2. Układy równań liniowych

2. Układy równań liniowych Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 1 / 31

Zastrzeżenie W tworzeniu tego wykładu wykorzystywałem slajdy z wykładu z algebry dra Fryderyka Falniowskiego. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 2 / 31

1 Ogólne informacje 2 Istnienie i liczba rozwiązań układu równań 3 Metoda Gaussa-Jordana rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 3 / 31

Równania liniowe Równanie liniowe o n zmiennych to takie równanie, w którym niewiadome występują tylko w pierwszej potędze, a współczynniki równania są liczbami rzeczywistymi. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 4 / 31

Równania liniowe Równanie liniowe o n zmiennych to takie równanie, w którym niewiadome występują tylko w pierwszej potędze, a współczynniki równania są liczbami rzeczywistymi. Przykłady n = 1, np. x = 2, czy y = 3, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 4 / 31

Równania liniowe Równanie liniowe o n zmiennych to takie równanie, w którym niewiadome występują tylko w pierwszej potędze, a współczynniki równania są liczbami rzeczywistymi. Przykłady n = 1, np. x = 2, czy y = 3, n = 2, 2x + y = 1, ogólnie ax + by = c, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 4 / 31

Równania liniowe Równanie liniowe o n zmiennych to takie równanie, w którym niewiadome występują tylko w pierwszej potędze, a współczynniki równania są liczbami rzeczywistymi. Przykłady n = 1, np. x = 2, czy y = 3, n = 2, 2x + y = 1, ogólnie ax + by = c, n = 3, x + y 2z = 2, ogólnie ax + by + cz = d, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 4 / 31

Równania liniowe Równanie liniowe o n zmiennych to takie równanie, w którym niewiadome występują tylko w pierwszej potędze, a współczynniki równania są liczbami rzeczywistymi. Przykłady n = 1, np. x = 2, czy y = 3, n = 2, 2x + y = 1, ogólnie ax + by = c, n = 3, x + y 2z = 2, ogólnie ax + by + cz = d, n = 6, x 1 + 2x 2 x 3 + 7x 4 15x 5 2x 6 = 10, rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 4 / 31

Równania liniowe Równanie liniowe o n zmiennych to takie równanie, w którym niewiadome występują tylko w pierwszej potędze, a współczynniki równania są liczbami rzeczywistymi. Przykłady n = 1, np. x = 2, czy y = 3, n = 2, 2x + y = 1, ogólnie ax + by = c, n = 3, x + y 2z = 2, ogólnie ax + by + cz = d, n = 6, x 1 + 2x 2 x 3 + 7x 4 15x 5 2x 6 = 10, dowolne n: a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b 1. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 4 / 31

Równania liniowe Równanie liniowe o n zmiennych to takie równanie, w którym niewiadome występują tylko w pierwszej potędze, a współczynniki równania są liczbami rzeczywistymi. Przykłady n = 1, np. x = 2, czy y = 3, n = 2, 2x + y = 1, ogólnie ax + by = c, n = 3, x + y 2z = 2, ogólnie ax + by + cz = d, n = 6, x 1 + 2x 2 x 3 + 7x 4 15x 5 2x 6 = 10, dowolne n: a 1 x 1 + a 2 x 2 +... + a n x n = b 1. Nieliniowe: y = x, y = 1 x, x 2 + y 2 = 4. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 4 / 31

Układy równań liniowych Dowolny układ m równań z n niewiadomymi możemy zapisać w postaci ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m gdzie x 1,..., x n są niewiadomymi, zaś a ij, b i R dla i {1,..., m}, j {1,..., n}. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 5 / 31

Układy równań liniowych Dowolny układ m równań z n niewiadomymi możemy zapisać w postaci ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m gdzie x 1,..., x n są niewiadomymi, zaś a ij, b i R dla i {1,..., m}, j {1,..., n}. Rozwiązaniem tego układu nazywamy każdy wektor (x 1,..., x n ) R n, który spełnia ( ). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 5 / 31

Układy równań liniowych Dowolny układ m równań z n niewiadomymi możemy zapisać w postaci ( ) a 11 x 1 + a 12 x 2 +... + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 +... + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 +... + a mn x n = b m gdzie x 1,..., x n są niewiadomymi, zaś a ij, b i R dla i {1,..., m}, j {1,..., n}. Rozwiązaniem tego układu nazywamy każdy wektor (x 1,..., x n ) R n, który spełnia ( ). Liczby a ij nazywamy współczynnikami układu, zaś liczby b i wyrazami wolnymi układu ( ). Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 5 / 31

Zapis macierzowy Układ ( ) można zapisać w postaci macierzowej Ax = b, gdzie x = [x 1 x 2... x n ] T, b = [b 1 b 2... b m ] T, a a 11 a 12... a 1n a A = 21 a 22... a 2n a m1 a m2... a mn nazywamy macierzą główną układu równań, zaś jego macierzą uzupełnioną. a 11 a 12... a 1n b 1 a U = 21 a 22... a 2n b 2 a m1 a m2... a mn b m Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 6 / 31

Mówimy, że układ ( ) jest oznaczony, jeśli posiada dokładnie jedno rozwiązanie, nieoznaczony, jeśli posiada nieskończenie wiele rozwiązań, sprzeczny, jeśli nie posiada rozwiązań. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 7 / 31

Mówimy, że układ ( ) jest oznaczony, jeśli posiada dokładnie jedno rozwiązanie, nieoznaczony, jeśli posiada nieskończenie wiele rozwiązań, sprzeczny, jeśli nie posiada rozwiązań. Ponadto będziemy mówić, że jest on jednorodny, jeżeli wszystkie wyrazy wolne są równe zeru, niejednorodny, jeżeli układ nie jest jednorodny. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 7 / 31

Przykłady, m = n = 2 x + y = 4 x y = 0 dokładnie jedno rozwiązanie: (x, y) = (2, 2) x + y = 4 x + y = 2 brak rozwiązań x + y = 4 3x 3y = 12 nieskończenie wiele rozwiązań Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 8 / 31

Twierdzenie Kroneckera-Capellego Twierdzenie Kroneckera-Capellego Jeśli A jest macierzą główną, a U macierzą uzupełnioną układu m równań liniowych ( ) o z n niewiadomymi, to rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 9 / 31

Twierdzenie Kroneckera-Capellego Twierdzenie Kroneckera-Capellego Jeśli A jest macierzą główną, a U macierzą uzupełnioną układu m równań liniowych ( ) o z n niewiadomymi, to Jeśli ra ru, to układ ( ) jest sprzeczny (nie ma rozwiązań); rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 9 / 31

Twierdzenie Kroneckera-Capellego Twierdzenie Kroneckera-Capellego Jeśli A jest macierzą główną, a U macierzą uzupełnioną układu m równań liniowych ( ) o z n niewiadomymi, to Jeśli ra ru, to układ ( ) jest sprzeczny (nie ma rozwiązań); Jeśli ra = ru = n, to układ ( ) jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie); rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 9 / 31

Twierdzenie Kroneckera-Capellego Twierdzenie Kroneckera-Capellego Jeśli A jest macierzą główną, a U macierzą uzupełnioną układu m równań liniowych ( ) o z n niewiadomymi, to Jeśli ra ru, to układ ( ) jest sprzeczny (nie ma rozwiązań); Jeśli ra = ru = n, to układ ( ) jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie); Jeśli ra = ru < n, to układ ( ) jest nieoznaczony, czyli posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n ra parametrów. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 9 / 31

Twierdzenie Kroneckera-Capellego Twierdzenie Kroneckera-Capellego Jeśli A jest macierzą główną, a U macierzą uzupełnioną układu m równań liniowych ( ) o z n niewiadomymi, to Jeśli ra ru, to układ ( ) jest sprzeczny (nie ma rozwiązań); Jeśli ra = ru = n, to układ ( ) jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie); Jeśli ra = ru < n, to układ ( ) jest nieoznaczony, czyli posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n ra parametrów. Uwaga - jako, że macierz A zawiera się w macierzy U, to zawsze ra ru! rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 9 / 31

Twierdzenie Kroneckera-Capellego Twierdzenie Kroneckera-Capellego Jeśli A jest macierzą główną, a U macierzą uzupełnioną układu m równań liniowych ( ) o z n niewiadomymi, to Jeśli ra ru, to układ ( ) jest sprzeczny (nie ma rozwiązań); Jeśli ra = ru = n, to układ ( ) jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie); Jeśli ra = ru < n, to układ ( ) jest nieoznaczony, czyli posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n ra parametrów. Uwaga - jako, że macierz A zawiera się w macierzy U, to zawsze ra ru! Macierz A jest wymiaru m na n, więc zawsze ra n. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 9 / 31

Twierdzenie Kroneckera-Capellego Wniosek Jeśli A jest macierzą główną, a U macierzą uzupełnioną układu n równań liniowych ( ) o z n niewiadomymi (liczba zmiennych równa liczbie niewiadomych), to Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 10 / 31

Twierdzenie Kroneckera-Capellego Wniosek Jeśli A jest macierzą główną, a U macierzą uzupełnioną układu n równań liniowych ( ) o z n niewiadomymi (liczba zmiennych równa liczbie niewiadomych), to Jeśli det A 0, to układ ( ) jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie); Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 10 / 31

Twierdzenie Kroneckera-Capellego Wniosek Jeśli A jest macierzą główną, a U macierzą uzupełnioną układu n równań liniowych ( ) o z n niewiadomymi (liczba zmiennych równa liczbie niewiadomych), to Jeśli det A 0, to układ ( ) jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie); Jeśli det A = 0 i ra ru, to układ ( ) jest sprzeczny (nie ma rozwiązań); Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 10 / 31

Twierdzenie Kroneckera-Capellego Wniosek Jeśli A jest macierzą główną, a U macierzą uzupełnioną układu n równań liniowych ( ) o z n niewiadomymi (liczba zmiennych równa liczbie niewiadomych), to Jeśli det A 0, to układ ( ) jest oznaczony (ma dokładnie jedno rozwiązanie); Jeśli det A = 0 i ra ru, to układ ( ) jest sprzeczny (nie ma rozwiązań); Jeśli det A = 0 i ra = ru < n, to układ ( ) jest nieoznaczony, czyli posiada nieskończenie wiele rozwiązań zależnych od n ra parametrów. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 10 / 31

Liczba rozwiązań - przykład Zadanie W zależności od parametru k podać liczbę rozwiązań układu równań z niewiadomymi x, y, z: kx + y z = 1 4x + y + 2z = 7 x + kz = 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 11 / 31

Liczba rozwiązań - przykład Zadanie W zależności od parametru k podać liczbę rozwiązań układu równań z niewiadomymi x, y, z: kx + y z = 1 4x + y + 2z = 7 x + kz = 2 Jako, że jest to układ równań o liczbie zmiennych równej liczbie niewiadomych, możemy zacząć od policzenia wyznacznika macierzy głównej: det k 1 1 4 1 2 1 0 k = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 11 / 31.

Liczba rozwiązań - przykład Zadanie W zależności od parametru k podać liczbę rozwiązań układu równań z niewiadomymi x, y, z: kx + y z = 1 4x + y + 2z = 7 x + kz = 2 Jako, że jest to układ równań o liczbie zmiennych równej liczbie niewiadomych, możemy zacząć od policzenia wyznacznika macierzy głównej: det k 1 1 4 1 2 1 0 k = k 2 + 0 + 2 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 11 / 31.

Liczba rozwiązań - przykład Zadanie W zależności od parametru k podać liczbę rozwiązań układu równań z niewiadomymi x, y, z: kx + y z = 1 4x + y + 2z = 7 x + kz = 2 Jako, że jest to układ równań o liczbie zmiennych równej liczbie niewiadomych, możemy zacząć od policzenia wyznacznika macierzy głównej: det k 1 1 4 1 2 1 0 k = k 2 + 0 + 2 ( 1) 0 4k = k 2 4k + 3. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 11 / 31.

Liczba rozwiązań - przykład det A = k 2 4k + 3 = 0 k = 1 lub k = 3. Zatem dla wszystkich k R \ {1, 3} dany układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 12 / 31

Liczba rozwiązań - przykład det A = k 2 4k + 3 = 0 k = 1 lub k = 3. Zatem dla wszystkich k R \ {1, 3} dany układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Teraz wystarczy osobno przeliczyć przypadki k = 1 i k = 3. Robimy to po prostu wstawiając odpowiednio 1 i 3 w miejsce k do wyjściowego układu równań i badając go tak, jak układ bez parametru. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 12 / 31

Liczba rozwiązań - przykład Niech k=1. Musimy zbadać rząd macierzy U i macierzy A. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 13 / 31

Liczba rozwiązań - przykład Niech k=1. Musimy zbadać rząd macierzy U i macierzy A. Zaczniemy od macierzy U, bo zawiera w sobie macierz A (po lewej od odkreślenia), więc początkowe przekształcenia robimy tak samo na obu macierzach: ru = r 1 1 1 1 4 1 2 7 1 0 1 2 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 13 / 31

Liczba rozwiązań - przykład Niech k=1. Musimy zbadać rząd macierzy U i macierzy A. Zaczniemy od macierzy U, bo zawiera w sobie macierz A (po lewej od odkreślenia), więc początkowe przekształcenia robimy tak samo na obu macierzach: ru = r 1 1 1 1 4 1 2 7 1 0 1 2 = r 1 1 1 1 0 3 6 3 0 1 2 1 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 13 / 31

Liczba rozwiązań - przykład Niech k=1. Musimy zbadać rząd macierzy U i macierzy A. Zaczniemy od macierzy U, bo zawiera w sobie macierz A (po lewej od odkreślenia), więc początkowe przekształcenia robimy tak samo na obu macierzach: ru = r 1 1 1 1 4 1 2 7 1 0 1 2 = r 1 1 1 1 0 3 6 3 0 1 2 1 = 1+r [ 3 6 3 1 2 1 W linijkach powyżej, najpierw odjęliśmy 4 razy pierwszy wiersz od drugiego, następnie jeden raz pierwszy wiersz od trzeciego (za chwilę zapoznamy się z krótszym zapisem tego, co tu piszę w sposób rozwlekły). ]. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 13 / 31

Liczba rozwiązań - przykład Niech k=1. Musimy zbadać rząd macierzy U i macierzy A. Zaczniemy od macierzy U, bo zawiera w sobie macierz A (po lewej od odkreślenia), więc początkowe przekształcenia robimy tak samo na obu macierzach: ru = r 1 1 1 1 4 1 2 7 1 0 1 2 = r 1 1 1 1 0 3 6 3 0 1 2 1 = 1+r [ 3 6 3 1 2 1 W linijkach powyżej, najpierw odjęliśmy 4 razy pierwszy wiersz od drugiego, następnie jeden raz pierwszy wiersz od trzeciego (za chwilę zapoznamy się z krótszym zapisem tego, co tu piszę w sposób rozwlekły). Następnie skorzystaliśmy z własności rzędu na temat istnienia kolumny z tylko jednym wyrazem niezerowym. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 13 / 31 ].

Liczba rozwiązań - przykład k = 1. ru = 1+r [ 3 6 3 1 2 1 ] = 1+r [ 3 6 3 0 0 0 ] = 1+r [ 3 6 3 ] = 2 W linijkach powyżej, najpierw odjęliśmy 1 3 drugiego, razy pierwszy wiersz od rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 14 / 31

Liczba rozwiązań - przykład k = 1. ru = 1+r [ 3 6 3 1 2 1 ] = 1+r [ 3 6 3 0 0 0 ] = 1+r [ 3 6 3 ] = 2 W linijkach powyżej, najpierw odjęliśmy 1 razy pierwszy wiersz od 3 drugiego, Następnie skorzystaliśmy z własności o usuwania wiersza złożonego z samych zer. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 14 / 31

Liczba rozwiązań - przykład k = 1. ru = 1+r [ 3 6 3 1 2 1 ] = 1+r [ 3 6 3 0 0 0 ] = 1+r [ 3 6 3 ] = 2 W linijkach powyżej, najpierw odjęliśmy 1 razy pierwszy wiersz od 3 drugiego, Następnie skorzystaliśmy z własności o usuwania wiersza złożonego z samych zer. Tymi samymi przejściami (wykonywanymi na części macierzy U na lewo od kreski pionowej (czyli na macierzy A) dowodzimy, że: ra = 1 + r [ 3 6 ] = 2. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 14 / 31

Liczba rozwiązań - przykład k = 1. ru = 1+r [ 3 6 3 1 2 1 ] = 1+r [ 3 6 3 0 0 0 ] = 1+r [ 3 6 3 ] = 2 W linijkach powyżej, najpierw odjęliśmy 1 razy pierwszy wiersz od 3 drugiego, Następnie skorzystaliśmy z własności o usuwania wiersza złożonego z samych zer. Tymi samymi przejściami (wykonywanymi na części macierzy U na lewo od kreski pionowej (czyli na macierzy A) dowodzimy, że: ra = 1 + r [ 3 6 ] = 2. Stąd ra = ru < n = 3, więc układ ma nieskończenie wiele rozwiązań. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 14 / 31

Liczba rozwiązań - przykład Niech k = 3. Tak samo jak poprzednio badamy rząd macierzy U i macierzy A: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 15 / 31

Liczba rozwiązań - przykład Niech k = 3. Tak samo jak poprzednio badamy rząd macierzy U i macierzy A: ru = r 3 1 1 1 4 1 2 7 1 0 3 2 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 15 / 31

Liczba rozwiązań - przykład Niech k = 3. Tak samo jak poprzednio badamy rząd macierzy U i macierzy A: ru = r 3 1 1 1 4 1 2 7 1 0 3 2 = r 3 1 1 1 1 0 3 6 1 0 3 2 = Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 15 / 31

Liczba rozwiązań - przykład Niech k = 3. Tak samo jak poprzednio badamy rząd macierzy U i macierzy A: ru = r 3 1 1 1 4 1 2 7 1 0 3 2 = r 3 1 1 1 1 0 3 6 1 0 3 2 = 1 + r [ 1 3 6 1 3 2 W linijkach powyżej, najpierw odjęliśmy 1 raz pierwszy wiersz od drugiego, ]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 15 / 31

Liczba rozwiązań - przykład Niech k = 3. Tak samo jak poprzednio badamy rząd macierzy U i macierzy A: ru = r 3 1 1 1 4 1 2 7 1 0 3 2 = r 3 1 1 1 1 0 3 6 1 0 3 2 = 1 + r [ 1 3 6 1 3 2 W linijkach powyżej, najpierw odjęliśmy 1 raz pierwszy wiersz od drugiego, a następnie skorzystaliśmy z własności rzędu na temat istnienia kolumny z tylko jednym wyrazem niezerowym (dla kolumny drugiej). ]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 15 / 31

Liczba rozwiązań - przykład k = 3. Odejmując drugi wiersz od trzeciego dostajemy: ru = 1 + r [ 1 3 6 1 3 2 ] = rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 16 / 31

Liczba rozwiązań - przykład k = 3. Odejmując drugi wiersz od trzeciego dostajemy: ru = 1 + r [ 1 3 6 1 3 2 ] = 1 + r [ 1 3 6 0 0 4 ]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 16 / 31

Liczba rozwiązań - przykład k = 3. Odejmując drugi wiersz od trzeciego dostajemy: ru = 1 + r [ 1 3 6 1 3 2 ] = 1 + r [ 1 3 6 0 0 4 Teraz łatwo zauważyć, że ra = 2 (usunięcie wiersza z samych zer) i ]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 16 / 31

Liczba rozwiązań - przykład k = 3. Odejmując drugi wiersz od trzeciego dostajemy: ru = 1 + r [ 1 3 6 1 3 2 ] = 1 + r [ 1 3 6 0 0 4 Teraz łatwo zauważyć, że ra = 2 (usunięcie wiersza z samych zer) i ru = 3 (własność usuwania wiersza z jednym wyrazem niezerowym), więc ru ra, czyli dany układ jest sprzeczny. ]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 16 / 31

Liczba rozwiązań - przykład Podsumowując, układ równań: kx + y z = 1 4x + y + 2z = 7 x + kz = 2 ma jedno rozwiązanie dla k R \ {1, 3}, nieskończenie wiele rozwiązań dla k = 1 i nie ma rozwiązań dla k = 3. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 17 / 31

Rozwiązywanie układów - wstęp Wiemy już jak stwierdzić, ile rozwiązań ma układ równań. Teraz pora ustalić, jak mamy taki układ równań liniowych rozwiązać. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 18 / 31

Rozwiązywanie układów - wstęp Wiemy już jak stwierdzić, ile rozwiązań ma układ równań. Teraz pora ustalić, jak mamy taki układ równań liniowych rozwiązać. Oczywiście, jest wiele sposobów rozwiązywania układów równań liniowych - od prostego, lecz bardzo czasochłonnego przy większych układach podstawiania, przez tzw. wzory Cramera aż do bardzo efektywnych czasowo, ale dość skomplikowanych metod opartych na rozkładzie macierzy głównej na macierze trójkątne. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 18 / 31

Rozwiązywanie układów - wstęp Wiemy już jak stwierdzić, ile rozwiązań ma układ równań. Teraz pora ustalić, jak mamy taki układ równań liniowych rozwiązać. Oczywiście, jest wiele sposobów rozwiązywania układów równań liniowych - od prostego, lecz bardzo czasochłonnego przy większych układach podstawiania, przez tzw. wzory Cramera aż do bardzo efektywnych czasowo, ale dość skomplikowanych metod opartych na rozkładzie macierzy głównej na macierze trójkątne. Na tym kursie obowiązującą metodą rozwiązywania równań będzie metoda Gaussa-Jordana: rozszerzenie znanej ze szkoły metody eliminacji, czyli tzw. odejmowania stronami. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 18 / 31

Rozwiązywanie układów - wstęp Wiemy już jak stwierdzić, ile rozwiązań ma układ równań. Teraz pora ustalić, jak mamy taki układ równań liniowych rozwiązać. Oczywiście, jest wiele sposobów rozwiązywania układów równań liniowych - od prostego, lecz bardzo czasochłonnego przy większych układach podstawiania, przez tzw. wzory Cramera aż do bardzo efektywnych czasowo, ale dość skomplikowanych metod opartych na rozkładzie macierzy głównej na macierze trójkątne. Na tym kursie obowiązującą metodą rozwiązywania równań będzie metoda Gaussa-Jordana: rozszerzenie znanej ze szkoły metody eliminacji, czyli tzw. odejmowania stronami. W zadaniach, które będziemy robić, ta metoda nie będzie aż tak błyszczeć, bo dla układów 2 lub 3 równań podstawienie jest zwykle mniej więcej równie szybkie, ale jeśli ktoś spróbuje rozwiązać układ np. 8 równań liniowych obydwiema metodami, to zobaczy, czemu metoda Gaussa-Jordana jest znacznie lepsza od podstawień. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 18 / 31

Metoda eliminacji wersja szkolna 2x 3y = 5 Rozwiążmy układ równań 8x + 7y = 1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 19 / 31

Metoda eliminacji wersja szkolna Rozwiążmy układ równań 2x 3y = 5 8x + 12y = 20 8x + 7y = 1 8x + 7y = 1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 19 / 31

Metoda eliminacji wersja szkolna Rozwiążmy układ równań 2x 3y = 5 w 1 4w 1 8x + 7y = 1 8x + 12y = 20 8x + 7y = 1 19y = 19 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 19 / 31

Metoda eliminacji wersja szkolna Rozwiążmy układ równań 2x 3y = 5 w 1 4w 1 8x + 7y = 1 8x + 12y = 20 8x + 7y = 1 19y = 19 Stąd y = 1. Z pierwszego równania otrzymujemy 2x = 2 i ostatecznie rozwiązaniem jest wektor (x, y) = (1, 1). rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 19 / 31

Metoda Gaussa-Jordana. Operacje elementarne Spróbujmy zoptymalizować naszą metodę: Przez w i oznaczać będziemy i-ty wiersz układu równań (i-te równanie) Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 20 / 31

Metoda Gaussa-Jordana. Operacje elementarne Spróbujmy zoptymalizować naszą metodę: Przez w i oznaczać będziemy i-ty wiersz układu równań (i-te równanie) Twierdzenie Wykonanie poniższych operacji (tzw. operacji elementarnych) Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 20 / 31

Metoda Gaussa-Jordana. Operacje elementarne Spróbujmy zoptymalizować naszą metodę: Przez w i oznaczać będziemy i-ty wiersz układu równań (i-te równanie) Twierdzenie Wykonanie poniższych operacji (tzw. operacji elementarnych) zamiana dwóch równań: w j w k, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 20 / 31

Metoda Gaussa-Jordana. Operacje elementarne Spróbujmy zoptymalizować naszą metodę: Przez w i oznaczać będziemy i-ty wiersz układu równań (i-te równanie) Twierdzenie Wykonanie poniższych operacji (tzw. operacji elementarnych) zamiana dwóch równań: w j w k, pomnożenie danego równania przez niezerową liczbę: w k αw k, α R\{0}, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 20 / 31

Metoda Gaussa-Jordana. Operacje elementarne Spróbujmy zoptymalizować naszą metodę: Przez w i oznaczać będziemy i-ty wiersz układu równań (i-te równanie) Twierdzenie Wykonanie poniższych operacji (tzw. operacji elementarnych) zamiana dwóch równań: w j w k, pomnożenie danego równania przez niezerową liczbę: w k αw k, α R\{0}, dodanie do danego równania innego pomnożonego przez liczbę: w k w k + αw j, (j k) nie zmienia zbioru rozwiązań. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 20 / 31

Metoda Gaussa-Jordana. Operacje elementarne Spróbujmy zoptymalizować naszą metodę: Przez w i oznaczać będziemy i-ty wiersz układu równań (i-te równanie) Twierdzenie Wykonanie poniższych operacji (tzw. operacji elementarnych) zamiana dwóch równań: w j w k, pomnożenie danego równania przez niezerową liczbę: w k αw k, α R\{0}, dodanie do danego równania innego pomnożonego przez liczbę: w k w k + αw j, (j k) nie zmienia zbioru rozwiązań. W ten sam sposób możemy oznaczać operacje, które wykonywaliśmy na macierzach, licząc rząd lub wyznacznik. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 20 / 31

Metoda Gaussa-Jordana. Opis Procedura, jakiej będziemy używać dla macierzy uzupełnionej U wygląda następująco: Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 21 / 31

Metoda Gaussa-Jordana. Opis Procedura, jakiej będziemy używać dla macierzy uzupełnionej U wygląda następująco: Za pomocą dodawania i odejmowania wielokrotności pierwszego wiersza zerujemy wszystkie wyrazy poza główną przekątną w kolumnie 1; rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 21 / 31

Metoda Gaussa-Jordana. Opis Procedura, jakiej będziemy używać dla macierzy uzupełnionej U wygląda następująco: Za pomocą dodawania i odejmowania wielokrotności pierwszego wiersza zerujemy wszystkie wyrazy poza główną przekątną w kolumnie 1; Za pomocą dodawania i odejmowania wielokrotności drugiego wiersza zerujemy wszystkie wyrazy poza główną przekątną w kolumnie 2; rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 21 / 31

Metoda Gaussa-Jordana. Opis Procedura, jakiej będziemy używać dla macierzy uzupełnionej U wygląda następująco: Za pomocą dodawania i odejmowania wielokrotności pierwszego wiersza zerujemy wszystkie wyrazy poza główną przekątną w kolumnie 1; Za pomocą dodawania i odejmowania wielokrotności drugiego wiersza zerujemy wszystkie wyrazy poza główną przekątną w kolumnie 2;... kontynuujemy tę procedurę z kolejnymi kolumnami, aż dojdziemy do ostatniego wiersza macierzy lub też wszystkie wiersze poniżej wiersza, którym się zajmujemy składają się z samych zer; rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 21 / 31

Metoda Gaussa-Jordana. Opis Jeśli na przekątnej wiersza, którym się aktualnie zajmujemy pojawi się 0 (lub inna niewygodna do dodawania liczba), a w wierszach poniżej w tej samej kolumnie mamy liczby niezerowe (dogodniejsze w obliczeniach) możemy zamienić miejscami ten wiersz z jednym z wierszy poniżej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 22 / 31

Metoda Gaussa-Jordana. Opis Jeśli na przekątnej wiersza, którym się aktualnie zajmujemy pojawi się 0 (lub inna niewygodna do dodawania liczba), a w wierszach poniżej w tej samej kolumnie mamy liczby niezerowe (dogodniejsze w obliczeniach) możemy zamienić miejscami ten wiersz z jednym z wierszy poniżej. Jeśli na przekątnej wiersza, którym się aktualnie zajmujemy pojawi się 0, a w wierszach poniżej w tej samej kolumnie mamy same zera - ignorujemy tę kolumnę w dalszych obliczeniach (tj. traktujemy jakby jej nie było, również w zaznaczaniu przekątnej) i przechodzimy do następnej. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 22 / 31

Metoda Gaussa-Jordana. Opis Jeśli na przekątnej wiersza, którym się aktualnie zajmujemy pojawi się 0 (lub inna niewygodna do dodawania liczba), a w wierszach poniżej w tej samej kolumnie mamy liczby niezerowe (dogodniejsze w obliczeniach) możemy zamienić miejscami ten wiersz z jednym z wierszy poniżej. Jeśli na przekątnej wiersza, którym się aktualnie zajmujemy pojawi się 0, a w wierszach poniżej w tej samej kolumnie mamy same zera - ignorujemy tę kolumnę w dalszych obliczeniach (tj. traktujemy jakby jej nie było, również w zaznaczaniu przekątnej) i przechodzimy do następnej. Wiersze złożone z samych zer zamieniamy z niezerowymi wierszami tak, by zerowe znalazły się na dole macierzy. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 22 / 31

Metoda Gaussa-Jordana. Opis Jeśli na przekątnej wiersza, którym się aktualnie zajmujemy pojawi się 0 (lub inna niewygodna do dodawania liczba), a w wierszach poniżej w tej samej kolumnie mamy liczby niezerowe (dogodniejsze w obliczeniach) możemy zamienić miejscami ten wiersz z jednym z wierszy poniżej. Jeśli na przekątnej wiersza, którym się aktualnie zajmujemy pojawi się 0, a w wierszach poniżej w tej samej kolumnie mamy same zera - ignorujemy tę kolumnę w dalszych obliczeniach (tj. traktujemy jakby jej nie było, również w zaznaczaniu przekątnej) i przechodzimy do następnej. Wiersze złożone z samych zer zamieniamy z niezerowymi wierszami tak, by zerowe znalazły się na dole macierzy. W dogodnym momencie (np. na końcu) mnożymy wiersze przez liczby, tak by otrzymać 1 jako pierwszy niezerowy wyraz w każdym wierszu. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 22 / 31

W wyniku procedury otrzymujemy zawsze macierz, w której wiersze z samymi zerami znajdują się na dole; pierwszy niezerowy wyraz (tzw. współczynnik wiodący) w każdym wierszu jest równy 1; współczynnik wiodący w kolejnym wierszu (jeśli wystepuje) znajduje się w jednej z kolumn na prawo od bieżącej; każda kolumna ze współczynnikiem wiodącym jednego z wierszy ma zera w pozostałych miejscach. Jest to tzw. macierz schodkowa zredukowana. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 23 / 31

W wyniku procedury otrzymujemy zawsze macierz, w której wiersze z samymi zerami znajdują się na dole; pierwszy niezerowy wyraz (tzw. współczynnik wiodący) w każdym wierszu jest równy 1; współczynnik wiodący w kolejnym wierszu (jeśli wystepuje) znajduje się w jednej z kolumn na prawo od bieżącej; każda kolumna ze współczynnikiem wiodącym jednego z wierszy ma zera w pozostałych miejscach. Jest to tzw. macierz schodkowa zredukowana. Sprowadzanie macierzy uzupełnionej do postaci schodkowej zredukowanej nazywamy metodą Gaussa-Jordana. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 23 / 31

W wyniku procedury otrzymujemy zawsze macierz, w której wiersze z samymi zerami znajdują się na dole; pierwszy niezerowy wyraz (tzw. współczynnik wiodący) w każdym wierszu jest równy 1; współczynnik wiodący w kolejnym wierszu (jeśli wystepuje) znajduje się w jednej z kolumn na prawo od bieżącej; każda kolumna ze współczynnikiem wiodącym jednego z wierszy ma zera w pozostałych miejscach. Jest to tzw. macierz schodkowa zredukowana. Sprowadzanie macierzy uzupełnionej do postaci schodkowej zredukowanej nazywamy metodą Gaussa-Jordana. Twierdzenie o postaci schodkowej Każda macierz może zostać przekształcona do postaci schodkowej za pomocą operacji elementarnych, w szczególności metody Gaussa-Jordana. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 23 / 31

Rozpatrzmy układ Jego rozwiązanie to x 1 + x 2 + x 3 = 2 2x 1 3x 2 = 19 x 1 + 2x 2 + 9x 3 = 1 x 1 = 2 x 2 = 5 x 3 = 1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 24 / 31

Rozpatrzmy układ Jego rozwiązanie to x 1 + x 2 + x 3 = 2 2x 1 3x 2 = 19 x 1 + 2x 2 + 9x 3 = 1 x 1 = 2 x 2 = 5 x 3 = 1 O rozwiązaniach tego układu decydują współczynniki i wyrazy wolne, umieszczane w macierzy uzupełnionej układu równań: 1 1 1 2 2 3 0 19 1 2 9 1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 24 / 31

a rozwiązanie ma postać 1 0 0 2 0 1 0 5 0 0 1 1 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 25 / 31

a rozwiązanie ma postać 1 0 0 2 0 1 0 5 0 0 1 1 Na podstawie podanego twierdzenia problem sprowadza się do przekształcenia przy pomocy operacji elementarnych 1 1 1 2 2 3 0 19 1 2 9 1 1 0 0 2 0 1 0 5 0 0 1 1. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 25 / 31

1 1 1 2 2 3 0 19 1 2 9 1 w 2 w 2 2w 1 w 3 w 3 w 1 1 1 1 2 0 5 2 23 0 1 8 3 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 26 / 31

w 2 w 3 1 1 1 2 2 3 0 19 1 2 9 1 1 1 1 2 0 1 8 3 0 5 2 23 w 2 w 2 2w 1 w 3 w 3 w 1 w 1 w 1 w 2 w 3 w 3 +5w 2 1 1 1 2 0 5 2 23 0 1 8 3 1 0 7 5 0 1 8 3 0 0 38 38 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 26 / 31

w 2 w 3 1 1 1 2 2 3 0 19 1 2 9 1 w 3 1 38 w 3 1 1 1 2 0 1 8 3 0 5 2 23 1 0 7 5 0 1 8 3 0 0 1 1 w 2 w 2 2w 1 w 3 w 3 w 1 w 1 w 1 w 2 w 3 w 3 +5w 2 1 1 1 2 0 5 2 23 0 1 8 3 w 1 w 1 +7w 3 w 3 w 2 8w 3 1 0 7 5 0 1 8 3 0 0 38 38 1 0 0 2 0 1 0 5 0 0 1 1. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 26 / 31

Metoda G-J dla układów nieoznaczonych x 1 + x 2 x 3 = 3 2x 1 x 2 + 4x 3 = 3 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 27 / 31

Metoda G-J dla układów nieoznaczonych [ 1 1 1 3 2 1 4 3 x 1 + x 2 x 3 = 3 2x 1 x 2 + 4x 3 = 3 ] [ w2 w 2 2w 1 1 1 1 3 0 3 6 9 ] rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 27 / 31

Metoda G-J dla układów nieoznaczonych [ 1 1 1 3 2 1 4 3 w 2 1 3 w [ 2 1 1 1 3 0 1 2 3 x 1 + x 2 x 3 = 3 2x 1 x 2 + 4x 3 = 3 ] [ w2 w 2 2w 1 1 1 1 3 0 3 6 9 ] [ w1 w 1 w 2 1 0 1 0 0 1 2 3 ] ]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 27 / 31

Metoda G-J dla układów nieoznaczonych [ 1 1 1 3 2 1 4 3 w 2 1 3 w [ 2 1 1 1 3 0 1 2 3 x 1 + x 2 x 3 = 3 2x 1 x 2 + 4x 3 = 3 Niech x 3 = t, t R, wtedy x 1 = t, x 2 = 3 + 2t, x 3 = t. ] [ w2 w 2 2w 1 1 1 1 3 0 3 6 9 ] [ w1 w 1 w 2 1 0 1 0 0 1 2 3 ] ]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 27 / 31

Metoda G-J dla układów nieoznaczonych x 1 + x 2 + x 3 = 0, 3x 1 4x 2 2x 3 = 0, 2x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 0, 3x 1 + 3x 2 + 3x 3 = 0. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 28 / 31

Metoda G-J dla układów nieoznaczonych x 1 + x 2 + x 3 = 0, 3x 1 4x 2 2x 3 = 0, 2x 1 + 5x 2 + 3x 3 = 0, 3x 1 + 3x 2 + 3x 3 = 0. Rozwiązaniem takiego układu jest zawsze (x 1, x 2, x 3 ) = (0, 0, 0). Czy istnieją inne rozwiązania? 1 1 1 0 3 4 2 0 2 5 3 0 3 3 3 0 w 2 w 2 3w 1 w 3 w 3 +2w 1 w 4 w 4 3w 1 1 1 1 0 0 7 5 0 0 7 5 0 0 0 0 0 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 28 / 31

w 3 w 3 +w 2 1 1 1 0 0 7 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 w 2 1 7 w 2 1 1 1 0 0 1 5 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 29 / 31

w 3 w 3 +w 2 w 1 w 1 w 2 1 1 1 0 0 7 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 7 0 0 1 5 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 w 2 1 7 w 2 1 1 1 0 0 1 5 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ 1 0 2 7 0 0 1 5 7 0 ]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 29 / 31

w 3 w 3 +w 2 w 1 w 1 w 2 1 1 1 0 0 7 5 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 2 7 0 0 1 5 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 Niech x 3 = t, t R, wtedy w 2 1 7 w 2 x 1 = 2t, 7 x 2 = 5t, 7 x 3 = t. 1 1 1 0 0 1 5 7 0 0 0 0 0 0 0 0 0 [ 1 0 2 7 0 0 1 5 7 0 ]. rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 29 / 31

Układ sprzeczny x 1 2x 2 + x 4 + x 5 + x 6 = 1 2x 1 3x 2 + x 3 x 4 + x 6 = 0 3x 1 5x 2 + x 3 + x 5 + 2x 6 = 0 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 30 / 31

Układ sprzeczny Mamy x 1 2x 2 + x 4 + x 5 + x 6 = 1 2x 1 3x 2 + x 3 x 4 + x 6 = 0 3x 1 5x 2 + x 3 + x 5 + 2x 6 = 0 1 2 0 1 1 1 1 2 3 1 1 0 1 0 3 5 1 0 1 2 0 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 30 / 31

Układ sprzeczny Mamy x 1 2x 2 + x 4 + x 5 + x 6 = 1 2x 1 3x 2 + x 3 x 4 + x 6 = 0 3x 1 5x 2 + x 3 + x 5 + 2x 6 = 0 w 2 w 2 2w 1 w 3 w 3 3w 1 1 2 0 1 1 1 1 2 3 1 1 0 1 0 3 5 1 0 1 2 0 1 2 0 1 1 1 1 0 1 1 3 2 1 2 0 1 1 3 2 1 3 rzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 30 / 31

Układ sprzeczny w 2 w 2 2w 1 w 3 w 3 3w 1 w 1 w 1 +2w 2 w 3 w 3 w 2 1 2 0 1 1 1 1 2 3 1 1 0 1 0 3 5 1 0 1 2 0 1 2 0 1 1 1 1 0 1 1 3 2 1 2 0 1 1 3 2 1 3 1 0 2 5 3 1 3 0 1 1 3 2 1 2 0 0 0 0 0 0 1. Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie) 2. Układy równań liniowych zima 2017/2018 31 / 31