Wykłady z Mechaniki Kwantowej
Mechanika Kwantowa, Relatywistyczna Mechanika Kwantowa Wykład dla doktorantów (2017) Wykład 3 Fakty nie są najważniejsze. Zresztą, aby je poznać, nie trzeba studiować na uczelni - można się ich nauczyć z książek. Istota kształcenia w szkole wyższej nie polega zatem na wpajaniu wiedzy faktograficznej, lecz na ćwiczeniu umysłu w dochodzeniu do tego, czego nie da się znaleźć w podręcznikach Marek Zrałek Zakład Teorii Pola i Cząstek Elementarnych Instytut Fizyki Uniwersytet Śląski Katowice, 2017
Przegląd postulatów Mechaniki Kwantowej, uwagi o jej matematycznym języku. Każdy dział fizyki ma swój specyficzny język matematyczny. Często się zdarza, że zapotrzebowania fizyczne stymulują różne działy matematyki. Mechanika Newtona ------ Rachunek różniczkowy i całkowy, Elektrodynamika klasyczna ----- Rachunek tensorowy, równania różniczkowe cząstkowe, MECHANIKA KWANTOWA -- Przestrzenie liniowe, operatory liniowe, grupy i ich reprezentacje. Pełny matematyczny formalizm Mechaniki Kwantowej został podany przez J. von Neumana w 1932 roku Mathematical Foundation of Quantum Mechanics Springer, Berlin, 1932
Postulaty Mechaniki Kwantowej UKŁAD FIZYCZNY Klasycznie: Obrazem matematycznym układu fizycznego jest przestrzeń fazowa (Przestrzeń fazowa z więzami) {x 1, x 2, x 3, p 1, p 2, p 3 ;...} Kwantowo: Obrazem matematycznym układu fizycznego jest algebra operatorów liniowych działających w liniowych przestrzeniach (Φ) z iloczynem skalarnym (v,w). (unitarna przestrzeń Hilberta )
Definicja Przestrzeni liniowej Definicja Algebry I A = A I =A Definicja Przestrzeni unitarnej Definicja Przestrzeni Hilberta
Postulat I : Stan układu fizycznego w danej chwili Klasycznie: Stan układu fizycznego fizycznego (punkt materialny, układ punktów materialnych) w każdej chwili czasu opisuje punkt w przestrzeni fazowej a więc zarówno położenia jak i pęd każdej cząstki: ( x i (t), p i (t) ); i = 1,2, n Kwantowo: Kantowy stan układu fizycznego opisany jest przez hermitowski, dodatnio określony operator ρ o jednostkowym śladzie: 1) ρ + = ρ 2) Tr(ρ) = 1, 3) ψ ρ ψ 0, ρ = ψ ψ ; Tr(ρ 2 ) 1
Definicja operatora hermitowskiego Definicja śladu i jego własności Definicja operatora dodatnio określonego Dlaczego wymagamy aby: 1) operator ρ był hermitowski, 2) ślad był równy1, 3) operator ρ był dodatnio określonym operatorem, 4) pokazać, że warunkiem koniecznym i wystarczającym aby ρ opisywał stan czysty jest związek: Tr(ρ 2 ) = 1.
Postulat II: Wielkość fizyczna Klasycznie: Każda wielkość fizyczna F jest pewną funkcją położeń i pędów cząstek: F = F(x i (t), p i (t)), np. Energia punktu materialnego to: E = p 2 2m + V( x) Kwantowo: Każdej wielkości fizycznej przypisany jest operator hermitowski posiadający zupełny układ wektorów własnych. Takie operatory nazywać będziemy OBSERWABLAMI A + = A;
Postulat (II) 1 : Konstrukcja wielkości fizycznej Klasycznie (tak jak poprzednio): Każda wielkość fizyczna F jest pewną funkcją położeń i pędów cząstek: np. F = F(x i (t), p i (t)), Energia punktu materialnego to: E = p 2 2m + V( x) Kwantowo: Dla układu posiadającego analogię klasyczną: x i ˆx i ; p i ˆp i na które nakładamy relacje komutacji: wtedy: ˆx i, ˆp k = i δ ik F=F(x i,p i ) ˆF(ˆx i, ˆp i ) Dla układów nie posiadających analogii klasycznej, obserwable i ich relacje komutacji są proponowane.
Postulat III: Wykonanie pomiaru Klasycznie: Klasycznie możemy zmierzyć położenie i pęd każdej cząstki w dowolnej chwili czasu t. Mając x i (t) oraz p i (t) wyznaczamy dowolną wielkość fizyczną F = F( x i (t), p i (t) ) z dowolną dokładnością. Kwantowo: Wynikiem pomiaru wielkości fizycznej A jest zawsze jakąś jej wartość własną a : Mierząc A w stanie zawsze otrzymamy wartość własną a, Mierząc A w stanie otrzymamy różne wyniki a i, z góry nie wiemy jaki będzie wynik pomiaru. Mechanika Kwantowe daje tylko możliwość obliczenia prawdopodobieństwa tego wyniku pomiaru a i.
Dlaczego A musi być operatora hermitowskiego? Dlaczego A musi być operatorem zupełnym?
Postulat IV: Różne wyniki pomiaru Klasycznie: Każdą wielkość możemy wyznaczyć bez ograniczeń. Dokonanie pomiaru jednej wielkości nie wpływa na posiadaną wiedzę o dowolnej poprzednio zmierzonej wielkości fizycznej. Pomiar jest tylko rejestracją tego co jest, wynik i tak jest zakodowany w układzie. Pomiar nie wpływa na zachowanie się układu fizycznego, nie zmienia go. Kwantowo: Mierząc dowolną wielkość fizyczną A w stanie ρ wynik nie jest znany. Jeżeli układ jest w stanie ρ to prawdopodobieństwo (p i ) otrzymania w wyniku pomiaru wartości własnej a i jest równe wartości średniej operatora rzutowego P i na podprzestrzeń tej wartości własnej:.
Prawdopodobieństwo otrzymania danej wartości własnej : 1) gdy stan jest czysty, 2) gdy wartość własna jest zdegenerowana, 3) gdy pytamy o prawdopodobieństwo otrzymania kilku wartości własnych, 4) pokazać, że wartość średnia wielu wyników pomiaru wielkości fizycznej A w stanie ρ A ρ = Tr(ρA).
Postulat V: Stan układu po pomiarze Klasycznie: Pomiar tylko rejestruje, ale nie zmienia układu fizycznego. Jeżeli więc w chwili pomiaru układ miał położenie x i (t) oraz pęd p i (t) to dokładnie te same wartości położenia i pędu układ będzie posiadać po dokonaniu pomiaru dowolnej wielkości fizycznej. Kwantowo: Pomiar dowolnej wielkości fizycznej zmienia na ogół stan układu kwantowego. Jeśli układ był w stanie ρ i dokonaliśmy pomiaru wielkości fizycznej A w wyniku czego otrzymaliśmy wartość a i, to stan układu po pomiarze będzie opisany operatorem statystycznym: ρ i = P iρp i Tr(ρP i )
Definicja i własności operatorów rzutowych P i. Operator statystyczny przed wykonaniem pomiaru. Zbadać funkcjonowanie postulatu gdy: 1) Stan opisany operatorem ρ jest czysty, 2) Gdy wartość własna a i jest zdegenerowana, 3) Gdy wynik pomiaru nie rozróżnia kilku wartości własnych.
Postulat (V) 1 : Przygotowanie układu fizycznego do pomiaru Klasycznie: W pewnej chwili t 0 dokonujemy pomiaru położenia i pędu cząstki (cząstek): (x i (t 0 ), p i (t 0 )) Istnieją też sposoby bezpośredniego pomiaru innych wielkości fizycznych. Kwantowo: Przygotowując układ do pomiaru mierzymy jedną lub więcej wielkości fizycznych, których obserwable komutują. Gdy w wyniku pomiaru wielkości fizycznej A otrzymaliśmy wartości własne a 1, a 2,, a 3,..., z prawdopodobieństwami w 1, w 2, w 3,..., to taki zbiór układów opisany jest operatorem statystycznym.
Zbadać funkcjonowanie postulatu gdy: 1) nie wykonujemy pomiaru (wykonujemy liczbę pomiarów i nie rejestrujemy wyników), 2) jak wygląda stan układu, gdy w wyniku pomiaru otrzymujemy wartość własna a i, która jest zdegenerowana, 3) gdy przygotowaliśmy układ w stanie własnym mierzonej następnie obserwabli. Uwaga: ρ jest stanem własnym obserwabli A gdy (ΔA) ρ = 0, gdzie (ΔA) ρ = A 2 A 2 ρ ρ
Wartość średnia obserwabli A w stanie ρ: A ρ = Tr(ρA) Dyspersja wielkości fizycznej A w stanie ρ: disp (ρ ) A = ( A A ρ I) 2 = A 2 A 2 ρ ρ ρ Nieoznaczoność wielkości fizycznej A w stanie ρ == Średnie odchylenie standardowe (ΔA) ρ = disp (ρ ) A = A 2 ρ A ρ 2
Postulat VI: Ewolucja w czasie układu kwantowego Klasycznie: Znając siły działające na układ fizyczny i warunki początkowe możemy wyznaczyć stan układy w dowolnej późniejszej chwili czasu. Służą do tego równania ruchu. Znamy kilka wersji r. ruchu: np. r. Newtona, r. Lagrange a, r. Hamiltona albo r. Hamiltona Jacobiego. Np. r. Hamiltona: dq i dt = H p i, dp i dt = H q i Kwantowo: Mechanika kwantowa daje także możliwość wyznaczenia stanu w dowolnej późniejszej chwili czasu gdy znamy stan początkowy. Gdy nie wykonujemy pomiaru na układzie i znamy jego stan początkowy ρ(t 0 ) to istnieje taki operator H zwany operatorem Hamiltona (Hamiltonian), że i! dρ( t) dt = (równanie Liuville a) [ H, ρ(t) ]
Gdy układ jest odosobniony (izolowany, zachowawczy) to operator H jest operatorem energii układu. Dla układu nieizolowanego istnieje też odpowiedni operator H = h(t), który nie jest operatorem energii. Równanie Liuville a dla stanu czystego jest równoważne równaniu Schrödingera. Obrazy Schrödingera, Heisenberga i Diraca Równanie Heisenberga Stany stacjonarne, stałe ruchu
Postulat VII: Układy z wieloma stopniami swobody Klasycznie: Każdy następny stopień swobody opisany jest przez nową parę zmiennych kanonicznie sprzężonych. Kwantowo: Każdy stopień swobody ma swoją własną liniową przestrzeń stanów Φ. Przestrzeń stanów układu z wieloma stopniami swobody jest iloczynem prostym przestrzeni Φ: { q i (t), p i (t), i = 1,2,3,... } Stan czysty układu jest kombinacją iloczynów prostych stanów: ψ = ψ ψ 1 ψ 2 3...
Definicja iloczynu prostego przestrzeni, definicja iloczynu skalarnego, baza Stany niezależne, dowolne stany stany splątane Obserwable dla wielu stopni swobody Przykłady
Postulat (VII) 1 : Stopnie swobody związane z cząstkami identycznymi Klasycznie: Klasycznie nawet obiekty identyczne są rozróżnialne. Możemy śledzić ruch każdej cząstki nawet jeżeli jest ona identyczna z innymi Nie ma cząstek identycznych. Nie ma specjalnych konsekwencji identyczności cząstek Kwantowo: Nie mogę śledzić cząstek. Cząstki identyczne są nierozróżnialne. Nierozróżnialność ma poważne konsekwencje. Wynika z niej własność stanów kwantowych. Stany mogą być albo całkowicie symetryczne albo całkowicie antysymetryczne. Stany całkowicie symetryczne opisują cząstki o spinie całkowitym (BOZONY), stany antysymetryczne opisują cząstki o spinie połówkowym (FERMIONY).
Unormowane stany całkowicie symetryczne i antysymetryczne dla wielu identycznych cząstek Obserwable dla cząstek identycznych Zasada Pauliego Parastatystyki
Przestrzeń liniowa Φ nad ciałem K: (Φ nad K) = (Φ, +; K,+,i; ) (Φ,+), grupa abelowa (K,+,i), ciało ( ), K Φ Φ 1,α,β K; v,w Φ; α (v+w) = α v + β w; (α +β) v = α v + β v; α (β v) = (α i β) v; 1 v = v; Rozdzielczość mnożenia względem dodawania Łączność
ALGEBRA Zbiór operatorów ={A, I} tworzy przestrzeń liniową W określony jest iloczyn: A B = C o własnościach: (A B) C = A (B C) A (B+C )= A B+ A C (A+B) C = A C+ B C (αa) B = A (αb) = α(a B) Dla każdego operatora A istnieje operator operator I taki, że: I A = A I =A
Przestrzeń unitarna (v,w) = (w,v) * (v, α w) = α i (v,w) (v 1 +v 2,w) = (v 1,w) + (v 2,w) (v,v) 0; 0 dla v = 0 Metryka generowana przez iloczyn skalarny: d{v,w} = [ (v-w,v-w)] Zbieżność w sensie Cauchy ego {v 1,v 2,v 3,...} {v k } jest zbieżny w sensie Cauchy ego, dla każdego ε > 0 istnieje takie N, że d{v n,v m } ε, gdy n,m N
Przestrzeń Hilberta H Liniową i unitarną przestrzeń H nazywamy przestrzenią HILBERTA, gdy każdy ciąg elementów {v k } H jest zbieżny w sensie Cauchy ego do elementu, który też należy do przestrzeni H. Liniowa zależność, linowa niezależność Baza {v n }, gdy v = n α n v n Przestrzenie skończenie i nieskończenie wymiarowe
Struktury w matematyce: ALGEBRAICZNA ; (+, ) TOPOLOGICZNA; v n v Z UPORZĄDKOWANIEM; >, < Twierdzenie (Riesza-Fishera): Przestrzeń Hilberta H jest izomorficzna z C n gdy jest skończenie wymiarowa lub z L 2 gdy jest nieskończenie wymiarowa. Tak więc badanie nieskończenie wymiarowych przestrzeni Hilberta sprowadza się do badania przestrzeni L 2. Obrazem różnych mikroskopowych układów fizycznych jest jedna przestrzeń Hilberta Dla ustalonego układu fizycznego Nie wszystkie matematyczne operatory są obserwablami Przestrzeń Hilbrta nie zawiera wszystkich potrzebnych informacji W przestrzeni Hilberta są stany niefizyczne
W latach 30-tych ubiegłego wieku p. Hilberta była jedyną znaną przestrzenią topologiczną Delta Diraca - lata 20-te Teoria Dystrybucji L. Schwartz powstała w latach 1950-1951 Rigged Hilbert space (rozbudowana przestrzeń Hilberta) = Gelfand triplet Do Mechaniki Kwantowej: I.M.Gelfand, O.P Shilov ; 1964 Arno Bohm - (1966), I.J. Roberts - (1966).
Dziękuję za uwagę 34