METODA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY KOLEJOWEJ

Problemy Kolejnictwa Zeszyt 5 97 Prof. dr hab. inż. Władysław Koc Politechnia Gdańsa METODA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY KOLEJOWEJ SPIS TREŚCI. Wprowadzenie. Ogólna ocena sytuacji geometrycznej 3. Przyjęcie loalnego uładu współrzędnych 4. Oreślenie podstawowych danych do projetowania 5. Procedura projetowania rejonu zmiany ierunu trasy 6. Przyład obliczeniowy 7. Podsumowanie STRESZCZENIE Zastosowanie ciągłych pomiarów satelitarnych toru olejowego z antenami zainstalowanymi na poruszającym się pojeździe szynowym, powoduje potrzebę opracowania nowej metody projetowania uładów geometrycznych toru. Ponieważ ształtowanie ierunów prostych trasy na podstawie taich pomiarów nie sprawia żadnych trudności, w pracy supiono się na westii projetowania odcinów położonych w łuu. Założono, że projetowanie uładu geometrycznego będzie się odbywać w odpowiednim roboczym uładzie współrzędnych, by następnie na drodze odpowiedniej transformacji przenieść uzysane rozwiązanie do uładu globalnego. Przedstawiono cały to postępowania wraz z wyprowadzaniem odpowiednich zależności teoretycznych. Całość zilustrowano przyładami obliczeniowymi, w tórych wyorzystano dane uzysane z istniejącej linii olejowej.. WPROWADZENIE W połowie 008 rou nastąpiło w naszym raju uruchomienie Atywnej Sieci Geodezyjnej ASG-EUPOS, będącej narodową siecią permanentnych stacji GNSS []. Oferuje ona serwisy dla geodezji i nawigacji oraz pozwala na wyznaczenie położenia w dowolnym miejscu w raju z doładnościami na poziomie 3 cm. Oznaczało to możliwość

98 W. Koc efetywnego wyorzystania systemu GPS w pomiarach inwentaryzacyjnych linii olejowych. W związu z zaistniałą sytuacją, zespół badawczy Politechnii Gdańsiej, Aademii Marynari Wojennej w Gdyni, Załadu Linii Kolejowych PKP PLK S.A. w Gdyni oraz firmy Leica Geosystems przeprowadził na początu 009 rou esperyment pomiarowy polegający na objeździe iludziesięcioilometrowego odcina linii olejowej ciągniiem szynowym WM-5 z przyczepą (wagonem-platformą) PWM-5, na tórej zostały zainstalowane cztery anteny do pomiarów satelitarnych GPS, rejestrujące współrzędne z częstością 0 Hz oraz doładnościami wyznaczenia współrzędnych płasich na poziomie 3 cm [6]. W 00 rou dwie podobne ampanie pomiarowe (w innych loalizacjach) zostały zrealizowane ponownie, przy czym ich metodya została odpowiednio zmodyfiowana. Wyznaczone współrzędne puntów WGS-84 transformowano do państwowego uładu odniesień przestrzennych 000 [8]. Uzysane wynii pomiarów upoważniają do postawienia tezy, że zastosowana technia pomiarowa, już na obecnym etapie jej rozwoju, otwiera zupełnie nowe perspetywy. Jej wyorzystanie umożliwia bardzo precyzyjne oreślenie podstawowych danych do projetowania modernizacji linii olejowej (ierunów głównych trasy i jej ąta zwrotu), a taże ze stosunowo niewielim błędem współrzędnych istniejącej osi toru. Odtworzenie ierunów prostych trasy (i oreślenie występujących na nich deformacji poziomych) na podstawie pomiarów satelitarnych nie sprawia właściwie żadnych trudności. Bardziej złożona jest westia oceny odcinów położonych w łuu. Omawiana technia pozwala na odtworzenie rejonu zmiany ierunu trasy (łui ołowe i rzywe przejściowe) w dostosowaniu do wymagań projetu modernizacji [4]. Powstała sytuacja wymaga jedna podjęcia działań nad stworzeniem procedury projetowania dostosowanej do nowej technii pomiarowej [3].. OGÓLNA OCENA SYTUACJI GEOMETRYCZNEJ W wyniu pomiarów satelitarnych otrzymujemy zbiór współrzędnych Y i, X i puntów położonych w osi toru, oreślonych w państwowym uładzie odniesień przestrzennych 000. Przedstawienie ich w formie graficznej pozwala na ogólną ocenę sytuacji geometrycznej. Na rysunu poazano wybrany fragment uładu geometrycznego obejmujący dwa odcini proste i zawarty pomiędzy nimi łu wyorąglający (wyraźnie zdeformowany). W tym miejscu należy zauważyć, że o ile pomiary satelitarne na odcinach prostych toru są przeprowadzane bardzo precyzyjnie, to na odcinach położonych w łuach pojawia się dodatowy błąd pomiarowy wyniający z poprzecznego odchylenia anten na platformie od osi toru na sute występowania przechyłi. Odchylenie to (oznaczone jao δ) zależy od wartości przechyłi h oraz wysoości h a zainstalowania anten nad płaszczyzną toru i jest oreślone wzorem

Metoda projetowania rejonu zmiany ierunu trasy olejowej 99 Rys.. Przyładowy fragment trasy olejowej w uładzie państwowym 000 gdzie: δ = s h + h h s s s rozstaw osi toów szynowych. a (.) Pierwszy człon we wzorze (.) jest pratycznie nieistotny, natomiast błąd δ można by znacznie zmniejszyć obniżając wysoość zainstalowania anten. Jedna w ażdym przypadu precyzyjne oreślanie położenia osi toru w łuu wymagałoby jednoczesnego pomiaru przechyłi. Z pratycznego puntu widzenia nie wydaje się to jedna onieczne. Odcini proste pozwalają bowiem na bardzo doładne oreślenie podstawowej danej do projetowania ąta zwrotu trasy. Pomierzone współrzędne osi toru na łuu, mimo że są obarczone pewnym błędem, w zupełności wystarczą do oszacowania występujących wartości parametrów uładu rzywoliniowego. Wzór (.) może się natomiast oazać przydatny podczas weryfiacji uzysanego rozwiązania projetowego przy porównywaniu nowo zaprojetowanych rzędnych z rzędnymi uładu istniejącego. Rzędne istniejące będzie można wówczas orygować wyorzystując wartość zaprojetowanej przechyłi. Pomierzone współrzędne prostej z lewej strony rozpatrywanego uładu geometrycznego (rys. ) i prostej z prawej strony tegoż uładu, możemy wyorzystać do wyznaczenia metodą najmniejszych wadratów równań obu prostych w uładzie Y, X w postaci X = A + B Y. Z puntu widzenia poszuiwań rzeczywistego ierunu trasy luczową, wartość stanowi tutaj współczynni nachylenia prostej B = tan ϕ. Wyznaczenie ątów nachylenia ϕ i ϕ obu prostych względem osi Y pozwala na oreślenie ąta zwrotu trasy = ϕ ϕ. Znajomość równań obydwu prostych umożliwia wyznaczenie współrzędnych puntu przecięcia ierunów głównych trasy. Znajomość współrzędnych puntu W(Y W, X W ), gdy azymuty ierunów głównych i ąt zwrotu stycznych można precyzyjnie oreślić,

00 W. Koc umożliwia łatwe przeniesienie zaprojetowanego uładu geometrycznego w teren. Współrzędne Y W i X W stanowią rozwiązanie uładu równań X w = A + B Y w X w = A + B Y w sąd otrzymujemy A A Y = w B B, X = A A A + B B B w. (.) 3. PRZYJĘCIE LOKALNEGO UKŁADU WSPÓŁRZĘDNYCH Aby można było wyorzystywać uzysane dane pomiarowe do zaprojetowania rejonu zmiany ierunu trasy, należy interesujący nas jej fragment wyodrębnić z całości uładu geometrycznego oraz doonać odpowiedniej transformacji (przesunięcia i obrotu) uładu współrzędnych. Najorzystniej będzie, jeśli nowy uład współrzędnych pozwoli na symetryczne ustawienie uładu geometrycznego z naniesionymi ierunami głównymi trasy i będzie obejmował całość rejonu zmiany ierunu trasy, tj. łu ołowy z rzywymi przejściowymi (oraz odcinami przylegających prostych). Na rysunu przedstawiono loalny uład współrzędnych x, y, w tórym będzie się odbywać projetowanie uładu geometrycznego, by następnie na drodze odpowiedniej transformacji przenieść go do uładu globalnego. Wprowadzono tam również pomocniczy uład współrzędnych x, y, wyorzystywany do wyznaczania puntów rzywej przejściowej. Rys.. Przyjęty loalny uład współrzędnych Oprócz wyznaczenia rzędnych y(x) luczową sprawą będzie oreślenie długości całego uładu, wyniającego z wartości rzutów rzywych przejściowych l KP i części łuowych l ŁK na oś odciętych. Umożliwi to późniejsze przeniesienie rozwiązania do uładu globalnego przy wyorzystaniu wzorów [7]:

Metoda projetowania rejonu zmiany ierunu trasy olejowej 0 Y = Y 0 + x cos β y sin β (3.) X = X 0 + x sin β + y cos β (3.) gdzie: Y 0, X 0 współrzędne puntu O w uładzie współrzędnych 000, β ąt obrotu uładu odniesienia. Znajomość wartości l KP i l ŁK pozwala wyznaczyć współrzędne początu uładu loalnego w państwowym uładzie odniesienia 000. Odległość puntu O(Y 0, X 0 ) od wierzchoła W(Y w, X w ), tórego współrzędne wyznacza się wyorzystując wzór (.), jest następująca: OW l l KP + AK = cos Uwzględniając występujący współczynni nachylenia prostej B oraz wyorzystując związi otrzymujemy ( XW XO) = B ( YW YO) i ( Y Y ) ( X X ) OW W O W O Y O = Y ± W lkp + lak + B cos, XO = XW ± + =( ) B( lkp + lak ). + B cos (3.3) Przyjęcie odpowiedniego znau w powyższych wzorach wymaga rozpatrzenia danej sytuacji geometrycznej. Sposób wyznaczania ąta obrotu β zostanie wyjaśniony w puncie 4 artyułu. 4. OKREŚLENIE PODSTAWOWYCH DANYCH DO PROJEKTOWANIA Oreślenie rzędnych osi toru w loalnym uładzie współrzędnych x, y będzie się odbywać dla następujących danych wyjściowych: ąta zwrotu stycznych, promienia łuu ołowego R, przechyłi na łuu h 0, długości l przyjętego rodzaju rzywej przejściowej. W uładzie globalnym możemy stosunowo łatwo wyznaczyć ąt zwrotu, bowiem odtworzenie ierunów prostych trasy na podstawie pomiarów satelitarnych nie sprawia żadnych trudności. Bardziej złożona jest westia oceny odcinów położonych w łuu w celu oszacowania występującego promienia łuu ołowego R, a taże długości tegoż łuu oraz długości rzywych przejściowych.

0 W. Koc Ja już wcześniej wyjaśniono, nowe położenie osi toru powinno odpowiadać loalnemu uładowi współrzędnych x, y poazanemu na rysunu, co pozwoli na symetryczne ustawienie danego uładu geometrycznego z naniesionymi ierunami głównymi trasy [5]. Przyład efetów taiej operacji, przeprowadzonej dla fragmentu uładu geometrycznego z rysunu, przedstawiono na rysunu 3. Rys. 3. Przyładowy fragment trasy olejowej w loalnym uładzie współrzędnych (w sali sażonej); ) istniejący przebieg trasy y(x), ) wyznaczony ierune główny trasy y (x), 3) wyznaczony ierune główny trasy y (x) Wzory na nowe współrzędne trasy w przesuniętym do puntu O(Y 0, X 0 ) i obróconym o ąt β loalnym uładzie współrzędnych x, y opisują zależności [7]: x = (Y Y 0 ) cos β + (X X 0 ) sin β, (4.) y = (Y Y 0 ) sin β + (X X 0 ) cos β. (4.) Nowy począte uładu współrzędnych przyjmujemy na prostej. Wybieramy odciętą Y 0 puntu trasy przed łuiem, znajdującego się w pobliżu prostej aprosymującej; równanie prostej umożliwia nam wyznaczenie rzędnej X 0. Wartości Y 0 i X 0 na prostej wyznaczają począte przesuniętego uładu współrzędnych. Sposób oreślenia ąta obrotu β wyjaśniają rysuni 4 i 5 [5]. Zależy on od ierunu zwrotu trasy. Ogólny wzór na ąt obrotu β jest następujący: β = ϕ+ = ( ϕ+ ϕ). (4.3)

Metoda projetowania rejonu zmiany ierunu trasy olejowej 03 Rys. 4. Schemat ideowy wyznaczenia ąta obrotu β w przypadu zwrotu trasy w prawo (gdy ąt zwrotu = ϕ ϕ > 0) Rys. 5. Schemat ideowy wyznaczenia ąta obrotu β w przypadu zwrotu trasy w lewo (gdy ąt zwrotu = ϕ ϕ < 0) W przypadu zwrotu trasy w prawo (rys. 4), gdy ąt zwrotu = ϕ ϕ > 0, po doonaniu obrotu uładu otrzymujemy dodatnie wartości rzędnej y. W przypadu zwrotu trasy w lewo (rys. 5), gdy ąt zwrotu = ϕ ϕ < 0, wartości rzędnej y są ujemne; możemy jedna dla celów pratycznych doonać ich lustrzanego odbicia względem osi x.

04 W. Koc W nowym uładzie współrzędnych proste aprosymujące są opisane następującymi zależnościami: A X0 + B Y0 y( x) = + tan( ϕ β) x = tan( ϕ β ) x, (4.4) B sinβ cosβ A X0 + B Y0 y( x) = + tan( ϕ β ) x. (4.5) B sinβ cosβ Dzięi poazanemu na rysunu 3 przeniesieniu interesującego nas fragmentu trasy do loalnego uładu współrzędnych x, y możemy oszacować wartość promienia łuu ołowego, a taże orientacyjne długości rzutów na oś x łuu ołowego i rzywych przejściowych. W celu wyznaczenia wartości promienia R wyorzystamy wartość strzałi f c, oreślonej w puncie środowym łuu, względem cięciwy l c o zmieniającej się długości; wartości promienia R wyznacza się ze ścisłej zależności lc fc R = + 8f. c 5. PROCEDURA PROJEKTOWANIA REJONU ZMIANY KIERUNKU TRASY 5.. Roboczy uład współrzędnych Dla ażdej sytuacji geometrycznej możemy utworzyć wiele loalnych uładów współrzędnych, z tórych ażdy jest oreślony w uładzie globalnym przez przyjęte współrzędne jego puntu początowego. Tymczasem położenia puntu początowego dla nowoprojetowanego uładu geometrycznego w tej fazie nie jesteśmy jeszcze w stanie oreślić. Wiemy tylo, że punt ten powinien wyznaczać począte rzywej przejściowej i leżeć na prostej porywającej się z ieruniem głównym trasy. Dlatego też musimy przyjąć roboczy uład współrzędnych x, y, nie powiązany z uładem globalnym, tórego począte w puncie O (0, 0) będzie stanowić począte rzywej przejściowej, odchylającej przebieg trasy od ierunu głównego, a na ońcu łączącej się z łuiem ołowym. Ze względu na symetrię wystarczy rozpatrywać połowę całego uładu, tj. rejon od początu rzywej przejściowej do środa łuu ołowego (rys. 6). Po wyznaczeniu długości l KP i l ŁK musimy ta przesunąć począte roboczego uładu współrzędnych wzdłuż osi x, aby uzysać rzędną wierzchoła W odpowiadającą uładowi loalnemu (rys. ). H = TW = ( lkp + lak )tan (5.)

Metoda projetowania rejonu zmiany ierunu trasy olejowej 05 Rys. 6. Roboczy uład współrzędnych Procedura projetowania doprowadzi do oreślenia współrzędnych puntu początowego w uładzie globalnym za pomocą wzorów (3.3) i w onsewencji umożliwi transformację z wyorzystaniem wzorów (4.) i (4.) rejonu zmiany ierunu trasy do uładu loalnego obejmującego wyłącznie łu ołowy i rzywe przejściowe (bez odcinów prostych). 5.. Oreślenie rzędnych rzywej przejściowej w uładzie współrzędnych, y ) Znając podstawowe dane projetowe przystępujemy najpierw do wstawienia w uład geometryczny rzywej przejściowej o długości l. Naszym celem jest zapisanie równania rzywej przejściowej w uładzie współrzędnych x, y. Obowiązujący wzór na rzywiznę w uładzie współrzędnych prostoątnych ( x) = y ( x) { + [ y ( x) ] } wsazuje na istotne znaczenie nachylenia stycznej, tóre w danym przypadu jest znaczne; zaczyna się od wartości y ( 0) = tan i następnie na długości rzywej nieco maleje. Dlatego też będzie orzystne zastosowanie tradycyjnej procedury, czyli założenie pomocniczego uładu współrzędnych x, y, w tórym oś odciętych jest styczna do rzywej przejściowej i porywa się z ieruniem głównym trasy (rys. 6). Ze względów pratycznych będzie orzystne zapisywanie równania rzywizny w postaci 3 (5.) l () = R gl () (5.3)

06 W. Koc gdzie: l położenie puntu rzywej przejściowej na jej długości, g(l) funcja zmiennej l, zależna od rodzaju rzywej przejściowej, przy czym g(0) = 0, g(l ) =. Przyładowe równania funcji g(l) są następujące: l dla paraboli trzeciego stopnia gl ()=, (5.4) 3 l l dla rzywej Blossa gl ()= 3 l l, (5.5) 3 l dla cosinusoidy gl ()= π l, (5.6) l l dla sinusoidy gl () = si π. (5.7) l π l Możemy wówczas łatwo oreślić rzędne rampy przechyłowej (jeśli taa występuje) l hl () = h gl (), 0 (5.8) oraz przyspieszenie niezrównoważone al () = am gl () (5.9) gdzie: h 0 wartość przechyłi na łuu, a m niezrównoważone przyspieszenie na łuu ołowym, a m Vp h0 = R s g, ( 36, ) V p masymalna prędość pociągów pasażersich, g przyspieszenie ziemsie. Ta, ja się to powszechnie pratyuje, przyjmujemy, że zamodelowana rzywizna (l) odnosi się do swego rzutu na oś x, czyli że l = x, g(l) = g ). W wyniu taich założeń otrzymujemy wyjściowe równanie rzywizny x R g x 0 ( ) = ( ). (5.0) Wyznaczenie w sposób ścisły funcji y ) na podstawie 0 ) wymagałoby rozwiązania równania różniczowego (5.), co jedna na drodze analitycznej jest niemożliwe. Dlatego też znów tradycyjnie tratujemy 0 ) jao rzywiznę wyjściową, będącą przybliżeniem rzywizny docelowej ). Przejście od 0 ) do ) odbywa się w ten sposób, że uznajemy 0 ) jao równanie drugiej pochodnej szuanej funcji y ), przy czym z uwagi na przyjęty pomocniczy uład współrzędnych x, y musimy wprowadzić zna ; mamy zatem y ( x) = 0 ( x). (5.)

Metoda projetowania rejonu zmiany ierunu trasy olejowej 07 Równanie to następnie dwurotnie całujemy, uzysując y ) i y ); uwzględniamy przy tym waruni: y (0) = 0 i y (0) = 0. Krzywizna ) uzysanej rzywej przejściowej, tórą wyznaczamy z równania (5.), różni się, oczywiście od rzywizny wyjściowej 0 ). Różnica ta zależy od wartości nachylenia stycznej y ). W stosowanych w olejnictwie rzywych przejściowych (gdy ta ja w rozpatrywanym przez nas przypadu przyjmujemy uład współrzędnych, w tórym począte rzywej jest styczny do osi odciętych) wartość y ) na długości jest niewiela, dlatego też różnica pomiędzy rzywiznami 0 ) i ) jest pratycznie nieistotna. Tai sposób wyznaczania rzędnych rzywej przejściowej znalazł zastosowanie w fundamentalnej pracy H. Bałucha []. Oprócz samego równania y ) istotną wielość projetową stanowi nachylenie stycznej na ońcu rzywej przejściowej, tj. wartość y = l ), występująca w równaniu (5.6). 5.3. Transformacja rzywej przejściowej do roboczego uładu współrzędnych Kolejnym etapem działań jest transformacja rzywej przejściowej do przyjętego roboczego uładu współrzędnych, poprzez doonanie obrotu jej uładu odniesienia o ąt /. W związu z ieruniem obrotu, zgodnym ze wsazówami zegara, w stosowanych wzorach transformacyjnych [7] występują ujemne wartości ąta. x = x y + cos sin, y = x y + sin cos. Ponieważ 0, π, po uwzględnieniu zależności y ) otrzymujemy równania parametryczne rzywej przejściowej w roboczym uładzie współrzędnych: x( x) = x cos y( x) sin, (5.) y( x) = x sin + y( x) cos. (5.3) W tym miejscu należałoby przypomnieć, że w uładzie współrzędnych artezjańsich za pomocą równań parametrycznych jest opisywana lotoida, rzywa przejściowa powszechnie stosowana w drogach ołowych. Występujący w równaniach (5.) i (5.3) parametr x 0, l, a odcięta rzywej przejściowej x 0, l KP, gdzie

08 W. Koc lkp = l cos y ( l ) sin. Rzędna ońcowa rzywej przejściowej wynosi ykp = y( lkp ) = l sin + y ( l ) cos. a wartość stycznej na ońcu skp = tan arctan y ( l ) +. (5.4) (5.5) (5.6) 5.4. Oreślenie rzędnych łuu ołowego Znając położenie rzywej przejściowej, możemy wpisać w uład geometryczny łu ołowy o promieniu R. Długość jego rzutu na oś x, tj. wartość l ŁK, oreślamy na podstawie warunów styczności: na początu łuu, tj. dla x = l KP, y ( lkp ) = skp na środu łuu, tj. dla x = l KP + l ŁK, y ( lkp + lak ) = 0 Stosowne wzory opisują sytuację poazaną na rysunu 7. Rys. 7. Schemat położenia łuu ołowego względem loalnego uładu współrzędnych W uładzie współrzędnych x, y równanie odcina łuu ołowego będącego częścią projetowanego przez nas uładu geometrycznego jest następujące:

Metoda projetowania rejonu zmiany ierunu trasy olejowej 09 a równanie stycznej do łuu ( ) y ( x )= R x, x l AK,0, x y ( x ) =. R x ( ) W puncie styczności rzywej przejściowej i łuu ołowego, tj. dla x = l AK lak y ( lak ) = = s KP R l sąd wynia, że l AK ( AK ) skp = ( + skp ) R. (5.7) Znajomość l KP i l ŁK umożliwia oreślenie położenia początu uładu współrzędnych x, y względem puntu W, dzięi oreśleniu wysoości H za pomocą wzoru (5.). Można również teraz zapisać równanie łuu ołowego w postaci funcji jawnej y = y(x). KP ( KP AK ) AK ( ) y( x)= y + R l + l x R l Rzędna środa łuu ołowego wynosi ( ), x l, l + l. (5.8) KP KP AK yl ( + l ) = y + R R l. (5.9) KP AK KP AK 5.5. Uzupełnienie rzędnych dla drugiej części projetowanego rejonu trasy Ze względu na symetrię, roboczy uład współrzędnych (rys. 6) obejmował połowę całego uładu, tj. rejon od początu rzywej przejściowej do środa łuu ołowego. Po przeniesieniu rozwiązania do uładu loalnego (z wyorzystaniem wzoru (5.) należy jeszcze uzupełnić rzędne dla drugiej części projetowanego rejonu, tj. dla x lkp + lak,lkp + lak. Stanowić one będą lustrzane odbicie przedstawionego rozwiązania uzysanego dla x 0, lkp + lak. Jeżeli długość rzutu całego zaprojetowanego uładu geometrycznego na oś x oznaczymy jao L, gdzie L= lkp + lak, wówczas dla drugiej rzywej przejściowej, tj. dla x L lkp, L, otrzymamy równania parametryczne: x = L x( x ), y = y( x ), (5.0)

0 W. Koc gdzie x 0, l, x ) jest oreślone równaniem (5.), a y ) równaniem (5.3). Dla drugiej połowy łuu ołowego obowiązuje równanie KP ( KP AK ) AK ( ) y( x)= y + R x l l R l, x l + l, l + l. (5.) KP AK KP AK 6. PRZYKŁAD OBLICZENIOWY 6.. Ustalenie podstawowych danych do projetowania W przyładzie obliczeniowym wyorzystamy dane z pomiarów satelitarnych przeprowadzonych w 00 rou, zobrazowane na rysunu. Wyznaczone równanie ierunu głównego trasy z lewej strony rozpatrywanego uładu geometrycznego (tj. prostej ) jest następujące: X = 578078,8763 + 4,889474 Y. (6.) Jego ąt nachylenia ϕ = arctan B =,36876884 rad. Kierune główny trasy z prawej strony rozpatrywanego uładu geometrycznego (tj. prosta ) jest opisany równaniem X = 50989,4693 + 0,543805 Y, (6.) a ąt nachylenia ϕ = 0,53000 rad. Kąt zwrotu trasy wynosi zatem = ϕ ϕ =,564884 rad. Można również za pomocą wzoru (4.3) oreślić ąt obrotu uładu odniesienia w celu przeniesienia pomierzonych puntów trasy do loalnego uładu współrzędnych. W danym przypadu wynosi on β = 0,7609444 rad. Aby uzysać obraz uładu tai ja na rysunu 3, musimy jeszcze przyjąć odciętą początu uładu loalnego. Przyjmując Y 0 = 6565,56600 m otrzymujemy na podstawie równania (6.), rzędną X 0 = 605907,07880 m puntu O położonego na prostej. Zastosowanie wzorów (4.) i (4.) prowadzi do sytuacji geometrycznej przedstawionej na rysunu 3. Równania prostych, wyznaczone za pomocą wzorów (4.4) i (4.5), są następujące: y = 0,69568545 x, (6.3) y = 405,456 0,69568545 x. (6.4) Z rysunu 3 wynia, że długość rzutu całego uładu geometrycznego na oś x wynosi ooło 000 m, a sam uład stanowi w zasadzie ompozycję pięciu olejnych łuów. W rozpatrywanym przypadu uznajemy, że jest to sytuacja nieprawidłowa, a wyznaczanie wartości promieni poszczególnych łuów ołowych mija się z celem. W za mian spróbujemy zastosować jeden łu ołowy z dwiema rzywymi przejściowymi i postaramy się ja najlepiej wpisać w istniejący uład geometryczny.

Metoda projetowania rejonu zmiany ierunu trasy olejowej Rozpatrzono szereg wariantów rozwiązań problemu projetowego; jeden spośród nich zostanie przedstawiony w sposób szczegółowy. Przyjęto prędość v p = 0 m/h i założono, że rzywa przejściowa mieć będzie rzywiznę liniową. Podstawowymi danymi do projetowania będą: ąt zwrotu stycznych =,564884 rad, promień łuu ołowego R = 700 m, wartość przechyłi na łuu h 0 = 70 mm, rzywa przejściowa (z prostoliniową rampą przechyłową) o długości l = 30 m. Przy taich danych parametry inematyczne przyjmą następujące wartości: przyspieszenie niezrównoważone na łuu ołowym a m = 0,503 m/s, prędość zmiany przyspieszenia na rzywej przejściowej ψ = 0,7 m/s 3, prędość podnoszenia oła na rampie przechyłowej f = 4,00 mm/s. 6.. Oreślenie równań rzywej przejściowej i rampy przechyłowej w ich wewnętrznym (pomocniczym) uładzie współrzędnych Liniowa zmiana rzywizny na długości rzywej przejściowej jest opisana wzorem l l () =. R Standardowo przyjmujemy, że zamodelowana rzywizna (l) odnosi się do swego rzutu na oś x (rys. 6), czyli że l = x. W wyniu taich założeń otrzymujemy równanie rzywizny Znamy też równanie rampy przechyłowej x R g x x 0 ( ) = ( ), gdzie g( x ) =. l l hx ( ) = h gx ( ). Tratujemy 0 ) jao rzywiznę wyjściową, będącą przybliżeniem rzywizny docelowej ); pozwala nam to na znalezienie szuanej funcji y ), jao rozwiązania równania różniczowego (5.), tóre przyjmuje postać x y ( x) =. R l Równanie to następnie dwurotnie całujemy, uwzględniając waruni: y (0) = 0 i y (0)= 0. Otrzymujemy w ten sposób równanie rzywej przejściowej w postaci paraboli trzeciego stopnia. y 0 3 x ( x) = =, 7 3 7 5448 0 x. (6.5) 6 R l

W. Koc Rzędna ońcowa rzywej przejściowej wynosi l y( x = l) = =, 65686 m, 6 R a nachylenie stycznej na ońcu l y ( x = l) = = 0, 03835. R 6.3. Oreślenie rzędnych rzywej przejściowej w roboczym uładzie współrzędnych Przejście do roboczego uładu współrzędnych odbywa się przez doonanie obrotu uładu odniesienia rzywej przejściowej o ąt / = 0,607844 rad. Uwzględniając wzory (5.) i (5.3) otrzymujemy równania parametryczne rzywej przejściowej w uładzie współrzędnych x, y: 3 x 7 x( x) = x cos + sin = 0, 8089 x + 4, 3068 0 x 3, (6.6) 6 R l 3 x 7 y( x) = x sin cos = 0, 57083 x 6, 9074 0 x 3. (6.7) 6 R l Występujący w tych równaniach parametr x 0, 30 m, zaś odcięta rzywej przejściowej x 0,, gdzie l KP l lkp = x( l ) = l cos + sin = 07, 66 6 R Rzędna ońcowa rzywej przejściowej wynosi l ykp = y( l ) = l sin cos = 7, 88067 6 R a wartość stycznej na ońcu m. m, l skp = y ( l ) = tan arctan( ) + R = 0, 64045. 6.4. Oreślenie rzędnych łuu ołowego Długość rzutu łuu ołowego na oś x, tj. wartość l ŁK, oreślamy na podstawie wzorów (5.6) i (5.7), wprowadzając wyznaczone s KP dla paraboli trzeciego stopnia.

Metoda projetowania rejonu zmiany ierunu trasy olejowej 3 l AK l tan + R = arctan( ) l + tan + arctan( ) R R, (6.8) co dla naszych danych liczbowych daje l ŁK = 93,83 m. Na podstawie równania (5.8) możemy zapisać równanie łuu ołowego w postaci funcji jawnej y = y(x). W rozpatrywanym zadaniu projetowym przedstawia się ono następująco: ( ) y( x) = 7, 88+ 890000 04, 475 x,, 43 59 Rzędna środa łuu ołowego wynosi y(l KP +l ŁK ) = 34,89 m. x 07, 66, 04, 475. (6.9) 6.5. Uzupełnienie rzędnych dla drugiej części projetowanego rejonu trasy Znajomość l KP i l ŁK umożliwia oreślenie położenia początu loalnego uładu współrzędnych (rys. ) dzięi oreśleniu wysoości H za pomocą wzoru (5.). W naszym przypadu wynosi ona H = (07,66 + 96,83) 0,695685 = 7,7 m. Możemy teraz zapisać równania obydwu prostych w uładzie loalnym obejmującym wyznaczone rozwiązanie. Prostą opisuje oczywiście równanie (6.3), natomiast równanie prostej jest następujące: y = 45,450 0,69568545 x. (6.0) W loalnym uładzie współrzędnych x, y musimy teraz uzupełnić rzędne dla drugiej części projetowanego rejonu trasy. Część ta, obejmująca x 04, 475, 048, 950, będzie stanowić lustrzane odbicie przedstawionego rozwiązania uzysanego dla x 0, 04, 475. Dla drugiej rzywej przejściowej, tj. dla x 94, 88, 048, 950, otrzymamy równania parametryczne: x( x ) = 048, 950 0, 8089 x 4, 3068 0 7 x 3, (6.) y( x ) = 0, 57083 x 6, 9074 0 7 x 3, (6.) gdzie x 0, 30. Dla drugiej połowy łuu ołowego, tj. dla x 04, 475, 94, 88, obowiązuje równanie ( ) y( x) = 7, 88+ 890000 x 04, 475,. 43 59 (6.3)

4 W. Koc Zaprojetowany uład geometryczny poazano na rysunu 8. W loalnym uładzie współrzędnych sprawdzamy wartości różnic pomiędzy rzędnymi istniejącego toru i rzędnymi zaprojetowanymi. Jeżeli jesteśmy usatysfacjonowani uzysanym rozwiązaniem, przenosimy je do uładu globalnego. Jeśli zaprojetowany uład za bardzo odbiega od istniejącego, przeprowadzamy ponowną procedurę wyznaczania rzędnych, przy zmienionych wartościach podstawowych parametrów geometrycznych. Rys. 8. Istniejący i zaprojetowany uład geometryczny w loalnym uładzie współrzędnych; ) istniejący przebieg trasy y(x), ) wyznaczony ierune główny trasy y (x), 3) wyznaczony ierune główny trasy y (x), 4) zaprojetowany przebieg trasy y P (x) 6.6. Przeniesienie projetu do uładu globalnego Wyznaczone współrzędne puntów trasy w loalnym uładzie współrzędnych musimy teraz przenieść do uładu globalnego. Będzie to zatem operacja odwrotna do przeprowadzonej w puncie 4. Do transformacji zostaną wyorzystane wzory (3.) i (3.). Ponieważ ąt β jest znany, należy tylo oreślić współrzędne początu uładu loalnego w uładzie współrzędnych 000. Wyorzystując wzory (3.3) otrzymujemy: Y 0 = 65649,055 m oraz X 0 = 605889,9493 m. Po przeniesieniu naszego rozwiązania do państwowego uładu odniesień przestrzennych 000 otrzymujemy sytuację poazaną na rysunu 9. 6.7. Przyład rozwiązania alternatywnego W rozwiązaniu przedstawionym na rysunach 8 i 9 nowo zaprojetowana trasa przebiega na całej swej długości obo osi trasy istniejącej. W pewnych sytuacjach bardziej orzystne może się oazać zachowanie istniejącego przebiegu trasy na ja najwięszej długości, nawet osztem wystąpienia onieczności przeprowadzenia więszych zmian w oreślonym rejonie. Przy naszych danych pomiarowych odpowiadać temu będzie rozwiązanie uzysane po zastosowaniu promienia łuu ołowego R = 600 m oraz przechyłi na łuu h 0 = 75 mm (przy zachowaniu tego samego rodzaju i długości rzywej przejściowej).

Metoda projetowania rejonu zmiany ierunu trasy olejowej 5 Rys. 9. Istniejący i zaprojetowany uład geometryczny w uładzie państwowym 000 ; ) istniejący przebieg trasy X(Y), ) wyznaczony ierune główny trasy X (Y), 3) wyznaczony ierune główny trasy X (Y), 4) zaprojetowany przebieg trasy X P (Y) Wartości parametrów inematycznych są następujące: przyspieszenie niezrównoważone na łuu ołowym a m = 0,494 m/s, prędość zmiany przyspieszenia na rzywej przejściowej ψ = 0,58 m/s 3, prędość podnoszenia oła na rampie przechyłowej f = 4,00 mm/s. Na rysunu 0 poazano istniejący i zaprojetowany uład geometryczny w loalnym uładzie współrzędnych, a na rysunu w państwowym uładzie odniesień przestrzennych 000. W obu wariantach obliczeń masymalne przemieszczenia poprzeczne toru są rzędu 50 m. Rys. 0. Istniejący i zaprojetowany uład geometryczny w loalnym uładzie współrzędnych (rozwiązanie alternatywne); ) istniejący przebieg trasy y(x), ) wyznaczony ierune główny trasy y (x), 3) wyznaczony ierune główny trasy y (x), 4) zaprojetowany przebieg trasy y P (x)

6 W. Koc Rys.. Istniejący i zaprojetowany uład geometryczny w uładzie państwowym 000 (rozwiązanie alternatywne); ) istniejący przebieg trasy X(Y), ) wyznaczony ierune główny trasy X (Y), 3) wyznaczony ierune główny trasy X (Y), 4) zaprojetowany przebieg trasy X P (Y) 7. PODSUMOWANIE Już w najbliższym czasie radyalną poprawę w zaresie ształtowania geometrycznego torów olejowych będzie można uzysać po zastosowaniu ciągłych pomiarów satelitarnych, z antenami zainstalowanymi na poruszającym się pojeździe szynowym. Pozwala to na odtworzenie położenia osi torów w bezwzględnym uładzie odniesienia, a liczba wyorzystywanych współrzędnych zależy jedynie od przyjętej częstości próbowania sygnału. Ja stwierdzono w wyniu przeprowadzonych badań terenowych, zastosowana w torach olejowych nowa technia pomiarowa otwiera zupełnie nowe perspetywy. Jej wyorzystanie umożliwia bardzo precyzyjne oreślenie podstawowych danych do projetowania modernizacji linii olejowej (ierunów głównych trasy i jej ąta zwrotu), a taże ze stosunowo niewielim błędem współrzędnych istniejącej osi toru. Dalsze podniesienie uzysiwanej doładności w oreślaniu położenia toru na drodze pomiarów satelitarnych wydaje się być jedynie westią czasu. Zastosowanie satelitarnej technii pomiarowej (w wariancie pomiarów ciągłych) powoduje onieczność opracowania nowej metody projetowania uładów geometrycznych toru. O ile ształtowanie ierunów prostych trasy na podstawie pomiarów satelitarnych nie stwarza specjalnych trudności, o tyle bardziej złożona jest westia projetowania odcinów położonych w łuu. Aby można było wyorzystywać uzysane

Metoda projetowania rejonu zmiany ierunu trasy olejowej 7 dane pomiarowe, należy interesujący nas rejon zmiany ierunu trasy wyodrębnić z całości uładu geometrycznego oraz doonać odpowiedniej transformacji (przesunięcia i obrotu) uładu współrzędnych. Najorzystniej będzie, jeśli nowy uład współrzędnych (x, y) pozwoli na symetryczne ustawienie uładu geometrycznego z naniesionymi ierunami głównymi trasy. Opracowując przedstawioną w artyule oncepcję sposobu projetowania rejonu zmiany ierunu trasy dążono do uzysania rozwiązania analitycznego, a więc najbardziej przyjaznego w pratycznym stosowaniu. Omawianą metodę zilustrowano przyładem obliczeniowym, w tórym wyorzystano dane uzysane z istniejącej linii olejowej. Oczywiście, w celu wdrożenia podanej procedury niezbędne będzie opracowanie w najbliższym czasie odpowiedniego wspomagania omputerowego. BIBLIOGRAFIA. Bałuch H.: Optymalizacja uładów geometrycznych toru. Warszawa, Wydawnictwa Komuniacji i Łączności, 983.. Bosy J., Grasza W., Leonczy M.: ASG-EUPOS The Polish contribution to the EUPOS project. Symposium on Global Navigation Satellite Systems, Berlin, Germany, 4 November, 008. 3. Koc W.: Projetowanie uładów geometrycznych toru w dostosowaniu do systemu GPS. IX Konferencja Nauowo-Techniczna Nowoczesne Technologie i Systemy Zarządzania w Kolejnictwie, Kościeliso, 3 grudnia, 00. 4. Koc W., Specht C.: Application of the Polish active GNSS geodetic networ for surveying and design of the railroad. First International Conference on Road and Rail Infrastructure CETRA 00, Opatija, Croatia, 7 8 May, 00. 5. Koc W., Specht C.: Wynii pomiarów satelitarnych toru olejowego. Technia Transportu Szynowego, 009, nr 7 8. 6. Koc W., Specht C., Jurowsa A., Chrostowsi P., Nowa A., Lewińsi L., Bornowsi M.: Oreślanie przebiegu trasy olejowej na drodze pomiarów satelitarnych. II Konferencja Nauowo-Techniczna Projetowanie, Budowa i Utrzymanie Infrastrutury w Transporcie Szynowym INFRASZYN 009, Zaopane, 4 wietnia 009. 7. Korn G.A., Korn T.M.: Matematya dla pracowniów nauowych i inżynierów. Warszawa, PWN, 983. 8. Specht C.: System GPS. Pelplin, Wydawnictwo BERNARDINUM, 007.