1 Elementy analizy funkcjonalnej

M. Beśka, Dodatek 1 1 Elementy analizy funkcjonalnej 1.1 Twierdzenia o reprezentacji Zaczniemy od znanego twierdzenia Riesza Twierdzenie 1.1 (Riesz) Niech będzie zwartą przestrzenią metryczną i załóżmy, że I jest liniowym funkcjonałem na C(), który jest nieujemy tzn. I(f) 0 dla f 0. Wtedy istnieje jedyna skończona (nieujemna) miara µ na B() taka, że I(f) = f dµ, f C() Zauważmy ciągłość powyższych nieujemnych funkcjonałów I na C(). Twierdzenia Riesza zostało uogólnione na wektorowe kraty funkcji rzeczywistych określonych na dowolnym zbiorze tj. na liniowe funkcyjne przestrzenie L, które są zamknięte na maksimum, czyli jeśli f, g L, to f g L. Przykładem takiej kraty wektorowej jest C() dla zwartej przestrzeni metrycznej. Inny przykład to C b () przestrzeń ciągłych ograniczonych funkcji określonych na przestrzeni metrycznej. Zauważmy, że w tym przypadku σ(c b ()) = B(). Twierdzenie 1.2 (Daniell-tone) Niech I będzie liniowym funkcjonałem na wektorowej kracie funkcyjnej L - funkcji określonych na o własnościach: (i) Liniowy funkcjonał I jest nieujemny tzn. I(f) 0 dla f 0. (ii) Jeśli {f n } n 1 jest ciągiem w L takim, że f n 0, to I(f n ) 0. Wtedy istnieje jedyna (nieujemna) miara µ na σ(l), taka że I(f) = f dµ, f L. Zauważmy, ze twierdzenie Riesza wynika z twierdzenia Daniella-tone oraz z lematu Diniego. Definicja 1.3 Niech (, F) będzie mierzalną przestrzenią. Odwzorowanie µ : F R nazywamy skończenie addytywna funkcją zbiorów (skończenie addytywną miarą) jeśli µ( ) = 0 i jeśli dla A 1,..., A n F, n 1, parami rozłącznych mamy ( n µ A i ) = µ(a i ).

M. Beśka, Dodatek 2 Przez M 1,f := M 1,f (, F) będziemy oznaczać zbiór tych miar skończenie addytywnych µ : F [0, 1], które ponadto są unormowane tj. µ() = 1. Wariacja miary skończenie addytywnej µ definiowana jest wzorem { } µ var := sup µ(a i ) : A 1,..., A n F, n N, A i A j =, 1 i j n. Przestrzeń miar skończenie addytywnych, które mają skończoną wariację oznaczać będziemy przez ba(, F). Przedstawimy teraz konstrukcję całki względem µ ba(, F). Przez X oznaczymy przestrzeń wszystkich mierzalnych ograniczonych funkcji na (, F). Jest ona przestrzenią Banacha w normie F sup := sup F (ω), F X. ω Oznaczmy przez X 0 liniową podprzestrzeń X wszystkich funkcji prostych tj. mających postać F = a i I Ai, funkcji F gdzie n N, a i R, A 1,..., A n F są parami rozłączne. Dla takiego F całkę definiujemy następująco: F dµ := a i µ(a i ). Łatwo sprawdzić, że definicja ta nie zależy od reprezentacji F. Ponadto (1.1) F dµ F sup µ var. Ponieważ X 0 jest gęsta w X względem normy sup, to nierówność (1.1) pozwala określić całkę z funkcji należących do X, jako rozszerzenie ciągłego funkcjonału X 0 F F dµ R. Konstrukcja całki została zakończona. Zauważmy, że M 1,f ba(, F). Wtedy całkę z F X względem Q M 1,f będziemy oznaczać przez E Q [F ] := F dq. Twierdzenie 1.4 Całka (1.2) l(f ) = F dµ, F X,

M. Beśka, Dodatek 3 określa wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między ciągłymi liniowymi funkcjonałami l na X, a przestrzenią ba(, F). Dowód. Z definicji całki względem µ i nierówności (1.1) wynika, że dla każdego µ ba(, F) tak określona całka jest liniowyn i ciągłym funkcjonałem na X. W drugą stronę. Niech I będzie liniowym i ciągłym funkcjonałem na X. Określmy µ ba(, F) wzorem µ(a) := l(i A ), A F. Pokażemy ograniczoność wariacji µ. Niech A 1,..., A n F, n 1 będą parami rozłączne oraz niech ε i = ±1 dla i = 1, 2,..., n. Mamy bo µ(a i ) = l(i Ai ) = ( ) ε i l(i Ai ) = l ε i I Ai l, n ε ii Ai sup 1. Z dowolności wyboru A 1,..., A n F, n 1 dostajemy (1.3) µ var l Zauważmy, że całka względem tak określonej miary µ jest równa funkcjonałowi l na X 0. Korzystając teraz z gestości X 0 w X oraz z ciągłości całki i funkcjonału l dostajemy równość (1.2). Uwaga. Z (1.1) i (1.3) mamy równość µ var = l. Zatem odwzorowanie o którym jest mowa w twierdzeniu 4 jest liniową izometrią Uwaga. Twierdzenie 4 daje w szczególności wzajemnie jednoznaczną odpowiedniość między M 1,f, a ciągłymi liniowymi funkcjonałami l na X, takimi że l(1) = 1 oraz l(f ) 0 dla F 0. 1.2 Twierdzenia o oddzielaniu i słabe topologie Niech (, F, P ) będzie przestrzenią probabilistyczną. Wprowadzimy przestrzenie L p = L p (, F, P ) dla 0 p. Niech p (0, ] i przez L p (, F, P ) oznaczny zbiór wszystkich F mierzalnych rzeczywistych funkcji Z (inaczej zmiennych losowych) na takich, że Z p <, gdzie Z p := { E[ Z p ] 1/p, gdy 0 < p <, inf{c 0 : P { Z > c} = 0}, gdy p =.

M. Beśka, Dodatek 4 Przestrzeń L p (, F, P ) jest zbiorem wszystkich P - p.w. skończonych zmiennych losowych. W przestrzeniach L p (, F, P ), p [0, ] wprawadzamy relację równoważności Z 1 Z 2 Z 1 = Z 2, P p.w., dla Z 1, Z 2 L p (, F, P ) Wtedy L p := L p (, F, P )/, p [0, ]. Pisząc Z L p mamy na myśli, że klasa równoważności Z należy do L p. Jeśli p [1,, to L p jest przestrzenią Banacha względem normy p. Przestrzeń L 0 jest wyposażona w topologię zbieżności według P. Topologia ta jest generowana przez metrykę Zuważmy, że d nie pochodzi od normy. d(x, Y ) = E[ X Y 1], X, Y L 0. Definicja 1.5 Przestrzeń liniowa E wyposażona w topologię nazywa się topologiczną przestrzenią wektorową jeśli dla każdego x E zbiór {x} jest zbiorem domkniętym oraz odwzorowania E E (x, y) x + y E i są ciagłe. R E (α, x) αx E Oczywiście każda przestrzeń Banacha jest wektorową przestrzenią topologiczną. Twierdzenie 1.6 W topologicznej przestrzeni wektorowej E dowolne dwa rozłączne wypukłe zbiory A i B z których jeden z nich ma niepuste wnętrze mogą być oddzielone niezerowym ciągłym funkcjonałem l na E tj. l(x) l(y), x A, y B. Dla ścisłego oddzielenia zbiorów A i B potrzebne są dodatkowe założenia. Definicja 1.7 Topologiczna przestrzeń wektorowa E jest lokalnie wypukłą przestrzenią jeśli posiada bazę topologiczną składającą się ze zbiorów wypukłych. Jeśli E jest przestrzenią Banacha z normą, to otwarte kule {y E : y x < r}, x E, r > 0, stanowią topologiczną bazę E. Ponieważ kule w przestrzeni unormowanej są zbiorami wypukłymi, więc dowolna przestrzeń Banacha jest lokalnie wypukła. Przestrzeń L 0 ze zbieżnością według P nie jest lokalnie wypukła o ile P nie ma atomów.

M. Beśka, Dodatek 5 Twierdzenie 1.8 (Hahn-Banach) Niech A i B będą niepustymi, rozłącznymi i wypukłymi zbiorami lokalnie wypukłej przestrzeni E. Jeśli A jest zwarty i B jest domknięty, to istnieje ciągły liniowy funkcjonał l na E taki, że sup l(x) < inf l(y). x B y A Natychmiastowym wnioskiem z powyższego twierdzenia jest, że na przestrzeni lokalnie wypukłej zbiór E := {l : R R : l jest liniowy i ciągły} rozdziela punkty E tj. dla x, y E, x y istnieje l E taki, że l(x) l(y). Przestrzeń E nazywamy przestrzenią dualną (sprzężoną) do E. Jak wiadomo przestrzenią dualną do L p, p [1, ) jest L q, gdzie 1/q + 1/p = 1 Kolejna definicja przedstawia naturalny sposób wprowadzania topologii lokalnie wypukłej w przestrzeniach liniowych. Definicja 1.9 Niech E będzie liniową przestrzenią i niech F będzie liniową przestrzenią liniowych funkcjonałów na E, które rozdzialają punkty przestrzeni E. F-topologię na E oznaczamy przez σ(e, F ) i jest to topologia na E, której bazą (topologiczną) są zbiory postaci {y E : l i (y) l i (x) < r, i = 1,..., n}, gdzie n N, x E, l i F, 1 i n oraz r > 0. Jeśli E jest już wyposażona w topologię lokalnie wypukłą, to E -topologię oznaczaną symbolem σ(e, E ) nazywamy słabą topologią na E. Jeśli E jest przestrzenią nieskończenie wymiarową, to na ogół słaba topologia nie jest metryzowalna. Poniższe stwierdzenie podaje podstawowe własności F -topologii. twierdzenie 1.10 Przy założeniach jak w powyższej definicji, mamy (i) Przestrzeń E jest lokalnie wypukłą przestrzenia dla F -topologii. (ii) F -topologia jest najuboższą topologią na E dla której każdy l F jest ciagły. (iii) Dualna przestrzeń do E w F -topologii jest równa F. Twierdzenie 1.11 Niech E będzie lokalnie wypukłą przestrzenią, a A E zbiorem wypukłym. Wtedy A jest domknięty w słabej topologii wtedy i tylko wtedy, gdy jest domknięty w wyjściowej topologii.

M. Beśka, Dodatek 6 Dowód. Niech A będzie zbiorem domkniętym w wyjściowej topologii. Z twierdzenia 10 zbiór A jest przekrojem półprzestrzeni H = {l c} takich, że A H, a stąd domkniętym w słabej topologii σ(e, E ). Odwrotne twierdzenie jest oczywiste. Niech E będzie przestrzenią lokalnie wypukłą. Możemy elementy E rozważać jako liniowe funkcjonały na E definiując dla x E liniowy funkcjonał wzorem: x(l) := l(x), l E. E-topologię σ(e, E) otrzymaną w ten sposób nazywamy -słabą topologią na E. Z punktu (iii) stawierdzenia 12 wynika, że E jest przestrzenią dualną do E z topologią σ(e, E). Na przykład L jest przestrzenią dualną do L 1 w topologii generowanej przez normę. Odwrotne twierdzenie nie jest prawdziwe. Jeśli jednak L wyposażymy w -słaba topologię σ(l, L 1 ), wtedy L 1 jest przestrzenią dualną do L z -słabą topologią. Powód dla którego rozważamy słabe topologie w przestrzeniach Banacha czy w przestrzeniach lokalnie wypukłych wynika z tego, że w słabych topologiach mamy więcej zbiorów zwartych niż topologiach wyjściowych. Jak wiadomo przestrzeń Banacha (E, E ) definiuje normę na przestrzeni E wzorem l E := sup l(x), l E. x E 1 Twierdzenie 1.12 (Banach-Alaoglu) Niech E będzie przestrzenia Banach z dualną E. Wtedy {l E : l E r} jest -słabo zwartym zbiorem dla każdego r 0 Twierdzenie 1.13 (Krein-Šmulian) Niech E będzie przestrzenią Banacha i niech A będzie wypukłym podzbiorem E. Wtedy A jest - słabo domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy A {l E : l E r} jest -słabo domknięty dla każdego r > 0. Powyższe twierdzenie implikuje nastepującą charakteryzację -słabo domkniętych zbiorów w L = L (, F, P ), gdzie (, F, P ) jest przestrzenią probabilistyczną. Lemat 1.14 Wypukły zbiór A L jest -słabo domknięty jeśli dla każdego r > 0 zbiór jest domknięty w L 1. A r := A {X L : X r}

M. Beśka, Dodatek 7 Dowód. Ponieważ z założenia A r jest zbiorem wypukłym i domkniętym w L 1, więc z twierdzenia 13 jest słabo domknięty w L 1. Ponieważ naturalne zanurzenie (L, σ(l, L 1 )) (L 1, σ(l 1, L )) jest ciągłe, więc zbiór A r jest σ(l, L 1 )-domknięty w L. tąd i z twierdzenia Kreina- Šmuliana dostajemy tezę. Na koniec tego paragrafu podamy kilka faktów o słabo zwartych zbiorach w przestrzeniach Banacha. Twierdzenie 1.15 (Eberlein-Šmulian) Niech E będzie przestrzenią Banacha. Dla każdego A E następujące warunki są równoważne: (a) Zbiór A jest słabo ciągowo zwarty tj. zbieżny w E. każdy ciąg w A ma podciąg, który jest słabo (b) Zbiór A jest słabo relatywnie zwarty tj. słabe domknięcie A jest słabo zwartym zbiorem. Kolejny rezultat podaje charakteryzację słabo relatywnie zwartych zbiorów w L 1. Wynika z niej w szczególności słaba zwartość w L 1 zbioru postaci {f L 1 : f g} dla g L 1. Twierdzenie 1.16 (18), (Dunford-Pettis) Zbiór A L 1 jest słabo relatywnie zwarty w L 1 wtedy i tylko wtedy, gdy jest ograniczony oraz jednostajnie całkowalny. 1.3 Przestrzenie miar Niech będzie przestrzenią topologiczną. Przestrzeń nazywamy metryzowalną jeśli istnieje metryka d na, która generuje topologię na tzn. otwarte kule B ε (x) := {y : d(x, y) < ε}, x, ε > 0, stanowią bazę topologiczną w. Wtedy U jest zbiorem otwartym wtedy i tylko wtedy, gdy U jest sumą kul w metryce d. Jak wiadomo w przestrzeniach metrycznych ich własności topologiczne można charakteryzować w terminach zbieżnych ciągów. Np. A jest zbiorem domkniętym wtedy i tylko wtedy, gdy każdy ciąg zbieżny w A ma granicę w A. Będziemy zawsze zakładać, że jest metryczna i ośrodkowa. Wtedy σ-algebra zbiorów borelowskich B() jest generowana przez otwarte kule B ε (x), gdzie ε > 0, ε Q oraz x należy do ośrodka (ośrodek - podzbiór przeliczalny i gęsty).

M. Beśka, Dodatek 8 Przez C b () będziemy oznaczać zbiór wszystkich ograniczonych i ciągłych funkcji na. Oznaczmy M() := M(, B), gdzie B := B() zbiór wszystkich nieujemnych skończonych miar na (, B). Przestrzeń wszystkich probabilistycznych miar na (, B) będziemy oznaczać przez M 1 () := M 1 (, B). Definicja 1.17 łabą topologią na M() nazywamy najuboższą topologię dla której wszystkie odwzorowania M() µ f dµ, f C b (), są ciągłe. Z powyższej definicji wynika, że zbiory n { U ε (µ; f 1,..., f n ) := ν M() : f i dν } f i dµ < ε, gdzie µ M(), ε > 0, n N oraz f 1,..., f n C b () stanowią bazę dla słabej topologii w M(). Ponieważ funkcja f 1 jest ciągła i ograniczona na, więc M 1 () jest domkniętym podzbiorem M(). Przykład. Niech = R. Określmy Jest oczywiste, że µ n := n 1 n δ 0 + 1 n δ n oraz µ = δ 0. f dµ n n f dµ dla wszystkich f C b (). tąd µ n jest zbieżny w słabej topologii do µ. Jeśli weźniemy funkcję ciągłą i nieograniczoną np. f(x) = x, wtedy f dµ n = 1 oraz f dµ n = 1 0 = f(0) = f dµ. lim n Twierdzenie 1.18 Przestrzeń M() jest ośrodkowa i metryzowalna w słabej topologii. Jeśli jest przestrzenią polską, to M() też jest. Ponadto, jeśli 0 jest gęstym i przeliczalnym podzbiorem, to zbiór { } α i δ xi : α i Q +, x i 0, n N miar dyskretnych na 0 z nieujemnymi wymiernymi wagami jest gęsty w M() w słabej topologii.

M. Beśka, Dodatek 9 Twierdzenie 1.19 Dla dowolnego ciągu µ, µ 1, µ 2,... miar z M(), następujące warunki są równoważne: (a) Ciąg {µ n } n 1 jest słabo zbieżny do µ. (b) µ n () µ() i lim sup n µ n (A) µ(a) dla każdego domkniętego A. (c) µ n () µ() i lim inf n µ n (U) µ(u) dla każdego otwartego A. (d) µ n (B) µ(b) dla każdego zbioru borelowskiego B takiego, że µ( B) = 0. (e) f dµ n f dµ dla każdej ograniczonej mierzalnej funkcji f która jest µ-p.w. ciągła. (f) f dµ n f dµ dla każdej ograniczonej jednostajnie ciągłej funkcji f. Na zakończenie podamy podstawową charakteryzację relatywnie zwartych podzbiorów M() znaną jako Twierdzenie Prohorova. Twierdzenie 1.20 (Prohorov) Niech będzie polską przestrzenią. Podzbiór M M() jest relatywnie zwarty w słabej topologii wtedy i tylko wtedy, gdy sup µ() < µ M oraz jest ciasny tj. dla każdego ε > 0 istnieje zwarty podzbiór K taki, że sup µ(k ) ε. µ M W szczególności M 1 () jest słabo zwarty jeśli jest zwartą przestrzenią metryczną. Przykład. Pokażemy, że M 1 (, F) M 1,f (, F). Niech {A n } n 1 będzie rozbiciem mierzalnym zbioru. Dla każdego n 1 ustalmy ω n A n i określmy funkcjonały l n : X R wzorem l n (X) := 1 X(ω i ) = X dµ n, n 1, n gdzie µ n = 1 n n δ ω i. tąd l n, n 1 są funkcjonałami liniowymi i ciagłymi oraz l n = µ n var = 1. Zatem l n dla n 1 należą do B 1 domkniętej (w normie) kuli jednostkowej (o środku w zerze) w przestrzeni dualnej X. Z twierdzenia Banacha-Alaoglu istnieje punkt skupienia l ciągu {l n } n 1 w -słabej topologii σ(x, X ). Dla każdego X X istnieje

M. Beśka, Dodatek 10 podciąg {n k } k 1 taki, że l nk (X) l(x). tąd l(x) 0 dla X 0 oraz l(1) = 1. Z twierdzenia 4 (o reprezentacji ) istnieje µ M 1,f takie, że l(x) = E µ [X]. Ale µ nie jest ) σ-addytywna, bo µ(a n ) = l(i An ) = 0 oraz µ( n=1 A n = µ() = 1, co daje sprzeczność. 1.4 Transformata Fenchel a-legendre a Na poczatku podamy definicję i własności właściwie wypukłych funkcji rzeczywistych Definicja 1.21 Funkcję f : R R {+ } nazywamy właściwie wypukłą funkcją jeśli f(x) < dla pewnego x R oraz f(αx + (1 α)y) α f(x) + (1 α) f(y), x, y R, α [0, 1]. Efektywna dziedzina f jest oznaczana przez dom(f) i składa się z tych x R dla których f(x) <. Zauważmy: 1. Efektywna dziedzina funkcji właściwie wypukłej jest przedziałem = dom(f) na R. 2. Jeśli rozważamy f : R, to f jest funkcja wypukłą w zwykłym sensie. 3. Każdą funkcję wypukłą określoną na przedziale R można rozszerzyć do funkcji właściwie wypukłej określonej na R, przyjmując f(x) = + dla x R \. Twierdzenie 1.22 Niech f będzie funkcją właściwie wypukłą oraz nich D = Int(dom(f)) (i) Funkcja f jest półciągła z góry na dom(f) oraz lokalnie lipschitzowska na D. (ii) Funkcja f posiada jednostronne pochodne f (y) i f +(y) dla y D. Obie pochodne f i f + są niemalejące oraz f f +. (iii) Prawostronna pochodna f + jest prawostronnie ciągła, lewostronna pochodna f jest lewostronnie ciągła. (iv) Funkcja f jest różniczkowalna p.w. na D oraz dla każdego x 0 D mamy f(x) = f(x 0 ) + x x 0 f +(y) dy = f(x 0 ) + x x 0 f (y) dy, x D. Definicja 1.23 Transformatę Fenchel a-legendre a funkcji f : R R {+ } określamy wzorem f (y) := sup(y x f(x)), y R. x R

M. Beśka, Dodatek 11 Jeśli f +, to f jest właściwie wypukłą funkcją i półciągłą z dołu jako supremum funkcji afinicznych y yx f(x). W szczególności f jest ciągła na swojej efektywnej dziedzinie. Jeśli f jest właściwie wypukłą funkcją, to f nazywamy funkcją sprzężoną do f. Twierdzenie 1.24 Niech f będzie właściwie wypukłą funkcją. (a) Dla x, y R xy f(x) + f (y) z równością jeśli x Int(dom(f)) oraz y [f (x), f +(x)] (b) Jeśli f jest półciągła z dołu, to f = f tj. f(x) := sup(x y f (y)), x R. y R Niech E będzie przestrzenią lokalnie wypukłą Definicja 1.25 Transformatę Fenchel a-legendre a funkcji f : E R {+ } określamy wzorem f (l) := sup(l(x) f(x)), l E. x E Jeśli f +, to f jest właściwie wypukłą funkcją i półciągłą z dołu jako supremum funkcji afinicznych. Jeśli f jest właściwie wypukłą funkcją, to f nazywamy funkcją sprzężoną do f. Zachodzi nastepujące uogólnienie twierdzenia 26(b). Twierdzenie 1.26 Niech f właściwą funkcją wypukłą na lokalnie wypukłej przestrzeni E. Jeśli f jest półciagła z dołu w słabej topologii σ(e, E ), to f = f