8 Iy wose z twerdzea. est Wose.. Jeśl ua a ągłą poodą rzędu a odu [a, b] zaweraąy węzły rzezywste x (,,..., ) put x, to stee wartość > [a, b], przy zy > >(x), że p ( x) rx ( ) ( )! ( ) W dowodze tego wosu orzysta sę z przedstawea ałowego uogóloego lorazu różowego, a astępe stosue sę twerdzee o wartoś średe dla ałe. Wzór (.) est zęsto stosoway w pratye, gdyż w welu przypada potray z własoś rozważaego zagadea oszaować poodą ezae u. Jeśl ( ) ( x) M dla x [a, b], to bezpośredo z wzoru (.) ay ( ξ ). (.) rx ( ) p ( x) ( )! M..7. Iterpolaa wyera Dea.9. Zadae terpola wyere polega a zalezeu dla dae u u wyere W posta W ( x), w tóre stopeń lza est rówy o awyże, a stopeń aowa o awyże, spełaąe dla day węzłów x wartoś u w ty węzła (x ) (,,..., ) waru Zauważy, że ua W zawera współzy, podzas gdy waruów posta (.) est. Nazęśe oreśla sę bowe uę W z doładośą do wspólego zya. Z zależoś (.) ay a x b x W ( x ) ( x ). (.) a x ( x ) b x,,, K,. (.)
.8. Iterpolaa trygooetryza 9 Jest to uład rówań edorody ze względu a ewadoe współzy a b. Oazue sę eda, że zastąpee zadaa terpola wyere rozwae ww. uładu e zawsze prowadz do rozwązaa. Przyład.7 Ne oraz Spróbuy oreślć uę wyerą x (x ) spełaąą waru (.). Z zależoś (.) ay a b, a a ( b b), a a ( b b ). Rozwązae tego uładu z doładośą do wspólego zya różego od est Stąd Dla x ay wyrażee eoreśloe. Jeśl dooay redu, to otrzyay uę ~ W, ale ta ua e rozwązue zagadea terpola w pue x, bo ay ~ ( ) W (). # W a ( x) b a x b x a, b, a, b. W x ( x). x Wose.. Zadae terpola wyere e zawsze est rozwązale. Prawe ażde rozwązae uładu (.) est rozwązae uładu (.), ale e a odwrót. W podręzu [] są podae zależoś poędzy rozwązaa uładów (.) (.). W sąże te podao taże algoryt terpola wyere, tóry odpowada algorytow Nelle a w terpola weloaowe..8. Iterpolaa trygooetryza Ne będze day przedzał [, B] oraz puty węzłowe x π wartoś u w ty węzła (x ) (,,...,! ), przy zy wartoś (x ) ogą być zespoloe.
4 Dea.. Zadae terpola trygooetryze polega a zalezeu dla dae u oresowe o orese B weloau trygooetryzego T ( x) β β exp( x) β exp( x) K β exp(( ) x), (.) exp(") os" s" (wzór Eulera), ozaza edostę urooą, taego że T ( x ) ( x ),,, K,. (.) Fua est uą zee rzezywste o wartośa zespoloy. Współzy $ w ogóloś ogą być lzba zespoloy. Jeżel daa est ua g o orese T, t. g(y T) g(y), to doouą zaay zee według zależoś x π otrzyay a wę uę oresową o orese B. T y ( x) g yt, π Bez zeszaa ogóloś ożey zate rozważać tylo ue o orese B. Podobe, a w przypadu terpola weloaowe, ożey udowodć Twerdzee.9. Dla dowoly lzb zespoloy (x ) rzezywsty węzłów x π (,,...,! ), gdze lzba est ustaloa, stee dołade ede weloa trygooetryzy (.) spełaąy waru (.). Dowód. Podstawaą w exp(x) z wzoru (.) otrzyuey zagadee terpola trygooetryze sprowadza sę do zagadea terpolayego Lagrage a zalezea weloau stopa!, gdyż π w exp( x) exp w w dla,. # W oley twerdzeu podao wzory a współzy $ weloau (.). Twerdzee.. Jeżel dla weloau trygooetryzego (.) zaodzą zależoś (.), to Dowód. Ozazy w exp(x ). Poażey aperw, że a) w w dla lzb ałowty oraz, b) ww, dla, gdze #, #!., dla, T( w) β βw K βw π β x ( )exp,,, K,. (.4) Rówość a) est ozywsta, gdyż wya z de lzb w. W elu udowodea zależoś b) zauważy, że dla, ±, ±,..., lzba w est perwaste rówaa
.8. Iterpolaa trygooetryza 4 w ( w )( w w K ). Zate w dla wszyst, ±, ±,.... May w, dla, ±, ±, K,, w przewy przypadu, a stąd otrzyuey zależość b). Jeżel w przestrze C zaweraąe wszyste wetory ((x ), (x ),..., (x! )) oreśly lozy salary (, g) g, gdze ozaza sprzężee lzby to własoś a) b) ozazaą, że przyporządowae g g, u exp(x) speale ułady lzb tworzą bazę ortooralą w przestrze C, t., dla, ( w, w ),., dla, Poeważ T (x ) (x ), wę z uwag a zależość (.5) ay ( x) w (, w) ( w w w, w). β β K β β w ( w, w, K, w ),,, K,, (.5) # Ne teraz wartoś (x ) będą rzezywste. Ozazy A x B x π ( )os, ( )s π, (.6) gdze ozaza lzbę ałowtą. Z wzoru (.4) wya, że β β x w x w w ( ) ( ), bo, exp( π) ( A B ), β ( A B ), β w β w A os x B s x, bo β β, β w ( A B )exp( x) ( A B )(os x s x ), β w ( A B ) exp( x) ( A B )(os x s x), K,,,. (.7)
4 Możey teraz udowodć twerdzee o terpola rzezywsty weloaa trygooetryzy. Twerdzee.. Dla day putów węzłowy x π rzezywsty wartoś u w ty węzła (x ) stee dołade ede weloa trygooetryzy o własoś T (x ) (x ), przy zy dla parzystego ( ) T A A ( x) ( A osx B s x) os x, (.8) a dla eparzystego ( ) T A ( x) ( A osx B s x). (.9) Dowód. Istee edozazość weloaów (.8) (.9) wya z twerdzea.9. Dla z wzorów (.), (.4), (.6) (.7) ay ( x ) T ( x ) β exp( x ) β w β ( β w β w ) β w ( A B) ( A os x B s x) ( A B) w. (.) Z zależoś (.6) otrzyuey bo B B π x ( )s, π x x ( )s ( )s π, w exp( x ) osx sx os x, s x s π s π dlatego wzór (.) dae zależość (.8) dla x x. Gdy lzba est eparzysta dowód przebega podobe. #
.9. Iterpolaa ua sleay 4.9. Iterpolaa ua sleay W dotyzas rozpatryway zagadea terpola weloaowe załadalśy, że daa ua est przyblżaa edy weloae a ały odu [a, b] [x, x ]. Jedyą ożlwośą uzysaa lepszego przyblżea było zwęszee stopa weloau. Wadoo eda, że awet dla bardzo regulary u ąg weloaów terpolayy e us być zbeży do terpolowae u. Dlatego do zagadea tego pododz sę w y sposób. Dzely ały przedzał [a, b] a N zęś w ażdy z podprzedzałów przyblżay uę weloae ustaloego (ożlwe sego) stopa. Istote est przy ty, aby ta sostruowae przyblżee było ągłe wraz z poody odpowed rzędów a ały odu [a, b]. Fue o te własoś azywaą sę ua sleay. Dea.. Fuę rzezywstą S azyway uą sleaą stopa z węzła : a x < x < < x b, K eśl a) w ażdy przedzale (x!, x ) dla,,...,, przy zy przyuey x!!4, x 4, ua S est weloae stopa e wyższego ż, b) ua S e poode rzędu,,...,! są ągłe a ałe os rzezywste. Zauważy, że gdy, to ua sleaa est łaaą. Wśród u sleay spealą rolę (zob. dale) spełaą pewe lasy. Dea.. Fuę sleaą S stopa! z węzła ) azyway aturalą uą sleaą, gdy w przedzała (!4, x ) (x, 4) daa est weloae stopa! (a e! ). Dea.. Fuę sleaą S stopa z węzła ) azyway oresową uą sleaą o orese b! a, gdy S ( a ) S ( b) dla,,...,! () (). W dalszy ągu przyey astępuąe ozazea: S ()) lasa u sleay stopa z węzła ), P ()) lasa oresowy u sleay stopa z węzła ), N! ()) lasa aturaly u sleay stopa! z węzła ). Dea.4. Zadae terpola ua sleay polega a zalezeu dla day putów (x, (x )),,,...,, u sleae S, tae że Sx ( ) ( x). (.) W ałe lase S ()) zadae to e a edozazego rozwązaa, atoast w lasa P ()) N! ()) stee dołade eda ua sleaa S spełaąa waru (.) (dowód tego twerdzea zadue sę.. w []).
44 Poże podaey algoryt wyzazaa aturale oresowe u sleae stopa trzeego. Taą uę azęśe stosue sę w pratye. Załaday zate, że Sx ( ) a bt t dt, (.) gdze t x! x dla x [x, x ),,,...,!, S N ()) lub S P ()) oraz S(x ) (x ) w węzła ). Z wzoru (.) wya, że ależy wyzazyć 4 współzyów (eśl przedzał [a, b] est podzeloy a podprzedzałów). Z waruów terpola (.) oraz z oreślea u S wzore (.) otrzyuey a ( x),,, K,, (.) gdyż dla x x ay t. Należy zate eszze wyzazyć współzyów.! rówaa a te współzy otrzyay z założea ągłoś u S, SN SO w węzła x (,,...,! ), a pozostałe rówaa z atu, że ua S est aturalą lub oresową uą sleaą. Z oreślea (.) u S ay Z ągłoś u SO w węzła x (,,...,! ), zyl z waruu otrzyuey zyl 6d( x x),,,...,. (.4) Oblzaą poodą u S z wzoru (.) ay z waruu ągłoś u SN w węzła x, t. z waruu ay b ( x x) d( x x) x x b ( x x) d( xx ) x x, a wę S ( x) 6d ( xx ) dla x [ x, x ),,, K,. Postępuą dale podobe, z ągłoś u S w węzła x otrzyay rówaa Z zależoś (.4) wyzazay d! : S ( x ) S ( x ), 6d ( x x ) 6d ( x x ), x x x x S ( x) b ( x x ) d ( xx ) S ( x ) S ( x ), b b ( x x ) d ( x x ),,, K,. (.5) a a b( x x) ( x x) d( x x),,, K,. (.6) d,,, K,, (.7)
.9. Iterpolaa ua sleay 45 gdze przyęto ozazee x x, po zy podstaway te wartoś do wzorów (.5) (.6) uwzględaą waru (.). Otrzyuey b b ( ), b ( ), zyl b b ( ), b ( ), gdze dla prostoty ozazylśy (x ). Z drugego z powyższy rówań ożey oblzyć b!. May po podstaweu do perwszego rówaa dostaey Rówae (.8) ożey taże zapsać astępuąo: zyl b b b ( ),,, K, (.8) ( ),,, K,. (.9) ( ),,, K,. (.4) Dla,,...,! z rówań (.9) (.4) otrzyuey ( ) ( ), ( ) Jest to uład! rówań z ewadoy,,...,!. Warue S ( x ) S ( x ) us zaodzć taże w pue x b, zyl w pue x, a stąd (por. wzór (.4)) Rozuuą a poprzedo dostaey (por. wzory (.7) (.8)) d b S ( x )., ( ),,,, K,. (.4) (.4)
46 a wę uład (.4) zaodz dla,,...,! (z ewadoy,,..., ). Po prosty przeształea ożey go zapsać w posta Jeżel ua S est aturalą uą sleaą, to poza przedzałe [a, b] est oa weloae stopa!, a w przedzale [a, b] stopa. W aszy przypadu!, a stąd. Ozaza to, że w przedzała (!4, a) (b, 4) ua S est weloae stopa perwszego, a stąd SO(x) dla x ó [a, b]. Z druge stroy ua SO us być ągła w puta x a x b, zyl SO(x ) SO(x ). Zate, bo SO(x) 6d (x! x ) dla x [x, x ) oraz z waruu SO(x! ). Uład (.4) przyue wę postać gdze Maerz tego uładu est tróprzeątowa. Sposób rozwązaa uładu rówań lowy z taą aerzą est poday w p. 4.4. Jeśl ua S est oresową uą sleaą stopa trzeego, to uszą być spełoe waru () () S ( x ) S ( x ) dla,,, a stąd dla otrzyuey ( x ) ( x ), a wę warue, a powa spełać ua w terpola uą oresową. Dla ay zyl Wresze, dla otrzyuey.,, K,. w K K K K u w K K K u w K K K M M M M M M M M K K K K u w K K K K u M,, M w,,, K,, u,,, K,,,,, K,. x x x x b ( x x ) d ( x x ) b ( x x ) d ( x x ), (.4) b b d. (.44)
.9. Iterpolaa ua sleay 47 Z zależoś (.44) po uwzględeu rówań (.8) (.4) ay Stąd, uwzględaą, że, po prosty przeształea otrzyuey Rówaa (.4) wzór (.45) prowadzą do uładu rówań lowy z ewadoy,,..., posta gdze a pozostałe weloś w, u (,,...,! ) są oreśloe a poprzedo. Korzystaą z oblzoy współzyów uę S ożey przedstawć w posta Błąd terpola ua sleay est oreśloy w poższy twerdzea. Twerdzee.. Jeśl ua speła warue Höldera, tz. steą stałe L > " (, ], tae że dla dowoly x, y [a, b] ay to ( ) ( ) ( ).. (.45) w u u w u w u w w u K K K K K K K K K M M M M M M M M K K K K K K K M M, w u,,, Sx x x x x x x x x x ( ) ( ) ( ) ( ) ( ), [, ),,,,. K x y L x y ( ) ( ), α ax ( ) ( ) ax ax. [, ], x a b Sx x L 4 α (.46)
48 Dowód tego twerdzea zadue sę w []. Zauważy, że z wzoru (.46) wya, że eśl ey, aby oszaowae błędu było rzędu ax α, to welość ax powa być, w przyblżeu rówa. Ozaza to, że węzły powy być rozłożoe w arę rówoere. Założee to e est oeze dla bardze regulare u. May bowe Twerdzee.. Jeżel C () [a, b], to gdze ax Sx ( ) ( x) 5M ax, x [ a, b] M ax ( x). x [ a, b] Dowód tego twerdzea też zadue sę w []. Zadaa. Zaleźć weloa terpolayy Lagrage a, tóry w puta!,,, 4 przyue wartoś odpowedo,,!, 8. Jaa est wartość tego weloau w pue x?. Zaleźć weloa terpolayy Lagrage a, tóry w puta,, przyue wartoś odpowedo,,. Oblzyć wartość tego weloau w pue x /.. Dla day z zadaa zaleźć wartość weloau terpolayego w pue x / stosuą algoryt Nelle a. 4. Dla day z zadaa zaleźć weloa terpolayy stosuą wzór terpolayy Newtoa. 5. Napsać wzór terpolayy Newtoa dla u (x) astępuąy day: (), (), (), (4) 5, (6) 7. 6. Udowodć, że eżel to [ x, x, K, x; ] dla p. Jaa est wartość tego lorazu różowego, gdy p.? 7. Oblzyć róże progresywe weloau przyuą. ( x) ( xx)( xx) K ( xx p ), W ( x) x x 8. Zaleźć róże wsteze weloau W 4 (x) z zadaa 6. 9. Udowodć, że eśl x x,,,...,, to 4 4
.9. Iterpolaa ua sleay 49. Poazać, że ( x) [ x, x, K, x ; ].! δ ( x) ( ) ( x).. Udowodć, że ( α ( x) βg( x)) α ( x) β g( x).. Korzystaą z przedstawea weloau terpolayego za pooą róż progresywy zaleźć te weloa, gdy (), (), () ().. Dla day z zadaa zaleźć weloa terpolayy orzystaą ego przedstawea za pooą róż wstezy. 4. Dae są puty x (,, ) o rotośa oraz wartośa u e poody w ty puta: x (x ) N(x ) O(x ) Sostruować weloa terpolayy Herte a posługuą sę wzora (.5) a współzy. 5. Dla day z zadaa 4 wyzazyć współzy weloau terpolayego Herte a orzystaą z uogóloy lorazów różowy. 6. Z aą doładośą oża oblzyć l(,5) przy użyu wzoru terpolayego Lagrage a, eżel dae są wartoś l(), l(), l() l(). 7. Udowodć, że eśl ua g terpolue uę w węzła x, x,..., x!, a ua terpolue uę w węzła x, x,..., x, to ua x x gx ( ) [ gx ( ) x ( )] x x terpolue uę we wszyst węzła x, x,..., x (ue g e uszą być weloaa). 8. Udowodć, że eśl ua g (weloa lub e) terpolue uę w węzła x, x,..., x!, a ua est uą taą, że (x ) * ( # # ), to stee stała, dla tóre ua g terpolue uę w puta x, x,..., x.
5 9. Weloa px ( ) ( x ) π( x ) π ( x )( x) terpolue ztery pozątowe puty z tably x! (x)!7 Dodaą do weloau p ede sład, wyzazyć weloa terpoluąy wszyste dae.. Dla a wartoś a, b ua x, x [, ), Sx ( ) ( x ) a( x ) b( x ), x [, ), oże być w przedzale [, ) aturalą uą sleaą stopa trzeego?. Dla a wartoś paraetrów a, b, d ua est uą sleaą stopa trzeego?. Dla a wartoś paraetrów a b ua est uą sleaą stopa trzeego? x, x (, ), Sx ( ) a bx x dx, x [ 4, ), 57 x, x [ 4, ), ( x ) a( x), x (, ), Sx ( ) ( x) ( x), x [, ), ( x ) b( x), x [, ),. Dla a wartoś paraetrów a, b, d ua x, x [, ), Sx ( ) a bx x dx, x [, ), oże być w przedzale [!, ) aturalą uą sleaą stopa trzeego?