji pomiędzy składnikami losowymi. Alternatywny zapis: y 1t y 2t. y Kt = a 01 a 02. a 0K a 11 a 21... a K1 a 12 a 22... a K2 +........ a 1K a 2K... a KK y 1,t 1 y 2,t 1. y K,t 1 + (28) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 29 / 35 ε 1t ε 2t. ε Kt.

Modele wektorowej autoregresji (VAR) Model wektorowej autoregresji VAR P-tego rzędu dla K zmiennych: P y t = A 0 + A i y t i + ε t, (29) gdzie i=1 y t to wektor zmiennych endogenicznych w momencie t, A 0 wektor wyrazów wolnych, A 1, A 2,..., A P macierze współczynników przy opóźnionych zmiennych endogenicznych. ε t to wektor składników losowych, Model wektorowej autoregresji VAR P-tego rzędu dla K zmiennych z zmiennymi egzogenicznymi: P y t = A 0 + A i y t i + FX t + ε t, (30) i=1 gdzie X t to wektor zmiennych egzogenicznych w momencie t,a macierz F opisuje jednoczesny wpływ zmiennych egzogenicznych na zmienne endogeniczne. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 30 / 35

Modele wektorowej autoregresji (VAR) stabilność oraz reprezentacja VMA I Stabilność procesu (modelu) VAR oznacza, że wpływ zaburzeń losowych (ε t) na zmienne egzogeniczne wygasa w czasie. [Przykład] model VAR(1) bez wyrazu wolnego: y t = A 1y t 1 + ε t, (31) iterując o jeden okres wstecz, tj. y t 1 = A 1y t 2 + ε t 1: lub ogólniej y t = A 2 1y t 2 + ε t + A 1ε t 1, (32) y t = y 0 + ε t + t A i 1ε t i, (33) i przyjmując y 0 = 0 uzależnić zmienne endogeniczne wyłącznie od zaburzeń losowych. W ogólnym przypadku: y t = i=1 t A i 1ε t i, (34) i=0 Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 31 / 35

Modele wektorowej autoregresji (VAR) stabilność oraz reprezentacja VMA II co jest zapisem procesu wektorowej średniej ruchomej o nieskończonym rzędzie VMA( ), tj. t y t = Ξ iε t i, (35) i=0 gdzie Ξ i = A i 1 opisuje wpływ zaburzeń losowych opóźnionych o i okresów. Intuicyjnie, aby wpływ zaburzeń losowych wygasał w czasie musi być spełniony warunek: lim t A1t = 0. (36) Zatem moduł z największej wartości własnej musi być mniejszy od jedności. Alternatywnie rozwiązania następującego wielomianu charkterystycznego: I A 1z = 0, (37) muszą leżeć poza kołem jednostkowym (być większe co do modułu od 1). Dla modelu VAR P-tego rzędu wielomian charakterystyczny: I A 1z A 2z 2... A P z P = 0 (38) Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 32 / 35

Modele wektorowej autoregresji (VAR) IRF Reprezentacja VMA( ) jest kluczowa dla analizy zachowania zmiennych. Wszystkie zmienne wektora y t są endogeniczne i zależą od przeszłych wartości zaburzeń losowych: t y t = Ξ iε t i, (39) i=0 Uzasadniona jest zatem interpretacja w kategoriach dynamicznych mnożników. Wpływ zaburzenia i tego zaburzenia losowego na j-tą zmienną po s okresów można odczytać elementu znajdującego się w i-tym wierzu j-tej kolumny macierzy Ξ s. Funkcją reakcji na impuls (IRF) (dynamicznym możnikiem) będzie zatem zbiór elementów macierzy Ξ 0, Ξ 1,... opisujących reakcję pewnego zaburzenia losowego na zmienną endogeniczną. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 33 / 35

Jak interpretować zaburzenia losowego? W postaci zredukowanej założono, że ε t N (0, Σ), a Σ nie jest diagonalna. Zaburzenia strukturalne: u t:, gdzie u t N (0, I ). Zależność pomiedzy szokami strukturalnymi a zaburzeniami losowymi w postaci zredukowanej możemy zapisać jako: Aε t = Bu t. (40) Problem identyfikowalności. Macierze A i B mają po K 2 elementów. Tymczasem mamy K(K + 1)/2 układów równań (wymiar macierzy Σ). Konieczne jest zatem przynajmniej 2K 2 K(K + 1)/2 restrykcji. Dekompozycja Choleskiego: Σ = PP. Macierz P jest trójkątna dolna. Zatem restrykcją na macierz B jest P, podczas gdy macierz A jest jednostkowa. Analiza wykorzystująca dekompozycję Cholskiego jest wrażliwa na kolejność zmiennych w modelu VAR. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 34 / 35

Strukturalna funkcją reakcji na impuls (SIRF) będzie zatem funckją reakcji na impuls skorygowaną o schemat identyfikacji strukturalnych szoków: y t = t Θ iu t i, (41) i=0 gdzie Θ i = ΞA 1 B. (42) Alternatywne popularne schematy identyfikacji szoków strukturalnych: Restrykcje długookresowe; Restrykcji znakowe. Jakub Mućk Ekonometria Wykład 11 Modele wielorównaniowe 35 / 35