Kurs wyrównawczy - teoria funkcji holomorficznych wykład 1 Gniewomir Sarbicki 15 lutego 2011
Struktura ciała Zbiór par liczb rzeczywistych wyposażamy w działania: { + : (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) : (a, b) (c, d) = (ac bd, ad + bc) elementem odwrotnym do elementu z = (a, b) jest z 1 = (a, b) a 2 +b 2 jest on określony dla każdego niezerowego z. i Zbiór par C z tak określonymi działaniami jest ciałem nazywanym ciałem liczb zespolonych.
Struktura ciała Liczby zespolone reprezentowane przez pary (a, 0) nazywamy rzeczywistymi, liczby zespolone reprezentowane przez pary (0, b) nazywamy urojonymi, Liczbę (0,1) nazywamy jednostką urojoną i oznaczmy jako i. Przy jej pomocy można zapisywać liczbę (a, b) jako a + bi
Struktura metryczna W zbiorze liczb zespolonych definiuje się funkcję : C [0, ) wzorem a + bi = a 2 + b 2 nazywaną modułem. Funkcja ta ma następujące własności: z 1 + z 2 z 1 + z 2 z = 0 z = 0 α R + αz = α z i jest normą (długością) w zbiorze liczb zespolonych. Odległość dwóch liczb zespolonych z 1 i z 2 definiujemy jako z 1 z 2. Struktura metryczna zbioru liczb zespolonych jest identyczna jak zbioru R 2 wyposażonego w metrykę euklidesową.
Struktura metryczna Dalsze własności modułu: z 1 z 2 z 1 z 2 z 1 + z 2 z 1 z 2 = z 1 z 2 z 2 0 z 1 z 2 = z 1 z 2 Zdefiniujmy funkcje: { Re : C R Re(a + bi) = a Im : C R Im(a + bi) = b Re(z), Im(z) z = Re 2 (z) + Im 2 (z) Re(z) + Im(z) ( ) Re(z) 2 ( ) z + Im(z) 2 z = 1
Moduł i argument ( ) Re(z) 2 ( ) Im(z) 2 + = 1 z z { Re(z) = z cos φ Im(z) = z sin φ Sprzężenie zespolone: z = a + bi = z e iφ z = a bi = z e iφ z = z (cos φ + i sin φ) = z e iφ Mnożenie dwóch liczb zespolonych: z 1 z 2 = z 1 z 2 e i(φ 1+φ 2 ) Dzielenie dwóch liczb zespolonych: z 1 = z 1 z 2 z 2 ei(φ 1 φ 2 )
Funkcje zmiennej zespolonej Funkcja zespolona f : C C odwzorowuje punkty płaszczyzny zespolonej w punkty płaszczyzny zespolonej. (Cztery wymiary do narysowania wykresu!) Funkcję można potraktować jako funkcję R 2 R 2 : [ ] fr (x, y) f (x + iy) = f i (x, y) f (z) = (z2 1)(z 2 i) 2 z 2 +2+2i
Pochodna zespolona Ciąg liczb zespolonych z n jest zbieżny do granicy z 0 z n z 0 0 (jak dla ciągów w R 2 ) Pochodną zespoloną definiujemy jako granicę funkcji f (z 0 ) = lim z z0 f (z) f (z 0 ) z z 0 Funkcja jest różniczkowalna w punkcie jeżeli ta granica istnieje jej wartość jest niezależna od drogi po jakiej z zbiega do z 0. (definicja Heinego istnienia granicy funkcji, tutaj ilorazu różnicowego)
Warunek konieczny różniczkowalności f (z) f (z 0 ) lim z z 0 z z 0 f r (z) f r (z 0 ) = lim z z0 z z 0 + i lim z z0 f i (z) f i (z 0 ) z z 0 Zapiszmy z = x + iy i rozważmy dwie drogi podchodzenia do punktu z 0. Jedną przy ustalonym x (części rzeczywistej), drugą przy ustalonym y (części urojonej). f r (x 0, y) f r (x 0, y 0 ) f i (x 0, y) f i (x 0, y 0 ) lim + i lim y y 0 i(y y 0 ) y y 0 i(y y 0 ) = i f r y (x 0, y 0 ) + f i y (x 0, y 0 ) f r (x, y 0 ) f r (x 0, y 0 ) f i (x, y 0 ) f i (x 0, y 0 ) lim + i lim x x 0 x x 0 x x0 x x 0 = f r x (x 0, y 0 ) + i f i x (x 0, y 0 )
Warunek konieczny różniczkowalności Warunki Cauchy ego-riemanna: f r x = f i y f i = f r x y Jeżeli funkcja jest różniczkowalna w punkcie z 0, to pochodne cząstkowe jej części rzeczywistej i urojonej po rzeczywistej i urojonej części argumentu spełniają warunki Cauchy ego-riemanna
Warunek konieczny różniczkowalności Przykład: Niech f (z) = z. [ x f (x,y) f = r y f r x f i y f i ] = [ 1 0 0 1 ] Funkcja nie jest różniczkowalna w żadnym punkcie. Podobnie każda funkcja odwołująca się do sprzężenia czy do części rzeczywistej lub urojonej (sprawdzić jako proste ćwiczenie).
Warunek dostateczny różniczkowalności Twierdzenie: (warunek dostateczny rożniczkowalności) Jeżeli funkcja f określona na pewnym otoczeniu otwartym U punktu z 0 spełnia warunki Cauchy ego-riemanna w z 0 oraz pochodne x f r, y f r, x f i, y f i są ciągłe w z 0, to funkcja f jest różniczkowalna w sensie zespolonym w punkcie z 0
Warunek dostateczny różniczkowalności Twierdzenie: (warunek dostateczny rożniczkowalności) Jeżeli funkcja f określona na pewnym otoczeniu otwartym U punktu z 0 spełnia warunki Cauchy ego-riemanna w z 0 oraz pochodne x f r, y f r, x f i, y f i są ciągłe w z 0, to funkcja f jest różniczkowalna w sensie zespolonym w punkcie z 0 Dowód: Obliczmy przyrost składowej f r, gdy z = x + i y: f r = f r (x 0 + x + i(y 0 + y)) f r (x 0 + iy 0 ) = f r (x 0 + x + i(y 0 + y)) f r (x 0 + iy 0 + i y) + f r (x 0 + iy 0 + i y) f 1 (x 0 + iy 0 ) = y f r (x 0 + x + iy 0 ) y + ɛ ry y + x f r (x 0 + iy 0 ) x + ɛ rx x + ɛ ry y Gdzie ɛ ry, ɛ rx 0 dla y, x 0 (użycie rozwinięcia w szereg możliwe dzięki ciągłości pochodnej w z 0 )
Warunek dostateczny różniczkowalności Twierdzenie: (warunek dostateczny rożniczkowalności) Jeżeli funkcja f określona na pewnym otoczeniu otwartym U punktu z 0 spełnia warunki Cauchy ego-riemanna w z 0 oraz pochodne x f r, y f r, x f i, y f i są ciągłe w z 0, to funkcja f jest różniczkowalna w sensie zespolonym w punkcie z 0 Dowód: Ponieważ y f r (x 0 + x + iy 0 ) = y f r (x 0 + iy 0 ) + ɛ r0, gdzie ɛ r0 0 dla x 0 można to zapisać: f r = y f r (x 0 + iy 0 ) y + (ɛ ry + ɛ r0 ) y + x f r (x 0 + iy 0 ) x + ɛ rx x
Warunek dostateczny różniczkowalności Twierdzenie: (warunek dostateczny rożniczkowalności) Jeżeli funkcja f określona na pewnym otoczeniu otwartym U punktu z 0 spełnia warunki Cauchy ego-riemanna w z 0 oraz pochodne x f r, y f r, x f i, y f i są ciągłe w z 0, to funkcja f jest różniczkowalna w sensie zespolonym w punkcie z 0 Dowód: Ponieważ y f r (x 0 + x + iy 0 ) = y f r (x 0 + iy 0 ) + ɛ r0, gdzie ɛ r0 0 dla x 0 można to zapisać: f r = y f r (x 0 + iy 0 ) y + (ɛ ry + ɛ r0 ) y + x f r (x 0 + iy 0 ) x + ɛ rx x i tak samo dla przyrostu składowej urojonej: f i = y f r (x 0 + iy 0 ) y + (ɛ iy + ɛ i0 ) y + x f i (x 0 + iy 0 ) x + ɛ ix x
Warunek dostateczny różniczkowalności Otrzymujemy w efekcie: f = f 1 + i f 2 = y f r (x 0 + iy 0 ) y + ɛ ry y + x f r (x 0 + iy 0 ) x + ɛ rx x + i ( y f i (x 0 + iy 0 ) y + ɛ iy y + x f i (x 0 + iy 0 ) x + ɛ ix x) Ponieważ spełnione są warunki Cauchy ego-riemanna: f = x f r (x 0 + iy 0 )( x + i y) + (ɛ rx + ɛ ix ) x + i x f i (x 0 + iy 0 )( x + i y) + ( ɛ iy + i ɛ ry ) y [ ] Stąd: f z = xf r (z 0 ) + i x f i (z 0 ) + x z (ɛ rx + ɛ ix ) + y z ( ɛ iy + i ɛ ry ) Ponieważ w ostatnim składniku moduły ułamków są zawsze mniejsze od 1, zmierza on do zera, gdy x, y 0 (z własności epsilonów).
Warunek dostateczny różniczkowalności Robiąc przejście graniczne z 0 otrzymujemy: f (z 0 ) = x f r (z 0 ) + i x f i (z 0 ), co odpowiada granicy uzyskiwanej przy zmierzaniu do z 0 przy ustalonej częsci urojonej argumentu. Wynik ten uzyskaliśmy nie zakładając nic o drodze po jakiej z zmierza do z 0, zatem granica ta jest taka sama dla wszystkich ciągów zbieżnych do z 0, zatem funkcja jest różniczkowalna w z 0.
Funkcje holomorficzne Definicja: Holomorficzność funkcji Funkcja f jest holomorficzna w punkcie z 0, jeżeli różniczkowalna w sensie zespolonym na pewnym otoczeniu otwartym punktu z 0. Przykład: f (z) = z. Zapiszmy tą funkcję jako funkcję rzeczywistą o dwóch składowych dwóch zmiennych rzeczywistych: f (x + iy) = x + iy f r (x, y) = x, f i (x, y) = y [ ] 1 0 f = 0 1 Ćwiczenie: Funkcja stała jest holomorficzna Warunki C-R są spełnione. Pochodne są stałe, zatem są ciągłe. Funkcja jest wszędzie różniczkowalna, zatem wszędzie holomorficzna.
Funkcje holomorficzne Przykład: f (z) = 1 z. x f r (x) = x 2 + y 2 f i (y) = y x 2 + y 2 f = y 2 x 2 2xy (x 2 +y 2 ) 2 (x 2 +y 2 ) 2 2xy y 2 x 2 (x 2 +y 2 ) 2 (x 2 +y 2 ) 2 Warunki C-R są spełnione, a pochodne są ciągłe wszędzie poza punktem 0. Funkcja jest holomorficzna wszędzie poza punktem 0.
Funkcje holomorficzne Twierdzenie: Suma, różnica i iloczyn funkcji holomorficznych są holomorficzne Wniosek: (z holomorficzności funkcji f(z)=z i twierdzenia) n 1 funkcja z n jest holomorficzna Wniosek: Dowolny wielomian jest funkcją holomorficzną.
Funkcje holomorficzne Fakt: Funkcja wykładnicza jest funkcją holomorficzną. e z = z n n=0 n!. Szereg ten jest zbieżny dla każdego z. Różniczkując ten szereg po z dostaniemy ten sam szereg, zatem dla każdego z pochodna zespolona istnieje. Wniosek: Funkcje trygonometryczne są holomorficzne. Jako kombinacje funkcji wykładniczych.