Funkcje analitycne Wykład 3. Zastosowanie achunku esiduów do owiąywania poblemów analiy ecywistej Paweł Mlecko Funkcje analitycne ok akademicki 8/9 Plan wykładu W casie wykładu omawiać będiemy astosowanie metod analiy espolonej w scególności twiedenia o esiduach do owiąywania poblemów analiy ecywistej, w tym najdowania watości całek niewłaściwych najdowania sum seegów licbowych najdowania całek Riemanna funkcji tygonometycnych.. Oblicanie całek niewłaściwych Całka niewłaściwa: definicja Niech f : R R będie funkcją całkowalną na dowolnym pediale. Jeśli poniżsa ganica istnieje a f d, to naywamy ją całką niewłaściwą funkcji f. Podobnie definiujemy całkę niewłaściwą b f d. Jeśli obie ganice b f d oa b f d istnieją, to całkę niewłaściwą f d definiujemy następująco f d = b f d + b f d b R. Watość główna całki Niech f : R R. Jeśli poniżsa ganica f d istnieje, to naywamy ją watością główną całki i onacamy p.v. f d. Jeśli całka niewłaściwa istnieje, to istnieje ównież watość główna całki oa p.v. f d = f d.
Oblicanie całki niewłaściwe: pykład Zadanie. Posę oblicyć + 4 d. Zauważmy, że całka powyżsa istnieje tn. odpowiednia ganica istnieje i jest skońcona, więc p.v. + 4 d = + 4 d. Oblicanie całki niewłaściwe: opis poceduy Będiemy całkować funkcję + 4 d. C + 4 d = + 4 d + γ + 4 d wdłuż kywej amkniętej ja na ysunku obok. Pokażemy, że całka po gónym półokęgu γ dąży do ea, gdy dąży do nieskońconości. Oblicymy powyżsą całkę koystając np. twiedenia o esiduach. γ Oblicanie całki niewłaściwe: sacowanie γ + 4 d γ Skoystamy nieówności ML oa nieówności tójkąta a b a b. Mamy γ + 4 d γ sup γ + 4 = π sup γ + 4 π sup γ 4 π sup γ 4 3 4 Oblicanie całki niewłaściwe: twiedenie o esiduach Funkcja + 4 ma jeden punkt osobliwy w gónej półpłascyźnie: = i jest to biegun dugiego ędu. Stąd es + 4, = = i + i + i = 8i
Z twiedenia o esiduach wynika tea, że C + 4 d = πi es + 4, = π 4. Zatem + 4 d = π 4. Lemat Jodana Klucowe w sukcesie metody jest fakt, że γ + 4 d. Zauważmy, że sacowanie, któe pepowadiliśmy jest uniwesalne dla funkcji wymienych, o ile tylko stopień wielomianu w licniku jest więksy o co najmniej dwa. Jeśli tak nie jest, wówcas casami daje się astosować tw. lemat Jodana. Niech f będie funkcją espoloną ciągłą na gónym półokęgu C R = {Re iθ : θ [, π]}. Jeśli f jest postaci gdie a >, to f = e ia g, C R, f d π C R a M R gdie M R := ma g Re iθ. θ [,π] Oblicanie całek niewłaściwych Zadanie. Posę oblicyć d. Zauważmy, że funkcja jest paysta, więc d = d Oblicanie całek niewłaściwych Scałkujmy funkcję ei wdłuż kywej C pedstawionej na ysunku obok. Z twiedenia Cauchy ego i tego, że powyżsa funkcja jest holomoficna w obsae oganiconym kywą oa własności całki kywoliniowej otymujemy: = Dla kywych C oa C mamy C e i C d + e i C d = e i C d + e i C d + e i CR d + e i d C e i C e i C e i d = d = d = R R R e i d = R e i d e i e i C C e i R e i d = d R d = i d. C C R 3
Oblicanie całek niewłaściwych Zauważmy, że e i = n= i n n n! i n n = n! n= = n= i n+ n n +! = + n= i n+ n+ n +! Stąd Mamy atem C e i d = = = i e i C R d + C e i n= d = d + d πi + i n+ n+ n +! C e i d = πi + C e i n= i n+ n+ n +! CR e i d + d + d i n+ n+ e d + n +! CR i d n= d Oblicanie całek niewłaściwych Zauważmy, że C gdyż funkcja n= in+ n+ n+! n= i n+ n+ n +! d π n= i n+ n+ n +! =, jest holomoficna na płascyźnie. Ponadto lematu Jodana wynika, że e R CR i d =. Zatem więc + R R i d = πi, d = π. Oblicanie sum seegów Oblicanie sum seegów: pykład Zadanie 3. Posę oblicyć n= n = π 6. Powyżsą sumę można oblicyć koystając m.in. metod analiy seegów Fouiea. Wskażemy inny sposób odwołujący się do achunku esiduów. 4
Oblicanie sum seegów Ropatymy cos π sin π d. Zauważmy, że w każdym punkcie = ±, ±,..., ±N funkcja pod całką ma biegun piewsego ędu, natomiast w = istnieje biegun ędu teciego. N + N N N + Dla k = ±, ±,..., ±N mamy cos π es sin π, k cos π = k k sin π = cos πk k π k k π sinπ k = πk Jeśli =, to można policyć, że cos π es sin π, = π 3. Oblicanie sum seegów Skoystamy tea twiedenia o esiduach cos π sin π d = πi π 3 + N k= N πk = πi π n 3 + πk k= Aby akońcyć dowód wystacy auważyć koystając nieówności ML, że cos π sin π d cos π 8N + sup 8N + cos π sin π N sup sin π 8N + N M N gdyż cos π sin π jest oganicona na dość technicne!. Zatem n= n = N N k= k = π 6. Oblicanie sum seegów: opis poceduy Twiedenie. Jeśli f A, to n= fn = π k n= n fn = π k cos π es f sin π, k es f sin π, k 5
3. Oblicanie całek Riemanna funkcji awieających funkcje tygonometycne Oblicanie całek Riemanna: pykład Zadanie 4. Posę oblicyć całkę gdie a >. π a + cos d, Całkę można oblicyć koystając tw. podstawienia uniwesalnego cos = t t d = t + dt. Zapeentujemy ogólną metodę koystającą twiedenia o esiduach. Oblicanie całek Riemanna: obsewacja f d = i = = e it d = ie it dt = idt d i = dt = Oblicanie całek Riemanna: opis poceduy Załóżmy, że mamy do oblicenia całkę π gdie, y R, y jest funkcją wymieną. R, cos d, π Koystając e woów Eulea, wykonujemy następujące podstawienia fe it dt cos t = eit + e it sin t = eit e it i = + =. i Wówcas π Rsin t, cos t dt = = R, + d i i Oblicanie całek Riemanna: pykład Mamy π π a + cos d = = d, gdie a > a + cos a + + d i = d i = a + + = d i = + a + = i πi es + a +, a + a = π a, 6
gdyż + a + = wtedy i tylko wtedy, gdy = a ± a, ale a a nie należy do dysku. 7