Metody matematyczne fizyki

Metody matematyczne fizyki Tadeusz Lesiak Wykład VI Elementy teorii grup

Wstęp do teorii grup Teoria grup (TG) = matematyka symetrii liczne zastosowania w fizyce i chemii Odpowiada na ważne pytanie: jakie wielkości nie zmieniają się jeśli poddamy zmianie (transformacji) pewne obiekty T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 2

Definicja grupy (przypomnienie) Grupa (oznaczenie (G,*) ) to zbiór obiektów, oraz pewna operacja, którą można wykonać na obiektach, spełniające następujące własności: 1. - domkniętość 2. - łączność 3. oznaczany jako -istnienie elementu jednostkowego 4. - istnienie elementu odwrotnego Słownik: - dla każdego - istnieje - zawiera się w - taki że Obiekt = cokolwiek np. liczby rzeczywiste, całkowite, pisanki o różnych kolorach Pewna operacja cokolwiek co można wykonać na zbiorze obiektów T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 3

Przykłady grup 1. Grupa liczb całkowitych z dodawaniem: Spr: domkniętość i łączność spełnione; istnieje element jednostkowy (zero), dla każdej liczby całkowitej a: a -1 = - a istnieje element odwrotny 2. Grupa liczb rzeczywistych z dodawaniem: Spr: domkniętość i łączność spełnione; istnieje element jednostkowy (zero), dla każdej liczby rzeczywistej a: a -1 = - a istnieje element odwrotny 3. Grupa liczb rzeczywistych z mnożeniem: Spr: domkniętość i łączność spełnione; istnieje element jednostkowy (jeden), a -1 = 1/ a istnieje element odwrotny Z JEDNYM WYJĄTKIEM a = 0 TO NIE JEST GRUPA 4. Grupa liczb rzeczywistych z wyłączeniem zera z mnożeniem: wszystkie warunki definicji grupy są spełnione T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 4

Grupy przemienne i nieprzemienne Grupa jest przemienna (abelowa) jeśli: Jeśli ten warunek nie jest spełniony grupa jest nieprzemienna (nie abelowa) Przykład grupy abelowej: Obroty na płaszczyźnie Przykład grupy nie abelowej: Obroty wokół dwóch osi prostopadłych do siebie w 3D T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 5

Przykłady grup 5. Grupa jednoelementowa z mnożeniem: wszystkie warunki definicji grupy są spełnione; taka grupa nie jest jednak specjalnie interesująca przykład GRUPY TRYWIALNEJ 6. Grupa trójelementowa z dodawaniem modulo 3 : 3 mod 3 = 0, 4 mod 3 = 1, 5 mod 3 = 2 wszystkie warunki definicji grupy są spełnione; Rząd grupy = liczba jej elementów Rząd największej, sporadycznej, skończonej grupy prostej, zwanej też potworną ( monster ): T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 6

Grupy dyskretne, skończone Grupa skończona rząd skończony np. równy 3 dla Grupa nieskończona rząd nieskończony np. Elementy grupy mogą być dyskretne np. lub ciągłe np. Grupy dyskretne można wygodnie opisywać za pomocą tabeli mnożenia grupowego Każdy element grupy musi wystąpić dokładnie raz w każdym wierszu i w każdej kolumnie ten warunek zapewnia spełnianie definicji grupy T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 7

Przykłady macierzy mnożeń Grupa rzędu drugiego Trzy z czterech elementów macierzy są bardzo łatwe do wyznaczenia: Reguła: Każdy element grupy musi wystąpić dokładnie raz w każdym wierszu i w każdej kolumnie istnieje tylko jedna grupa rzędu drugiego e Grupa rzędu trzeciego?? istnieje tylko jedna grupa rzędu trzeciego Przykład: zbiór pierwiastków trzeciego stopnia z jedności; działanie = mnożenie liczb zespolonych Grupa rzędu czwartego Istnieją cztery takie grupy (pokazać) T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 8

Przykłady macierzy mnożeń Grupa rzędu szóstego T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 9

Elementy grupy = operacje symetrii układu; Przykład cząsteczki amoniaku: Cząsteczka NH 3 posiada sześć operacji symetrii: e identyczność nic się nie zmienia C 3 -obrót wokół osi z o kąt 120 0 C 32 obrót wokół osi z o kąt 240 0 i odbicia względem płaszczyzn zawierających oś z oraz wektory i (i =1,2,3) widok z góry Tabela mnożeń: T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 10

Izomorfizm Dwie grupy nazywamy izomorficznymi jeżeli istnieje jedno jednoznaczna odpowiedniość między elementami tych grup, przy czym odpowiedniość ta zachowuje działanie grupowe: Niech grupa G składa się z elementów: a,b,c, ; działanie grupowe + grupa G posiada elementy: a,b,c, ; działanie grupowe x Jeżeli dla wszystkich par elementów obu grup zachodzi to grupy (G,+) i (G,x) są izomorficzne Przykład dwóch grup 2-elementowych, izomorficznych: e (G 1,x) - zbiór dwóch liczb całkowitych {-1,1}; działanie = zwykłe mnożenie; e = 1, g 1 = -1 (G 2,+) - zbiór dwóch liczb całkowitych {0,1}; działanie = dodawanie modulo 2; e = 0, g 1 = 1 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1+ 0 = 1, 1+ 1= 0 T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 11

Podgrupy Zbiór elementów H zawarty w zbiorze G nazywa się podgrupą grupy G jeżeli: 1) Iloczyn dowolnej pary elementów należących do H, należy znów do H 2) Jeśli to Każda podgrupa jest także grupą Każda grupa jest swoją podgrupą Element jednostkowy jest podgrupą każdej grupy T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 12

Działania grupowe Przykład: trzy pisanki wielkanocne w kolorach: R (red), O (orange) i Y (yellow), umieszczone w jednym rzędzie Elementy grupy: e brak zmian w kolejności pisanek g 1 cykliczna permutacja w prawo np. g 2 - cykliczna permutacja w lewo np. g 3 zamiana miejscami elementów 12 np. g 4 zamiana miejscami elementów 1 3 np. g 5 - zamiana miejscami elementów 2 3 np. Uwaga: (Patrz dyskusja poniżej) T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 13

Działania grupowe Obiekty na które działa grupa pisanki; Elementy grupy = pewne operacje na obiektach Działanie grupowe: sposób w jaki poszczególny element grupy zmienia ustawienie pisanek Jakie wielkości nie zmieniają się jeśli poddamy zmianie (transformacji) pewne obiekty zawsze trzy pisanki w trzech kolorach Transformacja = zmiana porządku ustawienia pisanek Rząd grupy = 6 Nazwa grupy: S 3 S 3 przykładem grupy symetrycznej uwzględniającej wszystkie permutacje trzech elementów Ogólnie dla S n grupy uwzględniającej wszystkie permutacje n elementów rząd grupy wynosi n! T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 14

Grupy Permutacji Grupa symetryczna S n = grupa uwzględniająca wszystkie permutacje n elementów jej rząd wynosi n! (tyle ile jest permutacji n elementów) Twierdzenie Cayleya: każda grupa G rzędu n jest izomorficzna z jakąś podgrupą rzędu n grupy S n Ã! 1 2 3 ::: n p= m 1 m 2 m 3 ::: m n Zapis elementów grupy S n fm 1 ;m 2 ;m 3 :::m n g Zbiór jest pewnym ustawieniem pierwszych liczb n naturalnych Przykład: permutacja p= Ã 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1! Ta permutacja działając na f1;2;3;4;5;6g prowadzi do ustawienia f6;5;4;3;2;1g Ta sama permutacja działając na f2;5;3;4;6;1g daje ustawienie f5;2;4;3;1;6g w powyższym przykładzie pary 1-6, 2-5 oraz 3-4 przechodzą nawzajem w siebie Każda taka para nosi nazwę cyklu T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 15

Grupy Permutacji p= Ã 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1! = (16)(25)(34) (permutacja p składa się z trzech cykli każdy z nich ma długość 2) dla permutacji 6-cio elementowej mogą także istnieć cykle o długościach 1 i 3 Przykład: Interpretacja cyklu: (163): 16, 63, 31, - tak jakby te cyfry wędrowały po obwodzie koła i przechodziły w siebie ale kierunek ruchu CW lub CCW jest istotny Przykład na rolę kierunku (163) = (316) = (631) ale (163) 6= (136) każde takie przedstawienie = rozbicie permutacji na rozłączne cykle Cykle dwuelementowe (zwane transpozycjami) odgrywają szczególną rolę: dowolny cykl (a zatem i dowolna permutacja) może być przedstawiony jako iloczyn transpozycji (ale już nie będących rozłącznymi) T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 16

Grupy Permutacji Konwencja: jeśli kilka cykli jest napisanych obok siebie to najpierw działa cykl umieszczony na prawym końcu itd., a jako ostatnią wykonujemy permutację odpowiadającą cyklowi stojącemu po lewej stronie Jeżeli cykle są rozłączne to kolejność ich działania (zapisu) nie ma znaczenia W przeciwnym przypadku jest istotna Przykład 1 (163) = (13)(16) - rozbicie cyklu 3-elementowego na nie rozłączne cykle 2-elementowe (163)f 136g = (13)(16)f 136g = (13)f 631g = f 613g cykl ustawienie Przykład 2 cykle nie rozłączne kolejność ich działania istotna: (13)(16)f 136g = (13)f 631g = f 613g (16)(13)f 136g = (16)f 316g = f 361g T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 17

Grupy Permutacji Rozkład na cykle 2-elementowe (transpozycje) nie jest jednoznaczny Przykład 3 (163) = (13)(16) ale również: (163) = (316) = (36)(31) Ogólny rozkład cyklu o długości n na transpozycje może być zapisany w postaci: Parzystość (P) permutacji p (123:::n) = (1 n)(1 n 1) :::(13)(12) P(p) = ( 1) N N liczba transpozycji, na które można rozłożyć daną permutację N ilość transpozycji (N nieparzysta P = -1; N parzysta P = +1) Iloczyn dwóch permutacji = kolejne wykonanie dwóch permutacji Iloczyn permutacji jest permutacją W sposób trywialny są także dla permutacji spełnione pozostałe aksjomaty grupowe Zbiór wszystkich permutacji n obiektów tworzy grupę S n składającą się z n! elementów T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 18

Grupy Permutacji Spośród grup S n, jedynie S 1 i S 2 są abelowe. Wszystkie grupy S n (n>2) są nieabelowe Uwaga: w zapisie permutacji istnieje znaczna swoboda w wyborze kolejności przedmiotów: w symbolu permutacji istotne są jedynie związki między przedmiotami umieszczonymi jeden nad drugim ustawienie poziome nie ma żadnego znaczenia Przykład: p= Ã 1 2 3 4 5 6 6 5 4 3 2 1! = Ã 6 5 4 3 2 1 1 2 3 4 5 6! = Ã 4 2 6 3 1 5 3 5 1 4 6 2! Reguła stosowania dwóch kolejnych permutacji: Uwaga: wybór liczb na oznaczenie przedmiotów podlegających permutowaniu jest podyktowany jedynie sprawą wygody. Równie dobrze zamiast liczb można permutować cokolwiek np. buraka, selera, pora czy też Palikota, Kaczyńskiego, Tuska T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 19

S 1 grupa 1-elementowa: feg Grupy Permutacji S 2 grupa 2-elementowa: fe;(12)g S 3 grupa 6-elementowa: Bardziej zwarty zapis z użyciem cykli Elementy grupy: jej tabela mnożeń (widać że grupa ta jest nieabelowa) podgrupy dla grupy S 3 : rzędu drugiego o elementach: {e, (12)}, {e,(13)}, {e,(23)} (są one parami izomorficzne) rzędu trzeciego o elementach: {e, (123), (132)} T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 20

Reprezentacje grup Reprezentacja (macierzowa) grupy = przedstawienie całej grupy (wszystkich jej elementów) w postaci zbiorów liczb (macierzy) Ważna uwaga: w ten sam sposób można też przedstawić transformacje liniowe Przykład: dwie reprezentacje grupy ( Z 3 ; ) Reprezentacja pierwsza: Reprezentacja druga ( Z 3 ;+ ) Z 3 = (0;1;2) (e= 0; g 1 = 1; g 2 = 2) ( Z 3 ; ) Z 3 = (1;e 2¼i 3 ;e 4¼i 3 ) (e= 1; g 1 = e 2¼i 3 ; g 2 = e 4¼i 3 ) Struktura grupy jest zachowana w obu reprezentacjach T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 21

Reprezentacje: notacja Określmy grupę ( G, * ) z elementami e, g 1, g 2, D(G) reprezentacja grupy G Elementy D(G): D(e), D(g 1 ), D(g 2 ), Każdy z elementów D(g i ) to macierz o pewnych rozmiarach Działanie dla D(G): * = mnożenie macierzy Cały czas pamiętajmy że: Grupa ta pewien zbiór abstrakcyjnych obiektów Przedstawienie grupy w postaci zbioru macierzy liczb (reprezentacji) z operacją grupową będącą mnożeniem macierzy pozwala na bardzo wygodne badanie struktury grupy posługując się znanymi nam obiektami T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 22

Reprezentacje: notacja Zastosujmy tzw. notację Diraca Wektor kolumnowy (KET): Wektor wierszowy (BRA): Iloczyn skalarny T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 23

Reprezentacje: notacja Każdemu elementowi grupy skończonej przypiszmy jeden standardowy wersor bazy ortonormalnej: Zdefiniujmy sposób w jaki element reprezentacji D(G) działa na wersory bazy: Wtedy dowolny element grupy G w reprezentacji macierzowej zadany jest wzorem: T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 24

Reprezentacje: notacja Rozważmy najprostszy przykład grupy rzędu drugiego: e Znajdźmy reprezentację macierzową elementu jednostkowego: Znajdźmy reprezentację macierzową elementu g 1 : T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 25

Reprezentacje: notacja Łatwo sprawdzić, iż tak określona reprezentacja spełnia działania grupy: T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 26

Reprezentacje grup Równanie prowadzi dla grupy n-elementowej do jej reprezentacji w postaci macierzy n x n Taką reprezentację nazywamy regularną Ogólnie, reprezentacja w postaci macierzy m x m reprezentacja m-wymiarowa Dla danej grupy istnieje (nieskończenie) wiele reprezentacji Dla niemal każdej grupy można rozważać reprezentacje w postaci macierzy o wymiarze k x k (k <n) tj. o wymiarze mniejszym od odpowiadającego reprezentacji regularnej Proces znajdowania dla danej grupy reprezentacji o wymiarze mniejszym niż odpowiadający reprezentacji regularnej = redukcja reprezentacji Jeśli taka reprezentacja istnieje to reprezentacja wyjściowa jest redukowalna W przeciwnym wypadku reprezentacja ta jest nieredukowalna T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 27

Przykład reprezentacji zredukowanej - pisanki S 3 Dla przypomnienia: Zbiór trzech pisanek można przedstawić w postaci następującego wektora kolumnowego Dla przykładu rozważmy jaka macierz będzie odpowiadać elementowi g 1 Macierze tej reprezentacji mają wymiar 3x3 (a nie 6x6) przykład reprezentacji zredukowanej T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 28

Iloczyn prosty grup Niech G i H będą dwiema grupami (nie zakłada się żadnych związków między nimi) - operacja grupowa dla G - operacja grupowa dla H Iloczyn prosty grup G i H oznaczmy jako: Dowolny element grupy K oznaczmy jako: - operacja grupowa dla K Dwa dowolne elementy grupy K są mnożone według następującej reguły: T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 29

Suma prosta dwóch przestrzeni Przypisanie elementom grupy wersorów bazy ortonormalnej oznacza, że elementy grupy rozpinają n-wymiarową przestrzeń Jeżeli: V jest dowolną n-wymiarową przestrzenią liniową, rozpiętą przez n liniowo niezależnych wektorów bazy U i W są dwiema podprzestrzeniami V V jest sumą prostą U i W jeżeli każdy wektor może być zapisany jako suma gdzie oraz Każdy operator X działający na elementy przestrzeni V może być podzielony na części działające indywidualnie na U i V; notacja T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 30

Suma prosta dwóch przestrzeni Jeżeli: operator X n ma postać macierzy n x n to pojęcie jego sumy prostej z operatorami A m (macierz m x m) oraz B k (macierz k x k) oznacza iż można X n przedstawić w postaci blokowo diagonalnej: gdzie Oraz A m, B k i 0 oznaczają w tym zapisie macierze o odpowiednich wymiarach T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 31

Suma prosta dwóch przestrzeni Pojęcie sumy prostej można uogólnić, uwzględniając wiele składników: Reprezentacja dowolnej grupy jest redukowalna, jeśli może być przedstawiona w postaci blokowo diagonalnej T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 32

Suma prosta dwóch przestrzeni Przykład: T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 33

Transformacja podobieństwa Reprezentacja dowolnej grupy jest redukowalna, jeśli może być przedstawiona w postaci blokowo diagonalnej. Co oznacza jeśli może być przedstawiona? Dla danej macierzy D oraz macierzy S posiadającej macierz odwrotną można zdefiniować liniową transformację podobieństwa: Jeżeli dwie macierze D i D są związane transformacją podobieństwa to mówimy iż są one równoważne. Jeśli D(G) jest reprezentacją grupy G, to reprezentacją tej grupy jest także S -1 DS dla dowolnej odwracalnej macierzy S (wynika z liniowości transformacji podobieństwa). Jeśli rozważamy daną reprezentację, która nie jest w postaci blokowo diagonalnej to sprawdzenie czy jest ona redukowalna polega na znalezieniu właściwej macierzy S, która przez transformację podobieństwa prowadziła by do postaci blokowo-diagonalnej. T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 34

Grupy ciągłe Wszystkie dotąd rozważane grupy były skończonego rzędu (inaczej dyskretne) Zbadajmy jeden z najprostszych przykładów grupy ciągłej (nieskończonego rzędu): Rozważmy okrąg jednostkowy: Każdy punkt na okręgu jest określony przez podanie współrzędnej (mierzonej od dodatniej półosi x) Punkt =0 uznajmy za startowy (tak jak np. ROY dla grupy pisanek) Rozważmy wszelkie możliwe obroty od położenia startowego Dla grupy pisanek było tylko sześć możliwych operacji. W rozważanym przypadku istnieje nieskończona ilość możliwych obrotów dla kąta z przedziału [0,2) Własności grupy są przy tym spełnione: 1) Domkniętość 2) Łączność 3) Element jednostkowy 4) Element odwrotny T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 35

Grupy ciągłe Nieskończona ilość elementów grupy jest parametryzowana przez ciągły, rzeczywisty parametr () Zamiast mówić o elementach grupy g i trzeba rozważać ich zbiór g() Dla grupy nieskończonego rzędu nie można skonstruować tabeli mnożenia Rozważana powyżej grupa jest abelowa Ważna reprezentacja badanej grupy w postaci macierzy Eulera 2x2: Wtedy dodawanie grupowe = mnożenie macierzy: T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 36

Grupy Liego Definicja grupy Liego: grupa sparametryzowana przez jeden lub więcej ciągłych parametrów spełniająca dodatkowo dwa poniższe warunki: (oznaczmy zbiór parametrów jako a = {a 1, a 2, a n }; Wtedy musi zachodzić:. Oznacza to iż musi istnieć zależność funkcyjna :. 1)Dla grup Liego funkcja φ musi być analityczna (różniczkowalna dowolną ilość razy). 2)Dodatkowo wymaga się analityczności funkcji wiążącej dany zbiór parametrów a ze zbiorem odpowiadającym elementowi odwrotnemu a*. Przykład: Rozważmy 1-parametrową grupę ciągłych przekształceń liniowych opisywanych parametrem rzeczywistym a: wtedy: (postać funkcji φ - analitycznej) (postać funkcji a* - analitycznej) T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 37

Grupy Liego Wymiar grupy Liego = liczba ciągłych parametrów, od których zależą elementy grupy Elementami grupy mogą być macierze n x n (inaczej transformacje liniowe). Jedyny warunek: macierze te muszą być odwracalne Dla n wymiarów najogólniejsza grupa Liego to grupa wszystkich odwracalnych macierzy n x n GL(n) - ogólna grupa liniowa Dokładniejszy zapis -jeśli elementy macierzy n x n są zespolone -jeśli elementy macierzy n x n są rzeczywiste jest podgrupą T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 38

Grupy Liego specjalna grupa liniowa Znajdźmy inną, bardzo ważną podgrupę dla ; W przestrzeni n-wymiarowej można skonstruować równoległoscian, którego boki tworzy n niezerowych wektorów zaczepionych w początku układu współrzędnych. Przykład dla 3D Jeśli składowe tych n wektorów ułożyć jako wiersze (kolumny) macierzy n x n to wyznacznik tej macierzy będzie równy objętości równoległościanu Rozważmy zbiór transformacji liniowych, które nie zmieniają objętości równoległościanu zdefiniowanego powyżej To oznacza iż rozważamy jedynie te macierze z ogólnej grupy liniowej, których wyznacznik jest równy 1 Macierze takie tworzą specjalną grupę liniową (podgrupę ) T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 39

Grupy ortogonalne Rozważmy grupę transformacji obrotów w przestrzeni n-wymiarowej wokół początku układu odniesienia Transformacje te zachowują długość każdego wektora są ortogonalne Zachodzi relacja: - grupa ortogonalna w n wymiarach (elementy macierzy ortogonalnych są zawsze rzeczywiste) - grupa ortogonalna w n wymiarach dla której Grupy ortogonalne o wyznaczniku równym -1 zmieniają skrętność układu (lewo prawoskrętny): Np. dla macierzy 3D: T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 40

Grupy unitarne Stanowią rozszerzenie pojęcia grup ortogonalnych: W macierzy unitarnej macierzy V o rozmiarze n x n występują liczby zespolone Macierze unitarne - zespolone macierze odpowiadające transformacjom zachowującym długość wektora w postaci: - grupa unitarna o wymiarze n tworzą ją macierze unitarne j.w. - Specjalna grupa unitarna - zawiera macierze unitarne n x n o wyznaczniku równym jeden T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 41

Grupy pseudo-ortogonalne SO(m,n) Grupy ortogonalne w przestrzeni m+n wymiarowej nad ciałem liczb rzeczywistych zachowujące iloczyn skalarny w postaci: Parę liczb (m,n) nazywa się często sygnaturą grupy W szczególności, grupa SO(1,3) o sygnaturze (1,3) to grupa Lorentza T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 42

Generatory grup Liego Każda grupa Liego może być sparametryzowana za pomocą n ciągłych parametrów i Elementy grupy oznaczmy jako: Każda taka grupa zawiera element jednostkowy, który wybieramy jako odpowiadający zerowej wartości parametru(-ów): Wtedy reprezentacja elementu jednostkowego ma postać: (macierz jednostkowa n x n) Rozważmy teraz wartość parametru i, tylko nieznacznie różniącą się od zera: T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 43

Generatory grup Liego Wtedy reprezentację grupy można rozwinąć w szereg Taylora: Oznaczmy: Czynnik ( i) X i hermitowska X i -stałe macierze, ich postać poniżej Wtedy reprezentacja dla elementu infinitezymalnie różniącego się od zera: Transformacja skończona = suma skończonej liczby transformacji infinitezymalnych. Jak będzie wyglądać postać reprezentacji dla transformacji skończonej? T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 44

Generatory grup Liego Obliczmy granicę nieskończonej liczby transformacji infinitezymalnych: X i - generatory grupy jest ich tyle ile ciągłych parametrów danej grupy Np. dla grupy SO(3) mającej trzy ciągłe parametry kąty Eulera, i występują trzy generatory, odpowiednio X, X oraz X T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 45

Generatory grup Liego Dla danej grupy Liego istnieje nieskończenie wiele zbiorów generatorów {X i, i =1,2, n} Każdy taki zbiór określa konkretną reprezentację rozpatrywanej grupy. Reprezentacja grupy ma postać: Wygodnie jest uważać przestrzeń ciągłych parametrów grupy za przestrzeń wektorową. generatory grupy w takim przypadku określają zachowanie w pobliżu elementu jednostkowego oraz rozpinają bazę tej przestrzeni wektorowej. Generatory wektorami jednostkowymi w przestrzeni parametrów grupy. Liczba generatorów = liczba ciągłych parametrów = wymiar grupy. T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 46

Algebry Liego Algebra grupy zbiór wszystkich kombinacji liniowych wektorów-elementów grupy z zespolonymi współczynnikami Algebra Liego: zbiór kombinacji liniowych wektorów = generatorów grupy Rozważmy dwa elementy tej samej grupy, scharakteryzowanej przez generatory X i Element pierwszy opisuje zbiór parametrów i Element drugi opisuje zbiór parametrów j Z definicji grupy wynika, iż iloczyn musi być także elementem grupy scharakteryzowanym pewnym zestawem parametrów k : ale na ogół gdyż generatory są macierzami i mogą ze sobą nie komutować Zachodzi relacja Bakera-Campbella-Hausdorffa (BCH): T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 47

Algebry Liego Jeśli generatory komutują relacja BCH redukuje się do zwykłego mnożenia Komutator [X i, X ] musi być kombinacją liniową generatorów: -stałe grupy ich znajomość określa w pełni reguły komutacji generatorów, a tym samym postać grupy w każdej jej reprezentacji Algebra grupy Liego jest w pełni określona przez jej generatory oraz reguły ich wzajemnej komutacji T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 48

Reprezentacja dołączona To reprezentacja, którą konstruuje się bezpośrednio ze stałych grupy w postaci macierzy zdefiniowanych jako: Można łatwo pokazać, iż macierze T spełniają relację: Stałe grupy są różne od zera jedynie dla grup nieabelowych Reprezentację dołączoną można skonstruować jedynie dla grup nieabelowych Wymiar reprezentacji dołączonej: (n 2-1) x (n 2-1) T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 49

Przykład: grupa SU(3) N 2 1 = 8 generatorów spełniających relacje: f stałe grupy: rzeczywiste, zupełnie antysymetryczne względem indeksów Generatory można przedstawić w postaci macierzy Gell-Manna (3x3, hermitowskie): T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 50

Przykład: grupa SU(3) Macierze Gell-Manna działają na wektory bazowe w następujący sposób: Liczby, = 1, 2,, 8 są rzeczywiste i parametryzują dany element grupy T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 51

Diagramy Younga Diagramy Younga (DY) obiekty kombinatoryczne, pozwalające na bardzo wygodny opis struktury reprezentacji grup rozważanych powyżej. DY to zbiór kwadratowych pól wypełnionych liczbami całkowitymi ze zbioru (1,2,,n} Przykład: Nieredukowalne reprezentacje grup S n można opisać (rysować) używając DY o n polach Np. podstawowa reprezentacja grupy S 3 odpowiada dwóm DY: Dodatkowo, rozmiar reprezentacji nieredukowalnych danej grupy można łatwo wyliczać stosując regułę haków-długości (patrz poniżej) Dodatkowo, znając reprezentację (DY) np. grupy S 3 można bezpośrednio znaleźć reprezentacje grupy S poprzez dołożenie do DY odpowiadającego S 3 jednego pola (kwadracika) na wszystkie dozwolone sposoby (działa to też w drugą stronę) T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 52

Diagramy Younga DY można uważać za graficzną ilustrację podziału liczby naturalnej na sumę liczb naturalnych Przykład: 12 = 5 + 3 + 3 + 1 Konwencja angielska (francuska odwrócone znaki nierówności) -Ilość pól nie rośnie w dół licząc od lewej strony i-ty wiersz DY zawiera i kwadratów Podział = zbiór liczb, spełniających powyższy warunek. Każdemu podziałowi odpowiada jednoznacznie pewien diagram Younga Przykład: diagramy Younga odpowiadające podziałowi dla liczby 4: T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 53

Diagramy Younga Tableaux Younga (TY) = diagram Younga z polami wypełnionymi liczbami naturalnymi z przedziału (1,2,,n), TY typu jeśli każda liczba występuje tylko raz Przykład: wszystkie TY typu dla podziału (2,1): Standardowe tableux Younga (STY) typu : takie, dla którego liczby w kolejnych polach są uporządkowane rosnąco zarówno względem wierszy jak i kolumn Przykład: istnieją tylko dwa STY dla podziału (2,1): Inny przykład STY: T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 54

Diagramy Younga D - rozmiar diagramu Younga = ułamek zdefiniowany w następującej postaci: licznik ułamka = iloczyn wszystkich liczb przypisanych poszczególnym polom diagramu (dla rozkładu na reprezentacje redukowalne dla grup SU(N) zaczynamy od N w lewym górnym rogu) mianownik ułamka = iloczyn tzw. haków wartość pojedynczego haka = liczba pól przez które on przechodzi Przykłady: D= 1 2 3 1 3 1 = 2 D= 1 2 4 3 5 6 7 8 9 2 4 6 1 3 5 1 3 1 = 168 D= 3 4 5 6 2 3 1 6 4 2 1 3 1 1 = 15 T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 55

Diagramy Younga dla grupy SU(3) Najbardziej ogólna postać tableaux Younga dla grupy SU(3): Nieredukowalne reprezentacje grupy SU(3) można sparametryzować w postaci ich wymiaru D, zależnego od dwóch liczb Reprezentacje (m,n) i (n,m) mają przy tym ten sam wymiar i są do siebie wzajemnie sprzężone Ilość sposobów, n a które można wybrać reprezentację (m,n): W szczególności, ta ilość dla (n,n): T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 56

Nieredukowalne reprezentacje SU(3) Reprezentacja trywialna 1D (skalar) D= 3 2 1 3 2 1 = 1 D= 3 1 = 3 D= 3 2 2 1 = 3 D= 3 4 2 1 = 6 D= 3 4 2 3 2 3 2 1 = 6 D= 3 4 2 1 3 1 = 8 D= 3 4 5 3 2 1 = 10 D= 3 4 5 2 3 4 2 3 4 1 2 3 = 10 T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 57

Nieredukowalne reprezentacje SU(3) D= 3 4 5 2 1 2 4 1 = 15 D= 3 4 5 2 3 1 3 4 2 1 = 15 D= 3 4 5 6 1 2 3 4 = 15 D= 3 4 5 6 2 3 4 5 2 3 4 5 1 2 3 4 = 15 D= 3 4 5 6 2 1 3 5 1 = 24 D= 3 4 5 6 2 3 4 2 3 4 5 1 2 3 = 24 D= 3 4 5 6 2 3 1 2 4 5 1 2 = 27 Dla uproszczenia nie rozważamy znaczenia symbolu prim, ograniczając się tylko do rozmiaru reprezentacji T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 58

Rozkład na reprezentacje nieredukowalne dla iloczynu prostego SU(N) x SU(N) x na przykładzie SU(N) Reprezentacja podstawowa - jedno pole (kwadracik) N Reprezentacja sprzężona - jedna kolumna złożona z (N-1) pól N Przykłady: SU(2): SU(3): robocza konwencja kiedy reprezentacja sprzężona: 1. posiada dwa wiersze 2. Ilość pól drugiego wiersza = ilości pól pierwszego lub jest od niej o jeden mniejsza T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 59

Rozkład na reprezentacje nieredukowalne dla iloczynu prostego SU(N) x SU(N) x SU(2): 2-2= 2-2= 3 1 D= 2 3 1 2 = 3 D= 2 1 2 1 = 1 SU(3): 3-3= 6 3 D= 3 4 1 2 = 6 D= 3 2 1 2 = 3 T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 60

Rozkład na reprezentacje nieredukowalne dla iloczynu prostego SU(N) x SU(N) x SU(3): 3-3= 6 3 3-3 = 1 8 6-3= 8 10 3-3- 3= (3-3)- 3 = (6 3)- 3= (6-3) (3-3) = = 8 10 1 8 T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 61

Rozkład na reprezentacje nieredukowalne dla iloczynu prostego SU(N) x SU(N) x T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 62

Rozkład na reprezentacje nieredukowalne dla iloczynu prostego SU(N) x SU(N) x dla barionów obiektów złożonych z trzech kwarków I takie struktury symetryczne realizują się w przyrodzie!!! Dla czterech kwarków: Trzy kwarki ze spinem: T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 63

Rozkład na reprezentacje nieredukowalne dla iloczynu prostego SU(N) x SU(N) x podobnie dla mezonów (kwark + antykwark) w SU(3): = T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 64

Związek reprezentacji nieredukowalnych (diagramów Younga) z tensorami Istnieje jednoznaczny związek między reprezentacjami redukowalnymi (diagramami Younga), a tensorami o pewnej symetrii Przykład dotyczący grupy SU(3): Najbardziej ogólną postać tableux Younga dla nieredukowalnej reprezentacji (m,n) tej grupy: Każdą antysymetryczną parę (k a, l a ) a = 1, 2,, m można zastąpić indeksem j a w następujący sposób: Tak zdefiniowany tensor jest symetryczny zarówno w indeksach {j 1, j m } jak i {i 1, i n } T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 65

Związek reprezentacji nieredukowalnych (diagramów Younga) z tensorami Można udowodnić, iż zachodzi przy tym relacja: Nie wszystkie składowe powyższego tensora są niezależne. Ilość niezależnych składowych = rozmiar danej reprezentacji nieredukowalnej D(m,n) Prawo transformacji: Górne i dolne indeksy transformują się b. podobnie jedyna zmiana polega na sprzężeniu zespolonym w odpowiedniej macierzy S dla każdego przekształcenia górnego indeksu tj. na zamianie a - * a Tensor antysymetryczny ijk służy przy tym do podnoszenia i opuszczania indeksów: (A jk transformuje się jak x i x k ) T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 66

Nieredukowalne reprezentacje SU(3) Reprezentacja trywialna 1D (skalar) Reprezentacja dołączona T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 67

Nieredukowalne reprezentacje SU(3) T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 68

Rozkład na nieredukowalne reprezentacje przez nakładanie diagramów wagowych (SU(3)) Wektory wagowe wektory bazy odpowiadające komutującym ze sobą generatorom danej grupy. Dla SU(3) są dwa wektory wagowe odpowidające: Reprezentacje tej grupy można przedstawiać w postaci figur na płaszczyźnie (opuszczono osie diagramów wagowych): Dwa przykładowe węzły. Składanie kwarka z antykwarkiem 1. Kładziemy środek drugiego diagramu wagowego na każdym węźle pierwszego diagramu. 2. Reguła_1: w zewnętrznej warstwie tak powstałego diagramu może być w jednym miejscu po jednym węźle. 3. Reguła_2: w drugiej warstwie idąc do wewnątrz może być po dwa węzły: tutaj jest 3, zatem trzeci węzeł zostaje przerzucony do nowej reprezentacji o liczebności 1. 4. Reguła_3: w trzeciej warstwie po 3 węzły itd. T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 69

Rozkład na nieredukowalne reprezentacje przez nakładanie diagramów wagowych (SU(3)) Składanie kwarka z kwarkiem: Wystarczy zastosować reguły 1 i 2. Liczebność ogólnego multipletu SU(3) Przykłady oktet dekuplet T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 70

Backup T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 71

14 komórek sieciowych Bravais T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 72

Algebra grupy Przypisanie elementom grupy wersorów bazy ortonormalnej oznacza, że elementy grupy rozpinają n-wymiarową przestrzeń - algebra grupy G: zbiór wszystkich możliwych kombinacji liniowych wektorów z zespolonymi (czasem rzeczywistymi) współczynnikami Oznaczenie: Dodawanie dwóch elementów algebry = zwykłe dodawanie liniowych kombinacji T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 73

Algebra grupy Definicja działania reprezentacji grupy na elementy algebry (same elementy grupy nie działają na elementy algebry; na te ostatnie działają reprezentacje grupy) T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 74

Moduł grupy Zastąpmy wektory ortonormalne bazy, zbiorem M złożonym z q abstrakcyjnych obiektów na które mogą działać elementy grupy, oznaczonym jako: Identycznie jak dla algebry, można z tego zbioru skonstruować przestrzeń wektorową: Moduł M: Moduł stanowi strukturę algebraiczną, będącą uogólnieniem pojęcia przestrzeni liniowej T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 75

Przykład: Moduł grupy Rozważmy zbiór trzech abstrakcyjnych obiektów (np. pisanek): M = {m 0, m 1, m 2 } Wtedy moduł to zbiór wszystkich punktów abstrakcyjnej przestrzeni 3D, określonych w postaci: Wtedy np. element g 1 (patrz pisanki) działając na określony punkt daje przestawienie współczynników c 0 i c 1 : Z tabeli mnożeń tej grupy wynika iż: Interpretacja geometryczna: odbicie względem płaszczyzny c 0 = c 1 w trójwymiarowej przestrzeni modułu T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 76

Algebra a Moduł Algebra -przestrzeń wektorowa rozpięta przez elementy grupy Moduł przestrzeń wektorowa, na którą działają reprezentacje danej grupy T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 77

Podprzestrzeń niezmiennicza Przykład: Rozważmy jak grupa S 3 działa na przestrzeń 3D rozpiętą przez: * Weźmy pod uwagę podprzestrzeń w postaci: ** Łatwo sprawdzić bezpośrednim rachunkiem iż działanie żadnego z elementów grupy S 3 na tę podprzestrzeń nie wyprowadza poza nią Tak zdefiniowana przestrzeń (**) stanowi podprzestrzeń niezmienniczą dla przestrzeni rozpiętej przez wektory (*) T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 78

Grupy Liego Robocza definicja grupy Liego: grupa sparametryzowana przez jeden lub więcej ciągłych parametrów Dokładniej: każdy element grupy odpowiada punktowi pewnej rozmaitości Rozmaitość to przestrzeń topologiczna, która jest lokalnie Euklidesowa w każdym swoim punkcie Przykład nr 1 rozmaitości okrąg o promieniu jednostkowym b. mały wycinek łuku wygląda jak odcinek prostej Przykład nr 2 rozmaitości sfera 3D o jednostkowym promieniu otoczenie każdego punktu na sferze 3D wygląda lokalnie jak kawałek płaszczyzny 2D T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 79

Grupy Liego Każdemu elementowi grupy g() G odpowiada pewien operator liniowy R(g()) działający w przestrzeni wektorowej V (wymiar tej przestrzeni nie ma związku z wymiarem grupy) Ta przestrzeń wektorowa jest styczna do rozmaitości G w punkcie odpowiadającym elementowi jednostkowemu T.Lesiak Metody matematyczne fizyki 80